Bài tập về tâm mặt cầu ngoại tiếp

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

TÂM BÁN KÍNH M T C U NGO I TI P
ĐÁP ÁN BÀI T P T

LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình ch nh t AB  a , BC  a 3, SA  a 5 và SA vuông góc
v i m t đáy. Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.
S
Gi i :

CB  AB
Ta có 
 CB  ( SAB)  CB  SB hay CBS  900
CB  SA
Ch ng minh t

ng t ta đ

c CDS  900

M t khác SA  ( ABCD)  SA  AC hay CAS  900
Nh v y CBS  CDS  CAS  90
Ngh a là 3 đi m B, D, A cùng nhìn CS d

I

0

A

i 1 góc vuông

D

Do đó m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD có tâm I là
trung đi m c a SC và có bán kính :

SC
SA2  AC 2
SA2  AB2  BC 2
R


2
2
2


B

C

5a 2  a 2  3a 2 3a
3a


. V y R .
2
2
2

Bài 2. Cho hình vuông ABCD c nh b ng a . Trên đ

ng th ng  vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) t i

A l y đi m S . M t ph ng đi qua A vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l

t t i B1 , C1 , D1 .

1) Ch ng minh r ng 7 đi m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 cùng n m trên m t m t c u .
Tính di n tích c a m t c u và th tích c a kh i c u đó.
2) Xác đ nh v trí c a S trên  sao cho th tích c a kh i đa di n ABCDC1 l n nh t. Tính th tích khi đó.
Gi i :
G i O là giao đi m c a AC và BD

S

CB  AB
 CB  ( SAB)  CB  AB1
1) Ta có 
CB  SA

C1

Mà AB1  SC , suy ra AB1  (SCB)  AB1  BC
1

Ch ng minh t

ng t ta c ng đ

D1

B1

c AD1  D1C

 AC1C  AD1C  ADC  ABC  900
Khi đó ta có : ABC
1
Suy ra 7 đi m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 cùng n m trên m t c u

H

tâm O ( O là trung đi m c a AC ) và có bán kính
B

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

D

A

T ng đài t v n: 1900 69-33

O
C

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

 Smc  4 R2  2 a 2
AC a 2


R

4 3  a3 2
2
2
Vkc   R 
3
3

2) Trong m t ph ng ( SAC ) k C1H  AC ( H  AC ), khi đó C1H // SA, suy ra C1H  ( ABCD)
1
a2
V y VABCDC1  VC1 . ABCDC  C1H .SABCD  .C1H
3
3

Trong tam giác vuông HC1O có C1H  C1O , suy ra C1H l n nh t khi H  O hay
C1H  C1O  R 

a 2
2

Lúc đó C1H là đ
Khi đó VABCDC1 

ng trung bình trong tam giác SAC , suy ra SA  2C1H  a 2 .
a2 a 2 a3 2
.
.

3 2
6

Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u AB  BC  CD  a , AD  2a . C nh
bên
SA  2a 3 và SA vuông góc v i m t ph ng đáy. Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.
S
Gi i :
Cách 1 :
G i O là trung đi m c a AD , khi đó O là tâm c a
n a l c giác đ u ABCD . Suy ra ABD vuông t i B
I
 DB  AB
0
Khi đó 
 DB  ( SAB)  DB  SB hay SBD  90

 DB  SA

Ch ng minh t

ng t ta đ

c SCD  900

Nh v y SBD  SCD  SAD  900
Ngh a là B, C , A cùng nhìn SD d i 1 góc vuông

O

A

Do đó tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD là
trung đi m I c a SD .
Khi đó m t c u có bán kính :
B

SD
SA2  AD 2
12a 2  4a 2
R


 2a
2
2
2

Cách 2 :

D

C

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD , khi đó :
 IA  IB  IC  ID (1)
IA  IB  IC  ID  IS hay 
 IA  IS (2)
+) G i O là trung đi m c a AD , do ABCD là n a l c giác đ u
nên ta có OA  OB  OC  OD  a hay O là tâm đ ng tròn
ngo i ti p t giác ABCD .
D ng d đi qua O và vuông góc ( ABCD) , khi đó d là tr c
c ađ

ng tròn ngo i ti p t giác ABCD

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

T (1) suy ra I  d (*)

S

+) Ta có d / / SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA, d thu c
cùng
m t m t ph ng. Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ ng trung
tr c
 c a SA. Khi đó, t (2) suy ra I   (2*)

d

K

I

A

+) T (*) và (2*), suy ra d

D

O

  I 

Ta có KIOA là hình ch nh t ( K là trung điêm c a SA)
SA

Khi đó IO  KA 
 a 3 . Suy ra bán kính m t c u ngo i
2
ti p hình chóp :

R  IA  OA2  IO2  a 2  3a 2  2a
C

B

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân t i A và BC  a 2 . T B và C d ng các đo n BD, CE vuông
góc v i m t ph ng ( ABC )

v m t phía c a ( ABC ) sao cho BD  CE  a . Tính di n tích m t c u ngo i

.
ti p hình chóp ABCED
và th tích c a kh i c u đó.
Gi i :

D

E

G i I là giao đi m c a DC và BE .
CA  AB
 CA  ( ABD)  CA  AD hay CAD  900
Ta có 
CA  BD

I

Khi đó CED  CBD  CAD  900 , ngh a là 3 đi m E, B, A cùng
nhìn CD d

i 1 góc vuông, do đó m t c u ( S ) ngo i ti p hình chóp

B

C

ABCED
.
có tâm I là trung đi m c a DC và bán kính :
R

DC
DB2  BC 2
a 2  2a 2 a 3



2
2
2
2

A

4

a 3
Suy ra S( S )  4 R2  3 a 2 và V( S )   R3 
3
2
3

Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là t giác có

S

AB  a , BC  a 3, CD  a 2, DA  a 2, AC  2a . C nh bên SA

vuông góc v i đáy và SA  2a 3 . Xác đ nh tâm và bán kính m t
c u ngo i ti p hình chóp.
Gi i :
+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD
 IA  IB  IC  ID (1)
khi đó IA  IB  IC  ID  IS hay 
 IA  IS (2)

d
K
I
A
B

D

O

+) Ta có
C
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

2
2
2
2
2
2

 AB  BC  a  3a  4a  AC
 ABC  ADC  900
 2
2
2
2
2

2

 AD  DC  2a  2a  4a  AC
Khi đó trung đi m O c a AC là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p
t giác ABCD . Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i ( ABCD)

Suy ra d là tr c c a t giác ABCD và d / / SA
T (1), suy ra I  d (*)
+) Trong m t ph ng ( SAO) ch a SA và d , ta d ng đ

ng th ng

trung tr c  c a SA.
T (2), suy ra I   (2*) . T (*) và (2*), suy ra d

  I 

+) Ta có KIOA là hình ch nh t ( K là trung điêm c a SA)
SA
Khi đó IO  KA 
 a 3 . Suy ra bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp :
2

R  IA  OA2  IO2  a 2  3a 2  2a
Chú ý :

bài toán này ta có th ch ra B, D, A cùng nhìn SC d

i m t góc vuông, suy ra tâm I là trung

SC
 2a .
2
Bài 6. Cho hình l ng tr đ ng ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và AC  a ,

đi m c a SC và bán kính R 
ACB  600 .

ng chéo BC ' c a m t bên ( BB ' C ' C ) t o v i m t ph ng ( AA' C ' C ) góc 300 .
1) Tính th tích kh i l ng tr .
2) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ( S ) ngo i ti p hình l ng tr .
Gi i :

 BA  AC
Ta có 
 BA  ( AA' C ' C )   BC ', ( AA' C ' C )   AC ' B  300
 BA  AA'
Ta có AB  AC tan 600  a 3  SABC 

A'

C'
O2

a2 3
1
1
AB. AC  .a 3.a 
2
2

2

300

Xét tam giác ABC ' vuông t i A ta có :

B'

AC '  AB.cot 30  a 3. 3  3a
0

I

Khi đó CC '  AC '2  AC 2  9a 2  a 2  2a 2
a2 3
1) Suy ra VABC . A' B'C '  CC '.SABC  2a 2.
 a3 6
2
2) G i O1 , O2 l n l t là trung đi m c a BC, B ' C '

Do ABC và A' B ' C ' là các tam vuông l n l

a

A

t t i A và B nên O1 , O2 l n l

600
O1

t là tâm B
đ ng tròn ngo i

ti p các tam giác ABC và A' B ' C ' . Khi đó O1O2 là tr c c a hai đáy
Suy ra tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr là trung đi m c a O1O2 . Th t v y :

 IA  IB  IC
Do I  O1O2  
(*)
 IA'  IB '  IC '
M t khác : I là trung đi m c a O1O2 nên IC  IC ' (2*)

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 4 -

C


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

T (*) và (2*), suy ra I là tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC. A' B ' C ' .

BB '
CC '2  BC 2
CC '2  AB2  AC 2
8a 2  3a 2  a 2



a 3.
Khi đó bán kính R  IB 
2
2
2
2
Bài 7. Cho t di n ABCD có hai m t ( ABC ) và ( DBC ) vuông góc v i nhau. Bi t BC  a , BAC  600 và
BDC  300 . Tính bán kính và th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD .
Gi i :
*) D ng tâm
A
d1
G i O1 , O2 l n l t là tâm các đ ng tròn

ngo i ti p các tam giác BCD và ABC .
G i E là trung đi m c a BC .
Ta có O1E  BC  O1E  ( ABC ) (do ( DBC )  ( ABC) )
T

d2
O2

ng t ta có O2 E  ( BCD)

Qua O1 d ng đ

B

D

ng th ng d1 vuông góc v i ( BCD)

O1
E

thì d1 là tr c c a tam giác BCD và d1 // O2 E
Qua O2 d ng đ

I

ng th ng d 2 vuông góc v i ( ABC )

C

thì d 2 là tr c c a tam giác ABC và d 2 // O1 E

Khi đó giao đi m I c a d1 và d 2 chính là tâm c a m t c u ngo i ti p t đi n ABCD . Th t v y :

 I  d1  IB  IC  ID
 IA  IB  IC  ID , suy ra I là tâm c a m t c u c n xác đ nh.

 I  d 2  IA  IB  IC

*) Tính bán kính R c a m t c u
Ta có EO1IO2 là hình ch nh t, suy ra IE 2  O1E 2  O2 E 2
G i R1 , R2 l n l

t là bán kính c a các đ

ng tròn ngo i ti p tam giác BCD và ABC , khi đó:

2

 BC 
2
2
2
2
O1 E  O1C  EC  R1  

2
2
BC
BC

 2 
2
2
2
2
2
2
2

2
2
 IE  R1  R2 
 R  IC  IE  EC  R1  R2 

2
2
4
BC



2
2
2
2




O
E
O
C
EC
R
2
2



 2
 2 

Áp d ng đ nh lý sin trong các tam giác BCD và ABC ta có :
BC
a

2 R1  sin BDC  sin 300  2a  R1  a
a 2 a 2 13a 2
a 39
2
2
R a   
 R

3 4
12
6
2 R  BC  a  2a  R  a
2
2
0

3
3
sin BAC sin 60

3

4

4  a 39  13 a 3 39
Khi đó th tích c a kh i c u là : V   R3   
 
3
3  6 
54
Bài 8. Cho hình chóp đ u S. ABC có đ
ngo i ti p hình chóp đã cho.

ng cao SH  h , SAB  450 . Xác đ nh tâm và bán kính m t c u
Gi i :

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

S

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp
S. ABCD

khi đó IA  IB  IC  ID  IS hay
 IA  IB  IC  ID (1)

 IA  IS (2)

M

+) G i H là giao đi m c a AC và BD .
Do S. ABCD là hình chóp đ u nên SH  ( ABCD)

I

450

B

Ta có SH là tr c c a hình vuông ABCD
T (1) , suy ra I  SH (*)
+) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  là trung
tr c
c a SA. T (2), suy ra I   (2*)
T (*) và (2*), suy ra SH

A

H
C

D

  I 

+) G i M là trung đi m c a SA, khi đó SMI và SHA là hai tam giác đ ng d ng nên :

SI SM
SM .SA SASA
.
SA2

 SI 


2SH
2SH
SA SH
SH
Tam giác SAB cân t i S và có SAB  450 , suy ra SAB vuông cân t i S .
t SA  x , khi đó : AB  x 2 và HA

AB 3 x 6

3
3

Trong tam giác vuông SHA có :

6 x2
3h2 3h
2
2

2
SA  HA  SH  x 
 h  x  3h  R 

9
2h
2
3h
V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp là R  .
2
2

2

2

2

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi m t vuông góc. G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC
và I là tâm c a m t c u ngo i ti p t di n SABC .
GI
1) Nêu cách d ng tâm I .
2) Ch ng minh ba đi m S,G,I th ng hàng và tính t s
.
GS
Gi i
A

1) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p
t di n SABC c n d ng khi đó

IS  IB  IC (1)
IS  IA  IB  IC  
(2)
IS  IA

d
M

G i O là trung đi m c a BC .
Do tam giác SBC vuông t i S nên
O là tâm đ ng tròn ngo i ti p SBC
T O d ng đ ng th ng d sao cho d  (SBC)

I
G
S

Suy ra d là tr c c a tam giác SBC
và d / /SA (do SA  (SBC)) .

T (1), suy ra I  d (*)
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

C

O
B
T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Trong m t ph ng (d,SA) d ng đ

Chuyên đ : Hình h c không gian

ng trung tr c  c a SA .

Khi đó, t (2)  I   (2*)

  I  .

T (*) và (2*), suy ra d

2) M t khác SOIM là hình ch nh t (v i M là trung đi m c a AS ), do đó IO  MS 

1
IO 1
AS 

AS 2
2

Trong m t ph ng (d , SA) , g i AO SI  G ' . Áp d ng đ nh lý Ta – lét ta có:
G ' O G ' I IO 1



  G ' O  2G ' A  G ' là tr ng tâm tam giác ABC  G '  G
G ' A G ' S AS 2
GI G ' I 1
GI 1
V y ba đi m S, G, I th ng hàng và ta có

 hay
 .
GS G ' S 2
GS 2

Bài 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a . C nh bên SA vuông góc v i
m t đáy ABCD và SA  a . G i E là trung đi m c a CD . Tính di n tích m t c u đi qua b n đi m
S, A, B, E .
Gi i:


G i I là tâm c a m t c u đi qua b n đi m S, A, B, E
S



 IA  IB  IE (1)
Khi đó: IS  IA  IB  IE  
(2)
 IS  IA
G i F là trung đi m c a AB và O là tâm đ ng tròn
ngo i ti p tam giác EAB . Do EAB cân t i E nên O  EF .

D ng đ ng th ng d qua O và vuông góc ( EAB)
Suy ra d là tr c c a tam giác EAB
Theo (1)  I  d (*)
Ta có d / / SA (do SA  ( ABCD)  ( EAB) )

A



Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ

d

K
I
D

F

E

O
B

ng th ng

C

trung tr c  c a SA. Theo (2)  I  (2*)



T (*) và (2*), suy ra d

  I  .

Ta có AB  a , AE  BE 

abc
a 5
. Áp d ng công th c R 
, ta có:
2
4S

AB. AE.BE

OA 
4SABE

a.

a 5 a 5
.
2
2  5a
2
a
8
4.

2

AKIO là hình ch nh t (v i K là trung đi m c a SA) nên IO  KA 

SA a

2 2

a 2 25a 2 a 41
 R  OA  IO  AO 


4
64
8
2

2

41 a 2
.
Suy ra di n tích m t c u c n tính là: Smc  4 R 
16
Giáo viên
2

Ngu n
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

: Nguy n Thanh Tùng
:

Hocmai.vn
- Trang | 7 -