Về sự tồn tại hạng của module tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Hương

VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE
TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH
KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Hương

VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE
TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH
KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN
Để thực hiện tốt luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè và gia đình. Nhân đây, tôi xin
được gởi lời cảm ơn.
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong Khoa Toán - Tin
trường Đại Học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền thụ những kiến thức
bổ ích, làm nền tảng cho tôi trong quá trình nghiên cứu luận văn này.
Và hơn hết, tôi xin gởi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người
đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học, và tạo mọi
điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm
luận văn đã dành thời gian xem xét, chỉnh sửa và đưa ra những nhận xét quý báu để
luận văn của tôi được hoàn thiện.
Bên cạnh sự chỉ dạy của thầy cô, tôi cũng nhận được sự quan tâm của gia đình
và bạn bè. Xin chân thành cảm ơn mọi người.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 01 năm 2014.
Trần Thị Thanh Hương.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
BẢNG KÝ HIỆU ...............................................................................................................1
DANH MỤC HÌNH VẼ....................................................................................................2
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ....................................................................................................3
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................................4
Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................................................................................5

1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành ............................................................................ 5
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun ......................................................................... 6
1.3. Radical của vành ...................................................................................................... 14

Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO ............................. 20
HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN .......................... 20
2.1. Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán
......................................................................................................................................... 20
2.2. Điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không
giao hoán ......................................................................................................................... 21

KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 46


1

BẢNG KÝ HIỆU
MR

R - môđun phải M

J ( R ) hoặc rad R

Căn Jacobson

HomR ( M , N )

Nhóm các R - đồng cấu từ M đến N

End R ( M )

Vành các R - tự đồng cấu của M

U ( R)

Nhóm các phần tử khả nghịch của vành R

diag A

Chéo của ma trận A

A

Lực lượng của tập hợp A

a.c.c

Điều kiện dây chuyền tăng

d.c.c

Điều kiện dây chuyền giảm

det A

Định thức của ma trận A

L(M )

Độ dài của một dãy hợp thành

lR ( M )

Độ dài của môđun M


2

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 1 .................................................................................................... 14
Hình 2.1: Sơ đồ giao hoán 2 ..................................................................................................... 31


3

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LIÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN ................................ 44


4

LỜI NÓI ĐẦU
Cấu trúc module (môđun) xuất hiện trong hầu hết hết các lý thuyết toán học hiện
đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel,
không gian vectơ. Tính linh hoạt và phổ quát của cấu trúc môđun đã mang lại những
ứng dụng to lớn. Thông qua lý thuyết môđun, chúng ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lý
thuyết về không gian vectơ và nhiều lý thuyết toán học khác. Một lớp môđun có cấu
trúc rất gần giống với cấu trúc của không gian vectơ đó là lớp môđun tự do.
Trước hết, ta nhớ lại rằng một R - môđun M được gọi là tự do nếu M có một

cơ sở. Các cách mô tả môđun tự do rất thú vị vì thế nó có nhiều tính chất rất quan
trọng. Một trong những tính chất quan trọng đó là khái niệm về hạng và sự tồn tại hạng
của nó. Ta biết rằng hai cơ sở bất kỳ của cùng một R - môđun tự do hữu hạn sinh M
trên một vành giao hoán có đơn vị thì có cùng số phần tử và số phần tử đó ta gọi là
hạng của M. Như vậy, đối với vành giao hoán thì khái niệm hạng cho lớp các môđun tự
do hữu hạn sinh luôn tồn tại. Nhưng đối với vành không giao hoán thì khái niệm hạng
cho lớp các môđun tự do hữu hạn sinh có tồn tại không? Câu trả lời là không? Vậy với
điều kiện nào thì môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có khái
niệm hạng.
Đây là lý do tôi chọn đề tài “ Về sự tồn tại hạng của Module tự do hữu hạn
sinh trên các vành không giao hoán” để nghiên cứu và tìm hiểu.


5

Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao
hoán. Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì môđun M là một R - môđun phải,
R là vành không giao hoán.
1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành
Định nghĩa 1.1.1
Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được ký hiệu
là “ +” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +, . là một vành nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) R, +
( 2 ) R, .
( 3)

là một nhóm giao hoán.

là một nửa nhóm.

Phép nhân phân phối với phép cộng tức là với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ R

ta có x ( y + z ) = xy + xz và

( y + z ) x =yx + zx .

Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân có
phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.2
Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R cảm
sinh trên A thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R.
Định nghĩa 1.1.3
Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là iđêan trái (iđêan phải)
của vành R nếu thỏa mãn điều kiện: ra ∈ A ( ar ∈ A ) ; ∀a ∈ A, ∀r ∈ R .
Vành con A của R được gọi là iđêan của vành R nếu A vừa là iđêan trái vừa là
iđêan phải của vành R .


6

Định nghĩa 1.1.4
Một ánh xạ từ vành R đến vành R′ gọi là đồng cấu (vành) nếu f bảo toàn các
phép toán. Tức là, với mọi x, y ∈ R ta có

f ( x + y=
) f ( x) + f ( y)
f ( x. y ) = f ( x ) . f ( y )
Một đồng cấu f từ vành R đến vành R gọi là một tự đồng cấu của vành R .

Một đồng cấu đơn ánh là đơn cấu, toàn ánh là toàn cấu, song ánh là đẳng cấu.
Một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu f từ
vành R đến vành R′ thì ta viết R ≅ R′ ta nói R và R′ là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.1.5
Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch
thì R được gọi là một thể hay một vành chia.
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun
Định nghĩa 1.2.1
Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben. M được gọi là một R môđun phải nếu có một ánh xạ f : M × R → M

( m, r )  f ( m, r ) = mr
sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M và ∀a, b ∈ R thì:

(1) m ( a + b ) = ma + mb .
( 2 ) ( m1 + m2 ) a =m1a + m2 a .
( 3) ( ma ) b = m ( ab ) .
Chú ý: Ta dùng kí hiệu M R để chỉ M là R - môđun phải, tương tự ta kí hiệu
R

M để chỉ M là R - môđun trái, M vừa là R - môđun phải vừa là R - môđun trái

gọi là song môđun kí hiệu

R

MR.