bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học hình học lớp 10 thpt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




Lê Văn Tuyên




BỒ I DƢỠ NG NĂNG LƢ̣ C
PHT HIỆN V GII QUYT VN Đ CHO HỌC SINH
TRONG DẠ Y HỌC HÌ NH HỌ C LỚ P 10 THPT




LUẬN VĂN THẠC SĨ GIO DỤC HỌC





Thái Nguyên - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM



Lê Văn Tuyên



BỒ I DƢỠ NG NĂNG LƢ̣ C
PHT HIỆN V GII QUYT VN Đ CHO HỌC SINH
TRONG DẠ Y HỌC HÌ NH HỌ C LỚ P 10 THPT


LUẬN VĂN THẠC SĨ GIO DỤC HỌC


Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11


NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Việt Cƣờng


Thái Nguyên - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

NHỮNG CỤM TỪ VIT TẮT TRONG LUẬN VĂN

TT
Viết tắt
Cụm từ viết tắt
1.
BĐTD
Bn đồ tƣ duy
2.
DHTDA
Dy học theo dự án
3.
GQVĐ
Gii quyết vn đ
4.
GS.TSKH
Giáo sƣ, Tiế n sĩ khoa học
5.
GV
Giáo viên
6.
HĐ
Hot động
7.
HS
Học sinh
8.
NLTT
Năng lƣ̣ c thà nh tố

9.
PPDH
Phƣơng pháp dy học
10.
SGK
Sách giáo khoa
11.
Th.S
Thc s
12.
TS
Tiế n sĩ
13.
THPT
Trung họ c phổ thông


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5
1.1. Quá trình nhận thức 5
1.2. Năng lực phát hiện và GQVĐ trong toán học 8
1.3. Vn đ phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong dy học
Hnh học 16
1.4. Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong
dy học Toán ở THPT 19

1.5. Những biểu hiện và cp độ của năng lực phát hiện và GQVĐ trong học
Toán của HS THPT 40
1.6. Thực trng việc dy học nội dung Hình học lớp 10 theo định hƣớng
góp phần phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS THPT 42
1.7. Kết luận chƣơng 1 46
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC
PHÁT HIỆN VÀ GQVĐ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 48
2.1. Định hƣớng xây dựng và thực hiện các biện pháp 48
2.2. Một số biện pháp sƣ phm nhằm góp phần phát triển năng lực phát
hiện và GQVĐ cho HS trong học Toán 48
2.3. Mộ t số hình thƣ́ c dạ y họ c gó p phầ n hình thà nh và phát triển năng lực
phát hiện và GQVĐ cho HS trong dy học hình học lớp 10 89
2.4. Kết luận chƣơng 2 100
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 101
3.1. Mục đích thƣ̣ c nghiệm sƣ phm 101
3.2. Nội dung thƣ̣ c nghiệm sƣ phm 101

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


3.3. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phm 101
3.4. Đánh giá thƣ̣ c nghiệm sƣ phm 102
3.5. Kết luận chƣơng 3 108
KẾT LUẬN 109
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cnh toàn cầu hoá đặt ra
những yêu cầu mới đối với ngƣời lao động, do đó cũng đặt ra những yêu cầu
mới cho sự nghiệp giáo dục thế hệ trẻ và đào to nguồn nhân lực. Giáo dục
cần đào to đội ngũ nhân lực có kh năng đáp ứng đƣợc những đòi hỏi mới
của xã hội và thị trƣờng lao động, đặc biệt là năng lực hành động, tính tự lực
và trách nhiệm cũng nhƣ năng lực phát hiện và gii quyết các vn đ phức
hợp. Hnh thành, phát triển năng lực phát hiện và gii quyết vn đ (GQVĐ)
trở thà nh yêu cầ u cấ p bá ch củ a mọ i quố c gia , các tổ chức giáo dục và các
doanh nghiệ p.
Ở các nƣớc có nề n giá o dụ c tiên tiế n, trẻ em đƣợc dy tƣ duy phát hiện
và GQVĐ từ rt sớm. Nói v vai trò của năng lực phát hiện v à GQVĐ, Raja
Roy Singh - nhà giáo dục học nổi tiếng ở n Độ đã khng định [27]: “Để đá p
ứng nhng đi hi mi đt ra do s bng n kin thức v sng tạo ra kin
thứ c mớ i, cầ n thiế t phả i phá t triể n năng lự c tư duy, năng lự c GQVĐ mộ t cá ch
sng tạo… Cc năng lc ny c th quy gọn l “năng lc pht hiện v
GQVĐ””.
Ở nƣớc ta, Đng và Nhà nƣớc luôn coi trọng việc phát triển con ngƣời,
con ngƣời luôn đƣợc coi là nhân tố quan trọng nht “vừa l động lc, vừa là
mục tiêu’’ cho sự phát triển bn vững của xã hội.
V mục tiêu giáo dục phổ thông, Luật Giáo dục đã chỉ rõ: “Giáo dục
ph thông là giúp HS phát trin toàn diện về đạo đức, trí tuệ, th chất, thẩm
mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát trin năng lc cá nhân, tính năng động và
sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây
dng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho HS tip tục học lên hoc
đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dng và bảo vệ T quốc’’ [21].

2

Về phƣơng phá p giáo dụ c phổ thông, Điu 28.2 Luật Giáo dục có viết:
“Phương pháp giáo dục ph thông phải phát huy tính tích cc, t giác, chủ
động, sáng tạo của HS; phù hợp vi đc đim của từng lp học, môn học; bồi
dưỡng phương pháp t học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng
vận dụng kin thức vào thc tiễn; tác động đn tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho HS’’ [21].
1.2. Để đạ t đƣợ c các mục tiêu trên, đổi mới phƣơng pháp dy học (PPDH)
là một nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục nhằm nâng cao cht lƣợng giáo
dục. Việc đổi mới PPDH ở trƣờng phổ thông là làm thay đổi lối dy học
truyn thụ một chiu sang các “kỹ thuậ t dạ y họ c tích cự c” nhằm giúp HS phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng to, rèn luyện thói quen và kh năng
tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào các tình huống khác
nhau trong học tập và trong thực tiễn. Làm cho “học” là quá trnh kiến to.
HS tìm tòi khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin tự
hình thành phẩm cht và năng lực cá nhân cho bn thân.
1.3. Việc dy và học ở các trƣờng phổ thông hiện nay đang tƣ̀ ng bƣớ c tiế p
cậ n cá c kỹ thuật dy học tích cực. Hình thành, phát triển năng lực phát hiện và
GQVĐ đƣợc quan tâm đến nhƣ một nhiệm vụ cp bách để bƣớ c đầ u trang bị cho
HS cách học, cách suy ngh, cách GQVĐ một cách thông minh, độc lập sáng to.
Toán học là môn học có tính khái quát cao, chứa đựng nhiu tim năng để bồi
dƣỡng cho HS năng lực phát hiện và GQVĐ. Nội dung Hình học lớp 10 thực sự
là một thử thách đối với HS Trung học phổ thông (THPT) bởi những kiến thức
hoàn toàn mới nhƣ vectơ hay việc tọa độ hóa các đối tƣợng hình học phng.
Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và to điu
kiện cho việc nghiên cứu năng lực phát hiện và GQVĐ trên bình diện đ xut
các biện pháp sƣ phm, để bồi dƣỡng năng lực này trong dy học Toán ở
trƣờng THPT nói chung và trong dy học Hình học lớp 10 nói riêng. Qua đó,

3

góp phần nâng cao cht lƣợng dy học Hình học lớp 10 ở các trƣờng THPT
và phát triển kh năng phát hiện và GQVĐ cho HS.
Vì các lí do trên, chúng tôi đã chọn đ tài: “Bồi dưỡng năng lực phát
hiện và GQVĐ cho HS trong dạy học hình học lớp 10 THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đ xut đƣợc một số biện pháp sƣ phm nhằm bồi dƣỡng năng lực phát
hiện và GQVĐ trong quá trình học tập môn Hình học cho HS lớp 10 THPT.
3. Giả thuyết khoa học
Nu xác định đƣợc một số thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ và
xây dựng đƣợc một số biện pháp sƣ phm phù hợp trong quá trình dy học
Hình học lớp 10 thì sẽ góp phần phát triển năng lực này cho HS và nâng cao
hiệu qu dy học Hình học 10 ở trƣờng phổ thông.
4. Phm vi nghiên cứu
Trong phạ m vi củ a đề t ài, chng tôi tập trung nghiên cứu dƣ̣ a trên nộ i
dung sách giáo khoa (SGK) Hnh học 10 - chƣơng trì nh chuẩ n. Bên cạ nh đó ,
ở Chƣơng 1 có minh họa thêm một số ví dụ khác trong chƣơng trnh toán
THPT nhằ m là m sá ng tỏ thêm cơ sở lý luậ n và thực tiễn của đ tài.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số văn bn, tài liệu liên quan
đến PPDH, năng lực phát hiện và GQVĐ và các tài liệu liên quan đến đ tài…
- Điều tra, quan sát: Dự giờ, phỏng vn, điu tra, thu thập ý kiến của
giáo viên (GV) ở một số trƣờng THPT trong dy học.
- Thự c nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm nghiệm thực tiễn một phần tính
kh thi và hiệu qu của đ tài nghiên cứu.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
6.1. Tìm hiểu v năng lực nói chung, năng lực phát hiện và GQVĐ nói
riêng của HS trong quá trình học tập môn toán.

4

6.2. Xác định đƣợc những định hƣớng trong việc hình thành và phát
triển năng lực học tập nói chung, năng lực phát hiện và GQVĐ nói riêng trong
quá trình dy học toán.
6.3. Đ xut đƣợc một số biện pháp sƣ phm nhằm hình thành, phát
triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS lớp 10 THPT thông qua quá trình
dy học môn Hình học.
6.4. Tổ chức thực nghiệm sƣ phm nhằm xem xét tính kh thi của
phƣơng án đ xut và tìm hiểu kh năng triển khai trong thực tiễn.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham kho”,
luận văn gồm có ba chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2. Một số biện pháp sƣ phm góp phần phát triển năng lực phát
hiện và GQVĐ cho HS trong dy học Hình học lớp 10 THPT.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phm.

5

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN V THỰC TIỄN
1.1. Quá trình nhận thức
Theo quan điểm của phép tƣ duy biện chứng, hot động nhận thức của
con ngƣời là đi từ trực quan sinh động đến tƣ duy trừu tƣợng và từ tƣ duy trừu
tƣợng đến thực tiễn. Con đƣờng nhận thức đó đƣợc thực hiện qua các giai
đon: Từ đơn gin đến phức tp, từ thp đến cao, từ cụ thể đến trừu tƣợng, từ
hình thức bên ngoài đến bn cht bên trong. Có thể chia quá trnh nhận thức
thành hai cp độ: Nhận thức cm tính và nhận thức lý tính.
Nhận thức cm tính (còn gọi là trực quan sinh động) là giai đon đầu
tiên của quá trình nhận thức. Đó là giai đon con ngƣời sử dụng các giác quan
để tác động vào sự vật nhằm nắm bắt sự vật y, nhậ n thƣ́ c cả m tí nh có vai trò

quan trọng trong đời sống tâm lí của con ngƣời, nó cung cp vật liệu cho các
hot động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra vn đ mà
bằng nhận thức cm tính, con ngƣời không thể nhận thức và gii quyết đƣợc.
Muốn nhận thức và gii quyết đƣợc những vn đ nhƣ vậy, con ngƣời phi
đt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tƣ duy).
Tƣ duy là giai đon phn ánh gián tiếp trừu tƣợng, khái quát sự vật, đƣợc thể
hiện qua các hình thức nhƣ khái niệm, phán đoán, suy luận.
Ta có thể chỉ ra một số định ngha khác v tƣ duy, chng hn: “Tư duy
là quá trình nhận thức phản ánh nhng thuộc tính bản chất, nhng mối quan
hệ có tính qui luật của s vật hiện tượng trong hiện thc khch quan” [12];
hay “Tư duy l một quá trình tâm lí liên quan cht chẽ vi ngôn ng - quá
trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yu, quá trình phản ánh một cách hay từng
phần hay khái quát thc th trong khi phân tích và tng hợp n. Tư duy sinh
ra trên cơ sở hoạt động thc tiễn, từ nhận thức cảm tính v vượt xa gii hạn
của n” [34]. Theo X. L. Rubinstein: “Tư duy - đ l s khôi phục trong ý

6

nghĩ của chủ th về khách th vi mức độ đầy đủ hơn, ton diện hơn so vi
cc tư liệu cảm tính xuất hiện do tc động của khách th” [3].
Tƣ duy con ngƣời mang bn cht xã hội, sáng to và có c tính ngôn
ngữ. Trong quá trình phát triển, tƣ duy con ngƣời không dừng li ở trnh độ
thao tác bằng chân tay, bằng hnh tƣợng mà con ngƣời còn đt tới trnh độ tƣ
duy bằng ngôn ngữ, tƣ duy trừu tƣợng, tƣ duy khái quát - hình thức tƣ duy
đặc biệt của con ngƣời ([12]). Trong quá trnh tƣ duy, con ngƣời sử dụng
phƣơng tiện ngôn ngữ - sn phẩm có tính xã hội cao, để nhận thức tình huống
có vn đ, để từ đó tiến hành các thao tác tƣ duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tƣợng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán,
những qui luật - những sn phẩm khái quát của tƣ duy.
Tƣ duy có đặc điểm mới v cht so với cm giác và tri giác. Tƣ duy có

những đặc điểm cơ bn sau ([12]):
- Tƣ duy là sả n phẩ m củ a bộ nã o con ngƣờ i và là mộ t quá trình phả n
ánh tích cực thế giới khách quan;
- Bn cht của tƣ duy là ở sự phân biệt sự tồn ti độc lập của đối tƣợng
đƣợ c phả n á nh vớ i hình ả nh nhậ n thƣ́ c đƣợ c qua khả năng hoạ t độ ng suy nghĩ
của con ngƣời nhằm phn ánh đối tƣợng;
- Tƣ duy là quá trì nh phá t triể n năng độ ng và sá ng tạ o;
- Khách thể trong tƣ duy đƣợc phn ánh với nhiu mức độ khác nhau từ
thuộ c tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngƣời;
- Tƣ duy chỉ ny sinh khi gặp hoàn cnh có vn đ;
- Tƣ duy có tính khái quát và có tính gián tiếp;
- Tƣ duy của con ngƣời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tƣ duy và
ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhƣng cũng
không đồng nht với nhau. Sự thống nht giữa tƣ duy và ngôn ngữ thể hiện ở
khâu biểu đt kết qu của quá trnh tƣ duy.

7

- Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cm tính: Tƣ duy thƣờng
bắt đầu từ nhận thức cm tính, dù tƣ duy có tính khái quát và tính trừu tƣợng
đến đâu th nội dung của tƣ duy vẫn chứa đựng những thành phần cm tính
(cm giác, tri giác, hnh tƣợng trực quan ). X.L.Rubinstein khng định rằng:
“Nội dung cảm tính bao giờ cũng c trong tư duy trừu tượng, ta hồ như lm
thành chỗ da cho tư duy” [12].
- Tƣ duy là một quá trình: Tƣ duy có ny sinh, diễn biến và kết thúc.
Quá trnh tƣ duy bao gồm nhiu giai đon kế tiếp nhau và đƣợc minh ho bởi
sơ đồ sau ([34]):

Hình 1.1. Cc giai đoạn của qu trình tư duy.
- Quá trnh tƣ duy là một hành động trí tuệ: Quá trnh tƣ duy đƣợc diễn

ra bằng cách tiến hành những thao tác trí tuệ nht định. Có rt nhiu thao tác
trí tuệ tham gia vào một quá trnh tƣ duy cụ thể với tƣ cách một hành động trí
tuệ: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hoá, khái quát hoá
Có thể tìm thy sự đầy đủ, sâu sắc hơn ở nghiên cứu v tƣ duy trong
luận án tiến s của Nguyễn Văn Thuận [34] và các tài liệu chuyên kho khác.
Nhận thức vn đ

Xut hiện các liên tƣởng

Sàng lọc các liên tƣởng và hình thành gi thuyết

Kiểm tra gi thuyết

Chính xác hoá

Khng định

Phủ định

Hot động tƣ duy mới

Gii quyết vn đ

8

Nhƣng điu cốt lõi là chúng ta thy đƣợc những tác dụng của tƣ duy trong đời
sống xã hội, bởi con ngƣời dựa vào tƣ duy để “nhận thức những qui luật
khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những qui luật đó trong hot
động thực tiễn của mnh” [34].
1.2. Năng lực phát hiện và GQVĐ trong toán học

1.2.1. Năng lực và năng lực toán học
a) Năng lƣ̣ c
Vn đ năng lực là vn đ của loài ngƣời, tức là, từ khi xut hiện trên
trái đt, con ngƣời đã muốn biết v bn thân, v những kh năng của mình.
Các tác phẩm Triết học, Tâm lí học… cổ đi đã phn ánh tính cht đặc thù đó
ở con ngƣời.
Trong cuộc sống thực tiễn, hot động của con ngƣời rt đa dng, phong
phú. Do vậy, kh năng của con ngƣời là rt khác nhau, thể hiện ở những đặc
điểm tâm - sinh lí phù hợp với yêu cầu của một lnh vực hot động nht định.
Nhìn chung, khi nói v năng lực của cá nhân, tức là muốn nói đến kh năng
của cá nhân trong một lnh vực hot động nht định. Những kh năng này
giúp cá nhân hot động đt hiệu qu mong muốn trong lnh vực đó.
C.Mác đã nói [33]: Năng lực vừa là tin đ, vừa là kết qu của phân
công lao động. Sự phân công lao động to ra hot động có đối tƣợng xác định,
trong đó con ngƣời thực hiện mục đích của công việc mnh làm để thỏa mãn
nhu cầu cuộc sống của bn thân và gia đnh. Do công việc khác nhau, một cá
nhân có thể hình thành nên những kh năng khác nhau (ví dụ, kh năng tính
thể tí ch củ a cá c hình khố i bấ t kỳ trong không gian củ a ngƣờ i là m toá n…).
Trong lịch sử Tâm lí học, kể từ khi vn đ năng lực đƣợc quan tâm
nghiên cứu đã có những cách hiểu khác nhau v bn cht khái niệm năng lực,
v cu trúc của năng lực cũng nhƣ v sự hình thành và phát triển năng lực.
Khi nghiên cứu v năng lực học tập, Xavier Rogiers đã quan niệm năng

9

lực là một khái niệm tích hợp, thể hiện một mục tiêu tích hợp, bao hàm các
nội dung (đối tƣợng lnh hội), các hot động cần thực hiện (k năng) và tnh
huống trong đó hot động diễn ra: “Năng lc là một tích hợp cc kĩ năng (tập
hợp trật t cc kĩ năng/hoạt động) cho phép nhận bit một tình huống và có
s đp ứng tình huống đ tương đối t nhiên và thích hợp (s tc động lên

các nội dung trong một loại tình huống cho trưc c ý nghĩa đối vi cá nhân
đ GQVĐ do tình huống ny đt ra)” [33]. Qua những cách hiểu trên đây v
năng lực, có thể rút ra một số điểm chung sau:
- Năng lực không phi là một thuộc tính tâm lí xut sắc mà là t hợp
các thuộc tính độc đo của nhân cách, phù hợp với những yêu cầu của một
hot động nht định, đm bo cho hot động đó có kết qu.
- Nói đến năng lực là đ cập tới xu thế có thể đt đƣợc một kết qu nào
đó của một công việc nào đó do một con ngƣời cụ thể thực hiện (năng lực học
tập, năng lực lao động, năng lực quan sát…). Không tồn ti năng lực một cách
chung chung và trừu tƣợng.
- Nói đến năng lực là nói đến sự tác động (quan hệ) của một cá nhân cụ
thể tới một đối tƣợng cụ thể (kiến thức, quan hệ xã hội, đối tƣợng lao động…)
để có một sn phẩm nht định. Do đó, chúng ta có thể căn cứ vào đó để phân
biệt ngƣời này với ngƣời khác.
- Năng lực là yếu tố tổng thành trong một hot động cụ thể chứ không
chỉ là sự tƣơng ứng hay sự phù hợp giữa một bên là yêu cầu của hot động và
một bên là tổ hợp những thuộc tính tâm lí cá nhân. Điu này muốn nhn mnh
tính cơ động của năng lực: Năng lc chỉ tồn tại trong quá trình vận động,
phát trin của một hoạt động cụ th. Vì vậy, muốn hnh thành năng lực ở cá
nhân, nht thiết phi đƣa cá nhân tham gia vào hot động.
- Năng lực không thể bị quy v kiến thức, k năng, k xo (mà thiếu
chng th cũng không thể có đƣợc hiệu qu hot động) mà nó gii thích sự dễ

10

dàng và nhanh chóng trong việc lnh hội các kiến thức, k năng, k xo. Trong
Tâm lí học, một số tác gi đã dùng thuật ngữ “Tính sẵn sàng” để làm du hiệu
phân biệt khái niệm k năng, k xo với khái niệm năng lực. Theo đó, k năng,
k xo là kết qu lnh hội các phƣơng thức hot động học tập - nhận thức, kết
qu này đƣợc biểu hiện ở sự sẵn sàng thc hiện hnh động ở cá nhân.

- Không phi các năng lực riêng lẻ xác định kết qu thực hiện hot
động, mà là sự kt hợp riêng của chúng, đc th đối vi một cá nhân cụ th.
Qua đó, tồn ti những kh năng bù trừ lớn cho một năng lực bằng những năng
lực khác phát triển cao hơn.
- Năng lực có nhiu mức độ khác nhau. Sẽ là không đng nếu cho rằng
chỉ có những ngƣời đt đƣợc những thành tích đặc biệt trong lnh vực hot
động của mình mới là những ngƣời có năng lực. Trên thực tế, một năng lực có
thể đƣợc biểu hiện ở nhiu mức độ. Nói cách khác, những thành tích (mà dựa
vào đó để nói rằng một ngƣời có năng lực) có thể có nhiu mức độ khác nhau.
Nhìn chung, có thể nói v một ngƣời nào đó rằng anh ta có năng lực nếu anh
ta có những đặc điểm cá nhân giúp anh ta thực hiện có kết qu tốt một hot
động nào đó trong những điu kiện xác định. Nhƣ vậy, bt cứ một cá nhân
bnh thƣờng nào cũng có một năng lực nht định.
Từ những phân tích trên, có thể phát biểu nhƣ sau v định ngha năng
lực: Năng lc là t hợp cc đc đim tâm lí của cá nhân, phù hợp vi nhng
yêu cầu của một hoạt động xc định, đảm bảo cho hoạt động đ c kt quả tốt.
b) Năng lƣ̣ c toá n họ c
Có nhiu công trnh nghiên cứu v năng lực Toán học từ những phƣơng
diện khác nhau. Dƣới đây chng tôi xin dẫn ra một số ví dụ:
Theo B.V.Gơnheđencô [33], các yêu cầu đối với tƣ duy Toán học của
HS là: 1) Năng lực nhn thy sự không rõ ràng của quá trnh suy luận, thy
đƣợc sự thiếu sót của những điu cần thiết trong chứng minh; 2) Sự cô đọng;

11

3) Sự chính xác của các kí hiệu; 4) Phân chia rõ tiến trnh suy luận; 5) Thói
quen lí lẽ đầy đủ v lôgic ([34]).
Theo A.Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tƣ duy Toán học là: 1) Suy
luận theo sơ đồ lôgic chiếm ƣu thế; 2) Khuynh hƣớng đi tm con đƣờng ngắn
nht đi đến mục đích; 3) Phân chia rành mch các bƣớc suy luận; Sử dụng

chính xác các kí hiệu (mỗi kí hiệu Toán học có một ý ngha xác định chặt
chẽ); 5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận ([34]).
Tác gi A.N. Kôlmôgôrôv đã xem xét năng lực Toán học trên cơ sở 3
thành tố có liên quan đến kh năng biến đổi biểu thức chữ, tƣởng tƣợng và
suy luận lôgic đó là: 1) Năng lực biến đổi thành tho các biểu thức chữ phức
tp, năng lực tm kiếm các phƣơng pháp xa l với các qui tắc thông thƣờng để
gii phƣơng trnh; 2) Trí tƣởng tƣợng hnh học hay “trực giác hnh học”; 3)
Nghệ thuật suy luận lôgíc đƣợc phân nhỏ hợp lí, tuần tự [34]
V. A. Cruchetxki [5] nhìn nhận dƣới góc độ thu nhận và xử lí thông tin
đã phân chia năng lực Toán học bao gồm 4 thành tố cơ bn là:
1) Thu nhận thông tin ton học: Năng lc tri gic hình thức ha ti liệu
Ton học, năng lc nắm cấu trúc hình thức của bi ton;
2) Ch bin thông tin Ton học: Năng lc tư duy lôgic trong lĩnh vc
cc quan hệ số lượng v hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số v dấu.
Năng lc tư duy bằng cc kí hiệu Ton học.
a) Năng lc khi qut ha nhanh chng v rộng cc đối tượng, quan hệ
Ton học v phép ton.
b) Năng lc rút gọn qu trình suy luận Ton học v hệ thống cc phép
ton tương ứng. Năng lc tư duy bằng cấu trúc rút gọn.
c) Tính linh hoạt trong qu trình tư duy trong hoạt động Ton học.
d) Năng lc nhanh chng v dễ dng sửa sai lại phương hưng của
tin trình tư duy thuận sang tin trình tư duy đảo (trong suy luận Ton học).

12

3) Lưu tr thông tin ton học: Trí nh Ton học (trí nh khi qut về
hệ thống Ton học; đc đim về loại; sơ đồ suy luận v chứng minh; phương
php giải Ton; nguyên tắc đường lối giải Ton).
Từ khía cnh rèn luyện năng lực tƣ duy trong năng lực Toán học,
Nguyễn Thái Hoè đƣa ra các yêu cầu rèn luyện tƣ duy qua gii bài tập Toán

([15]); Nguyễn Văn Thuận tm hiểu các đặc trƣng của tƣ duy lôgic và sử
dụng chính xác ngôn ngữ Toán học cho HS ở đầu cp THPT ([34]). Nghiên
cứu rèn luyện năng lực gii Toán, Lê Thống Nht đã đi theo hƣớng tm hiểu,
phân loi các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT ([33]). Còn
Nguyễn Thị Hƣơng Trang th tiếp cận năng lực này từ quan điểm “pht hiện
và GQVĐ một cch sng tạo” ([37])
Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thy:
- Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí v hot động trí tuệ của
HS, gip họ nắm vững và vận dụng tƣơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những
kiến thức, k năng, k xo trong môn Toán.
- Năng lực Toán học đƣợc hnh thành, phát triển, thể hiện thông qua
(gắn lin với) các hot động của HS nhằm gii quyết những nhiệm vụ học tập
trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng
định lí, gii bài toán
1.2.2. Năng lực phát hiện và GQVĐ trong Toán học
a) Vai trò của hot động phát hiện v GQVĐ trong học Toán
Mỗi nội dung kiến thức trong Toán học dy cho HS đu liên hệ mật
thiết với những hot động nht định. Đó là những hot động đƣợc tiến hành
trong quá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó. Theo Nguyễn Bá Kim
[20], việc phát hiện đƣợc những hot hot động tim tàng trong một nội dung
đã vch đƣợc một con đƣờng để ngƣời học chiếm lnh nội dung đó, đồng thời

13

giúp họ cụ thể hoá đƣợc mục đích dy học có đt đƣợc hay không và đt đến
mức độ nào.
Đối với HS, trong hot động Toán học, mỗi vn đ đƣợc biểu thị thành
các câu hỏi, yêu cầu bài toán chƣa có sẵn lời gii hoặc cách thực hiện ([2]).
Để gii quyết đƣợc nhiệ m vụ học toán, HS cần phi tiến hành những hot
động phát hiện và gii quyết những tình huống liên quan đến môn Toán:

Chng hn, xây dựng khái niệ m , hình thành qui tắc, công thức, chứng minh
định lí và gii bài tập toán. Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống đó (dù ở
cp độ nào) cũng có cu trúc nhƣ một bài toán - do đó có thể coi là một bài
toán. Vì vậy, có thể nói rằng: Vn đ trong học toán là bài toán (theo ngha
rộng) mà HS chƣa biết lời gii.
Quá trình nhận thức theo hƣớng phát hiện và QGVĐ (cũng giống nhƣ
quá trình gii quyết bài toán, nhiệm vụ) có thể chia thành các bƣớc: Tìm hiểu
vn đ (dự đoán vn đ liên quan, làm rõ và giới hn vn đ); thực hiện việc
GQVĐ; tự kiểm tra các kết qu và quá trnh. Trong đó, ở bƣớc đầu và cuối,
hot động nhận thức của HS diễn ra thƣờng đƣợc bắt đầu bởi tƣ duy trực giác,
trong tnh hnh đòi hỏi cách tƣ duy phê phán, cách tiếp cận sáng to để đt kết
qu tìm tòi, xác minh vn đ, mặt khác ở bƣớc phát hiện và GQVĐ th hot
động nhận thức li diễn ra trong tình hình mà ở đó vn đ đòi hỏi cách tƣ duy
lôgic, chặt chẽ. Nhƣ vậy, hot động phát hiện và GQVĐ vừa cần tƣ duy lôgic
li vừa cần tƣ duy sáng to và càng không thể thiếu tƣ duy trực giác.
b) Nội dung của hot động phát hiện v GQVĐ trong dy học Toán
Gii quyết các vn đ đƣợc nhận định theo ngha thông thƣờng là thiết
lập những phƣơng pháp thích ứng để gii quyết các khó khăn, trở ngi. Với
những vn đ có độ khó cao hơn, các phƣơng pháp gii quyết cần phi tiến bộ
hơn khi gii pháp thông thƣờng không thể đáp ứng với hoàn cnh khó khăn

14

này. Một số nhà tâm lí học nhận định rằng hầu hết các kiến thức học hỏi liên
quan đến việc gii quyết các vn đ nói chung và vn đ khó khăn nói riêng.
Bransford trong nghiên cứu “the IDEAL problem Solver - Con ngƣời lí
tƣởng gii quyết các vn đ khó khăn” xut bn 1984 đã đ nghị năm thành
phần trong việc phát hiện và GQVĐ là: (1) Nhận diện vấn đề; (2) Tìm hiu
cn kẽ vấn đề kh khăn; (3) Đưa ra một giải pháp; (4) Thc hiện giải pháp và
(5) Đnh gi hiệu quả việc thc hiện ([38]).

Từ cách hiểu vn đ và GQVĐ ở trên, trong học toán, chúng tôi quan
niệm hot động phát hiện và GQVĐ liên quan đến: Các hot động của HS
nhằm nhận ra trong tình huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối
quan hệ giữa chúng; Tìm thy hƣớng gii quyết bài toán - vn đ là kiến thức
và k năng đã có để tiến hành thực hiện các hot động toán học (tính toán,
biến đổi, suy luận ) để đi đến lời gii bài toán, thực hiện đƣợc yêu cầu của
vn đ. Nhƣ vậy, hot động phát hiện và GQVĐ trong dy học toán bao gồm:
- Phát hiện, huy động kiến thức và phƣơng pháp đã biết liên quan tới
nội dung những vn đ cụ thể trong học toán;
- Phát hiện hƣớng gii quyết và tiến hành gii quyết những vn đ toán
học một cách có kết qu;
- Vận dụng trong những tình huống học toán tƣơng tự, đặc biệt và khái
quát.
Dƣới góc nhn để thy rõ hơn các thành phần hot động học toán thì có
thể xem hot động phát hiện và GQVĐ trong toán học gồm hai hot động chính:
- Phát hiện vn đ trong toán học:
+ Phát hiện các vn đ trong tình huống học toán (xây dựng khái niệm,
quy tắc, công thức, xác định tính cht; chứng minh định lí; gii bài toán);
+ Phát hiện cu trúc của bài toán, vn đ: Điu g đã có, đƣợc sử dụng;
điu gì cần phi tìm, phi xác định;

15

+ Phát hiện đƣờng lối của bài toán, vn đ;
+ Phát hiện sai lầm nhƣợc điểm trong lời gii;
- GQVĐ trong học toán:
+ Định ngha khái niệm; phát biểu định lí;
+ Tiến hành các phép tính toán, suy luận chứng minh;
+ Trình bày lời gii bài toán;
+ Sửa chữa sai lầm, chính xác hoá cách gii quyết.

Đồng thời, có thể thy rằng, ranh giới giữa hot động phát hiện và
GQVĐ trong hot động nhận thức chỉ là tƣơng đối: Trong phát hiện li có
GQVĐ, để GQVĐ li cần phát hiện, cứ tiếp tục phát triển nhƣ vậy và nâng
cao hơn nữa hot động nhận thức. Song ở mỗi bƣớc thì bao giờ cũng phát
hiện trƣớc rồi mới gii quyết sau và hot động toán học của HS là sự tổng hoà
giữa hot động phát hiện và hot động gii quyết, chng luôn đan xen và tác
động tƣơng hỗ lẫn nhau trong quá trình tìm tòi và xác minh kiến thức, hình
thành k năng và phƣơng pháp toán học.
c) Năng lực phát hiện v GQVĐ trong học Toán và mối quan hệ
với các năng lực khác
Ở góc độ coi phát hiện và GQVĐ nhƣ một phƣơng thức dy học, đã có
nhiu công trình nghiên cứu về vấ n đề nà y (Nguyễn Hữu Châu [1], Nguyễn
Bá Kim - Vũ Dƣơng Thụ y [33] ). Tuy nhiên, GQVĐ không chỉ đƣợc xem
nhƣ một cách tiếp cận dy học mà còn đƣợc coi nhƣ một mục tiêu, một năng
lực cần đt đến trong dy học: Trần Kiu [19], Vũ Văn To và Trần Văn Hà
[31], [32]
Ở bình diện vận dụng cụ thể trong dy học toán, đã có một số tác gi
xem xét phát hiện và GQVĐ từ các khía cnh khác nhau: Nguyễn Lan
Phƣơng nghiên cứu v k thuật thực hiện phát hiện và GQVĐ trong dy học
toán (thể hiện qua dy học quan hệ vuông góc trong không gian ở hình học

16

lớp 11) [26], Nguyễn Thị Hƣơng Trang tiếp cận phát hiện và GQVĐ theo góc
độ một xu hƣớng sáng to khi rèn luyện năng lực gii toán cho HS (thể hiện
qua dy học gii phƣơng trnh, bt phƣơng trnh ở THPT) [37]
Tập trung xem xét phát hiện và GQVĐ dƣới góc độ một năng lực cần
phát triển cho HS để làm căn cứ cho việc nghiên cứu bn cht và thành phần
của năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong quá trình dy học toán THPT,
chúng tôi trình bày ở phần sau của luận văn.

Từ những nghiên cứu v năng lực và hot động GQVĐ, vận dụng vào
thực tiễn dy học toán ở trƣờng THPT, chúng tôi quan niệm: Năng lực phát
hiệ n và GQVĐ của HS trong học toán là một hệ thống các thuộc tính của cá
nhân con ngƣời thể hiện ở các kh năng (tƣ duy và hành động) trong hot
động học tập nhằm phát hiện và gii quyết có hiệu qu các vn đ, các nhiệm
vụ trong hot động đó.
1.3. Vấn đề phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong dy
học Hnh học
Vn đ phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS trong dy học
Hnh học nói riêng và dy h ọc toán nói chung d ựa trên cơ sở khoa học là
những kết qu nghiên cứu v triết học, tâm lí học, giáo dục học.
- Theo các qui luật phát triển của Triết học, “mâu thuẫ n là độ ng lƣ̣ c củ a
sƣ̣ phá t triể n”, có thể thy: mâu thuẫn giữa kiến thức, k năng toán học đã có ở
HS với yêu cầu xây dựng và sử dụng kiến thức mới đã to ra nhu cầu, động
lực để HS tiến hành hot động phát hiện và GQVĐ trong dy học toán. Do đó,
nếu HS thƣờng xuyên đƣợc tập luyện hot động phát hiện và GQVĐ (mặt số
lƣợng hot động) sẽ to ra sự phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ (mặt
cht lƣợng hot động).
- Từ quan điểm trong hot động giáo dục, chúng tôi thy rằng: Năng
lực và k năng thƣờng gắn với một loi hot động cụ thể. Năng lực chỉ đƣợc

17

hình thành, phát triển, thể hiện thông qua hot động đó. Do đó, chỉ có thể đo
đƣợc sự phát triển của năng lực thông qua việc xác định mức độ thành tho
của các thao tác, k năng tiến hành những hot động thành phần.
A. V. Pêtrôpxki đã chỉ rõ: “Trong quá trnh tƣ duy gii quyết các vn
đ, tính cht của các thao tác hot động phụ thuộc và mục đích mà các thao
tác nói trên hƣớng tới và vào nội dung của vn đ cần gii quyết” [24]. Để
thuận lợi cho việc “thao tác hoá” năng lực trong hot động học tập, chúng ta

có thể tham kho cách tiếp cận của Xavier Rogiers: Năng lực học tập đƣợc cụ
thể hoá thành những “hot động của HS trên nội dung tri thức trong một lot
tình huống sƣ phm có ý ngha với các em” [30].
Do đó, để kiểm tra đánh giá năng lực của HS trong học tập toán, chúng
ta có thể to ra cho HS một tình huống toán học cùng loi (không giống y nhƣ
tình huống đã học mà chỉ tƣơng tự v bn cht, còn khác nhau v hình thức).
- Từ góc độ Tâm lí học, để năng lực phát hiện và GQVĐ đƣợc phát
triển thuận lợi, cần ch ý đm bo những điu kiện sau trong dy học toán nói
chung và Hì nh họ c nó i riêng:
+ HS có động cơ, thái độ học tập tốt: GV gây hứng thú và kích thích
HS tích cực tham gia hot động tìm tòi sáng to trong học toán.
+ HS đƣợc chuẩn bị tốt v kiến thức và k năng. Đặc biệt là cần cho HS
nắm những phƣơng thức cơ bn để phát hiện và gii quyết những vn đ trong
học toán một cách sáng to. X. L. Rubinstein cho rằng: Năng lc có quan hệ
qua lại vi kiên thức, kĩ năng v kĩ xảo. Năng lc l điều kiện đ nắm chắc
các kin thức, kĩ năng v kĩ xảo; mt khác chính trong quá trình nắm vng
chúng thì năng lc cũng được hình thnh. Con người muốn hình thnh năng
lc phải da trên một hệ thống kin thức nhất định lm cơ sở cho khái quát,
lĩnh hội v hình thnh cc kĩ năng (đồng thời cũng hình thnh nhng năng
lc nhất định) [25].

18

+ GV tổ chức cho HS đƣợc tham gia nhiu vào hot động phát hiện tình
huống và xây dựng các nội dung học tập, gii quyết các vn đ thực tiễn. To
điu kiện cho HS thể hiện kh năng hot động tích cực và độc lập trong việc
phát hiện và gii quyết các niệm vụ trong quá trình học toán.
- Từ đặc điểm v tâm lí lứa tuổi: HS THPT ở lứa tuổi 16 - 18 đang ở
giai đon phát triển c v thể cht và tâm hồn, có kh năng tự điu chỉnh trong
hot động học tập; tri giác có chủ định chiếm ƣu thế, năng lực ghi nhớ tăng

lên rõ rệt, sự tập trung ch ý cao hơn và có kh năng di chuyển: Hot động
học tập dần dần hƣớng vào thỏa mãn nhu cầu nhận thức Mặt khác, do tiếp
xúc với nhiu môn học, nhiu GV, nhiu PPDH nên đòi hỏi HS phi có
những biến chuyển lớn v năng lực quan sát, ghi nhớ, tƣ duy lôgic, tính độc
lập, kiên trì ([27]). Những đặc điểm này to điu kiện thuận lợi cho việc
hình thành và phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ ở HS.
Nhiu công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Ging dy Toán học ở phổ
thông không nên xa rời với thực tiễn. “Loi bỏ ứng dụng ra khỏi toán học
cũng có ngha là đi tm một thực thể sống chỉ còn bộ xƣơng, không có tí thịt,
dây thần kinh hoặc mch máu nào” [23]. Tác gi Ngô Hữu Dũng đã cho rằng:
ứng dụng toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bn,
cần phi rèn luyện cho HS [7].
Nói v những yêu cầu đối với toán học nhà trƣờng phổ thông nhằm phát
triển văn hóa toán học, tác gi Trần Kiu cho rằng: “Học toán trong nhà trƣờng
phổ thông không phi chỉ tiếp nhận hàng lot các công thức, định lí, phƣơng pháp
thuần túy mang tính lí thuyết… cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học
Toán phi đt tới là hiểu đƣợc nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao kh
năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” [19].
V.V. Firsôv khng định: “Việc ging dy Toán ở trƣờng phổ thông
không thể không ch ý đến sự cần thiết phi phn ánh khía cnh ứng dụng

19

khoa học Toán học, điu đó phi thực hiện bằng việc dy cho HS ứng dụng
Toán học để gii quyết các bài toán có nội dung thực tế” [34].
Việc gii các bài toán có nội dung thực tế thƣờng đƣợc tiến hành qua
các bƣớc:
Bưc 1: Chuyn bài toán thc t về dạng ngôn ng thích hợp vi lí
thuyt toán học dng đ giải (lập mô hình toán học của bài toán);
Bưc 2: Giải bài toán trong khuôn kh của lí thuyt toán học;

Bưc 3: Chuyn kt quả lời giải toán học về ngôn ng của lĩnh vc
thc t [14].
Trong ba bƣớc trên, bưc 1 thƣờng là bƣớc quan trọng nht. Để tiến
hành bƣớc này, điu quan trọng là tập luyện cho HS biết xác định những đi
lƣợng trong mối liên quan v đi lƣợng với nhau, phát hiện ra những mối liên
quan v lƣợng của chng để trên cơ sở đó có thể biểu thị đƣợc đi lƣợng này
thông qua đi lƣợng khác và cũng trên cơ sở đó mà lập phƣơng trình, hệ
phƣơng trnh. Mặt khác, cũng cần tập luyện cho HS biểu thị những tình huống
thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đi diện cho những đi
lƣợng chƣa biết.
1.4. Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ của HS
trong dy học Toán ở THPT
Trên cơ sở phân tích các kết qu của nhà khoa học, chúng tôi thy rằng,
mỗi năng lực đu có cu trúc riêng gồm nhiu thuộc tính, trong đó các thuộc
tính không chỉ tồn ti bên cnh nhau một cách đơn gin, mà chúng liên hệ với
nhau một cách hữu cơ, chng tác động lẫn nhau trong một hệ thống nht định.
Đặc biệt, điu có ý ngha quyết định đối với mỗi năng lực không phi bn
thân từng thuộc tính riêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cu trúc nht định
và chng tôi đƣa ra, phân tích một số năng lực thành tố (NLTT) của năng lực
phát hiện và GQVĐ của HS trong học Toán nhƣ sau:

20

1.4.1. NLTT 1: Phát hiện, nhận biết biểu tƣợng trực quan liên quan tới
vấn đề
Lênin đã viết: “Từ trực quan sinh động đến tƣ duy trừu tƣợng và từ đó
v thực tiễn - đó là con đƣờng biện chứng của nhận thức hiện thực khách
quan” [9], Còn I. Cant thì coi trực giác thần tuý là nguồn gốc của mọi suy
luận tổng hợp tiên nghiệm của toán học. Con đƣờng nhận thức nói chung và
GQVĐ nói riêng nếu đi từ trực giác (bằng quan sát, tƣ duy trên đối tƣợng cụ

thể) đến kết luận lôgic (bằng suy diễn, tƣ duy trừu tƣợng) có những phù hợp
nht định đối với đặc điểm tâm lí, sinh lí và nhận thức ở lứa tuổi HS THPT.
J. Bruner [33] đã viết rằng: “Cũng c th là, ví dụ kì lạ nhất về phương
diện này là s trình bày khởi đầu và hình học Ơclit cho HS cấp 2 dưi dạng
tiên đề v định lí không da vào một thc nghiệm, xem xét một hình thái hình
học đơn giản nào. Nu như đứa trẻ đã nắm được khái niệm v phương php
tính toán dễ hiu dưi dạng hình học trc giác thì nó cũng có th nắm được ý
nghĩa sâu sắc của cc định lí v cc tiên đề xuất hiện sau ny”.
Ba nhà khoa học Albert Einstien, Charles Darwin và Sigmund Freud,
họ đã dùng hnh nh trực quan nhƣ là một công cụ để làm ra những công trình
lớn trong suốt c cuộc đời. Những ghi chép của Darwin phn ánh nim đam
mê không biết mệt mỏi của ông với những hình nh cây cối. Biểu tƣợng này
có vẻ rt quan trọng trong việc gip ông hnh tƣợng hóa thuyết tiến hóa, Ông
viết: “S hiện diện có t chức của các sinh vật được sắp xp giống như một
cái cây, chia cành nhánh bất thường, giống như cây khô, đâm chồi rồi cht đi
trong khi chồi non sinh ra”. Tƣơng tự vậy, ở độ tuổi 16, Albert Einstien đã
nhận đƣợc một trong những cm hứng chủ yếu cho thuyết tƣơng đối của ông,
khi ông tƣởng tƣợng ra một thứ có vẻ nhƣ là đƣờng đi của những tia sáng.
Còn Sigmund Freud đã chứng minh những học thuyết của bn thân ông một