Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

KHO NG CÁCH T

Chuyên đ : Hình h c không gian

ĐI M T I M T

TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Trong hình h c không gian, khi bàn t i v n đ kho ng cách, ta có t i sáu khái ni m liên quan. Các khái
ni m đ c minh h a theo s đ :

Khái ni m kho ng cách gi a đi m và đi m (đi m – đi m), đi m và đ ng th ng (đi m – đ ng), hai
đ ng th ng song song là các khái ni m c b n trong hình h c ph ng, còn các khái ni m khác nh : “
ng th ng đ n m t ph ng (đ ng – m t) hay m t ph ng đ n m t ph ng (m t – m t)” ( đây các m i
quan h gi a
đ ng – m t, m t – m t là song song) đ u đ c chuy n qua kho ng cách gi a đi m và m t ph ng (đi m –
m t). Do đó trên th c t , ta ch g p hai l p câu h i v kho ng cách là: “kho ng cách gi a m t đi m t i
m t m t ph ng và kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau “. Sau đây ta s đi tìm hi u chi ti t:

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

A. S đ gi i

B. Ví d minh h a

Ví d 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông c nh a . Hình chi u vuông góc c a S xu ng
m t đáy ( ABCD) là trung đi m H c a AB . Góc t o b i SC và m t ph ng ( ABCD) b ng 600 . Tính
kho ng cách t :
1) đi m H đ n m t ph ng ( SCD) .

2) đi m H đ n m t ph ng ( SBC ) .

3) đi m B đ n m t ph ng ( SCD) .

4) đi m M đ n m t ph ng ( SCD) .

5) đi m M đ n m t ph ng ( SAB) .

6) đi m G đ n m t ph ng ( SAC ) .

(V i M là trung đi m c a BC và G là tr ng tâm c a tam giác SBC )

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Gi i:
Ta có SH  ( ABCD) , do đó HC là hình chi u vuông góc c a SC lên m t ph ng ( ABCD) .
Suy ra (SC,( ABCD))  SCH  600 .
S

2

a 5
a
Ta có HC  HB  BC     a 2 
.
2
2
2

2

a 15
.
2

1) K HI  CD ( I  CD ), HK  SI ( K  SI ) .

Suy ra SH  HC tan 600 

K

CD  HI
 CD  ( SHI )  HK  CD  HK .
Khi đó 
CD  SH
 HK  CD
V y
 HK  (SCD )  d (H ,(SCD ))  HK .
 HK  SI

P

G

A

a

H

I

600

B

C

M

1
1
1
4
1
19
.
Có HI  AD  a 

 2 
 2 
2
2
2
HK
SH
HI
15a
a
15a 2

D

J

a 285
a 285
. V y d ( H , ( SCD)) 
.
19
19
2) K HP  SB ( P  SP ).
CB  AB
 HP  CB
 CB  ( SHB)  CB  HP . V y 
 HP  (SBC )  d (H ,(SBC ))  HP .
Ta có 
CB  SH
 HP  SB

Suy ra HK 

Ta có

1
1
1
4
4
64
a 15
a 15
. V y d ( H , ( SBC )) 
.




 2 
 HP 
2
2
2
2
2
15a
8
HP
SH
HB 15a
a
8

3) Ta có BH // CD  BH // ( SCD)  d ( B, ( SCD))  d ( H , (SCD)) 
4) G i MH


CD   J  . Có MC 

a 285
.
19

HI
và MC // HI , suy ra MC là đ
2

ng trung bình trong HIJ

MJ 1
 .
HJ 2

Ta có MH

( SCD)   J   d ( M , ( SCD)) 

MJ
1 a 285 a 285
.
d ( H , ( SCD))  .

38
HJ
2 19

 MB  AB
a
 MB  (SAB)  d (M , (SAB))  MB  .
5) Ta có 
2
 MB  SH
GS 2
6) Do G là tr ng tâm c a tam giác SBC , suy ra
 .
MS 3

Ta có GM (SAC )  S .

S

GS
2
.d ( M , ( SAC ))  d ( M , ( SAC )) (1)
MS
3
Do MH // AC  MH // ( SAC )  d (M ,(SAC))  d ( H ,(SAC)) (2)
 d (G, ( SAC )) 

K HN  AC ( N  AC ), HE  SN ( E  SN ).
 AC  HN
 AC  ( SHN )  HE  AC  HE .
Khi đó 
 AC  SH
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

E
a

G
A

N

H

B

T ng đài t v n: 1900 69-33

M

C
- Trang | 3 -

D


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

 HE  AC
V y
 HE  (SAC )  d (H ,(SAC ))  HE (3)
 HE  SN
Ta có: SAHC
Khi đó:

SABCD a 2
2SAHC
a2
a



 HN 


.
4
4
AC
2.a 2 2 2

1
1
1
4
8
124
a 465
(4).



 2 
 HE 
2
2
2
2
2
15a
15a
62

HE
SH
HN
a

T (1), (2), (3), (4) ta đ

2 a 465 a 465
a 465
c: d (G, ( SAC ))  .
. V y d (G, ( SAC )) 
.

3 62
93
93

Ví d 2. Cho hình chóp S. ABC có SB  a , SC  2a , BSC  600 . G i M là chân đ

ng cao k t đ nh

A c a tam giác ABC và AM  2a . Bi t hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng ( ABC ) là đi m

thu c đ ng th ng AM , góc t o b i SB và đáy ABC b ng 300 . Tính kho ng cách t
ph ng ( SBC ) .
Gi i:

S

Do SH  ( ABC )   SB,( ABC )   SBH  300

600

a
2
Áp d ng đ nh lí cosin trong tam giác SBC ta có:
BC 2  SB2  SC 2  2SB.SC.cos 600

Khi đó SH  SB.sin SBH  a.sin 300 

a
2a

 5a 2  2a 2  3a 2  BC  a 3
1
Suy ra SABC  AM .BC  a 2 3
2

Khi đó VSABC

3V
Suy ra d  A, ( SBC )   SABC
SSBC

Hocmai – Ngôi tr

a3 3
 2 6 a.
a 3
2

ng chung c a h c trò Vi t !!

B

2a
H

a2 3
1
1
0
 SB.SC.sin BSC  a .2a .sin 60 
2
2
2

3.

300

A

a3 3
1
1 a
 SH .SABC  . .a 2 3 
3
3 2
6

M t khác SSBC

Ađ nm t

M
C

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 4 -