Ứng dụng của định lý Viet để giải bài toán tam thức bậc hai

Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

PHẦN I. MỞ ĐẦU

2

1. Lý do chọn đề tài.

2

2. Mục đích nghiên cứu.

3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

3

4. Phạm vi nghiên cứu.

4

5. Phương pháp nghiên cứu.

4

PHẦN II. NỘI DUNG
A: Cơ sở khoa học và giải pháp thực hiện đề tài nghiên cứu.
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến đề tài.
II. Giải pháp sư phạm

6
6
6
6

B: Nội dung đề tài
I.
Những vấn đề lí thuyết liên quan đến đề tài

7
7

II.

Một số kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn và hệ thức Vi-et

7

III.

Ứng dụng của định lý Vi-et trong việc giải các dạng toán cụ thể

9

PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

28

1. Mục đích thực nghiệm

28

2. Nội dung thực nghiệm

29

3. Kết quả thực nghiệm

34
PHẦN IV. KẾT LUẬN

35

PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO

36

Xác nhận của đơn vị công tác.
I. PHẦN MỞ ĐẦU

37

1. Lý do chọn đề tài:
Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trên thế
giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta vẫn đang

chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lực nhiều
trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước.
Trang 1


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống
hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu
học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để
tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động
sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ
chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn
nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những
kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh,
mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên của
Tỉnh... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT,
trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có
ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần
này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không
giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc
thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em
học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. Góp
phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này:
“Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán tam thức bậc hai”.
Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS tôi không ngừng học hỏi từ bạn bè

đồng nghiệp, từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là được sự hướng dẫn tận tình của GS: Lê
Mậu Hải và TS: Nguyễn Văn Khiêm – Giảng viên khoa Toán - Tin trường ĐHSP Hà
Nội đã giúp tôi hoàn thành đề tài này.
2. Mục đích nghiên cứu:
Để giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán về ta, thức bậc hai, để
mỗi học sinh sau khi học song chương trình Toán THCS đều phải nắm chắc loại toán
này và biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù
riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy
Trang 2


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say
mê, sáng tạ, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán
bằng cách lập phương trình.
Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn
cuộc sống. Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học
sinh, làm cho học sinh hứng thú với môn Toán.
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có
ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các
bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài
toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất
quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận
dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.

Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
-

-

Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm
phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em
biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng
dụng hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
Điều tra 20 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao,
mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể
tiếp thu, nâng cao kiến thức.

4. Phạm vi nghiên cứu:
- Phạm vi nghiên cứu: Trường THCS
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 9
- Thời gian: Từ tháng 9/2015 đến tháng 5/2016.
Trang 3


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các
bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp
nghiên cứu sau:
-

Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp
thành 8 nhóm ứng dụng sau:


Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .



Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .



Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.



Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.



Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.



Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu
thức chứa nghiệm.

-



Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.



Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.

Phương pháp phỏng vấn, điều tra:
Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các
câu hỏi sau:
Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức không ?
Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không?
Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?

Trang 4


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương
trình sau:
a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0
b/ x2 + 7x + 12 = 0
Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai
nghiệm x1 , x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức

P = x13 x2 − x1 x23

theo

m.
-

Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sau khi sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện
lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. Có kèm theo 2 giáo án đã
dạy ở sau.

II. PHẦN NỘI DUNG
A – CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến đề tài.
-

Toán học là một môn khoa học trừu tượng, đóng vai trò quan trọng trong đời
sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm
bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán,

-

phân tích, tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán trong thực tế cuộc sống.
Thực hiện kế hoạch của trường THCS về bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9.
Trang 5


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Kiến thức về phương trình đặc biệt là phương trình tam thức bậc hai.

-

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:
-

1 tiết lý thuyết: học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét
để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc
hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

-

1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa
học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có

nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận
dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn
học sinh tự học thêm kiến thức phần này.

-

II. Giải pháp sư phạm
Hệ thống hoá cơ sở lí thuyết về định lý Vi-et và giải bài toán tam thức bậc hai.
Đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó, các dạng bài tập khác nhau để phân loại
cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng, kích thích sự tìm tòi

-

và sáng tạo của các em học sinh.
Kiếm tra đánh giá học sinh qua các bài kiểm tra tự luận. Sửa chữa chỗ sai cho

học sinh, lắng nghe ý kiến của các em. Học sinh ngoài làm việc cá nhân còn
phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Giáo viên yêu cầu học sinh tự giác,
tính cực, chủ động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể trong việc lĩnh ngộ
kiến thức.
B – NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I.

Những vấn đề lí thuyết liên quan đến đề tài

Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về định lí Vi-et đưa ra trong
chương IV: Phương trình bậc hai một ẩn số ở chương trình THCS chưa được đề cập
đến nhiều.
Trong quá trình dạy học, ta thấy số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải một số
bài toán thường gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán đó là:
Trang 6


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

a) Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài
toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra
b) Ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn,
tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn.
c) Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh.
d) Áp dụng định lý Viét giải phương trình và hệ phương trình.
e) Định lý Viét với bài toán cực trị.
II.
-

Một số kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn và hệ thức Vi-et
Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh
nắm được định lý Vi-ét:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
x1 =

có 2 nghiệm :

−b + ∆
−b − ∆
; x2 =
2a
2a

Suy ra :
x1 + x2 =
x1 x2 =

−b + ∆ −b − ∆ −2b −b
+
=
=
2a
2a
2a
a

( −b + ∆ ) ( − b − ∆ ) = b
4a

2

(

)

2
2
− ∆ b − b − 4ac
4ac c
=
= 2 =
2
2
4a
4a
4a
a
2

Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
S = x1 + x2 =

Vậy:

−b
a

P = x1.x2 =

c
a

Định lý Viét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

Trang 7


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.
b

x + x2 = −

 1
a

 x .x = c
 1 2 a


* Hệ quả: (trường hợp đặc biệt)
a) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương
x2 =

trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn nghiệm kia là:

c
a

b) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương
x2 = −

trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn nghiệm kia là:
u + v = S

u.v = P

c
a

* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

thì u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0.
điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P ≥ 0.
-

Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để
giải. Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:
 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu
thức chứa nghiệm.
Trang 8

Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.



III.

Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.

Ứng dụng của định lý Vi-et trong việc giải các dạng toán cụ thể.

1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
a) Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0

Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

c
a

b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c = 0

Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

−c
a

Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy:
Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = -1 và
nghiệm kia là x2 =

−3
2

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = 1 và
nghiệm kia là x2 =

−11
3

Trang 9


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0
c/ x2 - 49x - 50 = 0
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0
b) Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ
ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.

b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có
hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
⇒ p=

4 – 4p + 5 = 0

1
4

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 =

5 5
=
x1 2

b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:
25+ 25 + q = 0

⇒ q = −50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 =
Trang 10

−50 −50
=

= −10
x1
5


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ
thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
 x1 − x2 = 11  x1 = 9
⇔

 x1 + x2 = 7
 x2 = −2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ
thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:
 x1 = 2 x2
x = 5
⇔ 2 x2 2 = 50 ⇔ x2 2 = 52 ⇔  2

 x1.x2 = 50
 x2 = −5

Với
Với

x2 = 5

thì

x2 = −5

x1 = 10

thì

Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15

x1 = −10

Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

2, Lập phương trình bậc hai :
a). Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ:
Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

 S = x1 + x2 = 5

 P = x1.x2 = 6

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – Sx + P = 0

⇔

x2 – 5x + 6 = 0

Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= - 3
Trang 11


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+

2

2

và x2= 1 -

b/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ:
Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1 = x2 +

1
x1

y2 = x1 +

và

1
x2

Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
S = y1 + y2 = x2 +

1 1
x +x
1
1
2 9
+ x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
3 2
 x1 x2 


1
1
1
1 9
P = y1. y2 =  x2 + ÷.  x1 + ÷ = x1.x2 + 1 + 1 +
= 2 + 1+1+ =

x1  
x2 
x1 x2
2 2


Vậy phương trình cần lập có dạng:
y − Sy + P = 0

y2 −

2

hay

9
9
y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

Trang 12


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.
y1 = x1 +

y2 +

(Đáp số:

1
x2

y2 = x2 +

và

1
x1

5
1
y − = 0 ⇔ 6 y2 + 5 y − 3 = 0
6
2

)

2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1 = x14

(Đáp số:

và

y 2 = x2 4

y 2 − 727 y + 1 = 0

)

3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 < x2 .
Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là :

x1 ( x2 − 1)

và

x2 ( 1 − x1 )

(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai,
năm học: 200-2009)

4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Hãy lập
phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/
b/

y1 = x1 − 3

và

y1 = 2 x1 − 1

và

y2 = x2 − 3
y2 = 2 x2 − 1

(Đáp số: a/

y 2 − 4 y + 3 − m2 = 0

3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Trang 13

; b/

y 2 − 2 y − (4 m2 − 3) = 0

)


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4

nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3

và P = 2

b/ S = -3

và P = 6

c/ S = 9

và P = 20

d/ S = 2x

và P = x2 – y2

Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9

và a2 + b2 = 41

b/ a - b = 5

và a.b = 36

c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30

Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét
thì cần tìm tích của hai số a và b.
Trang 14


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.
a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab =
2

2

2

(

81 − a 2 + b 2
2

Từ

Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng:
Vậy:

) = 20

x = 4
x 2 − 9 x + 20 = 0 ⇔  1
 x2 = 5

Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b

Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36

Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng:

 x1 = −4
x 2 − 5 x − 36 = 0 ⇔ 
 x2 = 9

Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9
Cách 2: Từ

( a − b)

2

thì c = - 4 nên b = 4

= ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
2

2

2

 a + b = −13

2
⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ 
 a + b = 13

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
 x1 = −4
x 2 + 13 x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = −9

Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
 x1 = 4
x 2 − 13 x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = 9
Trang 15


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:

Từ

 a + b = −11
2
a 2 + b 2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ 
 a + b = 11

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

 x1 = −5
x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔ 
 x2 = −6

Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x = 5
x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔  1
 x2 = 6

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi
biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai
nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
a) Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1:
x12 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
2

a/

(

b/

)

2
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) x12 − x1 x2 + x2 2 = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 




( ) +( x ) = ( x

x14 + x2 4 = x12

c/

2

2

2

2

1

2

+ x2 2

)

2

2
− 2 x12 x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 2




Trang 16


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

d/
Ví dụ 2:

1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2

x1 − x2 = ?

( x1 − x2 )

2

(

)

= x12 − 2 x1 x2 + x2 2 = x12 + 2 x1 x2 + x2 2 − 4 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2

Ta biến đổi
⇒ x1 − x2 = ±

( x1 + x2 )

2

2

− 4 x1 x2

Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/

x12 − x2 2 = ?

( HD
b/

x12 − x2 2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ...

x13 − x2 3 = ?

(HD
c/

2
x13 − x2 3 = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ...



x14 − x2 4 = ?

( HD
d/

x14 − x2 4 = ( x12 + x2 2 ) ( x12 − x2 2 ) = ...

)

x16 + x2 6 = ?

x16 + x26 = ( x12 ) + ( x2 2 ) = ( x12 + x2 2 ) ( x14 − x12 x2 2 + x2 4 ) = ...
3

( HD
e/

)

x16 − x2 6 = ?

f/

3

x17 + x27 = ?
Trang 17

)

)

Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

g/

x + x2 = ?
5
1

5

h/

1
1
+
=?
x1 − 1 x2 − 1

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/

b/

x12 + x2 2

1 1

+
x1 x2

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

 S = x1 + x2 = 8

 P = x1.x2 = 15

x12 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 82 − 2.15 = 34
2

a/

b/

1 1 x1 + x2 8
+ =
=
x1 x2
x1 x2
18

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

(x

1

a/

b/

2

+ x2 2 )

x1 x2
+
x2 x1

2

(Đáp án: 46)

(Đáp án:

34
15

)

2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

Trang 18

Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

a/

b/

x12 + x2 2

1 1
+
x1 x2

(Đáp án: 65)

(Đáp án:

9
8

)

3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/

b/

x12 + x2 2

1 1
+

x1 x2

(Đáp án: 138)

(Đáp án:

14
29

)

4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/

b/

c/

d/

x12 + x2 2

x1
x
+ 2
x2 + 1 x1 + 1
1 1
+
x1 x2
1 − x1 1 − x2

+
x1
x2

(Đáp án: 1)

(Đáp án:

5
6

)

(Đáp án: 3)

(Đáp án: 1)

5/ Cho phương trình: x2 - 4
phương trình, hãy tính:

3

Q=

x + 8 = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 . Không giải
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2
5 x1 x23 + 5 x13 x2

Trang 19

Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

(

(HD:

)

2

2
6. 4 3 − 2.8
6 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2
17
Q=
=
=
=
3
3
2
2
5 x1 x2 + 5 x1 x2
5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8  4 3 − 2.8 80





(

)

)

6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1, x2
(x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức :

A = x13 x2 − x1 x23

theo m.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này
không phụ thuộc vào tham số :
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
-

Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .

Ví dụ 1 :
Cho phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Lập hệ thức
liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc
vào m.

Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

m≥
∆ ' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
m − ( m − 1) ( m − 4 ) ≥ 0

5


Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

2m
2


 S = x1 + x2 = m − 1
 S = x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⇔


m
−
4
 P = x .x =
 P = x .x = 1 − 3 (2)
1 2
1 2


m −1
m −1

Trang 20


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Rút m từ (1), ta có:

Rút m từ (2), ta có:

2
2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 =
(3)
m −1
x1 + x2 − 2
3
3
= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 =

(4)
m −1
1 − x1 x2

Từ (3) và (4), ta có:
2
3
=
⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2

Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0. chứng
minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

∆ ' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
m − ( m − 1) ( m − 4 ) ≥ 0
m ≥ 5

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

2m

 S = x1 + x2 = m − 1

 P = x .x = m − 4
1 2

m −1

Thay vào biểu thức A, ta có:
3.

A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =

Vậy A = 0 với mọi

m ≠1

m≥

và

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)
0
+ 2.

−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1
4
5

.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Trang 21


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lập đối
với m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được :

2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0

độc lập đối với m.

2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy
tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x 1 và x2 không
phụ thuộc giá trị của m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được :
giá trị của m.

2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0

không phụ thuộc

6. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để
2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

x1 + x2 = x1 x2
Trang 22


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m ≠ 0
m − 1 ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔
2



2
2
∆ ' ≥ 0
∆ ' = 9 m − 2m + 1 − 9m + 27 ≥ 0
∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9 ( m − 3 ) m ≥ 0

(

)

m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
m ≥ −1

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
Vì

x1 + x2 = x1x2

Nên

6(m − 1)

S
=
x
+
x
=
1
2

m

 P = x .x = 9(m − 3)
1 2

m

(giả thiết)

6(m − 1) 9(m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9( m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m

( thỏa mãn)

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
x1 + x2 = x1 x2

Ví dụ 2 :
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2
nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
2

∆' =

(

)

∆ ' = ( 2m + 1) − 4 m 2 + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥

7
4

Trang 23

Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
Vì

 S = x1 + x2 = 2m + 1

2
 P = x1.x2 = m + 2

3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

 m = 2(TM )
3 m + 2 − 5 ( 2m + 1) + 7 = 0 ⇔ 
 m = 4 ( KTM )
3


(

Nên

(giả thiết)

2

)

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

x1 − 2 x2 = 0

2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

4 x1 + 3 x2 = 1

3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

3 x1 − 5 x2 = 6

Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và
VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm
nghiệm

x1 x2

x1 + x2

nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
Trang 24

và tích


Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy,
do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức
x1 + x2

có chứa tổng nghiệm
và tích nghiệm
đã trình bày ở VD1 và VD2.

x1 x2

rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm

Bài 1:
m ≠ 0; m ≤

ĐKXĐ:

16
15

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:


− ( m − 4) m
 S = x1 + x2 =

m
( 1)

 P = x .x = m + 7
1 2

m

Theo đề bài ta có:
x1 − 2 x2 = 0 ⇔ x1 = 2 x2 ⇔ x1 + x2 = 3x2 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) = 6 x2 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) = 3x1

Suy ra:

 x1 + x2 = 3 x2
2
⇔ 2 ( x1 + x2 ) = 9 x1 x2 ( 2 )

2 ( x1 + x2 ) = 3x1

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
m2 + 127m - 128 = 0

⇒

m1 = 1 ; m2 = -128 .

Bài 2:
ĐKXĐ:

11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:

 S = x1 + x2 = 1 − m
( 1)

 P = x1.x2 = 5m − 6

Trang 25