Phương pháp chiếu cải biên cho bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

TRỊNH THỊ HỒNG HẠNH

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

TRỊNH THỊ HỒNG HẠNH

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

Hà Nội - 2015


i

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Hội
2. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo
và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô giáo Khoa Toán,
Phòng Đào tạo Sau đại học , các bạn học viên lớp Cao học K17 Toán
giải tích đợt 2 trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã luôn giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu
tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người
thân đã luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn.

Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy
cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 8, năm 2015
Tác giả

Trịnh Thị Hồng Hạnh

ii

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

H à Nội, tháng 8, năm 2015
Tác giả

Trịnh Thị Hồng Hạnh


iii

Các kí hiệu và chữ viết tắt
Tập hợp và Hàm
N

tập số tự nhiên

R
∈, ∈
/

tập số thực
thuộc, không thuộc của

φ
∀x
∃x
A⊂B
A∪B
A∩B
A×B
Không gian
H
2
n

R
Rm×n

một phần tử đối với một tập hợp
tập rỗng
với mọi
tồn tại
A là tập con thực sự của B
A hợp với B
A giao với B
tích Đề-các của A và B
không gian Hilbert thực
không gian các dãy bình phương khả tổng
không gian Euclide n-chiều
không gian các ma trận cấp m × n


iv

Vec tơ
xk

1 dãy các véc tơ x1 , x2 , x3 , ...

x, y
x := y
x, x
x =
xk → x
F :U →V
arg min{f (u) |u ∈ K }
PK (u)
FKnat
B (u, r)
B (u, r)
I
NK (u)
Lớp bài toán
V I (K, F )

tích vô hướng của hai véc tơ x, y
x được gán bằng y

CP (K, F )
LCP (M, q)

bài toán bù xác định bởi nón K và ánh xạ F
bài toán bù tuyến tính

chuẩn của véc tơ x
dãy xk hội tụ tới x
ánh xạ từ U vào V
tập các điểm cực tiểu của hàm f vào K
hình chiếu của u lên tập K
ánh xạ giá tự nhiên của F trên K
hình cầu mở tâm u bán kính r
hình cầu đóng tâm u bán kính r
ánh xạ đồng nhất
nón pháp tuyến tại điểm u trên K
bất đẳng thức biến phân
xác định bởi tập K và ánh xạ F

xác định bởi ma trận M và véc tơ q

DV I (K, F )

bài toán đối ngẫu của bài toán
bất đẳng thức biến phân V I (K, F )

Sol (K, F )

tập nghiệm của bài toán
V I (K, F ) hoặc CP (K, F )

Sol (M, q)
Sol(K, F )∗

tập nghiệm của bài toán LCP (M, q)

tập nghiệm của bài toán DV I (K, F )


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Các kí hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Bài toán bất đẳng thức biến phân. . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Không gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Bất đẳng thức biến phân và bài toán bù . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Toán tử đơn điệu và đơn điệu suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Phép chiếu metric, sự tồn tại nghiệm của bài toán VI (K, F)
...............................................................

16

1.5. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.6. Phương pháp gradient kéo dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.7. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 2. Phương pháp chiếu cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1. Một số tính chất cơ bản của toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Thuật toán chiếu cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3. Phương pháp chiếu cải biên với hệ số ưu tiên . . . . . . . . . . . . .

36

v


vi

2.4. Phương pháp chiếu cải biên không có hệ số ưu tiên . . . . . . .

41

2.5. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu đóng vai trò
rất quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào cuộc sống. Bài toán
cân bằng bao gồm cả hai loại bài toán được nêu trên.
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân, ra đời từ đầu những năm 1960,
là một công cụ mạnh để nghiên cứu các bài toán thực tế. Năm 1972, Ky
Fan và năm 1978 Browder – Minty đã phát biểu bài toán bất đẳng thức
biến phân một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó
với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa
liên tục trên, còn kết quả của Browder – Minty nặng về tính đơn điệu
của hàm số.
Đầu tiên người ta nghiên cứu những bất đẳng thức biến phân liên
quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều vào chính nó. Sau
đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với một nón, tạo ra một
quan hệ từng phần trên không gian đó. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã
được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của toán học và các
lĩnh vực khác. Từ đó người ta tìm cách phát biểu bài toán liên quan đến
ánh xạ đa trị và chứng minh các kết quả quen biết từ đơn trị sang đa


4

trị.
Khái niệm toán tử giả đơn điệu giới thiệu bởi S. Karamardian trong
[11], là một tổng quát quan trọng của toán tử đơn điệu. Trong bài báo
này, tác giả đã chỉ ra rằng một hàm là giả lồi khi và chỉ khi ánh xạ

gradient là giả đơn điệu. Từ đó, S. Karamardian và S. Schaible [12] đưa
ra một số khái niệm đơn điệu tổng quát như giả đơn điệu chặt, giả đơn
điệu mạnh và tựa đơn điệu. Tác giả thiết lập một mối quan hệ của đơn
điệu tổng quát của toán tử với các khái niệm của hàm lồi tổng quát. Nó
cho thấy rằng toán tử giả đơn điệu là trường hợp đặc biệt của toán tử
tựa đơn điệu.
Bất đẳng thức biến phân đơn điệu được sử dụng để nghiên cứu phương
trình vi phân đạo hàm riêng eliptic và parapolic, nghiên cứu các bài toán
tối ưu và bài toán cân bằng. Chúng cho phép xây dựng những thuật toán
và chỉ ra sự hội tụ tới lời giải của bài toán. Cho tới nay bất đẳng thức
biến phân đơn điệu vẫn là một chủ đề được quan tâm của nhiều nhà
nghiên cứu toán học. Phương pháp tìm nghiệm khác nhau đã được đề
xuất cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu: phương pháp chiếu metric,
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, phương
pháp gradient kéo dài. . .
Trong những năm gần đây, sự tồn tại nghiệm và phương pháp tìm
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và tựa đơn điệu được
nghiên cứu trong nhiều tài liệu. Người ta đã tìm ra được những thuật
toán để giải các bài toán này trong nhiều trường hợp đặc biệt. Phương
pháp chiếu cải biên là một trong những phương pháp được nghiên cứu
để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Sự hội tụ mạnh


5

và tính sai số cho dãy lặp được nghiên cứu trong hai mục của phương
pháp này: độ dài bước được chọn tùy ý từ một khoảng đóng không đổi
và độ dài bước hình thành một dãy không khả tổng giảm dần của các
số thực dương.
Với mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùng sự gợi ý, giúp

đỡ tận tình của GS. TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài ”Phương
pháp chiếu cải biên cho bài toán bất đẳng thức biến phân” làm
luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Để tìm nghiệm của các bài toán trước hết người ta phải biết bài toán
có nghiệm hay không, sau đó mới tìm các phương pháp giải ra nghiệm.
Ví dụ, xét các bài toán tối ưu, thông thường người ta thường đưa ra các
điều kiện tổng quát cho việc tồn tại nghiệm, sau đó, mới tìm các thuật
toán để giải. Chính vì vậy, việc xét sự tồn tại nghiệm của các bài toán
là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các bài toán. Mục
đích của luận văn là tổng hợp một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm.
Sau đó trình bày phương pháp giải bằng thuật toán chiếu cải biên, vận
dụng thuật toán hiệu quả để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả
đơn điệu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phát biểu bài toán dựa trên những dữ kiện đã cho. Sau đó tìm điều
kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm và nghiên cứu thuật toán để giải ra


6

nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân bằng phương pháp chiếu
cải biên. Để làm điều này, một mặt chúng ta nghiên cứu phạm vi của
các ứng dụng của phương pháp chiếu cải biên và tìm hiểu các ứng dụng
trong từng trường hợp cụ thể là thuật toán chiếu cải biên với hệ số ưu
tiên và thuật toán chiếu cải biên không có hệ số ưu tiên.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân. Sự tồn tại nghiệm Sau
đó, tìm các mối liên hệ giữa bài toán này với các bài toán khác trong lý
thuyết tối ưu đa trị.

5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu về bất đẳng thức biến phân đã công bố trên các tạp
chí và sách giáo khoa sách chuyên khảo. Tổng hợp, phân tích, đánh giá
và sử dụng các kết quả liên quan tới phương pháp chiếu cải biên trong
luận văn của mình.

6. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Luận văn là một tổng quan về những ki thức cơ bản và một số phương
pháp giải bất đẳng thức biến phân trong đó đi sâu về phương pháp chiếu
cải biên trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân.


7

Chương 1
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Trong chương này, ta nhắc lại các khái niệm cũng như kết quả bổ trợ
cần thiết được sử dụng ở chương sau.
Chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất trình này một số khái
niệm cơ bản và các kết quả cần thiết về giải tích hàm, đặc biệt về không
gian Hilbert. Phần thứ hai dành để giới thiệu về bài toán bất đẳng thức
biến phân, tiếp theo trình bày bài toán bù, một số điều kiện về sự tồn
tại nghiệm; cuối cùng nhắc lại hai phương pháp tìm nghiệm cơ bản của
bất đẳng thức biến phân đơn điệu: phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov,
phương pháp Gradient kéo dài.
Chương này được trình bày dựa trên cơ sở của các tài liệu [1]-[4], [9],

[10], [12], [14], [16], [17], việc chứng minh các định lí có thể tìm thấy ở
những tài liệu trên.

1.1. Không gian Hilbert và một số tính chất
Trong phần đầu này, ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, một
số khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình


8

chiếu, toán tử compact và toán tử bị chặn.
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô
hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:
., . : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X.
(b) x + y, z = x, y + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
(c) λx, y = λ x, y ,

∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X.

(d) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0.
x, y được gọi là tích vô hướng của hai vec tơ x và y.
Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với x =

x, x với

mọi x ∈ H thì H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là
không gian Unita).

Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gian
Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert
thực và ta chủ yếu làm việc trên không gian Euclide thực Rn .
Ta nói hai vectơ x và y của một không gian Hilbert H trực giao với
nhau, và kí hiệu x⊥y , nếu x, y = 0. Từ định nghĩa ấy có thể suy ra
ngay các tính chất đơn giản sau đây:
(a) Nếu x⊥y thì y⊥x. Ta có x⊥x khi và chỉ khi x = 0. Vectơ 0 trực giao
với mọi vectơ x.


9

(b) Nếu x⊥ (y1 , y2 , ..., yn ) thì x⊥ (α1 y1 + α2 y2 + ... + αn yn ).
(c) Nếu x⊥yn , yn → y (∀n → ∞) thì x⊥y.
(d) Nếu tập M trù mật trong H thì M ⊥ gồm 1 phần tử duy nhất là 0,
nghĩa là x⊥M ⇒ x = 0.
(e) Nếu x⊥y thì x + y

2

= x

2

+ y

2

(định lý Pythagore).

(f) Nếu {xn } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ trực giao từng đôi
∞

∞

(xn ) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi

một) thì chuỗi
n=1

xn

2

< ∞.

n=1

Định lý 1.1. (Xem[3]) Cho M là không gian con đóng của không gian
Hilbert H. Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách
duy nhất dưới dạng
x = y + z với y ∈ M, z ∈ M ⊥ (1.1).
trong đó y là phần tử của M gần x nhất, tức là x − y ≤ x − u với
mọi u ∈ M .
Toán tử compact là một lớp quan trọng của toán tử bị chặn.
Định nghĩa 1.2. Toán tử A : H → H được gọi là toán tử compact nếu
với mọi dãy {xn } bị chặn trong H, dãy {Axn } chứa dãy con hội tụ.
Định lý 1.2. (Xem [9]) Mọi toán tử compact đều bị chặn.
Định lý 1.3. (Xem [9]) Cho A là toán tử compact trong không gian

Hilbert H và B là toán tử bị chặn trên H. Khi đó AB và BA là toán tử
compact.
Định nghĩa 1.3. Một toán tử được gọi là hữu hạn chiều nếu miền giá
trị của nó là hữu hạn.


10

Định lý 1.4. (Xem [9]) Toán tử bị chặn và hữu hạn chiều là compact.
Định lý 1.5. (Xem [9]) Giới hạn của dãy hội tụ đều các toán tử compact
là compact. Trong trường hợp đặc biệt, nếu T1 , T2 , ..., Tn là các toán tử
compact trong không gian Hilbert H và Tn − T

→ 0 khi n → ∞ với

mọi toán tử T trên H thì T là compact.
Hệ quả 1.1. Giới hạn của dãy hội tụ các toán tử hữu hạn chiều là toán
tử compact.
Định lý 1.6. (Xem [9]) Một toán tử T trên không gian Hilbert H là
compact nếu và chỉ nếu nó biến một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ
mạnh. Tức là T là compact nếu và chỉ nếu xn → x thì T xn → T x với
bất kì xn , x ∈ H.

1.2. Bất đẳng thức biến phân và bài toán bù
Ở mục này, ta sẽ trình bày khái niệm về bài toán bất đẳng thức biến
phân, bài toán bù, cũng như mối liên hệ mật thiết giữa hai bài toán này
với nhau.
Định nghĩa 1.4. Cho K là tập con khác rỗng của không gian Hilbert
(H, ., . ) và cho F : K → H là ánh xạ đơn trị . Khi đó, bài toán bất
đẳng thức biến phân được định nghĩa bởi K và F , kí hiệu là V I (K, F )

được phát biểu dưới dạng:
Tìm vectơ u∗ ∈ K sao cho F (u∗ ) , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ K. (1.2)
Tập nghiệm của bài toán được kí hiệu là Sol(K, F ) .
Trong luận văn này, ta chỉ quan tâm đến K là tập lồi, đóng và ánh xạ


11

F là liên tục. Ví dụ đơn giản của bài toán bất đẳng thức biến phân là
giải một phương trình phi tuyến cổ điển, nó tương ứng với trường hợp
H = K . Trong trường hợp đó, rõ ràng điều kiện (1.2) được viết tương
đương như sau F (u∗ ) = 0.
Như thường lệ, F được gọi là ánh xạ giá. Một biểu diễn hình học của
bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) có dạng u∗ ∈ K là một
nghiệm của V I (K, F ) khi và chỉ khi góc tạo bởi vectơ F (u∗ ) và vectơ
v − u∗ là góc nhọn hoặc vuông với mọi v ∈ K. Ta có thể định dạng điều
này dưới nón pháp tuyến ngoài tại điểm u∗ của tập K như sau:
NK (u∗ ) = {w ∈ H : w, v − u ≤ 0, ∀v ∈ K} .
Vectơ w ∈ NK (u∗ ) gọi là vectơ pháp tuyến ngoài tại điểm u∗ ∈ K.
Bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) chỉ ra rằng: u∗ ∈ K là
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) khi và chỉ khi
F (u∗ ) là một vectơ pháp tuyến ngoài tại u∗ của K , hay
0 ∈ F (u∗ ) + NK (u∗ ) .
Khi K là một nón (tức là u ∈ K kéo theo τ u ∈ K với mọi số vô hướng
τ ≥ 0 ), một trường hợp đặc biệt của (1.2) gọi là bài toán bù.

Định nghĩa 1.5. Bài toán bù được cho bởi một nón lồi K và một ánh
xạ F : K → H là một bài toán đi tìm một véc tơ u∗ ∈ H với
u∗ ∈ K,

F (u∗ ) ∈ K ∗ , F (u∗ ) , u∗ = 0, (1.3)

với
K ∗ := {d ∈ H : d, u ≥ 0 ∀u ∈ K} ,


12

là một nón đối ngẫu của K . Bài toán (1.3) được viết tắt là CP (K, F ).
Nếu u ∈ K và F (u) ∈ K ∗ thì u được gọi là véc tơ chấp nhận được
của CP (K, F ). Nếu bài toán CP (K, F ) có một véc tơ chấp nhận được
thì nó được gọi là có tính chấp nhận được.
Khi H = Rn , F là một ánh xạ afin, nghĩa là, F (u) = M u + q với
M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , và K = Rn+ (trong trường hợp này K ∗ = Rn+ ),
CP (K, F ) trở thành bài toán bù tuyến tính, kí hiệu là LCP (M, q):
u∗ ≥ 0, M u∗ + q ≥ 0, M u∗ + q, u∗ = 0. (1.4)
Ở đây bất đẳng thức trong Rn+ được xem là các thành phần không âm.
Tập nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol (M, q).
Mối liên hệ mật thiết giữa V I (K, F ) và CP (K, F ) với là một nón
được mô tả dưới đây.
Mệnh đề 1.1. Nếu K là một nón lồi, điểm u∗ là một nghiệm của bài
toán bù CP (K, F ) nếu và chỉ nếu u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I (K, F ).
Chứng minh. Nếu u∗ là nghiệm của bài toán bù CP (K, F ), thì
u∗ ∈ Rn+ , F (u∗ ) ∈ Rn+ và F (u∗ ) , u∗ = 0. Khi đó
F (u∗ ) , u − u∗ = F (u∗ ) , u − F (u∗ ) , u∗
= F (u∗ ) , u ≥ 0, ∀u ∈ Rn+ .
Vì vậy u∗ nghiệm đúng của V I (K, F ).
Mặt khác, giả sử u∗ ∈ Rn+ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I (K, F ). Đặt

13

ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) , v = u∗ + ei ,
trong đó 1 là vị trí thứ i . Khi đó, v ∈ Rn+ và
0 ≤ F (u∗ ) , u∗ + ei − u∗ = F (u∗ ) , ei = Fi (u∗ ).
Do vậy,
F (u∗ ) = (F1 (u∗ ) , ..., Fn (u∗ )) ∈ Rn+ . (1.5)
Từ bất đẳng thức
F (u∗ ) , u − u∗ ≤ 0, ∀u ∈ Rn+ .
và u = 0 ∈ Rn+ , suy ra
F (u∗ ) , u∗ ≤ 0,
Hơn nữa, theo giả sử u∗ ∈ Rn+ và theo (1.5), ta có F (u∗ ) , u∗ ≥ 0. Như
vậy
F (u∗ ) , u∗ = 0.
Vậy u∗ nghiệm đúng của CP (K, F ).

1.3. Toán tử đơn điệu và đơn điệu suy rộng
Bài toán bất đẳng thức biến phân gắn liền với ánh xạ F . Tùy vào
việc xét từng bài toán cụ thể mà ánh xạ F được cho là đơn điệu, đơn
điệu mạnh, giả đơn điệu,. . . Các khái niệm trên sẽ được nhắc lại cụ thể
dưới đây.
Định nghĩa 1.6. ( Xem [12]) Cho K là một tập con lồi, khác rỗng của
một không gian Hilbert H và một ánh xạ F : K ⊂ H → H. Ánh xạ F
được gọi là


14

(a) đơn điệu mạnh trên K nếu ∃γ > 0 sao cho:
F (u) − F (v) , u − v ≥ γ u − v

2

∀u, v ∈ K;

(b) giả đơn điệu mạnh trên K nếu ∃γ > 0 sao cho:
F (u) , v − u ≥ 0 ⇒ F (v) , v − u ≥ γ u − v

2

∀u, v ∈ K;

(c) đơn điệu chặt trên K, nếu
F (u) − F (v) , u − v > 0, ∀u, v ∈ K, u = v ;
(d) đơn điệu trên K, nếu
F (u) − F (v) , u − v ≥ 0, ∀u, v ∈ K;
(e) giả đơn điệu trên K, nếu với mỗi u, v ∈ K
F (v) , u − v ≥ 0 ⇒ F (u) , u − v ≥ 0 ;
(f) tựa đơn điệu trên K, nếu với mỗi u, v ∈ K
F (v) , u − v > 0 ⇒ F (u) , u − v ≥ 0 ;
(g) tựa đơn điệu hiển trên K, nếu với mỗi u, v ∈ K
F (v) , u − v > 0 ⇒ F (z) , u − v ≥ 0,

∀z ∈

u+v
2 ,v

;

Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.6.
(a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ⇒ (f ) ⇐ (g) ⇐ (e) .


15

Mệnh đề dưới đây cho ta biết tập nghiệm của V I (K, F ) là khác rỗng
nếu F là giả đơn điệu mạnh và cấu trúc của Sol (K, F ) là lồi nếu F liên
tục và giả đơn điệu.
Mệnh đề 1.2. Cho K ⊂ H là tập lồi, đóng và F : K → H là liên tục
(a) Nếu F là giả đơn điệu mạnh, thì V I (K, F ) có ít nhất một nghiệm.
(b) Nếu F là giả đơn điệu, thì Sol (K, F ) là lồi.
Chứng minh. Giả thiết rằng F là giả đơn điệu mạnh với môđun γ > 0
và u∗ , v ∗ ∈ Sol (K, F ). Thì
F (v ∗ ) , u∗ − v ∗ ≥ 0 và F (v ∗ ) , v ∗ − u∗ ≥ γ u∗ − v ∗ 2 .
Thêm vào bất đẳng thức này 0 ≥ γ u∗ − v ∗

2

suy ra u∗ = v ∗ và do đó

chứng minh được khẳng định (a).
Bây giờ, cho F là liên tục và giả đơn điệu. Để có được (b), ta phải
chứng minh rằng
{u∗ ∈ K : F (u) , u − u∗ ≥ 0}.

Sol (K, F ) =
u∈K

Thật vậy, nếu u∗ ∈ Sol (K, F ), thì F (u∗ ) , u − u∗ ≥ 0 với mọi u ∈ K.
Vì tính giả đơn điệu của F , suy ra F (u) , u − u∗ ≥ 0 với mọi u ∈ K,
từ đó ta có u∗ thuộc vế phải của đẳng thức ở trên. Ngược lại, giả sử u∗
thuộc tập thứ hai. Với mỗi u ∈ K là bất kỳ. Từ τ u∗ + (1 − τ ) u ∈ K với
mọi τ ∈ (0, 1), ta có
F (τ u∗ + (1 − τ ) u) , u − u∗ ≥ 0, ∀τ ∈ (0, 1).


16

Cho τ → 1 suy ra F (u∗ ) , u − u∗ ≥ 0. Do đó u∗ ∈ Sol (K, F ). Với mỗi
u ∈ K, tập {u∗ ∈ K : F (u) , u − u∗ ≥ 0} là lồi và từ giao của các tập
lồi là lồi, kéo theo là Sol (K, F ) cũng là lồi.
Trong phần chứng minh của mệnh đề 1.2(b) ta thấy rằng nếu F là
liên tục và giả đơn điệu trên một tập K lồi và đóng thì u∗ ∈ Sol (K, F )
khi và chỉ khi
F (u) , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ K.
Kết quả trên được gọi là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả
đơn điệu. Đây là một tổng quát của bổ đề Minty cổ điển.

1.4. Phép chiếu metric, sự tồn tại nghiệm của bài
toán VI (K, F)

Khái niệm về phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao,
sẽ được trình bày ở mục này. Tiếp theo, ta trình bày tóm tắt một số
điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Mệnh đề 1.3. (Xem [14, Chương 1, Bổ đề 2.1]) Cho K ⊂ H là tập lồi,
đóng và khác rỗng. Khi đó với mỗi u ∈ H có duy nhất v ∈ K sao cho
u − v = inf u − w . (1.6)

w∈K

Định nghĩa 1.7. Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao
của một điểm u ∈ H trên K dưới chuẩn Euclide

· , được kí hiệu là

PK (u) được xác định khi có duy nhất một vectơ v thỏa mãn (1.6) hay


17

PK (u) = arg min { u − v : v ∈ K}.
Chú ý rằng PK (u) = u với mọi u ∈ K và
u − PK (u) ≤ u − v , ∀v ∈ K.
Định lý 1.7. (Xem [14, Chương 1, Định lí 2.3]) Cho K ⊂ H là tập lồi,
đóng. Khi đó v = PK (u) nếu và chỉ nếu v ∈ K sao cho
u − v, w − v ≤ 0, ∀w ∈ K. (1.7)
Trở lại với V I (K, F ), từ Định lí 1.7, ta có thể biểu thị nghiệm của
bất đẳng thức biến phân qua phép chiếu metric.
Hệ quả 1.2. Cho K ⊂ H là tập lồi, đóng và F : K → H. Thì u∗ nghiệm
đúng của V I (K, F ) khi và chỉ khi
u∗ = PK (u∗ − λF (u∗ )) với mỗi λ > 0.
Chứng minh. Với λ > 0 là một vô hướng. Từ định lí 1.7,
u∗ = PK (u∗ − λF (u∗ )) khi và chỉ khi u∗ ∈ K và
u∗ − λF (u∗ ) − u∗ , u − u∗ ≤ 0, ∀u ∈ K.
Điều này tương đương với u∗ ∈ K và
F (u∗ ) , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ K,
hay u∗ ∈ Sol (K, F ).

Trong bài toán bất đẳng thức V I (K, F ), với mỗi u ∈ K và λ > 0 xét
ánh xạ FKnat : K → K được xác định bởi


18

FKnat (u) = u − PK (u − λF (u)).
Ánh xạ FKnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên K. Mối
quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F )
và ánh xạ giá tự nhiên FKnat được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.4. Một điểm u∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức
V I (K, F ) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ FKnat , hay 0 =
FKnat (u∗ ).
Chứng minh. Theo định nghĩa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I (K, F ) và λ > 0, ta có
λF (u∗ ) , v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ K.
hay
u∗ − [u∗ − λF (u∗ )] , v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ K.
Mà u − PK (u) , v − PK (u) ≤ 0, ∀v ∈ K, u ∈ H nên bất đẳng thức
này tương đương với
u∗ = PK (u∗ − λF (u∗ )),
hay u∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên FKnat .
Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I (K, F ) được chứng minh đều dựa vào định lí điểm bất
động Browder.
Định lý 1.8. Cho K là một tập con lồi, compact và khác rỗng của không
gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : K → H. Khi đó, bài
toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) có nghiệm.

19

Chứng minh. Ta có, với mỗi u ∈ H, thì PK (u) tồn tại và duy nhất,
ánh xạ PK còn được gọi là ánh xạ không dãn trên K. Do vậy, với mỗi
λ > 0, phép chiếu PK (I − λF ) : K → K là một ánh xạ liên tục. Từ K
là một tập lồi, compact khác rỗng và PK (I − λF ) liên tục, theo Mệnh
đề 1.4 và Hệ quả 1.2, tồn tại duy nhất không điểm u∗ ∈ K của ánh xạ
giá tự nhiên FKnat sao cho 0 = FKnat (u∗ ).
Với u = u∗ − λF (u∗ ), ta có
v − PK (u∗ − λF (u∗ )) , u∗ − λF (u∗ ) − PK (u∗ − λF (u∗ )) ≤ 0,
∀v ∈ K.
Kết hợp điều này với PK (I − λF ) (u∗ ) = u∗ , suy ra
v − u∗ , u∗ − λF (u∗ ) − u∗ ≤ 0.
Với giả thiết λ > 0, ta có
F (u∗ ) , v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ K.
Vậy, u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ).
Sol (K, F ) là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I (K, F ). Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc
giải bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) rất gần với việc giải
bài toán sau (ký hiệu DV I (K, F )):
Tìm u∗ ∈ K sao cho F (u) , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ K.
Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất
đẳng thức biến phân V I (K, F ). Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán
DV I (K, F ) là Sol(K, F )∗ . Khi đó, tính chất của tập nghiệm Sol (K, F )
và mối quan hệ của nó với tập nghiệm Sol(K, F )∗ như nhau.