Tải bản đầy đủ (.doc) (7 trang)

PT bậc hai và ứng dụng của định lý Viet

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.42 KB, 7 trang )

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET
1. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải và công thức nghiệm
2. Định lý Viet
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của
phương trình:
x
2
- Sx + P = 0
3. Ứng dụng của định lý Viét:
*) Ứng dụng trong bài toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 và một nghiệm x = c/a.
+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1 và một nghiệm x = -c/a.
*) Ứng dụng trong bài toán phân tích biểu thức f(x) = ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2


thì biểu thức f(x) = ax
2
+ bx + c sẽ
được phân tích thành nhân tử: f(x) = ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x - x
2
).
Ví dụ: x
2
- 3x + 2 = (x - 1)(x - 2); 2x
2
- 3x - 2 = 2(x - 2)(x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1).
*) Ứng dụng trong bài toán có liên quan đến biểu thức có chứa tổng và tích của các nghiệm.
Ví dụ. Tính:
2 2 3 3
1 2
1 2 1 2
2 2
1 2 2 1 1 2
1 1 1 1
; ; ; ; ....
x x
x x x x
x x x x x x
+ + + + +
4. Một số bài toán thường gặp
Bài toán1: Giải và biện luận phương trình dạng: ax

2
+ bx +c = 0
Bước 1: Nếu a = 0, xét b và c:
+ Nếu b ≠ 0, phương trình có một nghiệm duy nhất x = -
c
b
.
+ Nếu b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu b = 0, c ≠ 0, phương trình vô nghiệm.
Bước 2: Nếu a ≠ 0, tính ∆ = b
2
- 4ac.
+ Nếu ∆ > 0, phương trình có có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
;
+ Nếu ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép
2
b
x
a
= −
.
+ Nếu ∆ < 0 , phương trình vô nghiệm.
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax

2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
Điều kiện:
0, 0
0, 0
a b
a
= ≠


≠ ∆ ≥


ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (2)

= b
2
– 4ac
Kết luận

> 0
(2) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x

a
− ± ∆
=
;

= 0
(2) có nghiệm kép
1,2
2
b
x
a
= −

< 0
(2) vô nghiệm
ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (2)

= b’
2
– ac
Kết luận
'∆
> 0
(2) có hai nghiệm phân biệt
1,2

' 'b
x
a
− ± ∆
=
;
'∆
= 0
(2) có nghiệm kép
1,2
b
x
a
= −
'∆
< 0
(2) vô nghiệm
1 2 1 2
; .
b c
x x x x
a a
+ = − =
Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm.
Điều kiện : a ≠ 0, ∆ ≥ 0.
Bài toán 4. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm phân

biệt.
Điều kiện :
0, 0
. 0
a
a c
≠ ∆ >


<

Bài toán 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm trái
dấu.
Điều kiện: a.c < 0.
Bài toán 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm dương.

Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ ≥




− >



>

Bài toán 7. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm dương
phân biệt.
Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ >



− >




>

Bài toán 8. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm âm.

Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ ≥



− <



>

Bài toán 9. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm âm
phân biệt.
Điều kiện :

0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ >



− <



>

Bài toán 10. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và hiệu các nghiệm bằng k.
Điều kiện:
+ Điều kiện 1: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
0, 0a ≠ ∆ >
.
+ Điều kiện 2:
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

2
( ) 2 ( ) 4 4
b c
x x k x x k x x x x k x x x x k k
a a
− = ⇒ − = ⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ − =
Bài tập
Bài 1. Cho phương trình: x
2
- (m +1)x + 12 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối dấu;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: (x
1
- 2x
2
)(x
2
- 2x
1
) = 10.
HD:
a)
b)
Bài 2. Tìm m để phương trình x
2
- mx + 1 = 0 có hai nghiệm và hiệu các nghiệm đó bằng 1.

Bài 3. Cho phương trình: (m + 1)x
2
- 2(m + 1)x + m - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương.
Bài 4. Cho phương trình: 3x
2
- 4x - m + 5 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 5. Cho phương trình: x
2
- 3x + 2m + 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn:
a)
2 2
1 2
10;x x+ =
b)
3 3
1 2 1 2
7;x x x x+ =
Bài 6. Cho phương trình: x
2
- (2m + 3)x + m
2

+ 2m + 2 = 0 (1). Xác định m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
. Khi đó chứng minh rằng:
4x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2(x
1
+ x
2
) + 5.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
15;x x+ =
c) Phương trình (1) có một nghiệm x

1
= 2 và x
2
> 4.
Bài 7. Cho phương trình: x
2
+ 2mx + 3 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10.
Bài 8. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x
2
- mx - m = 0.
Bài 9. Tìm m để phương trình: (m + 1)x
2
- (3m + 5)x + m - 1 = 0 có đúng một nghiệm
dương.
Bài 10. Cho phương trình: (m - 2)x
2
+ 2mx + m - 1 = 0.
a) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm.
Bài 11. Tìm m để hai phương trình sau là tương đương:
x
2
+mx + m = 0 và x
2
+ 4x + m = 0.
Bài 12. Cho phương trình: x
2
+ x + m = 0 (1) và x

2
+ mx - 7 = (2). Tìm m để phương trình (1)
có một nghiệm gấp 3 lần một nghiệm của phương trình (2).
Bài toán 13. Cho một số k tuỳ ý và phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm x
1

x
2
. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một trong hai nghiệm ấy bằng k lần nghiệm kia
là:
2
( 1) 0kb k ac− + =
Giải:
Điều kiện để có một nghiệm bằng k lần nghiệm kia là x
1
= kx
2
hoặc x
2
= kx
1
. Ta có:
x
1
= kx
2
hoặc x

2
= kx
1
⇔ (x
1
- kx
2
)( x
2
- kx
1
) = 0 (1)
Vế trái của đẳng thức trên là một biểu thức đối xứng của x
1
và x
2
. Do đó nó có thể biểu diễn
qua
1 2 1 2
;
b c
x x x x
a a
+ = − =
. Cụ thể là:
2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2

( )( ) ( ) ( 2 1) ( ) ( 1) .
( 1)
(2)
c b
x kx x kx x x k x x k x x k k x x k x x k k
a a
k ac kb
a
 
− − = − + + = + + − + = + − −
 ÷
 
+ −
=
Từ (1) và (2) suy ra x
1
= kx
2
hoặc x
2
= kx
1

2
( 1) 0kb k ac− + =
.
Bài 14. Cho phương trình:
2 2
2( 1) 3 4 0.x m x m m− − + − + =
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm? Khi ấy, hãy tìm một hệ thức liên hệ

độc lập giữa các nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn:
2 2
1 2 1 2
5( 2)x x x x+ = + −
HD:
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
a) ĐK: m ≥ 3.
Hệ thức độc lập là:
2
1 2 1 2
( ) 2( ) 8 0x x x x− − + + =
Bài 15. Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x

2
+ 2mx + 4 = 0. Hãy tìm tất cả các giá trị
của m để có đẳng thức:
HD:
Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m
2
- 4 ≥ 0 ⇔
2
2
m
m



≤ −

.
Khi đó theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
2
4
x x m
x x
+ = −



=

.
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
2
2
2 2
( ) 2
3 2 . 3 5 5
4 8
5 ( 2) 5 2 5 2 5
4
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
m
m m m
         
+ + −
+ = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
 

⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ± +
 ÷
 

Bài 16. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai:
(m + 1)x
2
- 2mx - m = 0
có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1.
HD:
ĐK:
1 2
1 0
0
1
2
m
x x


+ ≠

∆ >


+

=

.

×