Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phần 3 đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM BẤT KÌ ĐẾN MẶT PHẲNG
Ví dụ 1. [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a; AD = a 3, SA = 2a và SA vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách

a) từ B đến (SAD).
b) từ C đến (SAB).
c) từ O đến (SCD) với O là tâm đáy.
d) từ M đến (SBD) với M là trung điểm của AB.
e) từ I đến (SBC) với I là trung điểm của SD.
Ví dụ 2. [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3.
hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của OB, với O là tâm đáy. Biết góc giữa SC và
mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ H đến (SCD).
b) từ B đến (SAD).
c) từ B đến (SAC)
Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SA = a.

a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) .
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC).
c) Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC)
d) Gọi J là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC)
e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC).

Đ/s:

b)

a 2
2

c)

a 2
4

d)

a 2
4

e)

a 2
6

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 AB ⊥ BC
a) Ta có: 
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .
 SA ⊥ BC
b) Dựng AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC )
Khi đó: d ( A; ( SBC ) ) = AH =

SA. AB
SA2 + AB 2

c) Do AB = 2 BI ⇒ d ( I ; ( SBC ) ) =

=

a 2
.
2

1
a 2
d ( A; ( SBC ) ) =
.
2
4

d) Do AC = 2CJ ⇒ d ( J ; ( SBC ) ) =

1
a 2

d ( A; ( SBC ) ) =
2
4

e) Gọi K là trung điểm của BC ta có: AK = 3GK
1
a 2
.
Do vậy d ( G; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) =
3
6

Ví dụ 4. [ĐVH]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
(ABCD) và SA = a 3 . O là tâm hình vuông ABCD.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC).
c) G1 là trọng tâm ∆SAC. Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I. Tính khoảng cách từ điểm
G1 đến (SBC), khoảng cách từ điểm I đến (SBC).

d) J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC).
e) Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC. Tính khoảng cách từ điểm G2 đến (SBC).
Đ/s

a)

a 3
2

b)

a 3
4

c)

a 3
6

d)

a 3
4

e)

a 3
6

Lời giải:
 AB ⊥ BC
a) Dựng AH ⊥ SB ta có: 
⇒ AH ⊥ BC
 SA ⊥ BC
Từ đó suy ra AH ⊥ ( SBC )
Do vậy d ( A; ( ABC ) ) = AH =

SA. AB
SA + AB
2

b) Do AC = 2OC ⇒ d ( O; ( SBC ) ) =

2

=

a 3
.
2

1
a 3
d ( A; ( SBC ) ) =
.
2
4

c) Gọi E là trung điểm của SC ta có: AE = 3G1 E
1
a 3
.
Do đó: d ( G1 ; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) =
3
6
Gọi K là trung điểm của BC, dễ thấy I là trọng tâm tam
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

giác ABC tương tự ta có: d ( I ( SBC ) ) =
d) Ta có: d ( J ; ( SBC ) ) =

Facebook: Lyhung95

a 3
6

1
1
a 3
d ( D; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) =
2
2
4

1
1
a 3
e) Ta có d ( G 2 ; ( SBC ) ) = d ( D; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) =
3
3
6

Ví dụ 5. [ĐVH]: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với (ABC), lấy điểm S
sao cho SA = a 3 , K là trung điểm của BC.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC);
b) Gọi M là điểm đối xứng với A qua C. Tính khoảng cách từ điểm M đến (SBC).
c) Gọi G là trọng tâm ∆SCM. Tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC).

d) I là trung điểm của GK. Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC).
Đ/s:

a)

a 15
5

b)

a 15
5

c)

a 15
15

d)

a 15
30

Lời giải:
a) Dựng đường cao AK và AH ⊥ SK
 BC ⊥ SA
⇒ AH ⊥ ( SBC ) do 
.
 BC ⊥ AH
Khi đó: d ( A; ( SBC ) ) = AH =

Trong đó AK =

SA. AH
SA2 + AH 2

a 3
a 15
⇒ d ( A; ( SBC ) ) =
.
2
5

b) Do C là trung điểm của AM nên
d ( A; ( SBC ) ) = d ( M ; ( SBC ) ) =

a 15
.
5

c) Do ME = 3GE ( với E là trung điểm SC) nên
1
a 15
d ( G; ( SBC ) ) = d ( M ; ( SBC ) ) =
3
15

d) Do I là trung điểm của GK nên d ( I ( SBC ) ) =

1
a 15

d ( G; ( SBC ) ) =
.
2
30

Ví dụ 6. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = a; AB = a 3 tâm O.
Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trùng với trung điểm của OA. Đường thẳng SC tạo với đáy
một góc 600 . Tính các khoảng cách sau:
a) d ( A; ( SCD ) ) .
b) d ( A; ( SBD ) ) .

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

3
3a
a) Ta có: AC = 2a ⇒ HC = . AC =
4
2
3a 3
Do SCH = 600 ⇒ SH = HC tan 600 =
2
AC 4
4

Do
= ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = d ( H ( SCD ) ) .
HC 3
3
Dựng HE ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHE )

Khi đó dựng HF ⊥ SE , lại có CD ⊥ HF suy ra
4
HF ⊥ ( SCD ) . Do vậy d ( A; ( SCD ) ) = HF .
3
HE CH 3
3a
=
= ⇒ HE =
Theo Talet ta có:
AD CA 4
4
1
1
1
3a 39
Mặt khác
=
+
⇒ HF =
2
2
2
HF
SH

HE
26
Do vậy d ( A; ( SCD ) ) =

2a 39
.
13

AO
= 2 ⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ( SCD ) ) .
HO
Dựng HM ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SHM )

b) Ta có:

Khi đó dựng HN ⊥ SM , lại có BD ⊥ HN suy ra HN ⊥ ( SCD ) . Do vậy d ( A; ( SBD ) ) = 2 HN .
Dễ thấy OA = OD = AD = a nên tam giác OAD đều có AOD = 600 ⇒ HM = OH sin 600 =
Lại có:

a 3
.
4

1
1
1
3
3
=
+

⇒ HN = 3a
⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 3a
.
2
2
2
HN
SH
HM
148
37

Ví dụ 7. [ĐVH]: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C có
AC = BC = 3a . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, biết góc
giữa mặt phẳng ( A ' AB ) và đáy ( ABC ) bằng 600 . Tính các khoảng cách sau:
a) d ( C ; ( A ' AB ) ) .
b) d ( B; ( A ' AC ) )

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Gọi I là trung điểm của AB do tam giác ABC
vuông cân tại C nên CI ⊥ AB ,G là trọng tâm
tam giác ABC.

Mặt khác A ' G ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( A ' IC ) .
Do vậy A ' IG = 600 .
3a 2
a 2
⇒ IG =
.
2
2
a 6
Do vậy A ' G = IGtan 600 =
.
2
Ta có: d ( C ; ( A ' AB ) ) = 3d ( G; ( A ' AB ) ) .

Ta có: AB = 3a 2; CI =

Dựng GK ⊥ A ' I ⇒ GK ⊥ ( A ' AB )

1
1
1
a 6
= 2+
⇒ GK =
2
2
GK
GI
A'G
4

3a 6
⇒ d ( C ; ( A ' AB ) ) =
.
4

Ta có:

BM
= 3 ⇒ d ( B; ( A ' AC ) ) = 3d ( G; ( A ' AC ) ) .
GM
Dựng GE ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( A ' GE ) , dựng GF ⊥ A ' E ⇒ GF ⊥ ( A ' AC )

b) Giả sử BG cắt AC tại M ta có:

1
Ta có: GE = GC sin GCE = GC sin 450 = a , hoặc do Ta let ta cũng có GE = BC = a .
3
1
1
1
a 15
3a 15
Do vậy
=
+
⇒ GF =
⇒ d ( B; ( A ' AC ) ) =
.
2
2

2
GF
GE
A 'G
5
5

Ví dụ 8. [ĐVH]: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
cạnh a và (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh (SIC) ⊥ (SED)
b) Tính khoảng cách từ điểm I đến (SED).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến (SED).
d) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SED).
Đ/s

b)

3a 2
8

c)

a 2
4

d)

a 2
2

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Học sinh tự làm.
b) Ta dễ chứng minh được: IC ⊥ ED

⇒ DE ⊥ ( SIC ) ⇒ DE ⊥ SF ( F = IC ∩ DE )
IF 3
3a 5
= ⇒ FI =
FC 2
10
Kẻ

IG ⊥ SF ⇒ IG ⊥ ( SDE ) ⇒ d ( I ; ( SDE ) ) = IG
1
1
1
1
1
= 2+ 2 =
+
2

2
2
IG
IS IF
 a 3   3a 5 

 

 2   10 

⇒ IG =

c)

3a 2
8

d ( I ; ( SDE ) ) 3
IF 3
2
a 2
= ⇒
= ⇒ d ( C ; ( SDE ) ) = d ( I ; ( SDE ) ) =
3
4
FC 2
d ( C ; ( SDE ) ) 2

d ( J ; ( SDE ) )
 A∈ ∆ 

JF
a 2
d) Gọi J = IC ∩ ∆  
= 2⇒
= 2 ⇒ d ( J ; ( SDE ) ) =
⇒
FC
2
d ( C ; ( SDE ) )
 ∆ / / DE 
Do ∆ / / DE ⇒ ∆ / / ( SDE ) ⇒ d ( A; ( SDE ) ) = d ( J ; ( SDE ) ) =

a 2
2

Ví dụ 9. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều
nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a.

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với (SAD) và cách
(SAD) một khoảng bằng

Đ/s

a) a 2;

a 2
2

a 3
.
4

b)

a 6
3

c)

a2 6
2

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Kẻ AI ⊥ SC ⇒ AI ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = AI
1
1
1
=
+ 2 ⇒ AI = a 2 ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = a 2
2

2
AI
AC
SA
Ta dễ chúng minh được:

d ( B; ( SCD ) ) =

1
a
d ( A; ( SCD ) ) =
2
2

b) Kẻ AM ⊥ BC ⇒ AM =

a 3
2

d ( AD; ( SBC ) ) = d ( A;( SBC ) ) = AN
1
1
1
a 6
a 6
=
+ 2 ⇒ AI =
⇒ d ( A; ( SCD ) ) =
2
2

AN
AM
SA
3
3

c) Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB , CD, SC, SB.
Khi đó dễ dàng thấy hình thang EFGH là thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) song song
1
a2 6
a 3
với (SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng
⇒S
= ( EF + GH ) HE =
EFGH 2
4
2

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!