Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian hình học 12

Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy
học chủ đề Phương pháp tọa độ trong
không gian Hình học 12

Phạm Kim Mai


MỤC LỤC

Phạm Kim Mai


BẢNG CỤM TỪ VIẾT TẮT DÙNG TRONG KHÓA LUẬN
Viết tắt
PH&GQVĐ
GV
HS
PPDH
SGK
Vtcp
Vtpt
mp

Viết đầy đủ
Phát hiện và giải quyết vấn đề
Giáo viên
Học sinh
Phương pháp dạy học
Sách giáo khoa
Vectơ chỉ phương

Vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng

PP

Phương pháp


4

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài khóa luận
Trong những năm gần đây, trước những thách thức mới của yêu cầu
phát triển xã hội, đòi hỏi nhà trường phải đào tạo ra những con người có năng
lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong học tập cũng như trong thực tiễn cuộc
sống. Hình thành và bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho
HS trở thành yêu cầu bắt buộc đối với các nhà trường để người học có khả
năng tìm tòi, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập và sáng tạo
trong quá trình học tập.
Dạy học PH&GQVĐ là một trong những PPDH tích cực đã và đang
được quan tâm và áp dụng trong giảng dạy ở các trường phổ thông. Vận
dụng phương pháp này trong dạy học cho các môn học nói chung và môn
toán nói riêng ở các trường phổ thông hiện nay với mục đích tập dượt cho
HS biết phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập,
trong cuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng. Từ đó HS có được một
năng lực thích ứng với một xã hội đang phát triển nhanh, cạnh tranh gay gắt
như hiện nay.
Trong chương trình môn Toán ở phổ thông, nội dung Hình học, thực sự
là một thử thách đối với phần lớn HS, đặc biệt là phần Hình học không gian.
Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những công cụ giải toán

không gian quan trọng nó cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hình
học phổ thông có hiệu quả, tổng quát, đôi khi không cần đến vẽ hình. Nó có
tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực
phân tích, tổng hợp... Hơn nữa, chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không
gian” có vai trò quan trọng trong hình thành kiến thức toán phổ thông cho HS.
Tuy nhiên, chủ đề này có tính trừu tượng cao, lượng kiến thức và kĩ năng
nhiều vì phải tiếp thu, kế thừa kiến thức hình học phẳng, hình học không gian
mà các em đã được học trước đó.


5

Trong những năm gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về việc
tổ chức PPDH trong dạy học toán cho HS với nhiều hướng tiếp cận, chủ đề
khác nhau, tiêu biểu như: Luận văn Thạc sỹ Trần Văn Quỳnh, Dạy học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong không gian” cho học sinh lớp 12 THPT theo
hướng phân hóa nội tại. Luận văn Thạc sỹ Hà Thị Thu Oanh, Vận dụng
phương pháp PH và GQVĐ vào dạy học chương “Phương pháp tọa độ trong
không gian” cho HS lớp 12 THPT tỉnh Cao Bằng. Tuy nhiên, hiện nay chưa
có nghiên cứu cụ thể nào nhằm bồi dưỡng năng lực PH và GQVĐ thông qua
dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian”. Vì vậy, trên cơ sở kế
thừa những kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học đi trước tôi tiếp tục tìm
hiểu, phân tích làm rõ vấn đề này, từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm bồi
dưỡng năng lực PH và GQVĐ cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng
dạy học Toán nói chung, dạy học Hình học ở trường phổ thông nói riêng và
phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của HS.Với những lý do
trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong
không gian” Hình học 12 là nội dung nghiên cứu của mình.
2. Mục tiêu khóa luận

- Nghiên cứu, hệ thống hóa và làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận của
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học môn Toán.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong không gian” trên cơ sở thực tiễn dạy học nội dung
này ở môn Toán lớp 12 từ đó nâng cao chất lượng dạy học.
- Tổ chức thử nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi của các biện pháp đã
đề ra.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài


6

Hệ thống hóa, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận của năng lực phát hiện
giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Đưa ra năng lực thành
tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh. Nghiên cứu nội
dung chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” trong chương trình Hình
học lớp 12
-

Đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực phát hiện giải quyết vấn
đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không
gian” hình học 12.
Dựa vào đặc điểm và yêu cầu dạy học của chủ đề “Phương pháp tọa độ
trong không gian” để định hướng và đề xuất các biện pháp sư phạm. Tiếp đó,
thực hành và làm rõ một số nội dung trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa
độ trong không gian” nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải

quyết vấn đề cho học sinh.

-

Tổ chức thử nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu về lý luận về dạy học bộ môn toán như: giáo
trình PPDH môn Toán, Các văn kiện Nghị quyết, chỉ thị của Đảng và Nhà
nước để xác định phương hướng của đề tài.
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: SGK hình học
12 THPT, sách tham khảo, các văn bản hướng dẫn của Bộ Giáo dục và
Đào tạo xung quanh vấn đề PPDH Toán nói chung và chủ đề “Phương
pháp toạ độ trong không gian” nói riêng.
- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận
dạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài.
4.2. Phương pháp điều tra, quan sát


7

- Dự giờ quan sát những biểu hiện của giáo viên và học sinh (về nhận
thức, thái độ, hành vi) trong hoạt động dạy và học (trước và trong khi thử
nghiệm).
- Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp đã và đang giảng dạy.
- Điều tra tình trạng tiếp thu kiến thức của học sinh.
- Điều tra, tìm hiểu khả năng vận dụng phương pháp phát hiện và giải
quyết vấn đề của giáo viên trong dạy học bộ môn toán.
- Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác.

4.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm
Tổ chức thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả
của các biện pháp đã xây dựng.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•
-

Đối tượng:
Năng lực PH và GQVĐ của HS trong dạy học toán
Quá trình dạy học môn Toán theo hướng phát triển năng lực
PH&GQVĐ cho HS thông qua chủ đề “Phương pháp tọa độ trong
không gian”.

•

Phạm vi: Chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” Hình học 12.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài đưa ra các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề của học sinh, các cấp độ của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
và xây dựng được 3 biện pháp sư phạm sẽ góp phần bồi dưỡng cho học sinh
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
Đề tài bước đầu kiểm nghiệm được tính khả thi bằng thử nghiệm sư
phạm ba biện pháp đã xây dựng.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận được trình bày trong 3 chương:


8

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa
độ trong không gian” Hình học 12
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.


9

NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy trong dạy học môn Toán
1.1.1.

Đặc điểm của tư duy trong dạy học môn Toán
Tư duy của con người có những đặc điểm như có tính vấn đề, tính gián

tiếp, tính chất lý tính, tính trừu tượng và khái quát. Nhưng trong hoạt động
dạy học thì đặc điểm nổi bật nhất của tư duy là tư duy có mối quan hệ chặt
chẽ với ngôn ngữ. Vì tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn
ngữ làm phương tiện và không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ. Ngược lại,
ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào quá trình tư duy của
con người.
Một yêu cầu quan trọng của việc học Toán là phải biết vận dụng các
kiến thức toán học để giải quyết những bài toán thực tiễn. Và để giải được
những bài toán đó thì đòi hỏi người học phải biết tư duy, biết chuyển từ tình
huống cụ thể sang ngôn ngữ toán học bằng những hình ảnh trực quan hay kí
hiệu toán học và biết chuyển ngược lại các kết quả toán học có được sang
ngôn ngữ của thực tiễn.

Hoạt động tư duy trong dạy học môn toán còn được thể hiện rõ nét nhờ
vào nhiệm vụ nhận thức của người học. Khi GV đặt cho HS một câu hỏi, một
bài toán hay yêu cầu học sinh giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó thì
HS phải tự mình giải quyết nhiệm vụ đó, tự mình huy động kiến thức, đi tìm
sự liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết, đưa ra dự đoán, nhận thấy mâu
thuẫn đề từ đó tìm tòi lời giải cho vấn đề đặt ra.
1.1.2.

Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán
Hoạt động trí tuệ là tập hợp các hành động trí tuệ để giải quyết nhiệm

vụ nhận thức bao gồm: hành động cảm giác, hành động tri giác, hành động
tưởng tượng,...Do đó, khi phân tích hoạt động trí tuệ của học sinh trong học
tập môn Toán ta cần quan tâm đến hai vấn đề sau đây:


10

a) Các thao tác tư duy cơ bản học sinh thường vận dụng trong học Toán
Phân tích – tổng hợp: Phân tích là sự phân chia đối tượng nhận thức
thành các bộ phận, thành phần, thuộc tính, quan hệ khác nhau để nhận thức nó
sâu sắc hơn. Còn tổng hợp là sự hợp nhất các bộ phận, thành phần, thuộc tính,
quan hệ của đối tượng nhận thức thành một chỉnh thể. Phân tích và tổng hợp
là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng là hai mặt của quá trình thống
nhất.
Trừu tượng hóa – khái quát hóa: Trừu tượng hóa là sự gạt bỏ những
mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ không cần thiết mà chỉ giữ
lại những yếu tố cần thiết để tư duy. Còn khái quát hóa là sự hợp nhất nhiều
đối tượng khác nhau có chung những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ
nhất định thành một loại, một nhóm.Trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái

quát hóa.
So sánh: So sánh là cơ sở của tư duy và mọi sự hiểu biết. Nó là sự xác
định thể hiện rõ sự bằng nhau hay không bằng nhau, sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất giữa các sự vật, hiện tượng.
Các thao tác tư duy cơ bản như: Phân tích – tổng hợp, Trừu tượng hóa –
khái quát hóa, so sánh đều có mối quan hệ mật thiết với nhau, chúng hỗ trợ,
bổ sung thống nhất cho nhau theo một hướng nhất định và phụ thuộc vào
chiến lược tư duy hay do nhiệm vụ tư duy quy định. Vì vậy, trong quá trình
dạy học GV cần quan tâm rèn luyện cho HS các thao tác tư duy này.
Ví dụ 1.1: Tìm công thức tính
Ta phân tích làm biến đổi
ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ

cos3x

cos3x

cos3x

như sau:

thành

cos ( 2x + x )

với công thức

. Sự phân tích diễn

11

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b

cho trường hợp

. Sau đó đặc biệt hóa công thức

cos ( a + b )

a = 2x b = x
,
ta được công thức. Thao tác phân tích một lần

nữa diễn ra khi ta tách
đổi vế phải ta được

sin 2 x = 1 − cos 2 x

cos 2 x = 1 − 2sin 2 x

cosx − 4cosxsin 2 x

ta được

cos3 x = 4cos3 x − 3cos x

cosacosb − sinasinb
cos 2 x cosx − sin 2 x sinx
Đặc biệt hóa

Phân tích
Phân tích
Khái quát hóa
Phân tích
Phân tích

cos 2 x cosx − sinxsin 2 x

1 − 2sin 2 x
2sinxcosx

cosx − 4cosxsin 2 x

sin 2 x = 2sinxcosx

. Từ đó biến

. Tiếp tục thao tác phân tích khi tách

4cos3 x − 3cos x

.

Có thể minh họa ví dụ trên bằng sơ đồ sau:
cos ( a + b )

và

là sự tổng hợp dẫn đến kết quả

12

4cos3 x − 3cosx
cos3x
cos ( 2x + x )

1 − cos 2 x

Phân tích

Tổng hợp

Ví dụ 1.2: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có ba dạng là:
Phương trình tổng quát:

ax + by + c = 0

với

a 2 + b2 ≠ 0


13

Phương trình tham số:

 x = x0 + at

 y = y0 + bt

Phương trình chính tắc:

với

x − x0 y − y0
=
a
b

a2 + b2 ≠ 0

với

a2 + b2 ≠ 0

Khái quát hóa đường thẳng trong không gian thì đường thẳng cũng có
ba dạng phương trình sau:
Phương trình tổng quát:

Phương trình tham số:

ax + by + cz + d = 0

 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


Phương trình chính tắc:

với

a 2 + b2 + c 2 ≠ 0

với

a2 + b2 + c 2 ≠ 0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

với

a2 + b2 + c2 ≠ 0

.

b) Hoạt động trí tuệ trong giải toán của học sinh
Dự đoán: Dự đoán giữ vai trò chủ đạo, trung tâm của hoạt động trí tuệ
trong giải toán. Có nghĩa là ngay sau khi đọc kĩ đề bài toán thì người giải phải
cố gắng dự đoán để tìm kiếm lời giải cho bài toán đó. Dự đoán có thể xuất
hiện xuyên suốt trong quá trình giải toán, không chỉ dự đoán để tìm ra cách
giải bài toán, dự đoán kết quả bài toán mà dự đoán có thể làm thay đổi bản

chất bài toán.
Ví dụ 1.3: Cho

A ( 1;2;3)

,

B ( 2; −1;1)

,

C ( 3;4;2 )

định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

,

ABCD

D ( 2; −3; −2 )

. Xác

.

Đây là dạng toán quen thuộc nên để tìm tâm và bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện

ABCD

ta chỉ cần thay tọa độ của 4 điểm A, B, C, D vào

phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:


14

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

.

Cũng có thể dự đoán cách giải của bài toán như sau: Vì

A B C D
, , ,

A B C
nằm trên mặt cầu nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến 4 điểm , , ,
D

2
2
2
2
IA2 = IB 2 IB = IC IC = ID IA2 = ID 2
là bằng nhau, tức
,
,
,
. Khi đó chỉ

cần giải hệ phương trình là có thể tìm được tâm và bán kính của mặt cầu.
Tổ chức và huy động kiến thức: Huy động kiến thức là tách ra từ trí nhớ
các yếu tố có liên quan đến bài toán. Còn tổ chức kiến thức là kết nối các yếu
tố có liên quan đến bài toán lại với nhau.
Tách biệt và kết hợp: Tách biệt là tách một bộ phận cụ thể ra khỏi cái
toàn thể bao quanh nó và chuyển sự tập trung vào chi tiết của bộ phận này.
Còn kết hợp là liên kết những bộ phận cụ thể sau khi xem xét với nhau thành
cái toàn thể và cái toàn thể này được phản ánh đầy đủ hơn trước.
Theo sơ đồ, tập hợp các hành động trí tuệ cùng những mối quan hệ giữa
chúng cho ta thấy rõ cấu trúc của hoạt động trí tuệ trong giải toán. Chẳng hạn,
khi giải quyết một bài toán cụ thể thì thao tác nhận biết được thể hiện qua việc
đưa bài toán về dạng quen thuộc; thao tác nhớ lại được thể hiện qua việc nhớ
lại định nghĩa, định lý, tính chất, hệ quả; thao tác bổ sung được thể hiện qua
việc bổ sung những yếu tố phụ như đặt ẩn phụ để giải phương trình , bất
phương trình, hệ phương trình,...Hay kẻ thêm đường phụ khi giải nhiều bài
toán hình học. Ngoài ra, những dấu hiệu của hoạt dộng trí tuệ trong giải toán
cũng được thể hiện rõ như: có cảm giác hiểu được bài toán là dấu hiệu nhận
biết; tri giác một cách rõ ràng các chi tiết là dấu hiệu tách biệt; nhận định bài
toán một cách chính xác là dấu hiệu nhóm lại; người giải cảm thấy tự tin,
sung sướng khi mình nắm được tư tưởng chủ đạo để giải bài toán là dấu hiệu
dự đoán đúng;...
1.2.

Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong Toán học


15

1.2.1. Năng lực và năng lực toán học

a) Năng lực
Theo Nguyễn Quang Uẩn “ Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo
của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm
bảo cho hoạt động đó có kết quả” [6;155].
Năng lực là khả năng huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các
thuộc tính tâm lí cá nhân để thực hiện thành công một công việc trong một bối
cảnh cụ thể. Năng lực được chia thành ba mức độ khác nhau là: năng lực, tài
năng và thiên tài. Khác với tài năng biểu thị sự hoàn thành một cách sáng tạo
một hoạt động nào đó hay thiên tài biểu thị ở mức hoàn chỉnh nhất của những
vĩ nhân trong lịch sử nhân loại thì năng lực là mức độ thấp nhất so với tài
năng và thiên tài. Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con người,
biểu thị khả năng hoàn thành, đạt kết quả của một hoạt động nào đó.
Có thể chia năng lực thành hai loại là năng lực chung và năng lực riêng
biệt. Hai loại năng lực này luôn bổ sung, hỗ trợ cho nhau. Năng lực chung là
năng lực cần thiết để con người có thể hoàn thành những hoạt động của mình
một cách hiệu quả dựa vào quan sát, tư duy, tưởng tượng,... Còn năng lực
riêng biệt hay còn gọi là năng lực chuyên biệt hay chuyên môn là sự thể hiện
một cách độc đáo các phẩm chất riêng biệt, đặc biệt riêng của mỗi cá nhân, nó
mang tính chuyên môn nhằm đáp ứng yêu cầu hoạt động của con người đạt
kết quả cao như năng lực toán học, năng lực âm nhạc, năng lực thể dục thể
thao,...
Cùng với năng lực thì tri thức, kĩ năng và kĩ xảo là rất cần thiết cho
việc thực hiện một hoạt động nào đó đạt kết quả. Năng lực chính là điều kiện
đủ để có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong một lĩnh vực nào đó. Nhưng tri thức, kĩ
năng và kĩ xảo không đồng nhất với năng lực mà có sự thống nhất biện
chứng, có mối quan hệ mật thiết với năng lực. Ngược lại, năng lực giúp cho
việc tiếp thu tri thức, hình thành kĩ năng kĩ xảo tương ứng với năng lực đó
được thực hiện dễ dàng hơn. Chẳng hạn, một người có năng lực trong một
lĩnh vực nào đó thì người đó đã có sẵn tri thức, kĩ năng và kĩ xảo tương ứng

16

với lĩnh vực đó. Ngược lại, khi có tri thức, kĩ năng và kĩ xảo về một lĩnh vực
nào thì người đó không nhất thiết phải có năng lực trong lĩnh vực đó.
Một trong những vấn đề cơ bản của chiến lược giáo dục nước ta hiện
nay là vấn đề phát hiện và bồi dưỡng năng lực cho người học nhằm nâng cao
dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài. Năng lực của mỗi người chịu
ảnh hưởng của đặc điểm tâm lí cá nhân, các yếu tố bẩm sinh di truyền, điều
kiện của môi trường sống,...Nhưng điều chủ yếu là năng lực được hình thành,
phát triển, thể hiện trong hoạt động của con người dựa vào quá trình dạy học,
giáo dục và tự rèn luyện. Vì vậy, mỗi cá nhân khác nhau thì năng lực cũng
khác nhau. Ta nên tiếp cận vấn đề phát triển năng lực theo hướng tiếp cận
nhân cách của người học vì việc hình thành và phát triển nhân cách là phương
tiện có hiệu quả nhất để phát triển năng lực.
b) Năng lực toán học
Trong tâm lí học khái niệm về năng lực toán học được hiểu là năng lực
trong học tập, trong việc nắm vững các khái niệm, định lí, tính chất, hệ quả
toán học với tư cách là môn học. Ở đây, người học có năng lực học toán sẽ
nhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến thức toán học và thực hiện thành thạo
các kĩ năng, kĩ xảo tương ứng. Có thể khẳng định có năng lực học toán là điều
kiện cần của năng lực sáng tạo toán học. Bởi vì năng lực sáng tạo toán học có
thể xuất phát từ việc tạo lập ra một định nghĩa mới hay một định lí mới, nó
hoàn toàn khác so với năng lực hiểu được những định lí toán học đã được
chứng minh và thừa nhận trước đó.
Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học. Con người có
những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau và năng lực chỉ
được hình thành thông qua hoạt động trong những điều kiện xã hội của môi
trường sống. Năng lực toán học được cho là có mối quan hệ mật thiết với hoạt
động trực giác và sự sáng tạo toán học ở người nghiên cứu.

Tóm lại, năng lực toán học gắn liền với hoạt động trí tuệ của HS, giúp HS
nắm vững và vận dụng tốt tri thức, kĩ năng và kĩ xảo của mình trong học tập
môn Toán.


17

1.2.2. Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong toán học
a) Năng lực phát hiện vấn đề
Vấn đề: Là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để giải
quyết, khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay con đường
hoặc các phương pháp để có được lời giải.
Để vận dụng một cách có hiệu quả khái niệm vấn đề trong dạy học thì
người ta thường hiểu khái niệm này như sau: Một vấn đề được biểu thị bởi
một hệ thống những câu hỏi và mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện: Một là HS
chưa tự mình trả lời được câu hỏi. Hai là HS chưa được học các quy tắc có
tính chất thuật toán hay quy trình tự thuật toán để trả lời câu hỏi đặt ra. Nếu
hiểu vấn đề theo cách tiếp cận này thì có thể phân biệt rõ vấn đề với bài tập.
Đối với một bài tập được đưa ra, nếu chỉ yêu cầu HS trực tiếp vận dụng các
quy tắc có tính chất thuật toán hay quy trình tựa thuật toán để giải thì bài tập
đó không phải là những vấn đề.
Ví dụ 1.4: Sau khi HS học xong hằng đẳng thức

thì việc khai triển bài toán

dụng hằng đẳng thức

bài toán

( a − b + c)

( x − 4)

( a − b)

= a 2 − 2ab + b 2

2

không phải là một vấn đề. Vì chỉ cần áp

là có thể giải được. Nhưng khi yêu cầu HS giải

2

lại là một vấn đề đối với HS. Việc giải được bài toán này

hằng đẳng thức đối với hai số
2

2

2

đòi hỏi HS phải biết biến đổi

( a − b + c)

( a − b)

( a − b + c)
a

và

2

b−c

thành

 a − ( b − c ) 

ta được:

= a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2bc + 2ac
.

2

, sau đó áp dụng


18

Phát hiện vấn đề: Là quá trình tìm ra cái mới mà người nghiên cứu
chưa biết và có nhu cầu muốn biết. Có thể hiểu phát hiện vấn đề gần giống
như tình huống gợi vấn đề. Tức một tình huống gợi ra cho HS những khó
khăn mà họ cảm thấy cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải
ngay lập tức mà phải trải qua một quá trình suy nghĩ tích cực, hoạt động để

biến đổi đối tượng hoạt động hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm
thích nghi với điều kiện hành động mới.
Ví dụ 1.5: GV tạo tình huống gợi vấn đề cho HS phát hiện định lí côsin
trong tam giác như sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A như
hình vẽ. Để tính độ dài cạnh BC ta
dựa vào công thức nào?
Đáp án GV mong đợi ở HS
là dựa vào định lí Pitago:

BC 2 = AB 2 + AC 2 = b 2 + c 2
Hình 1.1

Để tính độ dài cạnh còn lại của tam giác nếu biết góc đối diện cạnh đó
là góc vuông ta dùng định lí Pitago. Vậy nếu biết góc đối diện không là góc
vuông mà là một góc có số đo bất kì thì ta có tính được độ dài cạnh còn lại
của tam giác không?
Bài toán thỏa mãn ba điều kiện của tình huống gợi vấn đề là:
-

Vấn đề tồn tại vì HS chưa được trang bị công thức để tính độ dài cạnh

-

BC.
Vấn đề gợi nhu cầu nhận thức ở HS. Vì bài toán tuy khác lạ nhưng rất
quen thuộc vì liên quan đến tìm các cạnh của tam giác mà các em đã

-

học.
Vấn đề gây được niềm tin của HS. Bài toán tuy khác lạ nhưng không vì
thế mà HS không giải được. Chỉ cần HS phát hiện được bình phương
độ dài của vectơ

uuur
BC

bằng tổng bình phương độ dài của véctơ

uuur
AC

và


19

uuur
AB

trừ đi hai lần tích của chúng với côsin góc A xen giữa, tức là:

uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2
uuuruuur
BC = AC − AB = AC + AB − 2 AC AB

(

)

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AC. AB = AC . AB cos AC , AB

(

Theo công thức tích vô hướng ta có:
Từ đó suy ra:

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cosA

(Trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A thì
tức là

BC 2 = AC 2 + AB 2

Thay

)

BC = a

ABC bất kì là:

,

cos A = cos900 = 0

,

).

AC = b

,

AB = c

ta được định lí côsin trong tam giác

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

.

Qua phân tích hai khái niệm cơ bản là vấn đề và phát hiện vấn đề, nhận
thấy để phát triển năng lực phát hiện vấn đề thì đòi hỏi HS phải biết quan sát,
phân tích, so sánh, suy luận các kiến thức toán học; suy xét vấn đề cần giải
quyết theo nhiều hướng khác nhau trên cơ sở những tri thức, kinh nghiệm của
cá nhân để phát hiện các mâu thuẫn, các điểm chưa hoàn chỉnh của vấn đề đã
đặt ra.
b) Năng lực giải quyết vấn đề
Giải quyết vấn đề là một quá trình mà cá nhân vận dụng kiến thức, kĩ
năng và kĩ xảo đã được học để đáp ứng yêu cầu của những tình huống không
quen thuộc.
Có nhiều cách phân chia các giai đoạn để GQVĐ như sau:
Theo Kudriasev, GQVĐ chia làm 4 giai đoạn: “Sự xuất hiện của chính
vấn đề và những kích thích đầu tiên thúc đẩy chủ thể GQVĐ; chủ thể nhận
thức sâu sắc và chấp nhận vấn đề cần giải quyết; quá trình tìm kiếm lời giải

20

cho vấn đề đã được chấp nhận giải quyết, lý giải, chứng minh, kiểm tra; tìm
được kết quả cuối cùng và đánh giá kết quả tìm được.”
Theo John Dewey, GQVĐ gồm 5 bước: “Tìm hiểu vấn đề; xác định vấn
đề; đưa ra những giả thuyết khác nhau để GQVĐ; xem xét hệ quả của từng
giả thuyết dưới ánh sáng của những kinh nghiệm trước đây; thử nghiệm giải
pháp thích hợp nhất”.
Dù được phân chia theo cách nào thì GQVĐ vẫn bao gồm ba bước
chính sau đây:
Bước 1: Tìm hiểu vấn đề
+ Tạo tình huống gợi vấn đề;
+ Giải thích để hiểu đúng tình huống;
+ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Giải quyết vấn đề
+ Phân tích, làm rõ những mối quan hệ giữa những cái chưa biết và
những cái đã biết;
+ Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, ở đây thường vận
dụng quy tắc tìm đoán, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, khái quát hóa, xét tính
tương tự, suy ngược suy xuôi,...
+ Trình bày cách giải quyết vấn đề.
Bước 3: Nghiên cứu cách giải quyết vấn đề
+ Kiểm tra sự đúng đắn của lời giải;
+ Kiểm tra tính tối ưu, tính hợp lí của lời giải;
+ Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và giải quyết vấn đề nếu có.
Ví dụ 1.6: Giải phương trình:

a sin 2 x + b cos 2 x + c sinxcosx + d = 0

trong đó x là ẩn số và a, b, c, d là các số thực.
Đây đúng là một tình huống có vấn đề đối với học sinh vì: Yêu cầu ở
đây là giải phương trình thuần nhất bậc hai ở dạng tổng quát. Đây là một vấn
đề vì HS chưa giải được phương trình, các em chưa được học một quy tắc có
tính chất thuật toán nào để giải phương trình trên.


21

Vấn đề này cũng không quá khó và vượt xa khả năng của học sinh vì
các em đã được học các phương trình lượng giác cơ bản có điều kiện như:
1
= 1 + cot 2 x
2
sin x

,

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

;

sin 2 x =
biết sử dụng công thức hạ bậc:

1 − cos 2 x
2

tìm nghiệm của phương trình bậc nhất có dạng:

cos 2 x =
,

1 + cos 2 x
2

a sin 2 x + bcos 2 x = c

; biết

.

Bước 1: Tìm hiểu vấn đề: GV nêu yêu cầu là giải phương trình lượng giác

a sin 2 x + b cos 2 x + c sinxcosx + d = 0

(1)

Bước 2: Giải quyết vấn đề: GV gợi ý cho HS hai phương pháp giải:
+ Phương pháp đưa về

Xét trường hợp
x=
nghiệm

π
+ kπ

2

tanx

:

cosx = 0

x=
, tức là

π
+ kπ , k ∈ ¢
2

. Thay trực tiếp

vào phương trình (1) xem nó có phải là nghiệm của

phương trình đã cho hay không?

Xét trường hợp
trình (1) cho

cos 2 x

cosx ≠ 0

x≠
, tức là

π
+ kπ ,k ∈ ¢
2

. Chia hai vế phương

ta được phương trình mới là gì? Phương trình mới có ở

dạng quen thuộc không? Nếu quen thuộc thì giải phương trình đó như thế
nào?


22

+ Phương pháp đưa về phương trình bậc nhất đối với

sin 2x

và

cos 2x

.

sin 2 x cos 2 x
Từ phương trình (1) dùng công thức hạ bậc đối với
,
ta được
phương trình mới như thế nào? Giải phương trình đó?

Bước 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
+ Kiểm tra kết quả bằng cách thay nghiệm x tìm được vào (1).
+ Thông qua việc giải phương trình (1), HS có thể rút ra phương pháp:
Nếu phương trình chứa nhiều loại hàm số lượng giác ta có thể biến đổi làm
giảm bớt số hàm số lượng giác có trong phương trình. Cụ thể là đưa phương
trình chứa hai hàm số lượng giác
tanx

sinx

và

cosx

về một hàm số lượng giác là

. Nếu phương trình chứa các biểu thức bậc cao, ta có thể nghĩ ngay đến

hạ bậc các biểu thức đó.
Trong dạy học cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng GQVĐ, vì kĩ năng
GQVĐ vừa là công cụ nhận thức vừa là mục tiêu để dạy cho HS phương pháp
tự học.
1.2.3. Mối quan hệ giữa năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề với năng
lực học toán của học sinh
Từ những công trình nghiên cứu có liên quan tới vấn đề năng lực trong
học Toán và năng lực giải quyết vấn đề, có thể thấy rằng: trong thực tiễn,
năng lực giải quyết vấn đề có những mối quan hệ khác như: có mối quan hệ
với năng lực học Toán, năng lực giải Toán,… chúng đan xen, tương hỗ, gắn
bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt của học sinh:
+ Nếu hiểu mỗi vấn đề trong Toán học của học sinh theo nghĩa hẹp (là

khái niệm, định lí, bài toán,…) thì năng lực giải quyết vấn đề là một trong
những thành phần quan trọng hình thành nên năng lực học Toán. Trong Toán
học, năng lực giải quyết vấn đề có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng
phân môn: Đại số, Hình học,… Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính


23

chất các hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt
chẽ tương hỗ lẫn nhau, tạo nên năng lực giải quyết vấn đề và năng lực học
Toán thông qua quá trình dạy học Toán (yếu tố giáo dục). Mặt khác, nếu xét
theo các tình huống dạy học điển hình của môn Toán thì có năng lực học khái
niệm, năng lực suy luận chứng minh định lí, giải toán… trong năng lực học
Toán nói chung. Trong đó năng lực giải quyết vấn đề đều có mặt và đóng vai
trò quan trọng ở mỗi năng lực thành phần (nhất là năng lực giải Toán bởi tính
vấn đề trong bài toán và hoạt động giải Toán tự nó thể hiện rõ đặc thù giải
quyết vấn đề).
+ Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi học sinh luôn phải tự
nhận biết và giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân (trong đó có
những vấn đề của việc học Toán) thì năng lực giải quyết vấn đề có cấu trúc
phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai trò rộng hơn năng lực học
tập (nói riêng là năng lực học Toán). Nhưng nếu xét riêng ở phạm vi học
Toán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải Toán thì mỗi bài toán có thể
chứa nhiều vấn đề. Khi đó, năng lực giải quyết vấn đề lại là một bộ phận
trong năng lực giải Toán, năng lực học Toán…
+ Năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của năng lực giải quyết
vấn đề ở mức độ cao.
+ Năng lực học Toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh
tương đối cao) để hình thành nên năng lực Toán học.
+ Ở các nhà Toán học nổi tiếng, năng lực sáng tạo Toán học là sự phát

triển năng lực Toán học, năng lực giải quyết vấn đề ở mức độ cao dựa trên cơ
sở quan trọng là tài năng đặc biệt (yếu tố bẩm sinh).
Năng lực GQVĐ là một trong những thành phần quan trọng hình thành
nên năng lực học toán ở học sinh. Nó có mặt xuyên suốt trong quá trình học
tập và đóng vai trò quyết định hình thành các năng lực khác ở HS như: năng
lực học khái niệm, định nghĩa; năng lực suy luận; năng lực chứng minh định
lý, hệ quả; năng lực giải toán;.... Ngược lại, nếu HS có năng lực học toán thì
các em có rất nhiều thuận lợi trong việc GQVĐ đặt ra.


24

Do đó để phát triển năng lực học toán ở HS, GV cần đảm bảo:
- Cho học sinh luyện tập thường xuyên các hoạt động PH và GQVĐ.
- GV phải tạo được sự hứng thú trong học tập cho học sinh. Tổ chức,
điều khiển HS tham gia tích cực vào các hoạt động để hình thành động cơ,
phương pháp học tập đúng đắn cho các em.
- HS phải được trang bị tốt và kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
- GV cần tổ chức cho HS tham gia nhiều vào các hoạt động khác nhau
để tạo điều kiện cho các em độc lập trong việc PH và GQVĐ toán học.
1.2.4. Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
của học sinh
Mỗi năng lực đều có kết cấu riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó các
thuộc tính không chỉ tồn tại bên cạnh nhau một cách đơn giản, mà chúng liên
hệ với nhau một cách hữu cơ, chúng tác động lẫn nhau trong một hệ thống
nhất định. Đặc biệt điều có ý nghĩa quyết định đối với mỗi năng lực không
phải bản thân từng thuộc tính riêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cấu trúc
nhất định, và năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
của học sinh có thể phân chia thành các thành tố:
a) Năng lực nhận ra mâu thuẫn trong các tình huống để từ đó thấy được nhu

cầu giải quyết vấn đề
Theo Nguyễn Bá Kim [4], thì hoạt động nhận thức một vấn đề Toán
học nói chung bao gồm hai giai đoạn chính: hình thành, xây dựng và củng cố,
vận dụng. Mặt tâm lí của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong hoạt
động này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên nếu sự hứng thú không
được hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ diễn ra thấp hơn nhiều
so với tiềm năng sẵn có của học sinh.
Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trình độ tri thức của học sinh
đã là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòi
trong học tập. Động cơ đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung Toán
học, động cơ này lại được cụ thể hoá thành từng nhiệm vụ học tập - là từng


25

đơn vị (tế bào) của hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề. Để giải quyết
nhiệm vụ đó, nhất thiết học sinh phải tiến hành một loạt các hành động như
huy động và tổ chức kiến thức có liên quan đến tình huống chứa vấn đề; tách
biệt và kết hợp các kiến thức; dự đoán và kiểm tra điều dự đoán;…với các
thao tác tương ứng như: nhận biết, nhớ lại (ở đây đóng vai trò năng lực huy
động, tái hiện kiến thức), bổ sung, phân nhóm,…
Như vậy học sinh cần phải hòa nhập vào tình huống có vấn đề, tức là
nhận thấy có sự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kĩ năng của
bản thân.Từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điều gì mới chứa đựng bên
trong tình huống. Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện quy gọn, tránh
được tình trạng lan man không định hướng.
Để hình thành, xây dựng nhu cầu phát hiện và giải quyết vấn đề từ tình
huống đã có, học sinh cần huy động các kiến thức, kĩ năng có liên quan đến
các dữ kiện trong tình huống đó. Trên cơ sở xác định mối liên hệ giữa các
kiến thức, kĩ năng đã có với vấn đề đang cần giải quyết, từ đó học sinh sẽ

hình thành, xây dựng được nhu cầu giải quyết vấn đề trong tình huống nêu ra.
b) Năng lực phát hiện ra mấu chốt của vấn đề nhờ vào kỹ năng thực hiện các
thao tác tư duy
Để phát hiện và giải quyết vấn đề, không chỉ dừng lại ở mức độ nhận
biết những thuộc tính bên ngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm
tính, cần phải chuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìm
hiểu bản chất của vấn đề.
Từ những ví dụ cụ thể riêng lẻ, giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử
dụng các thao tác tư duy thông dụng trong Toán học để thiết lập và biểu diễn
mối liên hệ giữa các tình huống đã cho và những kết quả mới. Từ đó khái quát
hoá rút ra những điểm chung, cốt lõi của vấn đề. Đồng thời với việc rút ra
những cái chung từ những cái riêng, cần phải cho học sinh thấy, bên cạnh cái
chung cho những lớp đối tượng cùng loại, đối với những đối tượng cụ thể,
còn có thể có những hướng giải quyết khác biệt nữa, mà nếu thay đổi đi một
dữ kiện nào đó thì hướng giải khác biệt đó không thực hiện được.