BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH hàm NHIỀU BIẾN

Bài giảng

GIẢI TÍCH HÀM
NHIỀU BIẾN


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUỖI
1. Chuỗi số
2. Dãy Hàm và Chuỗi Hàm
3. Bài Tập Chương 1

3
3
10
23

CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1. Những Khái Niệm Cơ Bản
2. Giới Hạn Của Hàm Số
3. Hàm Số Liên Tục
4. Đạo Hàm Riêng
5. Đạo Hàm Hàm Hợp
6. Đạo Hàm và Vi Phân Cấp Cao
7. Công Thức Taylor
8. Cực Trị Của Hàm Nhiều Biến
9. Bài Tập Chương 2

27
27
28

30
31
34
35
38
38
42

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN BỘI
1. Tích Phân Trên Hình Hộp
2. Các Tính Chất
3. Định Lí Fubini
4. Đổi Biến Trong Tích Phân Bội

45
45
45
46
49

CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
1. Tính Diện Tích Hình Phẳng
2. Tính Thể Tích Vật Thể
3. Diện Tích Mặt Cong
4. Bài Tập Chương 4

57
57
57
58

60

CHƯƠNG 5. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
1. Tích phân đường loại I
2. Đưa Tích Phân Đường Về Tích Phân Xác Định
3. Tích Phân Đường Loại II
4. Sự Tồn Tại và Cách Tính Tích Phân Đường Loại II
5. Trường Hợp Đường Cong Kín. Định Hướng Mặt Phẳng
6. Sự Liên Hệ Giữa Hai Loại Tích Phân Đường
7. Công Thức GREEN
8. Điều Kiện Độc Lập Tích Phân Đường Với Đường Lấy Tích Phân
9. Bài Tập Chương 5

63
63
64
66
67
69
72
73
76
80

CHƯƠNG 6. TÍCH PHÂN MẶT
1. Tích Phân Mặt Loại I
2. Tích Phân Mặt Loại II
3. Đưa tích phân mặt loại II Về Tích Phân Hai Lớp
4. Liên Hệ Giữa Hai Loại Tích Phân mặt
5. Công Thức OSTROGRADSKY và Công Thức STOKE

6. Bài Tập Chương 6

83
83
84
86
88
89
93

1


CHƯƠNG 7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Các Khái Niệm Cơ Bản
2. Phương Trình Vi Phân Cấp I
3. Một Số Phương Trình Cấp Cao Giải Được Bằng Cầu Phương
4. Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp II
5. Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp Hai Với Hệ Số Hằng
6. Bài Tập Chương 7

2

95
95
96
105
109
114
118

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT CHUỖI
1. Chuỗi số
1.1. Các Khái Niệm Cơ Bản và Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1. Giả sử (xn )n là một dãy số. Ta lập một dãy mới, ký hiệu (sn )n được xác định
bởi
s 1 = x1
s 2 = x1 + x2
...
n

s n = x1 + x2 + · · · + xn =

xi
i=1

...
∞

Khi ấy dãy số (sn )n này được gọi là một chuỗi số, và được ký hiệu là

xi . Ta gọi sn là tổng
i=1

∞

riêng thứ n của chuỗi, xn là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi. Ta gọi chuỗi số

xi là hội
i=1

tụ nếu dãy tổng riêng (sn )n hội tụ. Lúc ấy, đặt s = lim sn và gọi s là tổng của chuỗi. Ta viết
∞

s=

n→∞

∞

xi . Như vậy, với cùng một ký hiệu
n=1

xi , ta vừa dùng để chỉ một chuỗi vừa chỉ tổng của
i=1

nó nếu chuỗi này hội tụ. Một chuỗi không hội tụ thì gọi là chuỗi phân kỳ.
Nhận xét 1.1.

a) Ta có thể đánh số của chuỗi từ một số n ∈ Z nào đó chứ không nhất
∞

thiết bắt đầu từ i = 1, chẳng hạn

∞

an ,

n=2

∞

xi .
i=0
∞

xi hội tụ và có tổng s =

b) Giả sử chuỗi số
i=1

∞

rn = s − sn =

n

xi −
i=1

= lim

k→∞

i=1

n

xi −

xi = lim

xi =
i=n+1

k

i=1

xi
i=1

∞

k
k→∞

xi . Đặt
i=1

xi .
i=n+1
∞

Ta gọi rn là phần dư thứ n của chuỗi

xi . Theo định nghĩa, ta có lim rn = 0.
i=1

n→∞

c) Chuỗi số chẳng qua là một dãy đặc biệt, được cấu tạo từ một dãy cho trước. Do đó,
chuỗi số có đầy đủ các tính chất của dãy số. Ngược lại, cho một dãy số (sn )n , ta có
thể thiết lập dãy số (xn )n như sau
x1 = s 1
x2 = s 2 − s 1
............
xn = sn − sn−1
............
Khi ấy (sn )n trở thành chuỗi số, cấu tạo từ dãy (xn )n .
3


1.2. Ví dụ.
Ví dụ 1.1.
∞

a) Cho chuỗi số

1
1
1
1
. Để ý
= −
, n ∈ N, do đó
n(n + 1)
n n+1

n=1 n(n + 1)

1
1
1
+
+ ··· +
1·2 2·3
n(n + 1)
1
1 1
1
1
1
= 1 − + − +··· +
−
= 1−
.
2
2 3
n n+1
n+1
∞
1
1
Vậy lim sn = lim 1 −
= 1, nên chuỗi đã cho hội tụ và tổng
= 1.
n→∞
n→∞

n+1
n=1 n(n + 1)
b) Cấp số nhân
sn =

∞

aq n , trong đó a ∈ R, q ∈ R tương ứng lần lượt là số hạng đầu và

Ta xét chuỗi sau
n=0

1 − qn
, q = 1.
công bội của cấp số nhân, ta có sn = a ·
1−q
a
+ Nếu |q| < 1 thì lim sn =
, nên chuỗi hội tụ và
n→∞
1−q
∞

aq n =
n=0

a
.
1−q

+ Nếu |q| > 1 thì dãy (sn )n phân kỳ nên chuỗi phân kỳ.
1.3. Một số tính chất của chuỗi hội tụ.
∞

xn hội tụ thì lim xn = 0.

Định lí 1.1. Nếu chuỗi

n→∞

n=1

Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại lim sn = s. Khi ấy dãy con (sn )n≥2 của dãy (sn )n
n→∞

cũng hội tụ về s nên lim xn = lim (sn − sn−1 ) = 0.
n→∞

n→∞

Nhận xét 1.2. Định lý 1.1 chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ. Như vậy, nếu
∞

lim xn = x0 = 0, thì

n→∞

xn phân kỳ còn lim xn = 0 thì chưa kết luận về sự hội tụ hay phân
n→∞

n=1

∞

xn .

kỳ của chuỗi
n=1

∞

xn hội tụ là với mọi ε > 0,

Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để chuỗi
n=1
m

xi < ε, với bất kỳ m ≥ n ≥ n0 .

tồn tại n0 sao cho
i=n+1

Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có
∞

xn hội tụ

⇐⇒

(sn )n hội tụ .

n=1

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy (sn )n , ta thấy điều này tương đương với mệnh đề của định
lý.
Nhận xét 1.3. Người ta cũng hay viết như sau
n+p

∞

xn hội tụ

⇐⇒

∀ε > 0, ∃n0 , ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N :

n=1

xn < ε .
i=n+1

4


∞

∞

n=1

∞

∞

yn và α ∈ R, khi ấy các chuỗi

xn ,

Định lí 1.3. Cho hai chuỗi hội tụ

n=1

(xn ± yn ),
n=1

(αxn ) hội tụ và
n=1
∞

∞

∞

(xn ± yn ) =

xn ±

n=1

∞

∞

yn ;

(αxn ) = α

n=1

n=1

n=1

n

n

n

xn .
n=1

Chứng minh. Ta có
n

(xi ± yi ) =
i=1

xi ±
i=1

yi ;

n

(αxi ) = α

i=1

i=1

xi .
i=1

Chuyển qua giới hạn khi n → ∞, ta có kết quả.
∞

xi . Ta viết

Định lí 1.4. Cho chuỗi số
i=1

∞

i=1
∞

∞

n0

xi =

xi +

xi .

i=1

i=n0 +1

∞

xi hội tụ khi và chỉ khi

Lúc đó
i=1

xi hội tụ.
i=n0 +1

n

Chứng minh. Đặt sn =
i=1
∗
(sn )n

(sn )n hội tụ khi và chỉ khi

n0

n

xi , s∗n =

với mọi n ≥ n0 . Khi ấy sn =
i=n0 +1

xi + s∗n . Vậy

i=1

hội tụ.

Mệnh đề 1.5. Tính hội tụ của một chuỗi không thay đổi khi ta thay đổi một số hữu hạn các
số hạng của chuỗi đó.
∞

Định lí 1.6. Giả sử
n=1

xn là một chuỗi hội tụ và (nk )k là một dãy tăng thực sự các số nguyên
∞

∞

yk hội tụ và

tự nhiên. Khi ấy chuỗi

k=1

∞

yk =

xn , trong đó
n=1

k=1

y1 = x1 + · · · + xn1
y2 = xn1 +1 + xn1 +2 + · · · + xn2
............
yk = xnk−1 +1 + xnk−1 +2 + · · · + xnk
............
Chứng minh. Đặt s∗k =
(sn )n nên (snk )k hội tụ và

nk

k

yi =

i=1
lim s∗k
k→∞

xi = snk . Vậy (snk )k là dãy con của dãy tổng riêng

i=1

= lim snk = s = lim sn .
n→∞

k→∞

Nhận xét 1.4. Định lý 1.6 nêu lên tính chất kết hợp của chuỗi số hội tụ. Ngược lại một chuỗi
∞

∞

∞

yk có thể hội tụ nhưng
k=1

∞

n=1
n+1

(−1)

chuỗi

xn phân kỳ. Ta xét ví dụ sau Chuỗi

n+2

+ (−1)

(−1)n+1 phân kỳ nhưng

n=1

hội tụ.

n=1

1.4. Chuỗi Số Dương.
∞

xn

Định nghĩa 1.2. Cho chuỗi số

(1.1). Nếu xn ≥ 0 với mọi n ∈ N thì (1.1) được gọi là

n=1

một chuỗi số không âm hay gọn hơn, (1.1) là chuỗi số dương. Nếu xn ≤ 0 với mọi n ∈ N thì
bằng cách nhân với (-1), ta đưa về chuỗi số dương.
5


Việc khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số dương là khá thuận lợi vì có nhiều dấu hiệu để nhận
biết sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương đó.
∞

n

xn hội tụ là dãy tổng riêng sn =

Định lí 1.7. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương
n=1

xi
i=1

bị chặn trên.
Chứng minh. Nếu chuỗi (1.1) hội tụ, nghĩa là dãy (sn )n hội tụ. Lúc đó (sn )n bị chặn.
Ngược lại, cho dãy (sn )n bị chặn trên, ngoài ra sn+1 − sn = xn+1 ≥ 0 hay sn+1 ≥ sn , ∀n ∈ N
tức là (sn )n tăng. Như thế (sn )n phải hội tụ hay chuỗi (1.1) hội tụ.
∞

1
. Với mọi n ∈ N, ta có
2
n=1 n
1
1
1 + 2 + ··· + 2
2
n
1
1
1
1+
+

+ ··· +
1·2 2·3
n(n − 1)
1 1 1
1
1
1 + 1 − + − + ··· +
−
2 2 3
n−1 n
1
2 − ≤ 2.
n

Ví dụ 1.2. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
sn =
≤
≤
≤
∞

Vậy chuỗi

1
hội tụ.
2
n=1 n

1.5. Một số dấu hiệu hội tụ.
∞

∞

xn

Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh). Giả sử

(1.1) và

n=1

yn

(1.2) là hai chuỗi số dương.

n=1

Nếu có một số dương C sao cho xn ≤ Cyn với mọi n ∈ N, khi đó
* Chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ.
* Chuỗi (1.1) phân kỳ thì chuỗi (1.2) phân kỳ.
n

Chứng minh. Ký hiệu sn =

n

yi . Theo giả thiết, ta có xi ≤ C · yi , ∀i ∈ N

xi và Sn =
i=1

i=1

nên sn ≤ C · Sn , ∀n ∈ N. Nếu chuỗi (1.2) hội tụ thì Sn bị chặn trên, kéo theo sn bị chặn trên
nên chuỗi (1.1) hội tụ. Ngược lại, nếu chuỗi (1.1) phân kỳ thì sn không bị chặn và do đó Sn
cũng không bị chặn.
Về mặt thực hành, chúng ta thường sử dụng dấu hiệu so sánh dưới dạng sau.
xn
= A, (0 ≤ A ≤ +∞).
Hệ quả 1.9. Giả sử lim
n→∞ yn
* Nếu A ∈ [0, +∞) và chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ.
* Nếu 0 < A ≤ +∞ và chuỗi (1.2) phân kỳ thì chuỗi (1.1) phân kỳ.
xn
Chứng minh. Giả sử 0 ≤ A < +∞ và chuỗi (1.2) hội tụ. Theo giả thiết lim
= A nên
n→∞ yn
xn
với ε = 1 > 0, tồn tại n0 để mọi n ≥ n0 , ta có
< A + 1, từ đó xn < (A + 1)yn , ∀n ≥ n0 .
yn
xn
A
Vậy chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ. Nếu 0 < A < +∞ thì ta có
−A < ε =
khi
yn
2
xn
A

A
n ≥ n1 , với n1 là số nguyên dương nào đó. Như thế
> A − , ∀n ≥ n1 hay xn > yn . Như
yn
2
2
xn
vậy nếu (1.2) phân kỳ thì (1.1) cũng phân kỳ. Còn lim
= +∞ thì xn > k · yn với k > 0 và
n→∞ yn
mọi n đủ lớn nên ta cũng có kết quả.
Nhận xét 1.5. Nếu 0 < A < +∞ thì hai chuỗi (1.1) và (1.2) đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.
6


∞

x
. Ta có
+n+1
n=1
x
x
x
sin 2
sin 2
2
n + n + 1 = lim
n + n + 1 · n + n + 1 = 1.
lim

x
x
x
n→∞
n→∞
2
2
n
n +n+1
n2
∞ x
∞
x
Mặt khác, chuỗi
hội tụ.
hội
tụ
nên
sin 2
2
n +n+1
n=1 n
n=1
sin

Ví dụ 1.3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

n2

∞

√
n

xn . Giả sử tồn tại lim

Định lí 1.10 (Dấu hiệu Cauchy). Cho chuỗi số dương

n→∞

n=1

xn = .

< 1 thì chuỗi hội tụ, còn > 1 thì chuỗi phân kỳ. Trường hợp = 1 không có kết luận.
√
Chứng minh. Vì n xn ≥ 0 nên ≥ 0. Ta xét các trường hợp sau a). 0 ≤ < 1. Chọn
1−
√
chẳng hạn) để + ε = q < 1. Vì lim n xn = nên với ε > 0 ở trên,
ε > 0 đủ bé (ε =
n→∞
2
∞
√
√
ta có n xn − < ε với n ≥ n0 hay n xn < ε + = q. Do 0 < q < 1 nên chuỗi
q n hội tụ.
Nếu

n=1

∞

xn hội tụ. b).

Theo tiêu chuẩn so sánh, ta cũng có chuỗi

−1
> 0, ta có
2

> 1 Với ε =

n=1

−
∞

−1
1
√
√
< n xn − hay n xn > + > 1 khi n ≥ n1 , n1 ∈ N. Suy ra xn
2
2 2
xn phân kỳ.

0 khi n → ∞. Vậy

n=1
∞

Ví dụ 1.4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n=1

2n
4n − 3

n

. Ta có an =

2n
4n − 3

n

nên lim

n→∞

√
n

an =

1
2n
= < 1. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

n→∞ 4n − 3
2
lim

∞

Định lí 1.11 (Dấu hiệu Dalambert). Cho chuỗi số dương
xn , xn > 0 ∀n ∈ N. Giả sử tồn
n=1
xn+1
tại lim
= . Nếu < 1 thì chuỗi hội tụ, > 1 thì chuỗi phân kỳ, còn nếu = 1 thì chưa
n→∞ xn
có kết luận.
∞

Chứng minh. Như định lý trên, ta so sánh chuỗi
xn với một cấp số nhân khi < 1.
n=1
xn+1
Lấy ε > 0 đủ bé để 0 < + ε = q < 1. Do lim
= nên tồn tại n0 ∈ N để với mọi n ≥ n0 ,
n→∞ xn
xn+1
ta có
< + ε = q, hay
xn
xn0 +1 < q · xn0
xn0 +2 < q · xn0 +1 < q 2 · xn0
...

xn0 +k < q k · xn0 .
∞

Vì 0 < q < 1 nên chuỗi

xn0 q k hội tụ. Theo dấu hiệu so sánh, ta có

∞

xn hội tụ.
n=1

k=1
∞

Ví dụ 1.5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

n!
. Ta có
n
n=1 n

an=1
(n + 1)! nn
=
·
=
an
(n + 1)n+1 n!

n
n+1

an+1
1
= < 1. Vậy chuỗi đã cho là hội tụ.
n→∞ an
e

suy ra lim

7

n

=

1
1
1+
n

n,


∞

an là một chuỗi số dương thực sự. Nếu

Định lí 1.12 (Tiêu chuẩn Raabe). Cho

n=1

lim n(

n→∞

an
− 1) = p
an+1

thì chuỗi đã cho hội tụ với p > 1 và phân kỳ với p < 1.
∞

an là một chuỗi số dương thực sự. Nếu

Định lí 1.13 (Tiêu chuẩn Gauss). Cho
n=1

µ
θn
an
= λ + + 1+ ,
an+1
n n
trong đó > 0 và |θn | ≤ c thì chuỗi đã cho hội tụ với λ > 1 và phân kỳ với λ < 1; trường hợp
λ = 1 thì chuỗi đã cho hội tụ khi µ > 1 và phân kỳ khi µ ≤ 1.
Định lí 1.14 (Dấu hiệu tích phân Cauchy). Cho f là một hàm liên tục, dương và giảm trên
[a, +∞), a ∈ N. Đặt
y

F (y) =

f (x)dx

(1.3)

a

và xét chuỗi

∞

f (a + k),

(1.4)

k=0

khi đó chuỗi (1.4) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại lim F (y) ∈ R.
y→∞

Chứng minh. Với mỗi số nguyên k, do f (x) là một hàm giảm với mọi x ≥ a nên với
a + k ≤ x ≤ a + k + 1 thì f (a + k) ≥ f (x) ≥ f (a + k + 1). Suy ra
a+k+1

a+k+1

f (a + k)dx ≥
a+k

a+k+1

f (x)dx ≥
a+k

f (a + k + 1)dx
a+k

hay
a+k+1

f (a + k) ≥

f (x)dx ≥ f (a + k + 1).

(*)

a+k

Lấy tổng theo k từ 0 đến n − 1 các vế của (*), ta có
n−1 a+k+1

n−1

f (a + k) ≥
k=0

n−1

f (x)dx ≥

k=0 a+k

f (a + k + 1)
k=0

hay
a+n

n−1

f (a + k) ≥
k=0

n−1

f (x)dx ≥

f (a + k + 1).
k=0

a

=⇒ sn−1 ≥ F (a + n) ≥ sn − f (a), n = 1, 2, . . .
trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.4).
- Nếu lim F (y) = A ∈ R thì do sn ≤ A + f (a) nên chuỗi (1.4) hội tụ.
y→∞

- Nếu lim F (y) = +∞ ∈ R thì do sn ≥ F (a + n + 1) nên (sn )n không bị chặn. Vậy chuỗi
y→∞

(1.4) phân kỳ.
∞

Ví dụ 1.6. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1
, α ∈ R.
α
n=1 n
8


1
= 0 nên chuỗi phân kỳ.
n→∞ nα
1
- Nếu α > 0, ta xét hàm số f (x) = α , x ∈ [1, +∞). Rõ ràng f (x) liên tục, dương,
x
giảm trong [1, +∞). Ta có

y
ln y,
α=1
1
1
1
F (y) =
dx =

−1 , α=1

xα
α−1
1−α y
1
- Nếu α ≤ 0, ta thấy lim

Từ đó


+∞,
lim F (y) =
1
y→∞

,
α−1

α≤1
α>1

∞

1
hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1.
α
n=1 n
∞ 1
Lưu ý khi α = 1, chuỗi
được gọi là chuỗi điều hòa. Như vậy chuỗi điều hòa phân kỳ.
n=1 n

Vậy chuỗi

1.6. Chuỗi Với Số Hạng Có Dấu Bất Kỳ.
1.7. Chuỗi đan dấu.
∞

Định nghĩa 1.3. Ta gọi chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng

∞

(−1)n an hay

n=1

(−1)n+1 an trong

n=1

đó an > 0 với mọi n.
∞

(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n+1 an + · · ·
n=1
∞

Định lí 1.15 (Dấu hiệu Leibnitz). Cho chuỗi đan dấu

(−1)n+1 an

(1.5). Giả sử (an )n là

n=1

một dãy giảm và lim an = 0. Khi ấy chuỗi (1.5) hội tụ.
n→∞

Chứng minh. Ta chứng minh dãy tổng riêng (sn )n của (1.5) hội tụ. Để ý rằng một dãy
(sn )n hội tụ khi và chỉ khi 2 dãy con (s2n )n và (s2n+1 )n hội tụ về cùng một giới hạn. Với mọi
k ≥ 2, ta có s2k − s2k−2 = a2k−1 − a2k ≥ 0 nghĩa là (s2n )n là dãy tăng. Hơn nữa
s2k = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + a2k−1 − a2k
= a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − · · · − (a2k−2 − a2k−1 ) − a2k
≤ a1 .
Vậy s2k bị chặn trên. Do đó dãy (s2n )n hội tụ, nghĩa là chuỗi (1.5) hội tụ.
∞ (−1)n+1
. Ta thấy các điều kiện của định lý Leibnitz thỏa mãn.
Ví dụ 1.7. Xét chuỗi sau
n
n=1
Ta thường gọi chuỗi này là chuỗi điều hòa đan dấu.
1.8. Chuỗi hội tụ tuyệt đối.
∞

∞

|xn |

xn là hội tụ tuyệt đối nếu như chuỗi số dương

Định nghĩa 1.4. Ta gọi chuỗi số
n=1

n=1

hội tụ.
Định lí 1.16. Mọi chuỗi số hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
∞

|xn | hội tụ nên

Chứng minh. Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy. Với số ε > 0 cho trước, vì
n=1
n+p

n+p

có n0 ∈ N để ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N thì

|xk | < ε. Nhưng khi ấy
k=n+1

k=n+1

∞

xn hội tụ.

Vậy
n=1

9

n+p

xk ≤

|xk | ≤ ε.
k=n+1


∞

xn

Mệnh đề 1.17. Việc khảo sát sự hội tụ của chuỗi

(1.1) có thể nhờ chuỗi số dương

n=1

∞

|xn | (1.6). Nếu chuỗi (1.6) hội tụ thì (1.1) hội tụ, còn (1.6) phân kỳ thì ta chưa có kết
n=1

luận đối với (1.1). Cũng xảy ra trường hợp (1.1) hội tụ còn (1.6) thì phân kỳ, chẳng hạn ta lấy
∞ (−1)n+1
∞ 1
(1.1) là chuỗi điều hòa đan dấu
hội tụ còn (1.6)
là chuỗi điều hòa phân kỳ.

n
n=1
n=1 n
∞

∞

∞

xn là hội tụ không tuyệt đối nếu

Ta gọi
n=1

|xn | phân kỳ.

xn hội tụ còn
n=1

n=1
∞

xn

Định lí 1.18 (Tính chất giao hoán của chuỗi hội tụ tuyệt đối). Giả sử chuỗi

(1.1) hội

n=1

∞

tụ tuyệt đối và có tổng là s thì chuỗi số

yn

(1.2) có được bằng cách đổi chỗ tùy ý các số

n=1

hạng xn của chuỗi (1.1), cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là s.
Chứng minh. Việc thay đổi chỗ các số hạng của dãy (xn ) trong chuỗi (1.1) là thực hiện
∞

∞

một song ánh σ : N −→ N, khi đó

yn =
n=1

n

xσ(n) . Ta có
n=1

n

∞

m

|yk | ≤

|xσ(k) | ≤

k=1

|xi | ≤

|xi |

i=1

k=1

i=1
∞

∞

|yk | hội tụ hay chuỗi

trong đó m = max{σ(1), . . . , σ(n)}. Vậy chuỗi số dương
∞

|xσ(n) |. Với ε > 0, tồn tại n0 để với mọi

n=1

∞

n ≥ n0 thì

∞

|xn | =

tuyệt đối. Tiếp theo, ta chứng minh

yn hội tụ
n=1

k=1

n=1

ε
|xk | < . Với mọi m ∈ N, ta có σ(m) ≥ m nên
2
k=n+1
∞

m

xσ(k) −
k=1

k=1

∞

∞

xk =

|xk |

≤

xk
k=1
k=σ(i),i=1,...,m

k=1
k=σ(i),i=1,...,m

n

nếu lấy n đủ lớn sao cho trong tổng

xk , các số hạng xk bao gồm hết các số hạng xσ(k) , k =
k=1

1, . . . , m, ta có
∞

m

m

xσ(k) −
k=1

k=1

∞

∞

xσ(k) =

Vậy
k=1

n

xk ≤

xσ(k) −
k=1

∞

n

xk −

xk +
k=1

k=1

xk <
k=1

ε ε
+ = ε, ∀m ∈ N.
2 2

xk .
k=1

2. Dãy Hàm và Chuỗi Hàm
2.1. Các Khái Niệm Cơ Bản. Giả sử X ⊂ R. Ký hiệu F(X) là tập hợp tất cả các hàm
số thực xác định trên X. Ánh xạ
x : N −→ F(X)
n −→ x(n) = xn ∈ F(X)
được gọi là một dãy hàm xác định trên X. Ta thường ký hiệu gọn một dãy hàm là xn n∈N
hay x(t) n trong đó xn : X −→ R là hàm số thực, với mọi n ∈ N, được gọi là hạng tử thứ n
10


của dãy hàm. Tương tự với định nghĩa của chuỗi số, ta cũng có định nghĩa chuỗi hàm như sau:
giả sử un (t) n là một dãy hàm xác định trên C ⊂ R. Lập dãy hàm mới sn (t) n xác định bởi:
s1 (t) = u1 (t)
s2 (t) = u1 (t) + u2 (t)
...
n

sn (t) = u1 (t) + u2 (t) + · · · + un (t) =

ui (t)
i=1

...
Khi ấy dãy hàm sn (t)

n

này được gọi là chuỗi hàm, hạng tử tổng quát là un (t) và tổng riêng
∞

thứ n là sn (t). Ta cũng ký hiệu chuỗi hàm là

un (t). Cho dãy hàm xn (t)
n=1

∞

n

(tương ứng,

un (t)) xác định trên X ⊂ R. Điểm t0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm

chuỗi hàm
n=1

∞

(tương ứng, chuỗi hàm) nếu dãy số xn (t0 )

n

un (t0 )) hội tụ. Tập hợp

(tương ứng, chuỗi số
n=1

tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm (tương ứng, chuỗi hàm) được gọi là miền hội tụ của dãy
hàm (tương ứng, chuỗi hàm) đó. Giả sử X0 ⊂ X là miền hội tụ của dãy hàm (tương ứng, chuỗi
∞

hàm). Khi đó, ta đặt x(t) = lim xn (t), ∀t ∈ X0 (tương ứng, u(t) =
n→∞

∞

cũng được gọi là dãy hàm xn (t)

un (t)) hội tụ về hàm x(t) (tương ứng u(t))

(tương ứng

n

un (t), ∀t ∈ X0 ) và
n=1

n=1

trên tập X0 .
Ví dụ 2.1. Tìm miền hội tụ của dãy hàm sau
xn (t) = tn , n = 1, 2, 3, . . . , t ∈ R.
- Với |t| < 1, ta có lim xn (t) = lim tn = 0.
n→∞

n→∞

- Với t ≤ −1 hay t > 1, lim tn không tồn tại hữu hạn, còn khi t = 1 ta có lim 1n = 1.
n→∞

n→∞

Vậy miền hội tụ của dãy hàm trên là (−1, 1] và:
x(t) = lim xn (t) =
n→∞

0
1

nếu |t| < 1
nếu t = 1.

xn
x
. Đặt q = , chuỗi viết lại
n
2

n=1 2
∞

Ví dụ 2.2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

qn.

n=1

x
< 1 hay |x| < 2, chuỗi hội tụ.
2
- Còn |q| ≥ 1 thì chuỗi phân kỳ.

- Nếu |q| < 1 hay

Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−2, 2).
2.2. Hội Tụ Đều.
2.2.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 2.1. Cho dãy hàm fn (x) n xác định trên X ⊂ R. Nhắc lại rằng fn (x)
về f (x) trên X0 ⊂ X nếu (∀x ∈ X0 ) lim fn (x) = f (x) hay

n

hội tụ

n→∞

(∀x ∈ X0 )(∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 ) : |fn (x) − f (x)| < ε.
Dãy hàm fn (x)

n

(2.1)

được gọi là hội tụ đều về hàm f(x) trên X0 ⊂ X nếu:
(∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − f (x)| < ε.
11

(2.2)


Mới nhìn qua, ta dễ có cảm giác là hai định nghĩa ở (2.1) và (2.2) là như nhau, tuy nhiên chúng
khác nhau về bản chất: số n0 ở (2.1) phụ thuộc vào ε > 0 và phụ thuộc vào mỗi x ∈ X0 , với các
điểm khác nhau có các n0 khác nhau. Trong khi ở (2.2), số n0 chung cho toàn thể các x ∈ X0 :
nếu n ≥ n0 thì mọi x ∈ X0 ta đều có |fn (x) − f (x)| < ε. Trong trường hợp (2.1), ta còn gọi
dãy fn (x) n là hội tụ đơn hay hội tụ từng điểm về f (x) trên X0 và ký hiệu:
fn (x) −→ f (x) (n → ∞).
X0

Còn fn (x)

n

hội tụ đều về hàm f (x) trên X0 được ký hiệu là:
fn (x) ⇒ f (x).
X0

Hiển nhiên nếu fn (x) ⇒ f (x) thì fn (x) −→ f (x). Điều ngược lại không đúng.
X0

X0

2.3. Điều kiện hội tụ đều.
Định lí 2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho fn (x)
cần và đủ để fn (x) ⇒ f (x) là

n

là một dãy hàm xác định trên X. Điều kiện

X0

(∀ε > 0)(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − fm (x)| < ε.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử fn (x) ⇒ f (x). Khi ấy
X0

ε
(∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − f (x)| < .
2
Nếu m, n ≥ n0 thì ∀x ∈ X0 , ta cũng có
ε ε
|fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)| < + = ε.
2 2
Vậy điều kiện cần được chứng minh. Ngược lại, ∀x ∈ X0 , ta có: |fn (x) − fm (x)| < ε khi
m, n ≥ n0 với ε > 0 tùy ý, nghĩa là ∀x ∈ X0 , dãy số thực fn (x) n là một dãy Cauchy nên
phải hội tụ trong R. Đặt f (x) = lim fn (x), ∀x ∈ X0 . Ta chứng minh fn (x) ⇒ f (x). Thật vậy,

n→∞

X0

∀ε > 0, theo giả thiết
(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 )(∀x ∈ X0 ) : |fn (x) − fm (x)| < ε.
Tạm thời cố định n ≥ n0 , x ∈ X0 , cho m → ∞, ta được |fn (x) − f (x)| < ε với mọi n ≥ n0 và
với mọi x ∈ X0 . Vậy fn (x) ⇒ f (x).
X0

Đối với chuỗi hàm, tiêu chuẩn Cauchy được phát biểu như sau
∞

un (x) hội tụ đều trên X0 là: với mọi ε > 0,

Định lí 2.2. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm
n=1

tồn tại n0 ∈ N sao cho
n+p

(∀n ≥ n0 )(∀p ∈ N)(∀x ∈ X0 ) :

um (x) < ε.
m=n+1

Một điều kiện đủ khá thuận lợi trong việc kiểm tra sự hội tụ đều của chuỗi hàm là định lý sau.
∞

un (x) xác định trên X ⊂ R. Giả sử

Định lí 2.3 (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm
n=1

tồn tại một dãy số dương (an )n sao cho
(∀x ∈ X0 ) |un (x)| ≤ an , n = 1, 2, . . .
∞

∞

un (x) hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên X0 ⊂ X.

an hội tụ, khi đó chuỗi hàm

và
n=1

n=1

12


∞

an hội tụ nên với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 để ∀n ≥

Chứng minh. Do chuỗi
n=1
n+p

n0 , ∀p ∈ N, ta có

|un (x)| ≤ an , ∀x ∈ X0 , n = 1, 2, . . . nên

ak < ε. Mặt khác

k=n+1
n+p

n+p

|uk (x)| ≤
k=n+1

∞

ak < ε. Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi

un (x) hội tụ tuyệt đối
n=1

k=n+1

và đều trên X0 .
Nhận xét 2.1. Để chứng minh dãy hàm fn (x) n hội tụ đều về f (x) trên X0 , ta có thể xét
sup |fn (x) − f (x)| = rn . Nếu rn → 0 (n → ∞) thì fn (x) ⇒ f (x).
X0

x∈X0

Ví dụ 2.3. Xét sự hội tụ đều của các dãy hàm sau
sin x
a. fn (x) =
, x∈R
n
x
b. fn (x) = sin , x ∈ R.
n
sin x
= 0. Vậy fn (x) −→ 0. Tiếp theo, với ε > 0 tùy
a. Ta có ∀x ∈ R, lim fn (x) = lim
n→∞
n→∞ n
R
sin x
1
1
1
ý, ta chọn n0 =
+ 1, khi đó ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ R, ta có
−0 ≤
≤
< ε.
ε
n
n
n0
sin x
⇒ 0.
Vậy

n R
x
x
1
b. ∀x ∈ R, lim sin = 0. Vậy sin −→ 0. Mặt khác, với ε = , ∀n0 ∈ N, ta lấy
n→∞
n
n R
2
π
x = n0 ∈ R, khi đó
2
π
n0
π
x
2
= sin
= sin = 1 > ε.
sin
n0
n0
2
Đối với chuỗi hàm ta cũng có khái niệm hội tụ đơn và hội tụ đều, được định nghĩa như sau,
∞

un (x) gọi là hội tụ đơn (tương ứng, hội tụ đều) về hàm u(x) trên tập X0 nếu dãy

chuỗi hàm
n=1

n

tổng riêng sn (x) =

ui (x) hội tụ đơn (tương ứng, hội tụ đều) về hàm u(x) trên tập X0 .
i=1

2.4. Tính chất của sự hội tụ đều. Ký hiệu X0 là khoảng (a, b) hay đoạn [a, b]; fn (x)
∞

n

un (x) lần lượt là các dãy hàm và chuỗi hàm xác định trên X0 .

và
n=1

Định lí 2.4. Giả sử fn (x) là các hàm liên tục tại x0 ∈ X0 và fn (x) ⇒ f (x). Khi đó f (x) liên
X0

tục tại x0 ∈ X0 .
Chứng minh. Cho ε > 0. Do fn (x) ⇒ f (x) nên có n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 và ∀x ∈ X0
X0

ε
thì: |fn (x) − f (x)| < . Vì fn0 (x) liên tục tại x0 nên với ε > 0 ở trên, tồn tại δ > 0 để nếu
3
ε
x ∈ X0 , |x − x0 | < δ thì |fn0 (x) − fn0 (x0 )| < . Như thế, nếu |x − x0 | < δ, ta có

3
|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − f (x0 )|
ε ε ε
< + + = ε.
3 3 3
Vậy f (x) liên tục tại x0 .
13


∞

Hệ quả 2.5. Nếu mỗi hàm un (x) liên tục tại x0 ∈ X và

un (x) hội tụ đều về hàm u(x) thì
n=1

u(x) liên tục tại x0 .
n

Chứng minh. Áp dụng định lý trên cho dãy hàm sn (x) =

ui (x) là các hàm liên tục tại
i=1

x0 và sn (x) ⇒ u(x).
X0

Nhận xét 2.2.
1. Trong định lý, ta chỉ cần giả thiết là có một dãy con fn (x) n là hàm liên tục tại điểm
x0 . Tuy nhiên, đối với chuỗi hàm, giả thiết tất cả các hàm un (x) đều liên tục tại điểm

x0 là cần thiết.
2. Giả sử fn (x) −→ f (x) và fn (x) liên tục tại x0 ∈ X0 , còn f (x) thì gián đoạn tại x0 .
X0

Khi đó fn (x) ⇒ f (x).
X0

Định lí 2.6 (Định lý Dini). Giả sử fn (x) n là dãy hàm xác định, liên tục trên [a, b], fn (x) n
đơn điệu (tăng hoặc giảm) và fn (x) −→ f (x) với f (x) là hàm liên tục trên [a, b], khi đó
[a,b]

fn (x) ⇒ f (x).
[a,b]

Chứng minh. Để định ý, ta giả sử fn (x) n là dãy tăng các hàm liên tục trên [a, b].
Đặt rn = f (x) − fn (x), khi ấy rn (x) liên tục và r1 (x) ≥ r2 (x) ≥ · · · ≥ rn (x) và ∀x ∈
[a, b], lim rn (x) = 0. Giả sử fn (x) ⇒ f (x). Theo định nghĩa, tồn tại ε0 > 0 sao cho với mọi
n→∞

[a,b]

n0 ∈ N, tồn tại m ≥ n0 và xm ∈ [a, b] để rm (xm ) ≥ ε0 . Dãy (xm ) ⊂ [a, b] nên theo định lý
Bonzano-Weierstrass, tồn tại dãy con (xkm )m ⊂ (xm )m : xkm → x0 ∈ [a, b] khi m → ∞. Bây giờ
với mỗi p ∈ N, ta có hàm rp (x) liên tục nên rp (xkm ) → rp (x0 ) khi m → ∞. Với mọi m đủ lớn sao
cho km ≥ p, ta có rp (xkm ) ≥ rkm (xkm ) ≥ ε0 . Cho m → ∞, ta có lim rp (xkm ) = rp (x0 ) ≥ ε0 .
m→∞

Điều này mâu thuẫn với lim rp (x0 ) = 0. Vậy định lý được chứng minh.
p→∞

Đối với chuỗi hàm, ta cố định lý tương ứng sau
Định lí 2.7. Giả sử các hàm un (x) ≥ 0 (tương ứng un (x) ≤ 0) với mọi n ∈ N và với mọi
∞

x ∈ [a, b]. Giả sử un (x) liên tục đều trên [a, b] và chuỗi hàm

un (x) có tổng là hàm u(x) liên
n=1

tục trên [a, b]. Lúc ấy chuỗi hàm này hội tụ đều trên [a, b].
2.5. Qua giới hạn dưới dấu tích phân và đạo hàm. Cho fn (x) n là dãy hàm xác
định trên X ⊂ R và f (x) = lim fn (x), x ∈ X (X = (a, b) hoặc X = [a, b]). Với điều kiện nào
n→∞

thì
b

b

lim fn (x)dx = lim

n→∞

fn (x)dx hoặc

n→∞

a

lim fn (x)

n→∞

= lim fn (x).
n→∞

a

Câu hỏi tương tự cũng được đặt ra đối với chuỗi hàm, đó là sự mở rộng của tính chất “đạo hàm
một tổng bằng tổng các đạo hàm” và “tích phân một tổng bằng tổng các tích phân”.
Định lí 2.8. Cho fn (x)

n

là một dãy gồm các hàm liên tục trên [a, b]. Giả sử fn ⇒ f , khi đó
[a,b]

b

b

lim fn (x)dx =

f (x)dx = lim

n→∞
a

b

fn (x)dx.

n→∞

a

a

14


Chứng minh. Với mọi ε > 0 do fn ⇒ f nên tồn tại n0 ∈ N sao cho (∀n ≥ n0 )(∀x ∈ [a, b]),
[a,b]

ε
, khi ấy
ta có |fn (x) − f (x)| <
b−a
b

b

b

fn (x)dx −
a

a

n→∞ a

ε
dx = ε.
b−a

|fn (x) − f (x)|dx ≤
a

a

b

b

Vậy lim

f (x)dx ≤

b

f (x)dx.

fn (x)dx =
a

Đối với chuỗi hàm, ta có
∞

un (x) hội tụ đều về u(x) trên [a, b] và un (x) là các hàm liên

Định lí 2.9. Giả sử chuỗi hàm
n=1

tục, khi đó ta có
b

∞

∞

un (x) dx =
n=1

a

b

un (x)dx.
n=1 a

Chứng minh. Áp dụng định lý cho dãy tổng riêng, ta nhận được kết quả.
Định lí 2.10. Giả sử fn (x) n là dãy hàm trong đó các fn (x) khả vi liên tục trên X = [a, b]
(hay X = (a, b)). Giả sử dãy hàm fn (x) n hội tụ đều về hàm g(x) trên X và fn (x) hội tụ đến
f (x) trên (a, b). Khi ấy f (x) cũng khả vi liên tục trên X và
f (x) = lim fn (x) = lim fn (x) = g(x), ∀x ∈ X.
n→∞

n→∞

Chứng minh. Do fn (x) khả vi liên tục trên X nên ta có

x

fn (y)dy + fn (x0 ), x ∈ X, n = 1, 2, . . .

fn (x) =
x0

Do fn (x) ⇒ g(x) nên áp dụng định lý cho dãy hàm fn (x)
X

n

trên [x0 , x] (hoặc (x, x0 )), ta có

x

f (x) = lim fn (x) = lim
n→∞

x

fn (y)dy + fn (x0 ) =

n→∞
x0

g(y)dy + f (x0 ).
x0

Suy ra f (x) khả vi tại x ∈ X và f (x) = g(x). Mặt khác, g(x) liên tục nên f (x) khả vi liên

tục.
Ta phát biểu kết quả tương ứng đối với chuỗi hàm.
∞

Định lí 2.11. Cho các hàm số un (x) khả vi liên tục trên tập X. Giả sử chuỗi hàm

un (x)
n=1

hội tụ đều về u(x) trên X thì u(x) khả vi liên tục và
∞

u (x) =

∞

un (x)

=

n=1

un (x) = v(x).
n=1

2.6. Chuỗi Lũy Thừa. Trong phần này ta xét một loại chuỗi hàm khá đơn giản, nhưng
có nhiều ứng dụng trong tính toán xấp xỉ.
15

2.6.1. Các khái niệm cơ bản. Chuỗi hàm lũy thừa (viết tắt chuỗi lũy thừa) là chuỗi hàm có
dạng
∞

an x n

(1.1)

an (x − x0 )n

(1.2)

n=0

hoặc
∞

n=0

trong đó an , n = 0, 1, 2, . . . là các hằng số. Nói cách khác chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm mà
các hạng tử tổng quát là hàm lũy thừa nguyên không âm. Bằng cách đặt X = x − x0 hoặc
X − X0 = x, ta có thể đưa chuỗi lũy thừa dạng (1.2) về dạng (1.1) hoặc dạng (1.1) về dạng
(1.2). Do đó, để đơn giản về mặt ký hiệu, sau đây ta chỉ khảo sát chuỗi lũy thừa dạng (1.1).
2.7. Miền Hội Tụ Của Chuỗi Lũy Thừa.
Định lí 2.12 (Abel). Giả sử chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ tại x0 = 0. Khi ấy nó hội tụ tuyệt đối
tại mọi x ∈ R thỏa |x| < |x0 |.
∞

an xn0 hội tụ nên lim an xn0 = 0. Vậy dãy này bị

Chứng minh. Theo giả thiết, chuỗi số

n→∞

n=1

|an xn0 |

chặn tồn tại M > 0 sao cho

< M với mọi n ∈ N. Chuỗi (1.1) được viết lại như sau
∞

∞

an x =
n=0

n=0

Ta có
n

|an x | =

∞

n

|an x | hội tụ. Vậy

chuỗi

n

=

|an xn0 |

x
< 1, với mọi |x| < |x0 |. Vì
x0

trong đó q =
∞

x
x0

an xn0

n=0

x
x0

an xn0

n

x
·
x0
∞

n

.

n

≤ M · q n , n = 0, 1, 2, . . .

q n hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh, ta có

n=0

n

an x hội tụ tuyệt đối tại x.
n=0

Hệ quả 2.13. Nếu chuỗi (1.1) phân kỳ tại x1 thì nó phân kỳ tại mọi x thỏa điều kiện |x| > |x1 |.
Thật vậy, nếu có x ∈ R, |x| > |x1 | mà (1.1) hội tụ thì theo định lý trên, chuỗi (1.1) sẽ hội tụ
tại x1 . Tiếp theo chúng ta hãy xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.1). Rõ ràng 0 ∈ D
với mọi chuỗi lũy thừa (1.1). Trường hợp D = {0}, tức là (1.1) có điểm hội tụ x0 = 0, ta đặt
∞

an xn hội tụ

R = sup x ∈ R :
n=1

khi ấy 0 < R ≤ +∞.
Định lí 2.14. Chuỗi hàm lũy thừa (1.1) hội tụ với mọi x ∈ R mà |x| < R và phân kỳ tại mọi
x ∈ R thỏa |x| > R (nếu R < +∞).
Chứng minh. Giả sử |x| < R < +∞. Theo định nghĩa của supremum, tồn tại x0 ∈ R sao
∞

cho |x| < x0 < R và

an xn0 hội tụ. Khi ấy theo định lý Abel, chuỗi (1.1) hội tụ tại x. Lý luận

n=1

này được áp dụng cho trường hợp R = +∞. Nếu |x| > R thì ta chọn x1 để |x| > x1 > R, khi
∞

ấy
n=1

an xn1 phân kỳ nên

∞

an xn phân kỳ.

n=1

Định nghĩa 2.2. Số R ∈ [0, +∞] xác định như trên được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy

thừa (1.1); khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của (1.1).
16


Như vậy miền hội tụ của chuỗi (1.1) gồm khoảng hội tụ và có thể thêm các điểm đầu mút ±R
hoặc không, tùy theo từng trường hợp cụ thể. Để tìm bán kính hội tụ R của chuỗi (1.1), ta xét
hai trường hợp sau với cách phát biểu đơn giản nhất.
an+1
= (0 ≤ ≤ +∞), khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
n→∞
an
(1.1) được xác định bởi công thức sau

1


với 0 < < +∞

.
R= 0
với = +∞


+∞ với = 0

Định lí 2.15. Giả sử lim

Chứng minh.
a. 0 < < +∞: với mỗi x ∈ R, ta hãy áp dụng dấu hiệu d’Axplbert đối với chuỗi số dương
∞

|an xn |:

n=0

|an+1 xn+1 |
an+1
= |x| lim
= |x|.
n
n→∞
n→∞
|an x |
an
∞
∞
1
|an xn | hội tụ nên
an xn hội tụ.
* Nếu |x| < 1 hay |x| < thì chuỗi
lim

n=0

1

> |an x | với n đủ lớn nến |an xn |
1
an xn phân kỳ. Theo định nghĩa, bán kính hội tụ R = .

* Nếu |x| > 1 hay |x| > , ta có |an+1 x
an x n

n=0

∞

0. Vậy

n+1

n

0, do đó

n=0

b.
c.

an+1 xn+1
= 0 : lúc đó ∀x ∈ R, lim
= 0 < 1, nên
n→∞
an x n

∞

an xn hội tụ.

n=1

= +∞ : với mọi x ∈ R, x = 0, ta có
lim

n→∞
∞

Vậy chuỗi

an+1
an+1 xn+1
= +∞.
=
|x|
lim
n→∞
an x n
an

an xn phân kỳ. Định lý được chứng minh.

n=1

Trường hợp nhiều hệ số an = 0, ta dùng định lý sau để tìm bán kính hội tụ
Định lí 2.16. Nếu lim

n

n→∞

|an | =

(0 ≤

(1.1) được xác định bởi công thức sau

1



R= 0


+∞

≤ +∞), khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

với 0 < < +∞
với
với

= +∞
=0

.

Chứng minh. Lập luận tương tự như ở chứng minh định lý trên bằng cách dùng dấu hiệu
∞

Cauchy cho chuỗi số dương

|an xn |.

n=1
∞

an x n

2.8. Tính Chất Của Chuỗi Hàm Lũy Thừa. Cho chuỗi hàm lũy thừa
n=1

∞

có bán kính hội tụ R > 0. Khi ấy ∀x ∈ (−R, R), chuỗi (1.1) hội tụ về hàm u(x) =

(3.1)

an xn . Ta

n=1

hãy khảo sát tính chất của tổng u(x) này.
Định lí 2.17. Giả sử R = 0 là bán kính hội tụ của (1.1), khi ấy với mọi 0 < r < R, chuỗi hàm
(1.1) sẽ hội tụ đều trên [−r, r].
17


Chứng minh. Do r < R và theo tính chất của supremum, tồn tại x0 ∈ R sao cho r < x0 <
∞

R và

∞

an xn0 hội tụ. Vậy ∀x ∈ [−r, r], ta có |an xn | ≤ |an rn |. Vì

n=0

an xn hội tụ nên theo dấu

n=0

∞

an xn hội tụ tuyệt đối và đều trên [−r, r].

hiệu Weierstrass, chuỗi
n=0

∞

Hệ quả 2.18. Giả sử R > 0 là bán kính hội tụ của (1.1), khi ấy tổng u(x) =

an xn là hàm

n=0

liên tục trên (−R, R).
Chứng minh. Với mọi x ∈ (−R, R), tồn tại r > 0 để x ∈ [−r, r] ⊂ (−R, R). Do an xn là

hàm liên tục và chuỗi (1.1) hội tụ đều trên [−r, r] nên u(x) liên tục trên [−r, r], đặc biệt liên
tục tại x. Vậy u(x) liên tục trên (−R, R).
Hệ quả 2.19. Với mỗi x ∈ (−R, R), ta có
x

n

dt =

an t

n=0

∞

tn dt =

an

n=0

0

x

∞

∞

n=0

0

an n+1
x .
n+1

Chứng minh. ∀x ∈ (−R, R), ta có chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ đều trên [x, 0] hay [0, x]
chứa trong (−R, R) nên áp dụng định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân sẽ nhận được kết
quả.
Hệ quả 2.20. Tổng của chuỗi hàm lũy thừa (1.1) là một hàm khả vi vô hạn trên (−R, R) và
với mọi k = 0, 1, 2, . . . , ta có
∞

u(k) (x) =

n(n − 1) · · · (n − k + 1)an xn−k .

(1.3)

n=k

Hơn nữa bán kính hội tụ của (1.3) cũng bằng R.
Chứng minh. Khi k = 1, ta xét chuỗi
∞

nan xn−1 .

(1.4)

n=1

Gọi R1 là bán kính hội tụ của nó. Ta chứng minh R = R1 . Với x ∈ (−R, R), ta chọn r > 0 để
∞

|x| < r < R. Lúc ấy

an rn hội tụ nên an rn → 0 (n → ∞). Suy ra |an |rn ≤ C với C = const

n=0

∞

và mọi n ∈ N. Xét chuỗi số

n
n=1

lim

n→∞
∞

n

nên
n=1

x
r

n

n

x
r

x
r

n−1

, ta có

n−1

= lim

√
n

n · lim

n

n→∞

n→∞

x
x
x
·
=
< 1 (x = 0)
r
r
r

n−1

hội tụ. Từ đánh giá
|nan xn−1 | =
∞

ta suy ra chuỗi

n
x
|an | · xn
r
r

|nan xn−1 | hội tụ. Vậy chuỗi

n=1

∞

n−1

1
x
≤ C ·n
r
r

nan xn−1 hội tụ tại x ∈ (−R, R) nên R ≤ R1 .

n=1

∞

Tiếp theo, nếu R < R1 , ta chọn x0 sao cho R < x0 < R1 . Khi ấy

nan x0n−1 hội tụ. Với mọi

n=1

n mà x0 ≤ n, ta có
|an xn0 | ≤
∞

Theo dấu hiệu so sánh, ta có chuỗi

n
|an |xn = n|an |x0n−1 .
x0
|nan xn−1 | hội tụ. Vậy chuỗi

n=1

∞

nan xn−1 hội tụ, mâu

n=1

thuẫn với R là bán kính hội tụ của (1.1). Vậy R = R1 . Bây giờ, với x ∈ (−R, R), ta chọn r để
18


|x| < r < R, khi đó chuỗi (1.1), (1.3) hội tụ đều trên [−r, r] nên áp dụng định lý lấy đạo hàm
một chuỗi hàm, ta có
∞

∞

an x n

u (x) =
n=0
∞

nan xn−1 với (a0 ) = 0

=
n=0

nan xn−1 . Bằng quy nạp, ta chứng minh được kết quả tổng quát trên.

nên u (x) =
n=1

∞

Ví dụ 2.4. Tính tổng của một số chuỗi lũy thừa. Cơ sở để tính tổng của chuỗi lũy thừa

an x n

n=0

là các hệ quả trên cùng với công thức tính tổng của một cấp số nhân có công bội |q| < 1
∞

1
.
1−q

qn −
n=0
∞

(1) Tính u(x) =

nxn . Chuỗi này có bán kính hội tụ R = 1. Ta có u(x) = x

n=0

∞

nxn−1 .

n=0

Với x = 0, ta có
u(x)
=
x

∞

∞

nx

n−1

xn

=

n=1

=

n=0

với mọi x thỏa |x| < 1. Vậy

1
1−x

1
x
u(x)
=
nên u(x) =
. Công thức này
2
x
(1 − x)
(1 − x)2

cũng đúng khi x = 0. Vậy
∞

x
.
(1 − x)2

nxn =
n=1
∞

(2) Tính

n

(−1)n−1

n=0

x
= u(x). Chuỗi lũy thừa này có bán kính hội tụ R = 1. Ta có
n
∞

u (x) =

n−1 x

(−1)
n=1

∞

n

(−1)n xn−1 =

=

n

n=1

1
.

x+1

Vì u(0) = 0 nên
x

x

dt
= ln(1 + x).
1+t

u (t)dt =

u(x) =
0

0

2.9. Khai Triển Mac - Laurent. Khi nghiên cứu một hàm số nào đó, người ta thường
tìm cách xấp xỉ nó bằng những hàm đơn giản hơn, dễ khảo sát. Lớp hàm đơn giản nhất đó là
các hàm đa thức. Trong mục này, ta xét xem với những điều kiện nào thì hàm số f (x) có thể
biểu diễn thành tổng của một chuỗi lũy thừa, nghĩa là có thể xấp xỉ nó bằng một dãy các đa
thức (dãy các tổng riêng của chuỗi lũy thừa hội tụ về f (x)).
Định nghĩa 2.3. Hàm số f(x) được gọi là khai triển được thành chuỗi hàm lũy thừa trong
∞

khoảng (−R, R) nếu tồn tại chuỗi hàm lũy thừa

an xn sao cho

n=0
∞

an xn , với mọi x ∈ (−R, R).

f (x) =
n=0

Từ định nghĩa trên và tính chất của tổng của chuỗi lũy thừa, ta có
19


Định lí 2.21. Giả sử f (x) khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong (−R, R). Khi ấy f (x)
khả vi vô hạn lần trong (−R, R), đồng thời chuỗi lũy thừa này được xác định một cách duy
f (k) (0)
, k = 0, 1, 2, . . .
nhất, các hệ số ak =
k!
∞

Chứng minh. Theo giả thiết f (x) =

an xn nên f (x) khả vi vô hạn lần trong (−R, R)

n=0

theo hệ quả 2.20 và
∞

f

(k)

n(n − 1) · · · (n − k + 1)an xn−k .

(x) =
n=k

f (k) (0)
. Bây giờ cho f (x) là một hàm khả vi vô
k!
∞ f (k) (0)
hạn lần trên khoảng (−R, R). Ta lập chuỗi lũy thừa dạng
xk . Chuỗi này được gọi
k!
n=0
là chuỗi Mac-Laurin của hàm f (x) trên (−R, R). Theo định lý trên, nếu f (x) khai triển được
thành chuỗi lũy thừa thì chuỗi lũy thừa ấy là chuỗi Mac-Laurin. Mệnh đề ngược lại không đúng
chuỗi Mac-Laurin của một hàm khả vi vô hạn f (x) có thể không hội tụ hoặc hội tụ về hàm
g(x) = f (x). Sau đây là một điều kiện đủ khá đơn giản, cho biết khi nào chuỗi Mac-Laurin của
f (x) hội tụ về đúng f (x).
Do vậy f (k) (0) = k(k − 1) · · · 1 · ak hay ak =

Định lí 2.22. Cho f (x) là hàm khả vi vô hạn lần trên [−a, a], a > 0. Nếu tồn tại C > 0 sao
cho |f (n) (x)| ≤ C với mọi x ∈ [−a, a] và mọi n = 0, 1, 2, . . . thì f (x) khai triển được thành
chuỗi lũy thừa trên [−a, a].
Chứng minh. Ta áp dụng công thức khai triển hữu hạn Mac-Laurin với phần dư Lagrange
cho hàm f (x) thì được
n

f (x) =
k=0

f (k) (0) k f n+1 (θx) n+1
x +
x , x ∈ [−a, a].
k!
(n + 1)!

Khi ấy
n

f (x) −
k=0
n

f (k) (0) k
f n+1 (θx) n+1
an+1
x =
x
≤C
k!
(n + 1)!
(n + 1)!

a
= 0 nên
n→∞ n!

với mọi x ∈ [−a, a]. Vì lim
n

lim f (x) −

n→∞

k=0

f (k) (0) k
x = 0 =⇒ f (x) =
k!

∞

k=0

f (k) (0) k
x , ∀x ∈ [−a, a].
k!

Định lý được chứng minh.
Một số khai triển quan trọng
(1) f (x) = sin x. Ta có f (k) (x) = sin x + k

π
nên (sin x)(k) ≤ 1 với mọi x ∈ (−∞, +∞).
2

Do đó định lý trên cho ta

sin x =

x3 x5
x2n+1
x
−
+
+ · · · + (−1)n
+ · · · , ∀x ∈ R.
1!
3!
5!
(2n + 1)!

(2) f (x) = cos x. Lý luận như trên, ta có được
∞

(−1)n

cos x =
n=0

20

x2n
, ∀x ∈ R.
(2n)!


(3) f (x) = ex . Với mọi R > 0 cho trước, ta có

f (k) (x) = |ex | ≤ eR , ∀x ∈ [−R, R].
xn
. Vì R > 0 tùy ý nên ex được khai triển thành chuỗi lũy thừa
n!
n=0
trên (−∞, +∞).
(4) Theo ví dụ, ta có
∞

Như vậy ex =

∞

(−1)n−1

f (x) = ln(1 + x) =
n=1

(5) Ta có

∞
1
=
x2n khi |x| < 1, do đó
2
1−x
n=0
x

dt

=
1 − t2
0

xn
, x ∈ (−1, 1).
n

∞

n=0

x2n+1
2n + 1

1−x
1
ln
=
2
1+x

hay

∞

n=0

x2n+1
, |x| < 1.

2n + 1

(6) Tương tự ở ví dụ 5, ta có
1
=
1 + x2

∞

(−1)n x2n , |x| < 1.
n=0

Lấy tích phân hai vế từ 0 đến x (|x| < 1), ta có
∞

(−1)n

arctg x =
n=0

x2n+1
.
2n + 1

Chú ý. Nhờ việc khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa, ta có thể tính toán gần đúng giá trị
các hàm số bằng cách thực hiện 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia với độ chính xác tùy ý.
2.10. Chuỗi Fourier. Các hàm số lượng giác sin x và cos x là các hàm tuần hoàn đơn
giản, rất quen thuộc và thường gặp trong các bài toán kỹ thuật, thực tế. Ngoài ra, chúng là
những hàm tuần hoàn. Do vậy, ngoài việc xấp xỉ một hàm khả vi vô hạn bằng chuỗi lũy thừa,
người ta quan tâm đến việc xấp xỉ một hàm tuần hoàn bằng chuỗi hàm mà các hạng tử là các

hàm lượng giác đơn giản sin x, cos x.
Định nghĩa 2.4. Chuỗi hàm có dạng
∞

a0
(an cos nx + bn sin nx)
+
2
n=1

(1.5)

trong đó a0 , a1 , . . . , b1 , b2 , . . . là các số thực, được gọi là chuỗi lượng giác.
Để ý rằng các hạng tử un (x) = an cos nx + bn sin nx là các hàm tuần hoàn un (x + 2π) =
un (x), ∀x ∈ R. Do đó nếu chuỗi này hội tụ thì tổng u(x) sẽ là một hàm tuần hoàn trên R.
Trong phần này, chúng ta xét việc khai triển một hàm tuần hoàn thành chuỗi lượng giác (1.5)
và để đơn giản, ta xét trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng hạn [−π, π].
Định lí 2.23. Cho hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π. Giả sử tồn tại chuỗi lượng giác (1.5)
hội tụ đều về f (x) trên [−π, π]. Khi ấy ta có
π

1
an =
π

f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . .

(1.6)

f (x) sin nxdx, n = 0, 1, 2, . . .

(1.7)

−π
π

1
bn =
π
−π

21


Chứng minh. Giả sử
∞

a0
+
f (x) =
(ak cos kx + bk sin kx), ∀x ∈ [−π, π]
2
k=1
và sự hội tụ ở đây là đều. Với mọi n ∈ N, chuỗi hàm
∞

a0
cos nx +
(ak cos kx cos nx + bk sin kx cos nx)
2

k=1
cũng hội tụ đều về hàm f (x) cos nx trên [−π, π]. Do đó, ta áp dụng định lý qua giới hạn dưới
dấu tích phân để nhận được
π

π

∞

a0
cos nxdx +
2

(ak cos kx cos nx + bk sin kx cos nx)
k=1 −π

−π

π

=

f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . .
−π

Để ý rằng
π

π

cos kx cos nxdx =

πδkn

sin kx cos nxdx = 0

và

−π

với δkn =

−π

0, k = n
, vậy
1, k = n
π

π

πan =

f (x) cos nxdx

1
an =
π

hay

f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . .
−π

−π

Để tính các số hạng bn ta cũng làm tương tự, nhân tất cả các số hạng của chuỗi (1.5) với sin nx,
ta nhận được chuỗi hàm hội tụ đều về f (x) sin nx, n = 0, 1, 2, . . ., rồi lấy tích phân từng hạng
tử trên [−π, π], ta có
π

1
bn =
π

f (x) sin nxdx, n = 0, 1, 2, . . .
−π

Bây giờ, cho f (x) là một hàm liên tục trên [−π, π]. Khi ấy các số hạng an , bn được xác định
bởi (1.6) và (1.7) được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x) và chuỗi lượng giác
∞

f (x) =

a0
+
(ak cos kx + bk sin kx)
2
k=1

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x). Vấn đề đặt ra là chuỗi Fourier của hàm liên tục f (x)
có hội tụ (đơn, đều) về f (x) trên [−π, π] không? Tiếp theo, ta phát biểu hai định lý liên quan
đến sự hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn. Hàm số f (x) xác định trên [a, b] được
gọi là trơn từng phần nếu [a, b] được chia thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ [α, β] sao cho
f (x) khả vi liên tục trên [α, β].
Định lí 2.24. Giả sử hàm số f (x) tuần hoàn, chu kỳ 2π và là hàm trơn từng phần. Khi đó
1
chuỗi Fourier của f (x) hội tụ về f (x) nếu f (x) liên tục tại x và hội tụ về f (x+0)+f (x−0)
2
nếu x là điểm gián đoạn của f (x). Nói cách khác, với mọi x ∈ R, ta có
∞

f (x + 0) + f (x − 0)
a0
=
+
(ak cos kx + bk sin kx).
2
2
k=1
22


Định lí 2.25. Giả sử f (x) liên tục trên R, tuần hoàn, chu kỳ 2π, trơn từng phần trên mỗi đoạn
chu kỳ. Khi đó, chuỗi Fourier của f (x) hội tụ về chính nó trên R.
Ví dụ 2.5. Khai triển
nếu 0 ≤ x ≤ π
nếu − π ≤ x < 0.

1

−1

f (x) =

Để ý rằng −f (x) = f (−x) tức f (x) là hàm lẻ, do đó
π

1
an =
π

f (x) cos nxdx = 0, n = 0, 1, 2, . . .
−π
π

1
bn =
π

π

2
f (x) sin nxdx =
π
−π

=

Vậy bn =


0

4

π(2k + 1)

sin nxdx
0

2
2
(1 − cos nπ) =
1 − (−1)n .
nπ
nπ

nếu n = 2k
nếu n = 2k + 1.

Theo định lý, chuỗi Fourier của f (x) hội tụ về f (x), nghĩa là
∞

f (x) =
n=0

4 sin(2n + 1)x
.
π 2n + 1

3. Bài Tập Chương 1
1. Tìm số hạng tổng quát của chuỗi số
3
5
7
1
+ 2 + 3 + 4 + ···
2 2
2
2
2. Tìm số hạng tổng quát của chuỗi số
2
+
3

3
7

2

+

4
11

3

+

5

15

4

+ ···

3. Tìm tổng của chuỗi số
1
1
1
1
+
+
+
+ ···
1.3 3.5 5.7 7.9
4. Tìm tổng của chuỗi số
1
1
1
+
+
+ ···
1.2.3 2.3.4 3.4.5
5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2 1 1
1
1
+ + +
+

+ ···
3 3 6 12 24
6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
1
+
+
+ ···
11 12 13
7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1 2 3
4
+ + +
+ ···
2 5 8 11
23


8. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát là:
xn =

1
.
4 · 2n − 3

9. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1 1 1
1
+ + +

+ ···
2 5 8 11
10. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2

2
5

1
+
3

+

3

3
7

+

4

4
9

+ ···

11. Xét sự hội tụ của chuỗi số
∞

n=1

1
2n

1
1+
n

n2

.

12. Xét sự hội tụ của chuỗi số
22
2
23
2n
+ 10 + 10 + · · · + 10 + · · ·
1 2
3
n
13. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
2
3
4
5
√ + + √ + + √ + ···

3 3 3 3 9 9 3
14. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1+

1
1
1
+ 2 + 2 + ···
2
2
3
4

15. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
1
+
+
+ ···
2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4
16. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
2
3
4
− 2
+ 2
− 2
+ ···

2 2 +1 3 +1 4 +1
17. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
1
1
1
1 − − 2 + 3 − 4 − 5 + ···
2 2
2
2
2
18. Cho chuỗi hàm
4−x
1 4−x
+
7x + 2 3 7x + 2

2

+

1 4−x
5 7x + 2

3

+···

Hãy xét sự hội tụ của chuỗi tại x = 0 và x = 1.

19. Tìm miền hội tụ của chuỗi
1
1
1
+
+
+ ···
2
4
x+x
x+x
x + x6
20. Chứng minh rằng chuỗi
x2

1
1
1
1
− 4
+ 6
− 8
···
+1 x +2 x +3 x +4
∞

20. Chứng minh rằng chuỗi

xn hội tụ không đều trong khoảng (−1, 1)

n=1

24