PT bậc hai và ứng dụng của định lý Viet

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET
1. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải và công thức nghiệm
2. Định lý Viet
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của
phương trình:
x
2
- Sx + P = 0
3. Ứng dụng của định lý Viét:
*) Ứng dụng trong bài toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 và một nghiệm x = c/a.
+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1 và một nghiệm x = -c/a.
*) Ứng dụng trong bài toán phân tích biểu thức f(x) = ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2

thì biểu thức f(x) = ax
2
+ bx + c sẽ
được phân tích thành nhân tử: f(x) = ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x - x
2
).
Ví dụ: x
2
- 3x + 2 = (x - 1)(x - 2); 2x
2
- 3x - 2 = 2(x - 2)(x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1).
*) Ứng dụng trong bài toán có liên quan đến biểu thức có chứa tổng và tích của các nghiệm.
Ví dụ. Tính:
2 2 3 3
1 2
1 2 1 2
2 2
1 2 2 1 1 2
1 1 1 1
; ; ; ; ....
x x
x x x x
x x x x x x
+ + + + +
4. Một số bài toán thường gặp
Bài toán1: Giải và biện luận phương trình dạng: ax

2
+ bx +c = 0
Bước 1: Nếu a = 0, xét b và c:
+ Nếu b ≠ 0, phương trình có một nghiệm duy nhất x = -
c
b
.
+ Nếu b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu b = 0, c ≠ 0, phương trình vô nghiệm.
Bước 2: Nếu a ≠ 0, tính ∆ = b
2
- 4ac.
+ Nếu ∆ > 0, phương trình có có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
;
+ Nếu ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép
2
b
x
a
= −
.
+ Nếu ∆ < 0 , phương trình vô nghiệm.
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax

2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
Điều kiện:
0, 0
0, 0
a b
a
= ≠


≠ ∆ ≥


ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (2)
∆
= b
2
– 4ac
Kết luận
∆
> 0
(2) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x

a
− ± ∆
=
;
∆
= 0
(2) có nghiệm kép
1,2
2
b
x
a
= −
∆
< 0
(2) vô nghiệm
ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (2)
∆
= b’
2
– ac
Kết luận
'∆
> 0
(2) có hai nghiệm phân biệt
1,2

' 'b
x
a
− ± ∆
=
;
'∆
= 0
(2) có nghiệm kép
1,2
b
x
a
= −
'∆
< 0
(2) vô nghiệm
1 2 1 2
; .
b c
x x x x
a a
+ = − =
Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm.
Điều kiện : a ≠ 0, ∆ ≥ 0.
Bài toán 4. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm phân

biệt.
Điều kiện :
0, 0
. 0
a
a c
≠ ∆ >


<

Bài toán 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm trái
dấu.
Điều kiện: a.c < 0.
Bài toán 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm dương.

Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ ≥




− >



>

Bài toán 7. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm dương
phân biệt.
Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ >



− >




>

Bài toán 8. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm âm.

Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ ≥



− <



>

Bài toán 9. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm âm
phân biệt.
Điều kiện :

0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ >



− <



>

Bài toán 10. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và hiệu các nghiệm bằng k.
Điều kiện:
+ Điều kiện 1: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
0, 0a ≠ ∆ >
.
+ Điều kiện 2:
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

2
( ) 2 ( ) 4 4
b c
x x k x x k x x x x k x x x x k k
a a
− = ⇒ − = ⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ − =
Bài tập
Bài 1. Cho phương trình: x
2
- (m +1)x + 12 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối dấu;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: (x
1
- 2x
2
)(x
2
- 2x
1
) = 10.
HD:
a)
b)
Bài 2. Tìm m để phương trình x
2
- mx + 1 = 0 có hai nghiệm và hiệu các nghiệm đó bằng 1.

Bài 3. Cho phương trình: (m + 1)x
2
- 2(m + 1)x + m - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương.
Bài 4. Cho phương trình: 3x
2
- 4x - m + 5 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 5. Cho phương trình: x
2
- 3x + 2m + 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn:
a)
2 2
1 2
10;x x+ =
b)
3 3
1 2 1 2
7;x x x x+ =
Bài 6. Cho phương trình: x
2
- (2m + 3)x + m
2

+ 2m + 2 = 0 (1). Xác định m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
. Khi đó chứng minh rằng:
4x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2(x
1
+ x
2
) + 5.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
15;x x+ =
c) Phương trình (1) có một nghiệm x

1
= 2 và x
2
> 4.
Bài 7. Cho phương trình: x
2
+ 2mx + 3 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10.
Bài 8. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x
2
- mx - m = 0.
Bài 9. Tìm m để phương trình: (m + 1)x
2
- (3m + 5)x + m - 1 = 0 có đúng một nghiệm
dương.
Bài 10. Cho phương trình: (m - 2)x
2
+ 2mx + m - 1 = 0.
a) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm.
Bài 11. Tìm m để hai phương trình sau là tương đương:
x
2
+mx + m = 0 và x
2
+ 4x + m = 0.
Bài 12. Cho phương trình: x
2
+ x + m = 0 (1) và x

2
+ mx - 7 = (2). Tìm m để phương trình (1)
có một nghiệm gấp 3 lần một nghiệm của phương trình (2).
Bài toán 13. Cho một số k tuỳ ý và phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm x
1
và
x
2
. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một trong hai nghiệm ấy bằng k lần nghiệm kia
là:
2
( 1) 0kb k ac− + =
Giải:
Điều kiện để có một nghiệm bằng k lần nghiệm kia là x
1
= kx
2
hoặc x
2
= kx
1
. Ta có:
x
1
= kx
2
hoặc x

2
= kx
1
⇔ (x
1
- kx
2
)( x
2
- kx
1
) = 0 (1)
Vế trái của đẳng thức trên là một biểu thức đối xứng của x
1
và x
2
. Do đó nó có thể biểu diễn
qua
1 2 1 2
;
b c
x x x x
a a
+ = − =
. Cụ thể là:
2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2

( )( ) ( ) ( 2 1) ( ) ( 1) .
( 1)
(2)
c b
x kx x kx x x k x x k x x k k x x k x x k k
a a
k ac kb
a
 
− − = − + + = + + − + = + − −
 ÷
 
+ −
=
Từ (1) và (2) suy ra x
1
= kx
2
hoặc x
2
= kx
1
⇔
2
( 1) 0kb k ac− + =
.
Bài 14. Cho phương trình:
2 2
2( 1) 3 4 0.x m x m m− − + − + =
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm? Khi ấy, hãy tìm một hệ thức liên hệ

độc lập giữa các nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn:
2 2
1 2 1 2
5( 2)x x x x+ = + −
HD:
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
a) ĐK: m ≥ 3.
Hệ thức độc lập là:
2
1 2 1 2
( ) 2( ) 8 0x x x x− − + + =
Bài 15. Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x

2
+ 2mx + 4 = 0. Hãy tìm tất cả các giá trị
của m để có đẳng thức:
HD:
Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m
2
- 4 ≥ 0 ⇔
2
2
m
m
≥


≤ −

.
Khi đó theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
2
4
x x m
x x
+ = −



=

.
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
2
2
2 2
( ) 2
3 2 . 3 5 5
4 8
5 ( 2) 5 2 5 2 5
4
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
m
m m m
         
+ + −
+ = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
 
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ± +
 ÷
 

Bài 16. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai:
(m + 1)x
2
- 2mx - m = 0
có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1.
HD:
ĐK:
1 2
1 0
0
1
2
m
x x


+ ≠

∆ >


+

=

.