Phát hiện và liên hợp bài toán chứa nghiệm kép hữu tỷ

CHỦ ĐỀ 7. PHÁT HIỆN VÀ LIÊN HỢP BÀI TOÁN CHỨA NGHIỆM KÉP HỮU TỶ.
I, Lý thuyết cơ bản.
Hai cách để kiểm tra tính chất nghiệm của phương trình, tính chất nghiệm kép.
Cách 1. Dùng bảng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát đồ thị hàm số.
Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau 2 x  1  2 x  2 x  1
 x   .
Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) với điều kiện x 
X
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

1
nên ta có bảng sau:
2

F(X)
0.5857
0
0.1362
0.4395
0.8377
1.2998
1.8088

2.3542
2.9289
3.5178

Từ bảng giá trị trên, ta nhận đấy đồ thị có dấu hiệu như một parabol tiếp xúc với trục hoành tại nghiệm duy nhất.
Cách 2. Dùng tính chất đạo hàm.
Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau 2 x  1  2 x  2 x  1
 x   .
Trước hết, sử dụng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình, với bài trên
d
2x  1  2 x  2x  1
ta tìm được nghiệm là x  1 . Sau đó ta xét giá trị
được hiểu là thay giá trị x  1
dx
x 1





vào biểu thức đạo hàm cấp 1 của hàm số f  x   2 x  1  2 x  2 x  1 và

d
2x  1  2 x  2x 1
dx





 0.
x 1

Do đó kết luận x  1 chính là nghiệm kép của phương trình.
II, Các bài toán ví dụ.

 x  y  2  x  y  x  3 y
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
 x, y   
2
2  x  y  4  y  3  2 x  y  5  4 y  3  x  3
PHÂN TÍCH CASIO. Quan sát phương trình hai của hệ, một phương trình khá dài và phức tạp nên ta sẽ đi xét
phương trình một để tìm mối quan hệ giữa x, y . Xét phương trình  x  y  2  x  y  x  3 y .


Chọn y  1 suy ra  x  1 x  1  x  3 . Dùng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC ta được
nghiệm x  5  1  4  y  4 .



Chọn y  100 suy ra  x  98 x  100  x  300 . Dùng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC
ta được nghiệm x  104  100  4  y  4 .

Do đó nhân tử cần tìm đó chính là x  y  4  0 . Chính vì thế ta sẽ ghép biểu thức liên hợp giữa
ta được như sau:  x  y  2  x  y  x  3 y   x  y  2 
  x  y  2



 

x y 2 

x y 2





x y 2 0





x y 2  x y40

x  y với 2










x  y  2 x  y  x  y  0  x  y  2  x  y  4 vì x  y  5  x  y  x  y  0 .

Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, chúng ta có 4  x  4  x  1  2 2 x  9  4 x 2  29 x  55

  .

Với SHIFT CALC không khó để thấy phương trình   có nghiệm x  5 và ta sẽ kiểm tra tính chất nghiệm
bằng cách xét đạo hàm của hàm số f  x   4  x  4  x  1  2 2 x  9  4 x 2  29 x  55 , ta có:

2  x  4

1
 8 x  29 và có được f '  5   0 .
x 1
2x  9
Đến đây ta khẳng định phương trình   có nghiệm kép là x  5 . Khi biết được tính chất nghiệm, chúng ta sẽ
đến các cách để giải quyết bài toán nghiệm kép như sau:
 Cách 1. Phương pháp liên hợp kép. Do phương trình   chứa hai căn thức bậc hai nên ta sẽ có hai biểu
thức liên hợp, đó là:
ax  b  x  1
1
3
x 5

a ;b .
Đặt ax  b  x  1 , giải hệ phương trình 
4
4
 ax  b  '  x  1 '

x 5
Biểu thức liên hợp cần tìm là x  3  4 x  1 .

mx  n  2 x  9
x 5

 m  1; n  4 .
Đặt mx  n  2 x  9 , giải hệ phương trình 
 mx  n  '  2 x  9 '

x 5
Biểu thức liên hợp cần tìm là x  4  2 x  9 .
f ' x  4 x 1 









2





 



Do đó, phương trình   tương đương với: 3  x  5    x  4  x  3  4 x  1  2 x  4  2 x  9  0



x4
2

2
  x  5  3 

  0  x  5  y  1.
x  3  4 x  1 x  4  2x  9 

x4
2
9
Vì 3 

 0; x  .
2
x  3  4 x  1 x  4  2x  9
Cách 2. Phương pháp đưa về tổng các đại lượng không âm. Do tìm được nghiệm kép x  5 nên suy ra
được 2  x  4   x  1 và 2 x  9  1 do đó, ta có được:

2  x  4   x  1
2
2
2 x  9  1   2  x  4   x  1  0  
 x  5.
 2 x  9  1
Cách 3. Phương pháp đánh giá qua bất đẳng thức. Do với nghiệm duy nhất x  5 hay nói cách khác với

4  x  4  x  1   x  4  x  3
điểm rơi tại x  5 , áp dụng bất đẳng thức AM – GM, chúng ta có: 
.
2 2 x  9  2 x  9  1  2 x  8

   





2

Nên suy ra    4 x 2  29 x  55   x  4  x  3  2 x  8  3  x  5   0  x  5 .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    5;1 .
81
2 x2
 x   .
x 1 2 x  2
PHÂN TÍCH CASIO. Phương trình có chứa phân thức nên để nhân liên hợp với phân thức là cực kỳ khó khăn.
Ví dụ 2. Giải phương trình x 2  10 x  19 


Nhưng trước hết, dùng SHIFT CALC ta tìm được nghiệm của phương trình là x  6 và kiểm tra tính chất
81
nghiệm bằng cách xét đạo hàm của hàm số f  x   x 2  10 x  19 
2 x2.
x 1 2 x  2
1 


811 

1
x2

Ta có f '  x   2 x  10 

 f '  6   0 nên suy ra x  6 là nghiệm kép của phương
2
x

2
x 1 2 x  2





2

trình đã cho. Vì thế, trước tiên ta sẽ tạo hằng đẳng thức  x  6  sau đó giải phương trình còn lại để tìm nhân tử
2

chung là  x  6  , như sau:
81
81
 2 x  2   x 2  12 x  36   2 x  17 
2 x2 0
x 1  2 x  2
x 1  2 x  2

2 x 2  23x  106  2  x  16  x  2
81


2
2
  x  6    2 x  17  2 x  2 

0

x

6

0.



x 1 2 x  2 
x 1 2 x  2

x 2  10 x  19 

Bây giờ, ta chỉ cần xét đến phương trình 2 x 2  23x  106  2  x  16  x  2  0

  .

1

ax  b  x  2

a

1
1
x 6


4 nên nhân tử cần tìm là 
Ta lại xét 

x2  x .

4
2

 ax  b  '  x  2 '
b  1
x 6


2









Do đó 2.    4 x 2  46 x  212  4  x  16  x  2  0  5 x 2  60 x  180   x  16  4 x  2  x  2  0

 x  16  x  6 


2

x  16
4 x  26

2
2
 0   x  6  5 
 0.
  0   x  6 .
x24 x2
x24 x2 
x24 x2

4 x  26
1
2
2
2
Nên phương trình đã cho  2  x  6    x  6  .
.
 0   x  6  0  x  6 .
x  2  4 x  2 x 1 2 x  2
4 x  26
Vì 2 

 0; x  2 .
x  2  4 x  2 x 1 2 x  2
 5  x  6

2







LỜI GIẢI. Điều kiện: x  2 .
Phương trình đã cho tương đương với:  x 2  12 x  36   2 x  17 
2

  x  6 

81
2 x2 0
x 1 2 x  2

2 x 2  23x  106  2  x  16  x  2

0
x 1 2 x  2
4 x  26
1
2
2

2
 2  x  6   x  6 .
.
 0   x  6  0  x  6 .
x  2  4 x  2 x 1 2 x  2

Vì 2 

4 x  26

x  2  4

x2

 x  1  2

x2



 0; x  2 . Nên phương trình có nghiệm duy nhất là x  6 .

Ví dụ 3. Giải phương trình 2 x x 2  3   x  1 4  3x 2  6 x  2
 x   .
PHÂN TÍCH CASIO. Như thường lệ, ta sẽ dùng chức năng SHIFT CALC của máy tính CASIO để dò nghiệm
của phương trình f  x   2 x x 2  3   x  1 4  3x 2  6 x  2  0 .


 3 3
Nhập máy, ta thấy với điều kiện x   

;
 ta sẽ gán các giá trị nguyên của x từ 1  1 và máy sẽ báo
 2 2 
hai nghiệm là x  0; x  1 . Tuy nhiên, đến đây mọi thứ vẫn chưa rõ ràng vì có nghiệm nhưng ta vẫn loay hoay
chưa biết liên hợp như thế nào. Vậy nên ta sẽ có thêm một bước nữa đó chính là xác định tính chất nghiệm của
phương trình. Tính chất nghiệm ở đây chính là có phải nghiệm bội hay không, không khó khăn gì ta tính được
3x  x  1
2x2
đạo hàm cấp 1 của f  x  là f '  x   2 x 2  3 
 4  3x2 
6.
x2  3
4  3x 2
 Với x  0 suy ra f '  0   2 3  2  6  2 3  4  0 .



Với x  1 suy ra f '  1  2.2  1  1  6  0 .

Do đó, ta có được x  1 chính là nghiệm kép của phương trình đã cho. Và khẳng định được rằng phương trình
có một nghiệm x  0 và nghiệm kép x  1 . Mục đích của ta là “ tìm biểu thức liên hợp với hai căn “ mà với
nghiệm tìm được ta đưa ra các kết luận sau đây.


Với biểu thức 2 x x 2  3 đã chứa nghiệm x  0 nên ta cần liên hợp biểu thức

x 2  3 với ax  b sao
1

ax  b  x 2  3

a


x 1

2
cho xuất hiện nghiệm kép x  1 . Do đó ta có hệ phương trình: 

 ax  b  '  x 2  3 '
b  3
x 1


2





Và biểu thức liên hợp là 2 x 2  3   3  x  .


Với biểu thức  x  1 4  3 x 2 đã chứa nghiệm x  1  0 nên ta cần liên hợp biểu thức

4  3x 2 với

m  1
mx  n  4  3x 2
mx  n sao cho xuất hiện hai nghiệm x  0; x  1 . Do đó ta có 
.


n  2
 x  0; x  1

Và biểu thức liên hợp là

4  3x 2   x  2  .

Khi ghép biểu thức liên hợp, đại lượng còn dư là x  3  x    x  1 x  2   6 x  2 .
Do đó phương trình f  x   0 tương đương với: x  2 x 2  3   3  x     x  1  4  3x 2   x  2    0 .




2
2
2
2
x  4  x 2  3   3  x    x  1  4  3x 2   x  2  
3x  x  1
4 x  x  1






0

0

2 x2  3  3  x
4  3x 2  x  2
2 x2  3  3  x
4  3x 2  x  2
 x  x  1 2  0

3
4

2
 x  x  1 

0
3
4
2
2

 0  
4  3x  x  2 
 2 x 3 3 x

2
4  3x 2  x  2
2 x  3  3 x
Với phương trình   , ta sẽ chứng minh nó vô nghiệm bằng cách khảo sát tính chất của nó là đại lượng âm hay
dương bằng TABLE ( mode 7 ), khi đó sẽ dễ dàng hơn cho chúng ta ở việc chứng minh vô nghiệm.
3
4


 Nhập F  X  
2 X2 3 3 X
4  3X 2  X  2
 Nhập Start  0.8  End  0.8  Step  0.2 .



Ta sẽ thấy tất cả giá trị đều cho F  X   0 .

Nên ta có    3



 



4  3x 2  x  2  4 2 x 2  3  3  x  0  3 4  3x 2  8 x 2  3  7 x  6  0 .


3



 

9 x 2



4  3x2  2  7 x  8 x2  3  0 

4  3x 2  2



15 x 2  192
7 x  8 x2  3

 0 vô nghiệm.

 3 3
LỜI GIẢI. Điều kiện: x   
;

 2 2 

Phương trình đã cho tương đương với: x  2 x 2  3   3  x     x  1  4  3x 2   x  2    0




2
2
2
2
x  4  x 2  3   3  x    x  1  4  3x 2   x  2  
3x  x  1
4 x  x  1







0

0
2 x2  3  3  x
4  3x 2  x  2
2 x2  3  3  x
4  3x 2  x  2
 x  x  1 2  0

3
4

2
 x  x  1 

0
3
4
2
2

0
4  3x  x  2 
 2 x 3 3 x


2
4  3x 2  x  2
2 x  3  3 x
 x  0; x  1
 x  0; x  1

 
9 x 2
15 x 2  192
2
2

 0  vn 
3 4  3x  8 x  3  7 x  6  0
 4  3x 2  2 7 x  8 x 2  3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  0; x  1 .

Ví dụ 4. Các bài toán đưa về tổng các đại lượng không âm.
Câu 1. Giải phương trình 4 x 2  12  x  1  4 x 5 x  1  9  5 x





 

 x  

Lời giải:
9

1
Điều kiện:  x  . Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm kép x  1 .
5
5
2
2

 5 x  1  2  2 x  2 x  5 x  1  4 x  5 x  1  4 x 5 x  1
 5 x  1  2  2 x
Khi đó 
suy ra 
là các hằng

2
 9  5 x  2
 9  5 x  2
 9  5 x  2  13  5 x  4 9  5 x

đẳng thức cần tạo nên phương trình đã cho tương đương với:




 4x

2





 



 5 x  1  4 x 5 x  1  13  5 x  4 9  5 x  x  1  0

2 x  5 x  1

 2 x  5x  1  9  5x  2  x  1  0   9  5x  2  x  1

 x  1  0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  1 .
2



 

Câu 2. Giải phương trình 4







2





 x  

x  1  3 x 2  13 x  1  8 x  4 x  1  3
Lời giải:









2

Điều kiện: x  1 . Ta có  4 x  1  3  4  x  1  4 x  1  1  4 x  2 x  1  1  4 x .
Nên phương trình đã cho tương đương với: 4













2

x  1  3 x 2  13 x  1  8 x  4 x  2 x  1  1  0 .






2

 4 x 2 x  1  13x x  1  12 x 2  12 x  2 x  1  1  0
2



 

 x  x  1  4 x  13  12  x  1    2 x  1  1  0
 x x  1  4 x  1  12 x  1    2 x  1  1  0
 x x  1  4 x  4  12 x  1  9    2 x  1  1  0
 x x  1  2 x  1  3   2 x  1  1  0
 
x x  1 2 x  1  3  0

 nên phương trình  trở thành:


x 1  0  
 
 2 x  1  1  0

 x 4 x x  1  13 x  1  12 x  12  2 x  1  1  0
2

2

2

2

2

2

Vì x  1  x

2

2 x  1  3
5
2 x 1  3  2 x 1 1  0  
x .
4
2 x  1  1
5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  .
4

1

Câu 3. Giải phương trình  x  3  x  x    x  1 2 x  1  3 x  11
2

Lời giải:
Điều kiện: x  0 . Phương trình đã cho tương đương với:



 x   .



pt   x  3 x  2 x  2  x  1 2 x  1  6 x  22
 x 2  3 x  2 x x  6 x  2  x  1 2 x  1  6 x  22
 x 2  3 x  2  x  1 2 x  1  2 x x  12 x  22  0





  x 2  2 x  1  2  x  1 2 x  1  2 x  1  2 x x  3x  12 x  20  0



2

2

 
 
 x  2  0
 x  1  2x  1  0


nên phương trình   trở thành:
x 5 0 
 2 x  5 x  2   0

 x  1  2x  1  2 x  5
2

Vì x  0  2

2

 x  1  2 x  1
x  1  2x  1  x  2  0  
 x  4.
 x  2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  4 .



Câu 4. Giải phương trình x 4  7 x 2  4 x  3  2 x x 2  x  1  2 3x 2  x  1
Lời giải:



 x  


 x2  2x x  1  x  1  x  x  1 2

Điều kiện: x  1 . Ta có 
4 x 2  4 x 3x 2  x  1  3 x 2  x  1  2 x  3x 2  x  1

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:







2

 



pt  x 4  2 x3  x 2  2 x  1  x  x  1  2 x  3x 2  x  1
2

 







2

2

0

 x 2  x 2  x  1   x3  2 x  1  x  x  1  2 x  3x 2  x  1



2

0

2

 



 x 2  x 2  x  1   x  1  x 2  x  1  x  x  1  2 x  3x 2  x  1
2

2

 



  x 2  x  1  x  x  1  2 x  3x 2  x  1





2

0

2

0

 x2  x  1  0
x  0
1 5

 x  x  1
 2
x
2
x  x 1  0

2
2 x  3 x  x  1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 

1 5
.
2

 x   .

Ví dụ 5. Giải phương trình x 2  x  4   x  1 x  2  x3  x 2  4 x  6
PHÂN TÍCH CASIO
Sử dụng SHIFT SOLVE với x  2 ta được nghiệm x  3.302774567 .
Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE ( Mode 7 ).
Xét F  X   X 2  X  4   X  1 X  2  X 3  X 2  4 X  6 .
Nhập các giá trị
 Start ? START  3.1 .
 End ? END  4 .
 Step ? STEP  0.1 .
Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm trong lân cận giá trị 3.3
đồng thời hàm số F  X  có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành. Vì
vậy nghiệm x  3.302774567 là nghiệm kép của F  X   0 .
Đồng thời ta lại có:

x3  x 2  4 x  6 

 x  3  x 2  2 x  2 

BẢNG GIÁ TRỊ
X

FX 

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0

0.0228
5.919.103
4.346.106
5.366.103
0.0222
0.0507
0.0911
0.1435
0.208
0.2849

Thay x  3.302774567 vào các căn thức ta được:
 x  2  2.302775405
 x  2  3.302774567  1  x  1


 x  3  2.510532726
2
 2

 x  3  x  2 x  2
 x  2 x  2  2.510531957



Vậy ta tạo hằng đẳng thức để có các biểu thức x  1  x  2



2

và





2

x  3  x2  2 x  2 .

LỜI GIẢI. Điều kiện: x  2 .
Vì x  2 nên x  3  0 do đó

x3  x 2  4 x  6 

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

 x  3  x 2  2 x  2  

x  3. x 2  2 x  2 .


pt  2 x 2  2 x  8  2  x  1 x  2  2 x  3. x 2  2 x  2





  x 2  2 x  1  2  x  1 x  2  x  2   x  3  2 x  3. x 2  2 x  2  x 2  2 x  2  0
 x  1  x  2
3  13
0
x
2
2
 x  3  x  2 x  2
3  13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 
.
2



 x 1 x  2

2

 


x  3  x2  2 x  2



2