Định lí krein rutman và các mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Thái Nguyên Khang

ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN
VÀ CÁC MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Thái Nguyên Khang

ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN
VÀ CÁC MỞ RỘNG
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LÊ XUÂN TRƯỜNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chương 1. ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH ......3
1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ....................................................3
1.1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón .....................................................................3
1.1.2. Nón chuẩn ..............................................................................................4
1.1.3. Nón chính qui .........................................................................................5
1.1.4. Nón sinh .................................................................................................6
1.1.5. Nón liên hợp ...........................................................................................8
1.2. Ánh xạ tuyến tính dương và sự tồn tại vectơ riêng dương ..............................9
1.2.1. Giá trị riêng và vectơ riêng ....................................................................9
1.2.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính ......................................................................9
1.2.3. Ánh xạ tuyến tính dương. .....................................................................10
1.3. Định lí Krein – Rutman .................................................................................13
Chương 2. ĐỊNH LÍ KREIN –RUTMAN CHO ÁNH XẠ u 0 – DƯƠNG ..........18
2.1. Ánh xạ u 0 – dương .........................................................................................18
2.2. Định lí Krien–Rutman cho ánh xạ u 0 – dương ..............................................19
Chương 3. ĐỊNH LÍ KREIN-RUTMAN CHO ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG .... 26
3.1. Ánh xạ thuần nhất dương và Bán kính phổ mở rộng .....................................26
3.2. Mở rộng của khái niệm dương mạnh .............................................................31
3.3. Ánh xạ e - dương ...........................................................................................35
KẾT LUẬN ..............................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................39


BẢNG KÝ HIỆU
∗ : Tập hợp các số tự nhiên khác 0
 : Tập hợp các số thực

1+ : Tập hợp các số thực không âm
 : Tập hợp các số phức

C[a ,b] : Không gian các hàm liên tục trên [ a, b ] với chuẩn x = sup f (t)
a ≤t ≤b

X* : Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X

L(X, X) : Không gian các hàm tuyến tính liên tục
L1 (Ω) : Không gian các hàm khả tích trên Ω

Lp (Ω=
)

{f : Ω → ; f đo được và

p

: Chuẩn trên không gian Banach X

B(a, ρ) : Hình cầu mở tâm a bán kính ρ
B(a, ρ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính ρ

∂ C : Tập tất cả các điểm biên của C
i

∏µ
0

j

=µ 0 . µ1 . µ 2 ... µi

}

f ∈ L1 (Ω) , với 1 ≤ p < ∞


1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự ra đời từ những năm 1940
trong công trình mở đầu của M.Krein và A.Rutman, được phát triển và hoàn thiện
cho đến ngày nay. Nó tìm được những ứng dụng rộng rãi và có giá trị trong nhiều
lĩnh vực của khoa học và xã hội như trong Lý thuyết phương trình vi phân, Vật lý,
Y - sinh học, Kinh tế học . . .
Định lý Krein - Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính
dương mạnh là định lý được tìm ra sớm nhất về mặt lý thuyết cũng như về mặt ứng
dụng của lý thuyết này. Định lí này là mở rộng các kết quả riêng quan trọng sau
đây:
-

Định lí Perron, được tìm ra năm 1907, khẳng định rằng

“ Nếu A là một ma trận vuông có các số hạng là dương thì :
1) Bán kính phổ r(A) của A là số dương.
2) r(A) là giá trị riêng đơn của A.
3) Nếu λ ≠ r(A) là một giá trị riêng của A thì λ < r(A) .
4) Vectơ riêng v của A ứng với giá trị riêng r(A) có các toạ độ dương.

5) v là vectơ riêng dương duy nhất của A ( chính xác tới một thừa số ).
- Định lí Jentseh, được chứng minh năm 1912, mở rộng các kết quả trên cho
toán tử tích phân ϕ  ∫a K(t,s) ϕ(s)ds với hạch K(t,s) .
b

Vì sự quan trọng của nó mà định lý Krein - Rutman được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu và tìm các ứng dụng mới cho đến gần đây. Do đó việc tìm
hiểu về định lý này cùng các mở rộng của nó là đề tài có ý nghĩa cho các học viên
cao học chuyên ngành Toán giải tích.
Mục tiêu của luận văn là giới thiệu định lí Krien – Rutman ban đầu với phép
chứng minh dựa vào phương pháp hệ động lực và một vài mở rộng của định lí này,
trong đó có kết quả mới tìm ra gần đây.


2

Luận văn có 3 chương :
Chương1. Trình bày định lý Krein – Rutman bằng phương pháp hệ động học.
Chương2. Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ u 0 – dương.
Chương3. Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ thuần nhất dương.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Xuân
Trường, Khoa Toán Thống Kê - Đại học Kinh tế TP.HCM. Tôi xin bày tỏ sự kính
trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tôi biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán-Tin, trường Đại
học Sư Phạm TP.HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng quý báu của
Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học.
Tôi kính gởi đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, Bộ môn
Toán Giải tích và Phòng Sau Đại Học của trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã
giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, những lời cám
ơn chân thành và trân trọng.

Tôi kính gởi đến Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành công đoàn trường, tổ Toán
- Tin trường THPT Nguyễn Huệ - Lagi - Bình Thuận, nơi tôi đang công tác, đã tạo
điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ
của một học viên, những lời cảm ơn sâu sắc và trân trọng.
Tôi thành thật cảm ơn các Anh chị đồng nghiệp và người thân của tôi đã giúp
đỡ tôi về mọi mặt. Cảm ơn gia đình đã luôn là nguồn động viên to lớn cho tôi trong
suốt quá trình học tập cũng như thực hiện luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012

Thái Nguyên Khang


3

Chương 1. ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO
ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH
1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón
1.1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1
Cho X là không gian Banach trên trường số thực  .
a) Tập K ⊂ X được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau:
H 1 : K là tập đóng, K ≠ ∅ ,
H 2 : K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0,
H 3 : K  (− K) =
{θ}.
b) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi:

x ≤ y ⇔ y − x ∈K .
Mỗi x ∈K \ {θ} gọi là dương.
Ví dụ

i) K=

[0, + ∞ ) là nón trong  .

=
ii) K

{(x1 , x 2 ): x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0} là nón trong

2 .

Mệnh đề 1.1.1
Giả sử “ ≤ ” là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó:
a) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , λ x ≤ λy, với mọi z∈ X , với mọi λ ≥ 0 .
b) Nếu x n ≤ y n với mọi n ∈* và=
lim x n x=
, lim y n y thì x ≤ y .
n →∞

n →∞

c) Nếu {x n } là dãy tăng, hội tụ về x thì x n ≤ x, với mọi n∈* .
Chứng minh
a) Ta có:
● ( y + z ) − ( x + z ) = y − x ∈ K , với z ∈ X nên x + z ≤ y + z.
● λy − λx = λ (y − x)∈K , vôùi λ ≥ 0 neân λx ≤ λy .


4

b) Từ x n ≤ y n , với mọi n ∈* suy ra rằng y n − x n ∈ K . Do đó

(y n − x n ) → (y − x) ∈ K ( do tính chất đóng của K ).Vậy x ≤ y .
c) Giả sử { x n } tăng. Khi đó x n ≤ x n+m (m, n ∈ * ), cho m → ∞ , ta được: x n ≤ x,
với mọi n ∈ * .
1.1.2. Nón chuẩn
Định nghĩa 1.1.2
Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại N > 0 sao cho θ≤ x ≤ y thì  x  ≤ N  y  .
Ví dụ: Nón K=

{f ∈ C[

0,1]

}

: f ≥ θ là nón chuẩn trong C [0,1] .

Chứng minh
Lấy f, g ∈ K thỏa điều kiện θ ≤ f  g
≤ hay với t ∈ [0 ,1], ta có 0 ≤ f(t) ≤ g(t)
suy ra Sup f (t) ≤ Sup g(t) hay  f  ≤  g  .
t∈[ 0,1]

t∈[ 0,1]

Vậy K là nón chuẩn với hằng số N = 1.
Mệnh đề 1.1.2
Cho K là nón chuẩn trong X. Khi đó:
a) Nếu u ≤ v thì đoạn 〈 u , v〉 := {x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn.

b) Nếu x n ≤ yn ≤ z n , với mọi n ∈* và
=
lim x n
n →∞

a,
=
lim z n
n →∞

a

thì lim y n = a .
n →∞

c) Nếu {x n } đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì lim x n = a .
n →∞

Chứng minh
a) Với mọi x ∈ 〈 u, v〉 ta có θ≤ x − u ≤ v − u và K là nón chuẩn nên

 x − u  ≤ N  u − v  suy ra  x  ≤  u  + N  u − v  .
Vậy 〈 u, v〉 bị chặn theo chuẩn.
b) Ta có: θ≤ y n − x n ≤ z n − x n , với mọi n ∈* và K là nón chuẩn nên

 y n − x n  ≤ N  z n − x n  , với mọi n ∈* . Mà lim  z n − x n  =
0 nên
n →∞

lim  y n − x n  =

0 . Do đó lim y n =lim[(y n − x n ) + x n ] =0 + a . Vậy lim y n = a .
n →∞

n →∞

n →∞

n →∞


5

c) Giả sử {x n } tăng và lim x n = a . Vì x n   ≤ x n (n ∈ * cố định, khi k đủ lớn) nên
k →∞

k

k

x n ≤ a , với mọi n ∈* .
Cho ε > 0, chọn k 0 để  x n − a  <
k0

ε
thì ta có
N

∀n ≥ n k ⇒ a − x n ≤ a − x n ⇒  a − x n  ≤ N  a − x n  < ε .
0

K0

k0

Vậy lim x n = a .
n →∞

1.1.3. Nón chính qui
Định nghĩa 1.1.3
Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Ví dụ
1) Trong C[a=
,K
,b ]

{x: x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]} không là chính qui.

 t −a 
Vì ta có dãy x n (t) = 
 giảm và bị chặn dưới nhưng không hội tụ.
 b−a 
n

2) Trong Lp (Ω), (1 ≤ p < ∞) nón K = {x ∈ Lp (Ω):x(t) ≥ 0, h.k.n} là chính qui.
Chứng minh
Xét dãy {x n } ⊂ Lp thoả x n ≤ x n +1 ≤ u ∈ Lp .
Coi x n (t) ≤ x n +1 (t) ≤ u(t), với mọi t ∈ Ω . Đặt
x 0 (t) lim x n (t), t ∈ Ω
=
n →∞

Ta có: x 0 ∈ Lp ( x n (t) đo được nên x 0 đo được, ∫ x 0p (t)dµ ≤ ∫ u p (t)dµ < ∞ )
Ω

Ω

1/p



x n −=
x 0  ∫ (x 0 (t) − x n (t)) p dµ 
Ω


→ 0 ( vì (x 0 (t) − x n (t)) đơn điệu và hội tụ h.k.n

về 0 ).
Mệnh đề 1.1.3
Nếu K là nón chính qui thì K là nón chuẩn.
Chứng minh
Giả sử trái lại K không là nón chuẩn, ta có:
Với mọi n∈* , tồn tại x n , y n : θ≤ x n ≤ y n ,  x n  > n 2  y n  .


6

Đặt u n
=
Vì

1
xn
yn
thì θ≤ u n ≤ v n ,=
 u n  1,  v n  < 2 .
=
, vn
n
 xn 
 xn 

∞

∞

n =1

n =1

∑  vn  < ∞ nên tồn tại v : = ∑ vn .

Xét dãy S n : = u 1 + u 2 + . . . + u n , ta có :
• Sn ≤ v1 + v2 + . . . + vn ≤

∞

∑v
n =1

• Sn − Sn=
−1

n

= v ⇒ (S n ) n bị chặn trên.

u n ≥ θ (do u n ∈ K ) ⇒ (S n ) n tăng.

Vậy (S n ) n tăng, bị chặn trên mà K là nón chính qui nên (S n ) n hội tụ. Do đó

lim u n = 0 mâu thuẫn với  u n  = 1 ( n∈* ).
n →∞

1.1.4. Nón sinh
Định nghĩa 1.1.4
Nón K gọi là nón sinh nếu X= K − K hay với mọi x ∈ X , tồn tại u , v ∈ K
sao cho x= u − v .
Ví dụ
a) Nón các hàm không âm trong C(K), LP là nón sinh.
b) Nếu nón K có điểm trong u 0 thì ta có tồn tại r > 0 sao cho :

− r  x u 0 ≤ x ≤ r x u 0 , với mọi x ∈ X và K là nón sinh.
Chứng minh
Ta có u 0 ∈intK nên tồn tại   
ρ > 0 : u 0 + B(θ, ρ) ⊂ K . Do đó

u0 ±

1

1
ρ
ρ
x ∈B(u 0 , ρ) ⊂ K ⇒ u 0 ±
x ∈K , ∀x ≠ θ ⇒ −  x  u 0 ≤ x ≤  x  u 0 .
ρ
ρ
x
x

Đặt r =

1
, ta được − r  x  u 0 ≤ x ≤ r  x  u 0 và x = ( x + r  x  x 0 ) − r  x  x 0 ∈K − K .
ρ

Vậy K là nón sinh.
Mệnh đề 1.1.4
Nếu K là nón sinh thì tồn tại M > 0 sao cho với mọi x ∈ X , tồn tại u, v∈K :

x=
u − v,  u  ≤ M  x ,  v  ≤ M  x  .