Bài tập về quan hệ vuông góc song song trong hình không gian

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

CH NG MINH QUAN H VUÔNG GÓC SONG SONG
ĐÁP ÁN BÀI T P T

LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Bài 1. Cho t di n ABCD và G là tr ng tâm tam giác ABD Trên đo n BC l y đi m M sao cho
MB  2MC . Ch ng minh r ng MG // (ACD) .
A
H ng d n
G i N là trung đi m c a AD .
BG
2
Khi đó
GN
N
G
BM
BG BM
2

Mà ta có
B
C
MC
GN MC

M
Theo h qu đ nh lý Ta let ta có: MG / /NC .
MG / /NC

Khi đó 

 MG // (ACD)
NC  (ACD)
V y MG // (ACD) đpcm

D

Bài 2. Cho lăng tr ABC.A' B'C' . G i M là trung đi m c a AB Đi m N thay đ i trên đo n BB' . G i
P là trung đi m c a CN .
a. Ch ng minh r ng MP // (AA'C'C) .
b. Ch ng minh r ng MP luôn thu c m t m t ph ng c đ nh, khi N thay đ i.
c. Tìm v trí c a N thu c BB' sao cho MP // AC' .
A'
H ng d n

C'

a. G i BP CC'  Q Khi đó BCQN là hình bình hành và

Q

P là trung đi m c a BQ

Suy ra MP là đ ng trung bình trong tam giác BQA
Suy ra MP / /AQ  (AA'C'C) nên MP // (AA'C'C) đpcm

b. Ta có MP đi qua đi m M c đ nh và MP / /(AA'C'C)

B'
P

N
A

Suy ra MP  () trong đó () là m t ph ng đi qua M

C
M

và song song v i (AA'C'C) nên () c đ nh đpcm

B

c. Ta có MP / /AQ nên MP / /AC' khi và ch khi Q  C'  N  B .
Bài 3. Cho t di n ABCD . G i O,O' l n l

t là tâm đ

Ch ng minh r ng OO'/ /(BCD) khi và ch khi

H

ng tròn n i ti p các tam giác ABC,ABD .

BC AB  AC


.
BD AB  AD

ng d n

G i AO BC  M và AO' BD  N . Khi đó OO'/ /(BCD)  OO'/ /MN 
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

OA O'A

(1)
OM O'N

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

M t khác theo tính ch t đ ng phân giác ta có:
OA AB AC AB  AC AB  AC
(2)





OM MB MC MB  MC
BC
O' A AB  AD
T ng t ta đ c:
(3)

O' N
BD
Thay
vào
ta đ c:
AB  AC AB  AD
BC AB  AC
OO'/ /MN 



BC
BD
BD AB  AD

Chuyên đ : Hình h c không gian

A

O

O'

C

đpcm

M

Bài 4. Cho hình l p ph ng ABCD.A' B'C' D' . G i M,N,P l n
l t là trung đi m c a BB',CD,A' D' . Ch ng minh r ng
MP  C'N .
H ng d n
G i E là trung đi m c a CC' Khi đó
ME / /A' D' hay ME / /PD'  MP  (MED'A') (*)
B'
D th y: C'CN  D'C'E (c.g.c), suy ra : N1  E1

N
B

P

A'

D'

C'
1

A

M t khác: N1  C'1  900

D

1

M

D

E

1

Suy ra E1  C'1  900  C'N  ED' (1)

N

M t khác: ME / /BC  ME  (CDD'C')  ME  C'N (2)

B

C

T (1) và (2), suy ra: C'N  (MED'A') (2*)
T (*) và (2*), suy ra C'N  MP đpcm

Bài 5. Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD . G i E là đi m đ i x ng c a B qua trung đi m c a SA .
G i M,N l n l t là trung đi m c a AE,CD . Ch ng minh r ng MN  BD .
H ng d n
E

Ta có SEAD là hình bình hành do đó
SE  AB  CD và SE / /AB / /CD
Suy ra SEDC là hình bình hành khi đó
S
ED / /SC
G i AC BD  H

M

Do S.ABCD là hình chóp t giác đ u nên:
SH  (ABCD)  SH  BD

Ta có : BD  AC , suy ra: BD  (SAC) (*)
G i P là trung đi m c a AD khi đó

A

NP / /AC
 (MNP) / /(SAC) (2*)

MP / /ED / /SC

T (*) và (2*), suy ra:
BD  (MNP)  BD  MN

D

P
N

H
B

C

hay MN  BD đpcm
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi
và SA  (ABCD) . K AB'  SB,AD'  SD v i

S

B'  SB,D'  SD . Ch ng minh r ng B' D'  (SAC) .

B'

H ng d n

Ta có BD  SA (do SA  (ABCD) )

D'

và BD  AC (do ABCD là hình thoi)
Suy ra BD  (SAC) (1)

A

M t khác SAB  SAD (c.g.c)
SB' SD'


 B' D' // BD (2). T (1) và (2),
SB SD
suy ra B' D'  (SAC) đpcm

B

D

C

Bài 7. Cho lăng tr ABC.A' B'C' có tam giác ABC đ u c nh a , c nh bên CC' vuông góc v i đáy và
CC'  a . G i M, J l n l t là trung đi m c a BB', B'C' và N là đi m thu c đo n A' B' sao cho
NB' 

a
. Ch ng minh:
4

a) AM  BC' .

b) AM  (MNJ)

H ng d n
a) Ch ng minh AM  BC' .
G i I là trung đi m c a BC khi đó

A'

AI  BC

AI  CC'(do CC'  (ABC))

C'
H

J

N
1

B'

 AI  (BCC' B')  AI  BC' (1)

M t khác, trong m t ph ng (BCC' B') ta có:
MI / /B'C
 MI  BC' (2)


 BC'  B'C

M
A

T (1) và (2), suy ra BC'  (AIM)  AM  BC' (*)
b) Ch ng minh AM  (MNJ) .

C

1
1

G i H là trung đi m c a A' B' khi đó
AMB  BHB' (c.g.c)  M1  H1

I
B

Mà H1  B1  900  M1  B1  900  AM  BH (2*)
T (*) và (2*), suy ra AM  (BC'H) (3*).
MN / /HB
 (MNJ) / /(BC'H) (4*)
M t khác 
MJ / /BC'
T (3*) và (4*), suy ra AM  (MNJ) đpcm

Bài 8. Cho hình h p ch nh t ABCD.A' B'C' D' có đáy là hình vuông ABCD c nh a và AA'  b . G i
a
M là trung đi m c a CC' Xác đ nh t s

đ hai m t ph ng (A' BD) và (MBD) vuông góc v i
b
nhau.
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

H ng d n
G i O là tâm c a hình vuông ABCD
Ta có A' B  A' D  A'O  BD . L i có MB  MD  MO  BD
A'O  BD; MO  BD
Khi đó 
(A' BD) (MBD)  BD

A'

D'

B'

Suy ra góc t o b i (A' BD) và (MBD) là A'OM

C'
M
A

D

V y (A' BD)  (MBD)  A'OM  90  A'O  OM  A'M (*)
0

2

2

2

O

2

a 2 
a2
B
2
2
2
2
2
A'O  A' B  BO  a  b  

  b2 



2
 2 
Ta có: 

b2 a 2
b2
2
2
2
 ; A'M 2  A'C'2  C'M 2  2a 2 
OM  MC  CO 
4
2
4


Khi đó



C

5b2
b2
 a 2  2a 2 
 b  a (vì a, b  0 ).

4
4

a
 1 thì (A' BD)  (MBD) đpcm
b
Bài 9. Cho t di n S.ABC có SA  (ABC) . G i H,K l n l

V y v i

t là tr c tâm c a tam giác ABC và SBC .

a. Ch ng minh r ng ba đ ng th ng AH,SK và BC đ ng quy.
b. Ch ng minh r ng SC  (BHK) và HK  (SBC) .

c. Kéo dài SA c t HK t i R . Ch ng minh r ng t di n SBCR có các c p c nh đ i vuông góc.
H ng d n
a. G i E là chân đ ng cao h t A c a tam giác ABC
S
Ta có SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAE)

Suy ra BC  SE
V y ba đ ng th ng AH,SK và BC đ ng quy t i E .

SA  (ABC)  SA  BH 
  BH  (SAC)  BH  SC
AC  BH

Mà BK  SC  SC  (BHK) đpcm

K

b. Ta có

A

Khi đó SC  HK (1)
Mà theo ý a. ta có BC  (SAE)  HK  BC  HK (2)

B
H
E

T (1), (2), suy ra HK  (SBC) đpcm

C

c. Trong t di n SBCR có SR  BC (do BC  (SAE) - ý a. )
Ta có RB  (HKB)  SC  RB (vì SC  (BHK) ch a RB ).
Theo ý b. ta có HK  (SBC)  RK  HK  (SBC)  RK  SB (*)

R

M t khác K là tr c tâm tam giác SBC nên CK  SB (2*)
T (*) và (2*), suy ra SB  (RCK)  SB  RC hay RC  SB .

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a và SA  (ABCD) . G i M,N là hai đi m
l nl

H

a
3a
. Ch ng minh r ng (SMN)  (SAM) .
t trên hai c nh BC,DC sao cho BM  , DN 
2
4
ng d n
2

5a 2
a
Xét tam giác ABM ta có AM  AB  BM  a    
4
2
Xét tam giác ADN ta có

2

2

2

2

2

25a 2
 3a 
AN  AD  DN  a    
16
 4 
Xét tam giác CMN ta có
2

2

2

S

2

2

2

5a 2
a a
MN  CM  CN       
16
2 4
2

2

2

25a 2
 AM2  MN2
16
Suy ra tam giác AMN vuông t i M .

Suy ra AN2 

A

MN  AM
Khi đó 
 MN  (SAM) , suy ra
MN  SA
(SMN)  (SAM) đpcm

D
N

B

C

M

Bài 11. Trong m t ph ng () cho hình vuông ABCD . Các tia Bx và Dy vuông góc v i m t ph ng
() và cùng chi u Các đi m M và N l n l

t thay đ i trên Bx,Dy sao cho m t ph ng (MAC) và

(NAC) vuông góc v i nhau. Ch ng minh r ng:

a) BM.DN không đ i.

b) (AMN)  (CMN) .

H ng d n
a) Ch ng minh BM.DN không đ i.
Đ t BM  m,DN  n,AB  a
G i O là tâm hình vuông ABCD
AC  BD

x
M
y
H

 AC  (BMND)  MO  AC

Ta có 

AC  BM

N

Theo gi thi t (MAC)  (NAC)  MO  (NAC)
 MO  ON do đó MN2  OM2  ON2 (*)
Trong hình thang vuông BDNM ta có:

MN  BD  (BM  DN)  2a  (m  n)
2

2

2

2

Ta có OM2  BM2  BO2  m 2 

a2
2

a2
và ON  DN  OD  n  .
2
2

Khi đó

2

2

B

C

2

O
A

2

D

a2
a2
a2
a2
2
2
 2a  (m  n)  m   n   a  2mn  0  mn 
hay BM.DN  .
2
2
2
2

Hocmai – Ngôi tr

2

2

2

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

b) Ch ng minh (AMN)  (CMN) .
H OH  MN (H  MN ). Xét tam giác vuông MON ta có:
1
1
1



2
2

OH
OM ON2

 OH2 

1
m2 

a2
2

1



n2 

a2
2



m2  n2  a2
 2 a 2  2 a 2 
 m   n  
2 
2


a2

a4 a4 a2
a4
(m 2  n 2 ) 
 (m 2  n 2 ) 
2
2
4  4 2
4  a  OH  a 2  AC
2
2
2
m2  n2  a2
m2  n2  a2

m2n2 

Mà HO là trung tuy n c a AHC , suy ra AHC  900 hay AH  CH (1)
M t khác, MN  AC (do AC  (BMND) - ch ng minh ý 1))
và MN  OH  MN  (HAC)  MN  AH

(2)

T (1) và (2), suy ra AH  (MNC)  (AMN)  (CMN) .
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t và SA  (ABCD) . K

AB'  SB,AC'  SC,AD'  SD (B'  SB,C'  SC,D'  SD) . Ch ng minh r ng t giác AB'C' D' n i ti p

đ
H

ng tròn.
ng d n
Tr c tiên ta s ch ng minh đi m A,B',C',D' đ ng
ph ng
Ta có CB  AB và CB  SA (do SA  (ABCD) )

S
C'

Suy ra CB  (SAB)  CB  AB'

D'

M t khác SB  AB' do đó AB'  (SCB)  AB'  SC (1)
Ch ng minh t ng t ta đ c
AD'  (SCD)  AD'  SC (2)

Mà theo gi thi t AC'  SC (3)
T (1), (2) và (3), suy ra A,B',C',D' đ ng ph ng (*)

B'

A

B

D

C

+) Ta có AB'  (SCB)  AB'  B'C' hay AB'C'  900

và AD'  (SCD)  AD'  D'C' hay AD'C'  900
Suy ra AB'C'  AD'C'  1800 (2*)
T (*) và (2*), suy ra t giác AB'C' D' n i ti p đ

ng tròn đpcm

Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i BC  a 2 ; SA  a 3 và

SA  (ABCD) . Góc t o b i SB và m t đáy b ng 600 . G i M là trung đi m c a AD . Ch ng minh

(SAC)  (SMB) .

H ng d n
Do SA  (ABCD) nên góc ta có góc t o b i SB và (ABCD)
là SBA  600  AB  SA.cot 600  a 3.

1
3

a

G i AC BM  I . Do AM // BC nên theo đ nh lý Ta let
ta có:

AI MI AM 1
AI MI 1



 


IC IB
BC 2
AC MB 3

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

S

1
a2
Ta có AC2  AB2  BC2  3a 2  AI 2  AC2 
9
3
2



1
1  a 2 
a2
2
2
MI  MB  
a



 6
9
9  2 


2

a 3

2

a2 a2  a 2 
2
 
  MA


3 6  2 
Suy ra tam giác AIM vuông t i I hay MB  AC (1)

M t khác: SA  (ABCD)  SA  MB (2)

Khi đó AI 2  MI 2 

T (1) và (2), suy ra: MB  (SAC)  (SMB)  (SAC) đpcm

M

A
I

600

B

C
a 2
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC , có SA,SB,SC đôi m t vuông góc. G i H là tr c tâm c a tam giác
ABC .
a) Ch ng minh r ng: SH  (ABC) .

b) G i  , ,  l n l

minh r ng:

t là góc t o b i m t ph ng (SBC),(SCA),(SAB) v i m t (ABC) . Ch ng

cos2   cos2   cos2   1

A

H ng d n
a) Ch ng minh r ng: SH  (ABC) .
N

G i M là hình chi u vuông góc c a A trên BC .
SA  SB

Ta có 

SA  SC

H

 SA  (SBC)  SA  BC khi đó

 BC  SA
 BC  (SAM)  BC  SH (1)

BC
AM



S

C
M

Ch ng minh t ng t ta đ c AB  SH (2)

T (1) và (2), suy ra: SH  (ABC)

B

b) Ta có:

BC  (SAM)  BC  MS; BC  AM
 (SBC),(ABC)   AMS  

(SBC) (ABC)  BC

Ta có SA  (SBC)  SA  SM , suy ra tam giác ASM vuông t i S .
1
MH. BC S
2
 HBC
1
S ABC
MA. BC
2
S
và cos2   HAB
S ABC

MS
MS 2 MH.MA MH
 cos 2  




Khi đó cos  
MA
MA
MA 2
MA 2

(oàn toàn t

ng t ta s ch ra đ

Suy ra cos2   cos2   cos2  

c: cos2  

SHCA
S ABC

SHBC SHCA SHAB SHBC  SHCA  SHAB S ABC




1
S ABC S ABC S ABC
S ABC
SABC

V y cos2   cos 2   cos 2   1 .

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Bài 15. Cho hình l p ph

Chuyên đ : Hình h c không gian

ng ABCD.A' B'C' D' c nh a Đi m M thu c đo n AD' và đi m N thu c

đo n BD sao cho AM  DN  x v i 0  x  a 2 .

a 2
thì đo n MN ng n nh t.
3
b) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng (A' D'CB) khi x bi n thiên.

a) Ch ng minh r ng khi x 
H

ng d n
A'

B'

D'

C'

M
A

B

E
N

D

C

a 2
thì đo n MN ng n nh t.
3
khi đó tam giác AEM vuông cân t i E

a) Ch ng minh r ng khi x 

K ME  DA ( E  DA
AM
x
x
. Xét tam giác EDN , ta có:

 DE  a 
 EM  EA 

2
2
2
2



x 
x 
2 5 2
2
EN  DE  DN  2DE.DNcosEDN   a 
 x  2ax 2  a 2
  x  2a 
 x.
2
2
2
2


Xét tam giác MEN , ta có:
2

2

2

2


x2 5x2
a 2  a2 a2
MN  EM  EN 

 2ax 2  a 2  3x 2  2ax 2  a 2  3  x 
  

2
2
3 
3
3

2

D u

2

2

x y ra khi x 





a 2
a 2
a 3
thì đo n MN ng n nh t và b ng
.
 0;a 2 . V y x 
3
3
3

b) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng (A' D'CB) khi x bi n thiên.
Ta có A,M,D' và D,N, B l n l

t n m trên hai đ

ng th ng chéo nhau là AD' và DB


AM MD' AD'
AM  DN  x



Do 
DN
NB
DB

AD'  DB  a 2

Khi đó theo đ nh lý Ta lét đ o, ta suy ra AD,MN,D' B cùng song song v i m t m t ph ng (1)
 D' B  (A' D'CB)

M t khác: 

AD / /(A' D'CB)

Hocmai – Ngôi tr

(2). T (1) và (2), suy ra MN / /(A' D'CB) .

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Chú ý Đ nh lý Ta lét đ o trong không gian)
Cho hai đ ng th ng chéo nhau d và d' . L y các đi m phân bi t A, B,C trên d và các đi m
A',B',C' trên d' sao cho

AB
BC
CA



khi đó ba đ
A' B' B'C' C' A'

v i m t m t ph ng.
nghĩa là có c tr

ng h p đ

Bài 16. Cho tam giác nh n ABC và đ
Các đi m M và N l n l

ng th ng AA',BB',CC' cùng song song

ng cùng song song v i m t m t ch a đ

ng th ng  đi qua A và vuông góc v i m t ph ng (ABC) .

t thay đ i trên  sao cho hai m t ph ng (MBC) và (NBC) vuông góc v i

nhau. Tìm v trí c a M,N sao cho đ dài đo n MN nh nh t
H ng d n
G i H là hình chi u c a A lên BC khi đó
 BC  MN
 BC  (MHN)  MH  BC

 BC  AH
(MBC)  (NBC)
 MH  (NBC)  MH  NH

Mà 
(MBC) (NBC)  BC
Trong tam giác MHN vuông t i H có HA là đ ng cao

nên A thu c đo n MN .

M

A

Khi đó MN  MA  NA  2 MA.NA  2 AH2  2AH
D u
x y ra khi AM  AN  AH
V y MN nh nh t khi
M và N n m trên  đ i x ng nhau qua A và AM  AN  AH .

Hocmai – Ngôi tr

ng kia)

ng chung c a h c trò Vi t !!

C
H

N
B

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 9 -