Bài toán cực trị hàm số

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hàm s

C C TR C A HÀM S
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: LÊ ANH TU N
D u hi u tìm c c đ i c c ti u
D u hi u 1: Cho y  f  x  xác đ nh trên  a; b  và y '  x0   0 thì
x

y'

∞

+∞

x0

+

x

∞

y'

0

+∞

x0
0

+

c cđ i
y

y
c c ti u

Ghi nh
+ Hoành đ x0 c a c c tr chính là nghi m c a ph
+ Tung đ y0  f  x0 

ng trình y '  0

+ S c c tr c a hàm s y  f  x  b ng s l n y ' đ i d u liên ti p b ng s nghi m phân bi t c a ph
trình y '  0

ng

I. C c tr hàm b c 3: y  ax3  bx2  cx  d có y '  3ax2  2bx  c
1) Hàm s có 2 c c tr (1 c c đ i 1 c c ti u)  y '  0 có 2 nghi m phân bi t hay  y '  0
2) Hàm s không có c c tr  y '  0 vô nghi m ho c có nghi m kép. Hay  y '  0

C

C

A
B
CT

CT

Chú ý: A  xA ; y A  , B  xB ; yB  thì: AB   xB  xA , yB  y A  và AB  AB 
D ng toán 1. Tìm đ

c t a đ A, B c th (hay  y ' là chính ph





 xB  x A    y B  y A 
2

2

ng

Ví d 1. Cho hàm s y  x3  3x2  3 m2  1 x  3m2  1 . Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u và các
đi m c c tr cách đ u g c t a đ .
H ng d n
T p xác đ nh: x  R
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)





Chuyên đ : Hàm s

y '  3 x 2  6 x  3 m2  1

Hàm s có đi m c c tr t



ng đ



ng v i  '  0  9  9 m2  1  9m2  0  m  0

x  1  m
y'  0   A
v i xA , xB là hoành đ

 xB  1  m

đi m c c tr A, B



 

Khi đó ta có t a đ 2 c c tr là: A 1  m; 2m3  2 ; B 1  m; 2m3  2

Theo đ bài ta có: OA  OB  OA2  OB2



  1  m   2 m3  2
2



2



  1  m   2 m3  2
2



2



m  0
(lo i m  0 do đi u ki n m  0 )

m   1

2

Ví d 2 (B 2013). Cho hàm s y  f  x   2x3  3  m  1 x2  6mx tìm m đ hàm s có

A, B sao cho AB vuông góc v i đ ng th ng d : y  x  2 .
H ng d n
T p xác đ nh x  R
Đ o hàm y '  6x2  6  m  1 x  6m

đi m c c tr

Đ hàm s có 2 c c tr thì  y '  0  9  m  1  0  m  1
2



 A m; m3  3m2
 xA  m

ng trình y '  0  
 xA  1  B  1; 3m  1

Ph

Ph

Theo

ng trình đ
đ

ng th ng AB là: AB :
bài

thì

AB



x  xA
y  yA

 AB :   m  1 x  m  m  1
xB  x A y B  y A

vuông

góc

m  0
k AB * kd  1    m  1 .1  1  
 m  2

v i

đ

ng

d : y  x  2 nên

th ng

m  0
Th a mãn đi u ki n nên k t lu n giá tr m c n tìm là 
 m  2
D ng toán 2. Tìm đ c t a đ A, B không tìm đ c c th (hay  y ' không khai căn đ
y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d
y '  f  x   3ax2  2bx  c

A B là đi m c c tr c a đ th hàm s )

G i xA , xB là 2 nghi m c a ph
+ Ph

ng trình đ

ng trình y '  0 khi đó

ng th ng đi qua đi m AB = ph n d c a phép chia

c)

C
f  x

f ' x

Chú ý: Mu n dùng cách này, ta ph i đi ch ng minh nhé !!
+ Tìm t a đ y A ; yB b ng cách

CT

- Thay xA , xB vào y  f  x   ax3  bx2  cx  d
- Ho c b ng cách thay y A ; yB vào ph

ng trình đ

y  f  x 

ng th ng AB.





2 3
2
x  mx2  2 3m2  1 x 
tìm m đ hàm s có
3
3
c c tr có hoành đ x1 ; x2 th a mãn x1.x2  2  x1  x2   1 .

Ví d 1 (D

H

2012). Cho hàm s

đi m

ng d n

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hàm s

T p xác đ nh x  R
Đ o hàm y '  2x2  2mx  2 3m2  1



Đ hàm s có 2 c c tr thì ph



ng trình y '  0 ph i có 2 nghi m phân bi t hay:


2
m 
13
(*)
 '  0  m2  4 3m2  1  0  13m2  4  0  

2
m  
13






 x1  x2  m
ng trình y '  0 khi đó áp d ng đ nh lý Vi-et ta có: 
2
 x1 .x2  1  3m
m  0
2
 m  (do (*) )
Theo đ bài yêu c u x1 .x2  2  x1  x2   1  1  3m2  2m  1  

2
m 
3

3
Ví d 2. Cho hàm s y  f  x   x3  3x2  3 1  m x  1  3m tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u t i A

G i x1 , x2 là 2 nghi m c a ph

và B sao cho SOAB  4
H ng d n
T p xác đ nh x  R
Đ o hàm y '  3x2  6x  3 1  m
Đ

hàm s

có 2 c c tr

 '  0  9m  0  m  0

G i xA , xB là 2 nghi m c a ph

Khi đó áp d ng cách tìm ph
f  x

f ' x

ta có Ph

ng trình đ

ng trình y '  0 ph i có 2 nghi m phân bi t hay:

thì ph

 x  x  2
ng trình y '  0 khi đó áp d ng đ nh lý Vi-et ta có:  A B
 x A .xB  1  m
ng trình đ ng th ng đi qua đi m c c tr = ph n d c a phép chia

ng th ng đi qua đi m c c tr là: y  2mx  2  2m

d  O : AB  

2m  2





4 m2  1

AB  2m 1  4m2

 SOAB 

AB * d  O : AB 
2

4 m1

V y m  1 là giá tr c n tìm.
Ví d 3. Cho hàm s y  f  x   x3  x2  mx 

m
9
a. Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u A và B, vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua
b. Tìm m đ đ ng th ng AB t o v i đ ng th ng d : y  1 m t góc b ng 600

c. Tìm m đ c c đ i và c c ti u cách đ u đ

ng th ng y  x  1

đi m c c tr .

d. Tìm m đ c c đ i và c c ti u cách đ u tr c Oy
e. Tìm m đ c c đ i và c c ti u cách đ u tr c Ox
f. Tìm m đ c c đ i và c c ti u đ i x ng nhau qua  : x  y  1  0 .

H ng d n
T p xác đ nh x  R
Đ o hàm y '  3x2  2x  m
Đ hàm s có 2 c c tr thì ph
Hocmai – Ngôi tr

ng trình y '  0 ph i có 2 nghi m phân bi t hay:

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

 '  0  1  3m  0  m 

a. Khi đó ph

ng trình đ

Chuyên đ : Hàm s

1
3

ng th ng AB là ph n d c a phép chia

f  x

2
2
 AB : y   m   x
9
f ' x
3

 2
2   2
2 
 A  x1 ,  m   x1  ; B  x2 ,  m   x2  v i x1 ; x2 là 2 nghi m c a ph
9   3
9 
 3

2
 x1  x1   3
Theo Vi et ta có: 
 x .x  m
 1 1 3
2
2

b. Ta có, vector pháp tuy n c a đ ng th ng AB là nAB   m  , 1 
9
3


Vector pháp tuy n c a đ

Vì đ

ng trình y '  0 .

ng th ng d là nd   0,1

ng th ng AB t o v i đ

ng th ng d : y  1 m t góc b ng 600 nên:


29 3
m 
29 3
1
2
cos600 

m
do m  .

2
3
29 3
nAB . nd
m 
2


19
m  3
1
c. Vì A và B cách đ u y  x  1 nên d  A : d   d  B : d   
(lo i h t do m  )
3
 m  11


6
 x  x2
 x1  x2 do A khác B.
d. Vì A và B cách đ u Oy nên d  A : Oy   d  B : Oy   x1  x2   1
 x1   x2
2
 x1  x2  0 theo Vi-et x1  x1    0 vô lý  không t n t i m.
3
e. Vì A và B cách đ u Ox nên
nAB .nd

 2
 2
2
2
2
2
 m   x1   m   x2
 m    x1  x2   0
 y1  y2
3
9
3
9
3
9
1







d  A : Ox   d  B : Ox   y1  y2  


m
 2
 2
3
2
2
2
2
 y1   y2
 m   x1    m   x2
 m    x1  x2   0
9
9
9
 3
 3
3

f. Đ A và B đ i x ng nhau qua  : x  y  1  0 thì ph i th a mãn đ ng th i:

 1 2
2 
8
- Trung đi m I c a AB ph i n m trên   I   ,  m     : x  y  1  0  m  

27 
3
 3 9
7
- AB ph i vuông góc v i  hay k AB * kd  1  m  
2
V y không t n t i m th a mãn yêu c u.

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hàm s

II. C c tr hàm trùng ph ng: y  ax4  bx2  c có y '  4ax3  2bx
1) Hàm s có 3 c c tr  y '  0 có 3 nghi m phân bi t

C

C
2

2

CT

A
CT

C

B

C

CT

Tính ch t c a 3 c c tr A,B,C :
1. ABC luôn cân t i A
2. ABC vuông cân  AB.AC  0
 y A  yB
ng th ng BC:  
 y A  yC
AB.AC.BC
1
trong đó A( là chi u cao R bán kính đ ng tròn ngo i ti p ABC.
4. SABC  AH.BC 
2
4R
C1 : AB  BC
5. ABC đ u  
3

C 2 : AH 
BC

2

AB.AC
cos  
AB . AC
6. BAC    
 tan   BC

2 AH
4
Ví d 1. Cho hàm s x  2  m  1 x2  m2 tìm m đ hàm s có 3 c c tr t o thành 1 tam giác

3. Kho ng cách t A đ n đ

a) tam giác này vuông.
b) Tam giác có bán kính đ ng tròn ngo i ti p b ng 1.
H ng d n
T p xác đ nh x  R
Đ o hàm y '  4x3  4  m  1 x  4x x2  m  1



Đ hàm s có 3 c c tr thì ph







ng trình y '  0 ph i có 3 nghi m phân bi t, hay

4 x x2  m  1  0 có 2 nghi m phân bi t khác 0  m  1  0  m  1

x  0
Ta có y '  0  
 có 3 c c tr là A 0; m2 , B
 x   m  1



L i có AB



m  1;   m  1

2

 

 



m  1; 2m  1 ,C  m  1; 2m  1

 và AC   m  1;   m  1  .
2

a) Đ tam giác ABC vuông t i A thì

m  0
4
AB.AC  0    m  1   m  1  0  
 m  0 (do m  1 )
 m  1

b) Ta có: SABC
Hocmai – Ngôi tr

1
AB.AC.BC
AB.AC
AB2
 AH.BC 
R

2
4R
2.AH
2.AH
ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

m  0
m  0



 m  3  5
 m  3  5


2
2
Đ th hàm c c tr có đúng c c tr  y '  0 có đúng

 m  1   m  1
1
2
2  m  1

Chuyên đ : Hàm s

4

nghi m duy nh t.

CĐ

a<0

a>0

CT
Khi đó s có m t lo i bài toán là: tìm m đ hàm trùng ph ng có đúng c c tr
+) Hàm s ch có 1 c c đ i  hàm s có 1 c c tr và a  0
+) Hàm s ch có 1 c c ti u  hàm s có 1 c c tr và a  0
Ví d 2. Cho hàm s y  x4  2m2 x2  1 tìm m đ hàm s có 1 c c tr
( ng d n
T p xác đ nh x  R
Đ o hàm y '  4x3  4m2 x  4x x2  m2





Hàm s có 1 c c tr  y '  0 có đúng
kép x  0  m  0

nghi m duy nh t.  x2  m2 ph i vô nghi m ho c có nghi m

ax  b
, hàm s này không có c c tr
cx  d
D u hi u s 2. Cho y  f  x  xác đ nh trên  a; b  , x0   a; b 

III. Hàm s y 

 y '  x0   0

 c c ti u là x0 . Chú ý ng
1, N u 
 y "  x0   0
 y '  x0   0
 c c đ i là x0 . Chú ý ng
2, N u 
 y "  x0   0

c l i không đúng

c l i không đúng

Ví d . Cho hàm s y   x  m  3x tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i x  0
3

H ng d n
T p xác đ nh x  R
 y '  3  x  m 2  3

Đ o hàm 
 y "  6  x  m 

 y '  x0   0
 3m2  3  0



 m  1
Hàm s đ t c c ti u t i x  0 khi 


y
x
"
0


m
6
0




0


Th l i m  1 ta th y hàm s đ t c c ti u t i x  0 . V y m  1 th a mãn.
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

Giáo viên

: Lê Anh Tu n

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 6 -