skkn toán THCS

Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

MỤC LỤC:
A.MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1.Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết
2.Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
II.Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận thực tiễn và có tính định hướng cho việc nghiên cứu , tìm
giải pháp của đề tài
2. Các biện pháp tiến hành , thời gian tạo ra giải pháp
B.NỘI DUNG
I. Mục tiêu: Nêu rõ nhiệm vụ của đề tài
II. Mô tả giải pháp của đề tài
1. Thuyết minh tính mới
2. Khả năng áp dụng
- Thời gian áp dụng hoặc thử nghiệm có hiệu quả
- Có khả năng thay thế giải pháp hiện có
- Khả năng áp dụng ở đơn vị hoặc trong ngành
3. Lợi ích kinh tế xã hội
-Thể hiện rõ lợi ích có thể đạt được đến quá trình giáo dục ,công tác
-Tính năng kỹ thuật ,chất lượng ,hiệu quả sử dụng
-Tác động xã hội tích cực ,cải thiện môi trường , điều kiện lao động
C.KẾT LUẬN
- Những điều kiện ,kinh nghiệm áp dụng ,sử dụng giải pháp .
-Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp
- Đề xuất , kiến nghị

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

A.MỞ ĐẦU:
I.ĐẶT VẤN ĐỀ :
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết :
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những chuyên đề khó của
chương trình toán THCS
Đặt thù loại toán này rất đa dạng và phong phú . Tùy theo mỗi bài toán mà có cách
giải khác nhau .Nói chung đứng trước một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
học sinh rất phân vân không biết lựa chọn cách giải nào phù hợp và vận dụng kiến
thức nào để giải rất dễ lang mang và dẫn đến bế tắc .
Trong quá trình dạy học không những học sinh trung bình , yếu khó khăn khi
gặp loại toán này mà kể cả những học sinh khá giỏi cũng nhiều lúng túng nhất là
những bài toán đòi hỏi linh hoạt vận dụng sáng tạo .Đứng trước tình hình đó bản thân
tôi đã cố gắng tìm hiểu , tham khảo một số sách , chọn lọc,phân dạng hệ thống lại một
số phương pháp thường gặp để hướng dẫn học sinh giải bài tập ở loại toán này .
2.Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới:
Tài liệu này viết xong đem ra áp dụng bước đầu thấy có kết quả , học sinh đã
giải được một số bài không phức tạp lắm và làm tư liệu bồi dưỡng học sinh giỏi . Qua
đó các em hứng thú học tập hơn ,góp phần phát triển tư duy phẩm chất trí tuệ ,giáo
dục đức tính tốt , chăm chỉ , cần cù , chịu khó ,kiên trì , nhẫn nại làm việc đến nơi đến
chốn đào tạo con người mới đầy phẩm chất tốt đẹp .
3.Phạm vi nghiên cứu đề tài:

Về kiến thức : Kiến thức chương trình THCS cơ bản ,nâng cao và mở rộng
Về tài liệu nghiên cứu : Nghiên cứu một số sách tham khảo liên quan đến chủ đề
phân tích đa thức thành nhân tử , một số bài tập tự tìm hiểu và hệ thống có lo gich
theo từng nhóm để hướng dẫn học sinh . mở rộng một số phương pháp mà sách giáo
khoa chưa đề cập đến , mở rông một số bài tập tư duy cao hơn ở sách giáo khoa,
nhưng không vượt quá tầm kiến thức toán THCS
II.PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:
1.Cơ sở lý luận thực tiễn và có tính định hướng cho việc nghiên cứu ,tìm giải pháp
của đề tài.
Dạy học sinh nắm vững kiến thức toán học , biết vận dụng công thức toán vào
giải bài tập là điều hết sức cần thiết để đảm bảo chất lượng , gây hứng thú học tập cho
các em.
Đặc thù môn toán ,nội dung chương trình sắp xếp theo một trật tự lo gich từ đầu
đến cuối , từ thấp đến cao , từ đơn giản đến phức tạp .Những điều như vậy khi giải
quyết bài toán phải có sự lo gich chặt chẽ , tính liên tục để đi đến kết quả cuối cùng
Tiếp thu một kiến thức giải một bài toán học sinh đã trải qua các thao tác tư
duy :,phân tích , tổng hợp , trừu tượng hóa ,cụ thể hóa . Do đó trong quá trình giải
toán học sinh luôn suy nghĩ để hành động tìm ra giải pháp để giải quyết vấn đề . Quá
trình đó đã rèn học sinh khả năng phát triển tư duy trí tuệ
Phát triển được môn toán giúp các em vận dụng tốt vào các môn học khác như
hóa học, vật lý …Qua giải toán rèn các em đức tính :chịu khó , cẩn thận ,tỉ mỉ , thận
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

trọng, chính xác ,suy luận chặt chẽ ,… có phương pháp làm việc khoa học , sắp xếp
hợp lý trước sau để giải quyết vấn đề
Hướng dẫn học sinh giải một bài toán luôn ý thức có thể có nhiều cách giải khác
nhau, nên nhìn bài tập ở nhiều khía cạnh khác nhau. Từ đó phải linh hoạt trong suy
nghĩ và hành động
Trong tình hình dạy học môn toán hiện nay , học sinh thường phân hóa hai đối
tượng ở hai cực rõ rệt , hoặc đối tượng khá giỏi hoặc đối tượng yếu kém , học sinh
trung bình chiếm tỉ lệ thấp . Có nghĩa là số em học được ngày càng tiến bộ thì vươn
lên , ngược lại số em học không được ngày càng sa sút và đi đến chỗ không có khả
năng giải được bài tập với yêu cầu tối thiểu . Điều đó người giáo viên đứng lớp cần
phải suy nghĩ , học toán các em gặp phải khó khăn gì , tìm mọi cách giúp các em
vươn lên từng bước học sinh yếu vươn lên trung bình , học sinh trung bình dần dần
vươn lên khá , học sinh khá vươn lên giỏi , phác hiện học sinh năng khiếu . Đó là hiệu
quả tốt nhất của người đứng trên bục giảng .
Vì tính đa dạng trong việc giải bài tập toán , người học sinh cần có kỹ năng vận
dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo . Người ta thường nói vui : Con
đường giải toán nhiều lúc thật là thiên biến vạn hóa , cùng một bài toán có thể có
nhiều cách giải khác nhau , các em thường bối rối không biết lựa chọn con đường nào
nhất là bài toán khó .
Trong hoạt động dạy học , khi học qua mỗi phần , mỗi chương ,chúng ta cần hệ
thống lại chỉ ra các dạng toán thường gặp , các phương pháp điễn hình thường sử
dụng để học sinh có kỹ năng giải toán như là một vũ khí trong tay khi ra chiến
trường .
Khi dạy qua kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 , đây là một chủ đề khó
đối với học sinh , nhưng phần bài tập lại rất đa dạng và phong phú . Nhiều lúc đứng
trước một bài tập học sinh không biết giải bằng con đường nào . Đặc biệt học sinh
thường gặp ở trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp trường , cấp huyện …
Bản thân đã tự tìm kiếm trong các sách tham khảo, phân dạng ,hệ thống lại , liệt
kê một số phương pháp thường gặp để giúp học sinh đồng thời cũng làm tư liệu bồi
dưỡng nâng cao năng lực giải toán cho học sinh

Thời gian qua tôi đã lấy chủ đề này dạy cho học sinh , thấy học sinh làm được
tương đối tốt . Khi học xong các em làm được bài thấy rất phấn khởi hứng thú trong
học tập
2.Các biện pháp tiến hành , thời gian tạo ra giải pháp .
Trên cơ sở kiến thức cơ bản ở sách giáo khoa các em đã học , tôi hệ thống lại
một cách trật tự, phương pháp vận dụng , vận dụng phù hợp cho từng dạng toán , mở
rộng một số phương pháp ở sách giáo khoa chưa đề cập để bồi dưỡng học sinh khá
giỏi chẳng hạn phương pháp dùng hệ số bất định , phương pháp sử dung định lý Bơ
Du , phương pháp đặt ẩn phụ… rất lợi ích trong chứng minh các bài toán chia hết , rút
gọn … . Đầu học kỳ I năm học 2015-2016 tôi nghiên cứu và biên soạn đề tài này
trong thời gian hai tuần , sau đó tiến hành dạy cuối đợt kiểm tra và đánh giá mức độ
tiếp thu của học sinh thấy có khả quan tiến bộ hơn nhiều cùng kỳ năm ngoái khi chưa
biên soạn đề tài
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

B.NỘI DUNG:
I.MỤC TIÊU:
Nhiệm vụ của đề tài : Giải quyết vấn đề khó khăn khi học sinh đứng trước một
bài toán PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ . Chỉ cho các em một số
phương pháp thường gặp để các em biết lựa chọn phương pháp phù hợp từng dạng
khi gặp một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử hoặc bài toán cần phân tích
thành nhân tử để giải quyết một vấn đề khác ,chẳng hạn các bài toán chia hết,rút gọn
một biểu thức, giải phương trình tích… . Chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử là

một chủ đề khó trong chương trình toán THCS , thời gian dạy các em ít nhưng toán
rất đa dạng và phong phú , các em thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi , các
câu nâng cao ở học kỳ và là tiền đề cơ sở để học lên cấp THPT . Do vậy việc biên
soạn đề tài này nhằm giúp các em có năng lực giải toán để từ đó học tập tiến bộ
hơn.
II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:
1.Thuyết minh tính mới :
Hệ thống : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1.1)Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung AB+AC-AD=A(B+C-D)
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử A = m5-5m3+4m
Hdẫn: đặt m là nhân tử chung A = m( m4 – 5m2 +4) = m(m2 – 1) (m2 - 4) =
m(m-1)(m+1) (m-2) (m+2)
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử :
B= 5(x-y)3 z– 10(x-y)2
C = x2nyn+1-42n-1yn+2 -2 xnyn
2
Hướng dẫn : B = 5(x-y) [(x-y)z – 2] = 5(x-y)2(xz-yz-2)
C = xnyn(xny – 4xn-1y2 - 2)
1.2)Phương pháp 2:Nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung AB+AC-BDCD=(AB+AC) - (BD+CD)=A(B+C) - D(B+C)=(B+C)(A-D)
Ví dụ : Phân tích thành nhân tử D = n3-3n2-n+3
Hdẫn: nhóm D = (n3-3n2)-(n-3) rồi đặt nhân tử chung
D = n2 (n – 3) – (n -3) = (n - 3) ( n2 – 1) = ( n-3) ( n-1) ( n+1)
1.3)Phương pháp 3:Dùng hằng đẳng thức

A2 2AB+B2=(A B)2




A2-B2=(A-B)(A+B)

A3 3A2B+3AB2 B3=(A B)3
A3 B3=(A B)(A2 AB+B2)

(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

an – bn = (a – b)(an-1+an-2b+……+bn-1)

an – bn = (a+b)( an-1- an-2b+……- bn-1) ( với n chẵn)

an + bn = (a+b)( an-1- an-2b+……+bn-1) ( với n lẻ)
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử N = x6-1
Hướng dẫn: chú ý (x2)3=x6 hoặc x6=(x3)2 và 1=12=13
N = (x3)2 – 12 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x-1)(x+1)(x2+x+1) (x2-x+1)


GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

Ví dụ: Phân tích thành nhân tử x128-y128
Hdẫn :vận dụng hằng đẳng thức A2-B2=(A-B)(A+B)
x128-y128=(x64)2-(y64)2=(x64+y64)(x64-y64)=(x64+y64)[(x32)2-(y32)2]= (x64+y64)(x32-y32)
(x32+y32)= (x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16)(x16- y16) = (x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16)
(x8 – y8)(x8+y8) = (x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4)(x4-y4)=
(x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4) (x2+y2)(x2 – y2)

=(x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4) (x2+y2)(x+y)(x – y)
Bài 1: Phân tích thành nhân tử A=ab(a-b)-ac(a+c)+bc(2a+c-b)
Hdẫn : khai triển A=ab(a-b)-a2c-ac2+2abc+bc2-b2c =ab(a-b)-c(a2-2ab+b2)-c2(ab)=.......... = (a - b)(b – c)(a+c)
1.4)Phương pháp 4:Tách 1 hạng tử rồi nhóm
Ví dụ :x2-x-6 = x2+2x-3x-6 = x(x+2)-3(x+2) = (x+2)(x-3)
Bài 2: Phân tích thành nhân tử y4+4y2-5
 cách 1: tách -5=-1-4 và nhóm (y4-1)+(4y2-4)=............ =(y2+5)(y-1)(y+1)
 cách 2:tách -5=4-9 và nhóm (y4+4y2+4)-9=(y2+2)2-32=.....=(y2+5)(y-1)(y+1)
Bài 3: Phân tích thành nhân tử x3-19x-30
 cách 1: tách -30=8-38 và nhóm (x3+8)-19x-38=........... (x+2)(x+3)(x-5)
=(x3+23)-19(x+2)=..........=(x+2)(x+3)(x-5)
 cách 2: -19x=-10x-9x và nhóm (x3-9x)-10x-30=.........
Bài 4: Phân tích thành nhân tử a3-7a-6
 cách 1:tách -7a=-a-6a và nhóm (a3-a)-6a-6= a(a-1)(a+1)-6(a+1)= (a+1)(a2-a-6)
= (a+1) (a-3) (a+2)
cách 2: a3-7a-6 = a3 +8 -7a -14 = …..= (a+1) (a-3) (a+2)
Bài 5: x4-13x2+36
Hdẫn: tách -13x2=-4x2-9x2
Bài 6: Phân tích thành nhân tử m5-5m3+4m
Cách 1: Đặt m làm nhân tử chung
Kết quả : m5-5m3+4m = m(m-1)(m+1)(m-2)(m+2)
Cách 2: tách -5m3=-m3-4m3
Bài 7: Phân tích thành nhân tử x16+x8y8+y16
Hdẫn: tách x8y8=2 x8y8- x8y8
viết được x16+x8y8+y16=.......=(x8+y8-x4y4)( x8+y8+x4y4)
tiếp tục phân tích x8+y8+x4y4=.........=(x4+y4-x2y2)( x4+y4+x2y2)
tiếp tục x4+y4+x2y2=............=(x2+y2+xy) (x2+y2-xy)
kết quả = (x8+y8-x4y4)( x4+y4-x2y2) (x2+y2-xy) (x2+y2+xy)
Bài 8: Phân tích thành nhân tử x4+6x3+7x2-6x+1
Hdẫn:tách hạng tử rồi nhóm lại để xuất hiện nhân tử chung x2+3x-1

tách 6x3=3x3+3x3, 7x2=-x2+9x2-x2, -6x=-3x-3x
ta có x4+6x3+7x2-6x+1=x4+3x3+3x3-x2+9x2-x2-3x-3x+1
= x4+3x3-x2+3x3+9x2-3x-x2-3x+1
=x2(x2+3x-1)+3x(x2+3x-1)- (x2+3x-1)= (x2+3x-1) (x2+3x-1)= (x2+3x-1)2
Cách khác : đưa về dạng (A+B)2-2(A+B).C+C2=(A+B-C)2
x4+6x3+7x2-6x+1= x4+6x3+9x2-2x2-6x+1=[(x2)2+2.x2.3x+(3x)2]-2(x2+3x)+12
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

=(x2+3x)2-(x2+3x)+1=(x2+3x-1)2
Bài 9: Phân tích thành nhân tử E=(a-x)y3-(a-y)x3+(x-y)a3
cách giải: chú ý a-x=(a-y)-(x-y)
E=[(a-y)-(x-y)]y3-(a-y)x3+(x-y)a3=...........=(a-y)(y3-x3)-(x-y)(y3-a3)=...............
=(a-y)(y-x)(y2+xy+x2-a2-ay-y2)=(a-y)(y-x)[y(x-a)+(x-a)(x+a)]=(a-y)(y-x)(x-a)
(x+y+a)
1.5)Phương pháp 5: Thêm,bớt cùng một hạng tử rồi nhóm
Phân tích thành nhân tử x4+4y4
Hướng dẫn : x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy) (x2+2y2-2xy)
Bài 10: Phân tích thành nhân tử x8+4
Hướng dẫn: thêm bớt 4x4 và nhóm ( x8+4x4+4)- 4x4 rồi dùng hằng đẳng thức ,kết quả
(4x4-2x2+2) (4x4+2x2+2)
Bài 11: Phân tích thành nhân tử a4+b4
Hdẫn: thêm bớt 2a2b2 và dùng hằng đẳng thức
Bài 12: Phân tích thành nhân tử 81x4+4

Hdẫn: chú ý 81x4+4=(9x2)2+22 có dạng a2+b2 nên ta thêm bớt 2ab rồi dùng hằng đẳng
thức
Bài 13: Phân tích thành nhân tử x5+x4+1
Hdẫn :thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tư chung x2+x+1
 cách 1: x5+x4+1=( x5+x4+x3)-(x3+x2+x)+(x2+x+1)=x3(x2+x+1)-x(x2+x+1)+
( x2+x+1) = (x3-x+1)( x2+x+1)
 cách 2: chỉ thêm bớt x3 ( x5+x4+x3)-(x3-1)=.........= (x3-x+1)( x2+x+1)
Bài 14: Phân tích thành nhân tử x8+x7+1

cách 1: thêm bớt x6,x5,x4,x3,x2,x
x8+x7+1=( x8+x7+x6)-(x6+x5+x4)+(x5+x4+x3)-(x3+x2+x)+
(x2+x+1)=..............................= ( x2+x+1)(x6-x4+x3-x+1)

cách 2: chỉ thêm bớt x2 và x và nhóm hạng tử
x8+x7+1=(x8-x2)+(x7-x)+ ( x2+x+1)=x2(x6-1)+x(x6-1)+ ( x2+x+1)=
( x2+x+1)(x6-x4+x3-x+1)
Bài 15: Phân tích thành nhân tử x8+x+1

cách 1: thêm bớt x7,x6,x5,x4,x3,x2,x như cách 1 bài 17

cách 2:chỉ thêm bớt x2
x8+x+1=(x8-x2)+ ( x2+x+1)=x2(x3+1)(x-1) ( x2+x+1)+ ( x2+x+1)
=( x2+x+1)[ x2(x3+1)(x-1)+]= ( x2+x+1)( x6-x5+x3-x2+1)
Bài 16: Phân tích thành nhân tử a10+a5+1
 cách 1: thêm bớt a9,a8,a7,a6,a5,a4,a3,a2,a
a10+a5+1=(a10+a9+a8)-( a9+a8+a7)+(a7+a6+a5)-( a6+a5+a4)+( a5+a4+a3)-(a3+a2+a)+
(a2+a+1)=...........= (a2+a+1)(a8-a7+a5-a4+a3-a+1)
 cách 2: chỉ thêm bớt a2 và a và nhóm hạng tử
a10+a5+1=(a10-a)+(a5-a2)+(a2+a+1)=a(a3-1)(a6+a3+1)+ a2(a3-1)+(a2+a+1)
=a(a-1) (a2+a+1) (a6+a3+1)+ a(a-1) (a2+a+1)+ (a2+a+1)

= (a2+a+1)[ a(a-1)(a6+a3+1)+a(a-1)+1]=> kết quả như trên
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

Bài 17: Phân tích thành nhân tử a2b2(b-a)+b2c2(c-b)-a2c2(c-a)
( *)
 cách 1: chú ý c-b=-[(b-a)-(c-a)]
vậy (*) viết là a2b2(b-a)-b2c2[(b-a)-(c-a)]-a2c2(c-a)=[a2b2(b-a)-b2c2(b-a)]+
[b2c2(c-a)-a2c2(c-a)]=b2(b-a)(a-c)(a+c)+c2(c-a)(b+a)(b-a)=...........=(a-b)(a-c)(bc)(ab+ac+bc)
 cách 2:(*) viết là a2b2(b-a)+b2c3-b3c2-a2c3+a3c2= a2b2(b-a)+c3(b+a)(b-a)-c2(b3-a3)
=a2b2(b-a)+c3(b+a)(b-a)-c2(b-a)(b2+ab+a2)=..........=(b-a)[c2b(cb)+c2a(cb)-a2(c2-b2)=................= kết quả
Bài 18: Phân tích thành nhân tử Q=x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
 cách 1: =xy2-xz2+yz2-yx2+zx2-zy2=y2(x-z)+xz(x-z)-y(x2-z2)=(x-z)[y2+xzy(x+z)]=(x-z)[z(x-y)-y(x-y)]=(x-z)(x-y)(z-y)
 cách 2: chú ý y2-z2=-[(z2-x2)+(x2-y2)]
Q=-x[(z2-x2)+(x2-y2)]+y(z2-x2)+z(x2-y2)=-x(z2-x2)-x(x2-y2)+y(z2-x2)+ z(x2-y2)
=(z2-x2)(y-x)-(x2-y2)(x-z)=(x-z)(x+z)(x-y)-(x-y)(x+y)(x-z)
=(x-y)(x-z)[(x+z)-(x+y)]=(x-y)(x-z)(z-y)
1.6)Phương pháp 6: Dùng ẩn phụ
VD:Phân tích thành nhân tử (x2-3x+2)(x2-3x-6)+12
Đặt y= x2-3x+2 => x2-3x-6 = (x2-3x+2)-8=y-8
Vậy y(y-8)+12=y2-8y+12=(y2-8y+16)-4=(y-4)2-22=(y-4+2)(y-4-2)=(y-2)(y-6)
suy ra (x2-3x+2)(x2-3x-6)+12=( x2-3x+2-2) (x2-3x+2-6)=( x2-3x)( x2-3x-4)=x(x3)(x2+x-4x-4)=x(x-3) (x2+x-4x-4)=x(x-3)[x(x+1)-4(x+1)]=x(x-3)(x+1)(x-4)
 Chú ý:Nếu tam thức bậc 2 :ax2+bx+c có b2-4ac 0 thì ta tiếp tục phân
tích ra thừa số được nữa.

VD: x2-x+2 có a=1,b=-1,c=2
(-1)2-4.1.2=1-8=-7<0 nên x2-x+2 không thể phân tích được nữa
Bài 19: Phân tích thành nhân tử a10+a5+1
 cách 3: đặt a5=x
=> a10+a5+1=x2+x+1
ta có x2+x+1=
=

=> a10+a5+1=
thương

=

=
=a8-a7+a5-a4+a3-a+1 => kết

quả
Bài 20: Phân tích thành nhân tử A=9(x2-x)2 -14(x2-x) + 24
Hướng dẫn : đặt ẩn phụ y=x2-x
ta viết: y2-14y+24=(y2-14y+49)-25=(y-7)2-52=(y-7+5)(y-7-5)=(y-2)(y-12)
vậy A=(y-2)(y-12)=(x2-x-2)(x2-x-12)=(x2+x-2x-2)(x2+3x-4x-12)=[x(x+1)-2(x+1)]
[x(x+3)-4(x+3)]
=(x-2)(x+1)(x+3)(x-4)
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

Bài 21: tự giải- Phân tích thành nhân tử
a. (x2+x)2+4(x2+x)-12
kết quả = (x-1)(x+2)(x2+x+6)
b. (y2+y+1) (y2+y+2)-12. kết quả =(y-1)(y+2)(y2+y+5)
c. 3(x2+2x)2-2(x2+2x)-1. kết quả =(x2+2x-1)(3x2+6x+1)
(m+1)(m+3)(m+5)(m+7)+15. kết quả (m+2)(m+6)(m2+8m+10)
Bài 22: Phân tích thành nhân tử (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8) +2x2
Hdẫn : đặt y= x2+4x+8 => y2+3xy+2x2=(y2+2yx+x2)+(xy+x2)=(y+x)2+x(y+x)= (y+x)
(y+x+x)= (y+x)(y+2x)=....... kết quả =(x2+5x+8)(x+2)(x+4)
Bài 23: Phân tích thành nhân tử (x2+x+1)2+3x(x2+x+1)+2x2
tự giải: tương tự bài 26 =>kết quả (x+1)2(x2+3x+1)
Bài 24: Phân tích thành nhân tử 27x3-27x2+18x-4
Hdẫn: đặt y=3x => y3-3y2+6y-4 có 1 nghiệm y=1
kết quả =(3x-1)(9x2-6x+4)
1.7)Phương pháp 7:phối hợp nhiều phương pháp
Bài 25: Phân tích thành nhân tử a2-a-6
 cách 1: tách -6=-4-2 và nhóm a2-4-a-2=(a2-4)-(a+2)=.........
 cách 2: tách -6=-9+3 và nhóm a2-9-a+3=(a2-9)-(a-3)=.........
 cách 3:tách -a=2a-3a viết a2+2a-3a-6=......... hoặc nhóm (a2-3a)+(2a-6)=.......
 cách 4:đưa về hằng đẳng thức
a2-a-6=(a2-2a + )- .=6=(a- )2- =.............
 cách 5:đưa về dạng x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
a2-a-6= a2+(-3+2)a+(-3)2=(a-3)(a+2)
 cách 6:phương pháp hệ số bất định
ta viết a2-a-6=(a+m)(a+n) => a2-a-6= a2+(m+n)a+m.n =>

=> m=-3,

n=2
a2-a-6=(a-3)(a+2)
Bài 26: Phân tích thành nhân tử y8+y4+4
Hướng dẫn: tách y4= 2y4- y4 và nhóm (y8+2y4+1)- y4 rồi dùng hằng đẳng thức
Bài 27: Phân tích thành nhân tử B=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
Hdẫn:nhận xét 1+4=2+3=5 nên ta nhóm (x+1)(x+4) và (x+2)(x+3),khai triển từ đó đặt
ẩn phụ rồi giải như bài 23 ở trên
ta có [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24=(x2+5x+4)( x2+5x+6)-24
đặt t= x2+5x+4 => x2+5x+6=t+2

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

vậy t(t+2)-24=t2+2t-24= (t2+2t+1)-25=(t+1)2-52=(t+6)(t-4)
=> (x2+5x+4+6)( x2+5x+4-4)=( x2+5x+10)( x2+5x)=x(x+5)( x2+5x+10)

chú ý: x2+5x+10 không thể phân tích được nữa vì ta có 52-10.4.1=25-40<0
Bài 28: Phân tích thành nhân tử 4(x2+15x+50)(x2+18x+72)-3x2
Hdẫn:phân tích x2+15x+50=(x+5)(x+10)
x2+18x+72=(x+6)(x+12)
sau đó nhóm [(x+5)(x+10)][(x+6)(x+12)]=(x2+17x+60)( x2+16x+60)
đặt ẩn phụ y= x2+16x+60
ta có 4(y+x)y-3x2=(4y2+4xy+x2)-4x2=(2y+x)2-(2x)2=(2y+3x)(2y-x)
=(2x2+35x+120)(2x2+31x+120)=(2x2+35x+120)(x+8)(2x+15)

Bài 29: Phân tích thành nhân tử bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b)
(1)
 cách 1: chú ý (c-a)=(b+c)-(a+b)
vậy (1) viết thành bc(b+c)+ac[(b+c)-(a+b)]-ab(a+b)=bc(b+c)+ac(b+c)ac(a+b)-ab(a+b)=(b+c)(bc+ac)-(a+b)(ac+ab)=(b+c)c(a+b)-(a+b)a(c+b)=(a+b)
(b+c)(c-a)
 cách 2: bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b) =bc(b+c)+ac2-ac2-a2b-ab2=bc(b+c)-a(b-c)
(b+c)-a2(b+c)=(b+c)(bc-ab+ac-a2)=(b+c)[c(a+b)-a(a+b)]= (a+b)(b+c)(c-a)
Bài 30: Phân tích thành nhân tử M=x3(x2-7)2-36x
Hdẫn : đặt nhân tử chung ,áp dụng A2B2=(AB)2 và dùng hằng đẳng thức
M=........=x[(x3-7x+6)(x3-7x-6)]
chú ý với x=1 thì (x3-7x+6)=0 nên x3-7x+6=(x-1)(x2+x-6)
tương tự x=-1 thì (x3-7x+6)=0 nên x3-7x+6=(x+1)(x2-x-6)
kết quả M=(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)
1.8)Phương pháp 8: Dùng hệ số bất định
Ví dụ : Phân tích thành nhân tử a2-a-6
Giải: ta viết a2-a-6=(a+m)(a+n) => a2-a-6= a2+(m+n)a+m.n =>
m =-3, n=2
a2-a-6=(a-3)(a+2)
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử B=x4-2x3-3x2+4x+4
dùng phương pháp hệ số bất định:
vì x4 có hệ số là 1 nên B=(x2+ax+b)2=x4+a2x2+b2+2ax3+2bx2+2abx
= x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2
vậy x4-2x3-3x2+4x+4 = x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2

đồng nhất hai vế ta được

GV:Nguyễn Bỉnh

giải được a=-1,b=-2

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

=>


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

vậy B=(x2-x-2)2
1.9)Phương pháp 9:sử dụng định lí Bơ –du :Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a thì f(x)
chia hết cho (x-a)
Bài 31: Phân tích thành nhân tử x3-19x-30
 cách 3: ta có x =-2 là nghiệm của đa thức : x2-19x-30 vì (-2)3-19(-2)-30=8+38-30=0
nên x3-19x-30 chia cho x+2 được thương là x2-2x-15
vậy x3-19x-30=(x+2)( x2-2x-15)
tiếp tục phân tích x2-2x-15=.......=(x+3)(x-5)
Bài 4: Phân tích thành nhân tử a3-7a-6
 cách 2:nhẩm a = -1 là 1 nghiệm của đa thức a3-7a-6 nên a3-7a-6=(a+1)(a2-a-6)=
(a+1)( a2+2a-3a-6)=.....=(a+1)(a+2)(a-3)
Bài 32: Phân tích thành nhân tử x3+4x2-7x-10
Hdẫn: thử với x =-1 thì x3+4x2-7x-10=0 nên
 cách 1: lấy x3+4x2-7x-10 chia cho (x+1) ta được thương là x2+3x-10 rồi tiếp tục
phân tích thương này
giải : x3+4x2-7x-10=(x+1)( x2+3x-10)=(x+1)(x2+5x-2x-10)=.......=(x+1)(x+5)
(x-2)
 cách 2:trước hết hãy tách hạng tử của đa thức đã cho có nhân tử chung là x+1
x3+4x2-7x-10=x3+x2+3x2+3x-10x-10 nhóm từng cặp hạng tử,đặt nhân tử
chung..
Bài 33: Phân tích thành nhân tử a3-6a2+11a-6

Hdẫn : thử với x=1 thì a3-6a2+11a-6=0 giải như bài 14 ở trên,kết quả(x-1)(x-2)(x-3)
Bài 34: Phân tích thành nhân tử x4-x3-3x2+5x-2
Hdẫn: ta có x=1 là một nghiệm của đa thức đã cho vì (14-13-3.12+5.1-2=0)
Lấy x4-x3-3x2+5x-2 chia cho x-1 được thương x3-3x+2
Vậy x4-x3-3x2+5x-2=(x-1)( x3-3x+2)
Tiếp theo tương tự x-1 là nghiệm của đa thức x3-3x+2 nên x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2)
Tương tự x=1 là nghiệm của đa thức (x2+x-2) nên (x2+x-2)=(x-1)(x+2)
Vậy x4-x3-3x2+5x-2=(x-1)3(x+2)
1.10)Phương pháp 10:Một số phương pháp khác
Bài 35: Phân tích thành nhân tử E=a(b+c)(b2-c2)+b(c+a)(c2-a2)+c(a+b)(a2-b2)
Hdẫn :xem đa thức đã cho như đa thức bậc 3 đối với a .thay a=b ta được
E= b(b+c)(b2-c2)+b(c+b)(c2-b2)+c(b+b)(b2-b2)=b(b+c)(b2-c2)- b(b+c)(b2-c2)=0
do đó đa thức E chia hết cho a-b.vì a,b,c vai trò như nhau nên đa thức E cũng chia hết
cho b-c,c-a. vậy E=(a-b)(b-c)(c-a).Q (*) trong đó Q là đa thức bậc nhất đối với
a.vìvai trò a,b,c như nhau nên b,c cũng có mặt trong Q ở bậc nhất ,tức
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

Q=A.a+B.b+C.c,trong đó A,B,C là các số nào đó.rõ ràng A,B,C có vai trò như nhau
nên A=B=C.do đó viết là E=A(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).để tính A,ta thay chẳng hạn
a=2,b=1,c=0 =>-6A=-6,A=1 .vậy E=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
Bài 36: Phân tích thành nhân tử C=4x2y2(2x+y)+y2z2(z-y)-4z2x2(2x+z)
=4x2y2(2x+y)+z2[z(y2-4x2)-(8x3+y3)]
=(2x+y)[4x2y2+z3(y-2x)-(4x2-2xy+y2)z2]

=(2x+y)[4x2(y2-z2)-z2y(y-z)+2xz2(y-z)]
=(2x+y)(y-z)[(4x2(y+z)-z2y+2xz2]
=(2x+y)(y-z)[2xz(2x+z)+y(4x2-z2)]
=(2x+y)(y-z)(2x+z)(2xz-yz+2xy)
Bài 37: Phân tích thành nhân tử D=(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
 cách 1:khai triển ước lược đặt nhân tử chung
ta có -3xy(x-y)-3z2(x-y)+3z(x2-y2)
=3(x-y)[-xy-z2+z(x+y)]=3(x-y)[-x(y-z)+z(y-z)]
=3(x-y)(y-z)(z-x)
 cách 2: khai triển 2 số hạng,giữ nguyên 1 số hạng
 cách 3: đặt A=x-y ,B=y-z ,C=z-x =>A+B+C=0
Vậy (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=A3+B3+C3=(A+B+C)3-3(A+B)(B+C)(C+A)
=0-3(x-z)(y-z)(z-y)=3(x-y)(y-z)(z-x)
Bài 38: Phân tích thành nhân tử E=bc(a+d)(b-c)-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b)
Hdẫn: tách b-c=(a-c)-(a-b) hoặc a-c=(a-b)+(b-c) hoặc a-b=(a-c)-(b-c)
E=bc(a+d)[(a-c)-(a-b)]-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b)
=[bc(a+d)-ac(b+d)](a-c)+[ab(c+d)-bc(a+d)](a-b)
=[ab+bd-ab-ad](a-c)c+[ac+ad-ac-cd](a-b)b
=-d(a-b)(a-c)c+d(a-b)(a-c)b=(a-b)(a-c)(b-c).d

PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ b CỦA TAM THỨC ax2+bx+c
Bước 1:Tìm các ước của a.c
Bước 2:chọn 2 ước của a.c,chẳng hạn c1 và c2 sao cho
c1.c2=ac và c1+c2=b
Bước 3: tách bx=c1x+c2x
Ví dụ:phân tích ra thừa số của x2-5x+6
 các ước của 6 là 1; 2; 3; 6
 chọn 2 ước là -2 và -3 thỏa mãn (-2)(-3)=6 và (-2)+(-3)=-5
 tách -5x=-2x-3x,ta viết x2-2x-3x+6 hoặc x2-3x-2x+6 rồi nhóm hạng tử đặt nhân
tử chung

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 39. Phân tích thành nhân tử
a. x2+2x-15

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

b. y2-7y+6
Bài 40: Phân tích thành nhân tử F=a2b+a2c+ab2+ac2+c2b+cb2+2abc
=a2(b+c)+a(b2+c2+2bc)+bc(b+c)
=bc[a2+(b+c)a+bc]=(b+c)(a+b)(a+c)
Bài 41: A=[(x-z)2+(y-t)2](x2+y2)-(xt-yz)2
Hdẫn: khai triển nhóm nhân tử chung x2+y2
A=[( x2+y2)+(z2+t2)-2(zx+yt)]( x2+y2)-x2t2-y2z2+2xyzt
=( x2+y2)2+(z2+t2)( x2+y2)-2(xz+yt)( x2+y2)-x2t2-y2z2+2xyzt
=( x2+y2)2-2(xz+yt)( x2+y2)+(x2z2+y2t2+2xyzt)
=( x2+y2)2-2(xz+yt)( x2+y2)+(xz+yt)2
=( x2+y2- xz-yt)2
Bài 42: B=x3(x-y2)+ y3(x-z2) z3(y-x2)+xyz(xyz-1)
Hdẫn: khai triển -> nhóm theo các thừa số (y2-z), (z2-x), (x2-y)
-> kết quả B=(x2-y)(z2-x)(y2-z)
Bài 43:C=a(b+c)2+ b(a+c)2+ c(b+a)2-4abc
Hdẫn:khai triển ........,nhóm -> nhân tử chung (b+c)
kết quả C=(a+b)(b+c)(c+a)

Bài 44: D=x(y-z)2+ y(z-x)2+ z(x-y)2-x3-y3-z3+4xyz
Hdẫn: nhóm hạng tử -> nhân tử chung ->hằng đẳng thức
D=[x(y-z)2-x3]+ [y(z-x)2-y3]+ [z(x-y)2-z3]+4xyz
=......................=(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)
Bài 45: E=a2x2+a(3b+a)x+2b(x+b)
Hdẫn: đặt y=ax nên E=y2+y(3b+a)+2b(a+b)=y2+y(b+a)+2by+2b(a+b)=y(y+b+a)
+2b(y+a+b)
=(y+a+b)(y+2b)=(ax+a+b)(ax+2b)
5
Bài 46: F=(x-y) +(y-z)5+(z-x)5
Hdẫn: khi x=y ,y=z, z=x thì F=0
do đó F chia hết cho (x-y),(y-z),(z-x) là 1 đa thúc bậc 2 đối với các ẩn.mặt khác vai
trò của x,y,z như nhau trong F nên thường phải có dạng
a(x2+y2+z2)+b(xy+xz+yz)
vậy F=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x2+y2+z2)+b(xy+xz+yz)]
Để tính a,b ta gán cho các ẩn một số giá trị cụ thể nào đó
chẳng hạn thay x=0,y=1,z=2 ta có 5a+2b= 15
x=1,y=2,z=3 ta có 14a+11b=15 => a=5,b=-5
vậy F=5(x-y)(y-z)(z-x)(x2+y2+z2-xy-xz-yz)
cách giải khác xem bài 53
Bài 47: (x+y)3-x3-y3
Hdẫn: (x+y)3-(x3+y3) khai triển hằng đẳng thức,đặt nhân tử chung -> kết quả 3xy(x+y)
Bài 48: (x+y)5-x5-y5
Hdẫn: chú ý x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

(x+y)5-(x5+y5)=(x+y)5- (x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)
=(x+y)[(x+y)4-(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)]
=(x+y)(x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4- x4+x3y-x2y2+xy3-y4
=(x+y)(5x3y+5x2y2+5xy3)=5xy(x+y)(x2+xy+y2)
Bài 49: (x+y)7-x7-y7 giải tương tự bài 48
=(x+y)(x+y)6-(x+y)(x6-x5y+x4y2-x3y3+x2y4-xy5+y6)
=(x+y)( x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6-x6+x5y-x4y2+x3y3-x2y4+xy5-y6)
=(x+y)( 7x5y+14x4y2+21x3y3+14x2y4+7xy5)
=7xy(x+y)(x4+2x3y+3x2y2+2xy3+y4)
=7xy(x+y)( x4+2x3y+x2y2+2x2y2+ 2xy3 +y4
=7xy(x+y)( (x2)2+2x2xy+(xy)2+2x2y2+ 2xy3 +y4)
=7xy(x+y)[(x2+xy)2-2(x2+xy).y2+y4]
=7xy(x+y)(x2+xy+y2)
Bài 50: x3+y3+z3-3xyz
Hdẫn:thêm bớt 3xy(x+y) ->xuất hiện nhân tử chung (x+y+z)
ta có x3+3xy(x+y)+y3+z3-3xyz-3xy(x+y)=(x3+3x2y+3xy2+y3)+z3-3xy(x+y+z)
=[(x+y)3+z3]-3xy(x+y+z)=(x+y+z)[(x+y)2-(x+y)z+z2]-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x2+2xy+y2-xz-yz+z2-3xy)
=(x+y+z)( x2-xy+y2-xz-yz+z2)
vậy x3+y3+z3-3xyz=( x+y+z)( x2-xy+y2-xz-yz+z2)

ghi nhớ (x+y)6= x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6
x7+y7= (x+y)(x6-x5y+x4y2-x3y3+x2y4-xy5+y6)
Bài 51: P=(a+b+c)3-a3-b3-c3
 cách 1:do biểu thức P có các số hạng là lập phương nên ta nghĩ ngay cách viết

biểu thức dưới dạng hiệu của hai lập phương trừ đi tổng của hai lập phương để
áp dụng công thức quen thuộc mà biến đổi
P=[(a+b+c)3-a3]-(b3+c3)=......=3(a+b)(b+c)(c+a)
 cách 2: ta xem (a+b+c)3 là [(a+b)+c]3 và viết như sau
P=[(a+b)+c]3-(a3+b3)-c3=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3-(a+b)(a2-ab+b2)c3=..............=(a+b)(3ab+3ac+3bc+3c2)=.............=3(a+b)(a+c)(b+c)
 cách 3:thay a=-b thì P=0 => P chia hết cho (a+b).vì vai trò của a,b,c như nhau
nên P (a+b)(b+c)(c+a).mà đa thức P có bậc cao nhất đối với a la 2(do 2 số
hạng chứa a3 triệt tiêu cho nhau)nên thương là một hằng số K(a+b)(b+c)(c+a)
bằng cách thay 1 giá trị nào đó chẳng hạn a=b=c=1=>k=3
Bài 52: Q=(a+b+c)5-a5-b5-c5
Hdẫn:lập luận tương tự cách giải ở trên -> Q (a+b)(b+c)(c+a).đa thức đã cho là đối
xứng do đó đa thức thường có dạng A(a2+b2+c2)+B(ab+bc+ac) với A,B là hệ số
của ẩn
ta có Q=(a+b)(a+c)(b+c)[ A(a2+b2+c2)+B(ab+bc+ac)]
trước hết ta chọn a=1,b=1,c=0 =>2A+B=15
sau đó ta chọn a=1,b=1,c=1 =>A+B=10 =>A=5,B=5
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

Vậy Q= 5(a+b)(a+c)(b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)
Bài 53:(x-y)5+(y-z)5+(z-x)5
Đặt a=x-y,b=y-z,c=z-x =>a+b+c=0 nên c=-(a+b)
vậy a5+b5+c5= a5+b5-(a+b)5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4-(a+b)( a44a3b+6a2b2+4ab3+b4)=.....=
(a+b)(-5ab)( a2+ab+b2)=5abc( a2+ab+b2) vì a+b=-c

=5(x-y)(y-z)(x-z)[(x-y)2+(x-y)(y-z)+(y-z)2]
=5(x-y)(y-z)(x-z)(x2-2xy+y2+xy-xz-y2+yz+y2+z2-2yz)=............
Bài 54:A=(x+y+z)3-(x+y-z)3-(z+y-x)3-(x+z-y)3
Hdẫn:áp dụng (a+b+c)3-a3-b3-c3=3(a+b)(b+c)(c+a)
đặt a=x+y-z,b=y+z-x,c=z+x-y
kết quả =24xyz
Bài 55: B=x4-2x3-3x2+4x+4

cách 1: dùng phương pháp hệ số bất định
vì x4 có hệ số là 1 nên B=(x2+ax+b)2=x4+a2x2+b2+2ax3+2bx2+2abx
= x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2
vậy x4-2x3-3x2+4x+4 = x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2

đồng nhất hai vế ta được



giải được a=-1,b=-2

vậy B=(x2-x-2)2
cách 2: đưa về dạng (A+B)2 2(A+B)C+C2=(A+B C)2

Ta có B= x4-2x2.x+x2-4x2+4x+4=(x2-x)2-2(x2-x)(-2)+4=( x2-x-2)2
Bài 56: E= x4+2x3-23x2-24x+144
Hdẫn:giải 2 cách tương tự bài 55
kết quả E=( x2+x-12)2
Bài 57: P= x3-9x2-26x-24

cách 1:do P có số hạng cao nhất la x3 có hệ số là 1 nên P=(x+a)
(x2+bx+c)=x3+bx2+cx+ax2+abx+ac

=> x3-9x2-26x-24=x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac



=> a3-9a2+26x-24=0 nhẩm a=-2 là nghiệm của đa thức này
=>a=-2,b=-7,c=12
vậy P=(x-2)(x2-7x+12)=(x-2)(x-3)(x-4)
cách 2: với x=2 thì P=0 vậy P (x-2)

lấy x3-9x2-26x-24 chia cho x-2 được thương x2-7x+12
vậy P=(x-2)( x2-7x+12)=(x-2)(x2-3x-4x+12)=(x-2)(x-3)(x-4)
Bài 58: x4- x3-x2+2x-2

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ


Năm học : 2015-2016

cách 1: do Q có hệ số ca nhất là 1,hệ số tự do là -2 nên Q=(x2+ax-2)(x2+bxc)=...........

= x4+(a+b)x3+(c+ab-2)x2+(ac+2b)x-2c



=> a=0,b=-1,c=1

=> Q=(x2-2)(x2-x+1)
cách 2: vì x= là nghiệm của Q .=>x2=2 nên Q chia hết cho x2-2 được thương

x2-x+1
Bài 59: A=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2
Hdẫn: A=4(x2+xy+xz)( x2+xy+xz+yz)+ y2z2
đặt t= x2+xy+xz => A=4t(t+yz)+y2z2=4t2+4tyz+y2z2=(2t+yz)2=(2x2+2xy+2xz+yz)2
Bài 60: Q=a95+ a94+ a93+ a92+............+ a2+ a+1
Hdẫn: Q=a64(a31+ a30+.......+ a2+a+1)+ a32(a31+ a30+.......+ a2+a+1)+( a31+ a30+.......+
a2+a+1)
=( a31+ a30+.......+ a2+a+1)(a61+a32+1)
Bài 61:M=x9999+ x8888+ x7777+ x6666+ x5555+ x4444+ x3333+ x2222+ x1111+1 chia hết cho
(x9+x8+x7+x6+.........+x+1)
Hdẫn: xét hiệu (x9999-x9)+(x8888-x8)+.............+(x1111-x)+1-1
=x9[(x10)999-1]+ x8[(x10)888-1]+..............+ x[(x10)111-1]
do mỗi biểu thức trong dấu [ ] đều chia hết cho x10-1 nên cũng chia hết cho

tức

chia hết cho x9+x8+x7+x6+.........+x+1
vậy hiệu giữa đa thức thứ nhất và đa thức thứ 2 chia hết cho đa thức thứ 2,nên đa thức
thư nhất chia hết cho đa thức thứ 2
Bài 62: CMR (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a4 là bình phương của 1 đa thức
Hdẫn: giải tương tự bài 62 kết quả (x2+5ax+5a2)2
Bài 63: tìm K để cho x(x+a)(x+b)(x+a+b) +K là một bình phương đúng
Hdẫn:[x(x+a+b)][(x+a)(x+b)]=[x2+(a+b)x][ x2+(a+b)x+ab]+K
đặt y= x2+(a+b)x+K =>y=(y+ab)+K=y2+aby+K=y2+2 y+K
ta được 1 bình phương đúng khi K=
Bài 64: với giá trị nguyên nào của a thì đa thức (x-a)(x-10)+1 có thể phân tích thành

tích của 2 đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên?
Hdẫn: giả sử (x-a)(x-10)+1=(x-m)(x-m) với m,n Z
=> x2-(a+10)x+10a+1=x2-(m+n)x+m.n

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

=>

Năm học : 2015-2016

=>

=> 10m+10n-mn=99
=>10m-mn+10n-100=-1
=>mn-10m+100-10n=1
=>m(n-10)-10(n-10)=1 =>(m-10)(n-10)=1
=>

=>m=11,n=11

hoặc

=>m=9,n=9

vì m+n=a+10 nên a=12 hoặc a=8

Bài 65: CMR đa thức Q(x)=x4+2x2+2x+2 không thể phân tích thành 2 đa thức bậc 2
với hệ số nguyên
Hdẫn: Phản chứng:giả sử Q(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d) . a,b,c,d
=> x4+2x2+2x+2= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

=>
từ (4) => b chẵn,d lẻ hoặc b lẻ d chẵn
không mất tính tổng quát,ta giả sử b chẵn,d lẻ => bc chẵn
từ (3) =>ad chẵn =>a chẵn( vì d lẻ)
do đó ac+b+d lẻ nên (2) mâu thuẫn .từ đó => đpcm
Bài 66: phân tích M=x4-3x3+4x2-3x+1 thành nhân tử

cách 1: tách hạng tử ->nhóm-> đặt nhân tử chung
với x=1 thì M=0 nên lấy x4-3x3+4x2-3x+1 chia cho x-1 được thương x3-2x2+2x1
vậy M=(x-1)( x3-2x2+2x-1)=(x-1)[ x3-x2-x2 +x+x-1]=(x-1)[x2(x-1)-x(x-1)+(x1)]=
(x-1)2(x2-x-1)


cách 2:lập thương

=

với x 0

=x2-3x+4- + =(x2+ )-

3(x+ )+4
ta đặt y= x+ =>y2= x2+ +2 nên x2+ =y2-2

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

vậy =y2-2-3y+4=y2-3y+2=.......=(y-1)(y-2)
=>M=x2(x+ -1)( x+ -2)=x2(

)= (x-1)2(x2-x-1)

)

2.Khả năng áp dụng:
-Thời gian áp dụng hoặc thử nghiệm có hiệu quả : Thử nghiệm qua kiểm tra 2 tiết
có hiệu quả

KIỂM TRA 90 PHÚT
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1.x4+4
2.x5+x+1
3.2x3-5x2+8x-3
4. CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1,là một số chính phương
5.Giải phương trình : (x+2)(x-2)(x2-10)-72 = 0

ĐÁP ÁN: Đúng mỗi bài 2 điểm
Phân tích thành nhân tử
1. x4+4= x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2+2x)( x2+2-2x)

=(x2+2x+2)( x2-2x+2)
2. x5+x+1=x5-x2+x2+x+1=x2(x3-1)+(x2+x+1)=x2(x-1)(x2+x+1)+
(x2+x+1)(x3-x2+1)
1
2

1
2

(x2+x+1)=
1
2

1
2

3. 2x3-5x2+8x-3=2x3-x2-4x2+2x+6x-3=2x2(x- )-4x(x- )+6(x- )=(x- )
1
2

1
2

(2x2-4x+6)=(x- )2(x2-2x+3)=2(x- )(x2-2x+3)=(2x-1)(x2-2x+3)
4. n(n+1)(n+2)(n+3)+1

(với n N)

=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=( n2+3n)2+2(n2+3n)
+1=( n2+3n+1)2 là số chính phương

5.
(x2-4)(x2-10)-72=y(y-6)-72 = 0
với y=x2-4
y2-6y-72=(y2-6y+9)-81=(y-3)2-92=(y-3+9)(y-3-9)=(y+6)(y-12) =0
( x2-4+6)( x2-4-12) = 0
(x2+2)(x2-16) = 0
(x2+2)(x-4)(x+4) = 0

Suy ra x = 4 hoặc x = - 4

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

THỐNG KÊ KẾT QUẢ :
Năm học Lớp bồi
Giỏi
khá
TB
Đạt y/c
Yếu
kém
dưỡng(ss)
20148A1(20)
1

4
4
9(45%)
6
5
2015
20158A1(20)
3
7
7
17(85%)
3
2016
- Có khả năng thay thế giải pháp hiện có
-Khả năng áp dụng ở đơn vị hoặc trong ngành :Bản thân nhận thấy đề tài này có thể
là tư liệu áp dụng dạy học chung cho nhóm bộ môn toán của trường khi dạy chuyên
đề phân tích đa thức thành nhân tử , hoặc các chủ đề khác có liên quan. Tư liệu bồi
dưỡng học sinh giỏi
3.Lợi ích kinh tế xã hội:
* Lợi ích đạt được đến quá trình giáo dục công tác:Trong thời gian ngắn
khoảng 10 tiết chúng ta cung cấp cho học sinh được một số phương pháp cơ bản khi
gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử . So sánh khi chúng ta dạy chưa phân ra
từng dạng toán , chưa liệt kê từng phương pháp giải riêng biệt để học sinh dễ theo dõi
thì qua kiểm tra hiệu quả thấp hơn nhiều so với chủ đề đã tìm tòi nghiên cứu và soạn
như trên
* Tính năng kỹ thuật ,chất lượng hiệu quả sử dụng: Như vậy về mặt thời
gian dạy và học không nhiều nhưng khả năng vận dụng của học sinh rất hiệu quả ,
không những giải được một số bài toán cơ bàn mà còn giúp học sinh phát triển tư duy
phẩm chất trí tuệ , đồng thời luôn ý thức được rằng một bài toán có thể có nhiều cách
giải , từ đó học sinh ý thức nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau . Qua

việc tổng hợp , chọn lọc, hệ thống , liệt kê các phương pháp rõ ràng ,học sinh có kỹ
năng linh hoạt sáng tạo hơn trong giải toán
*Tác động xã hội tích cực ,cải thiện môi trường ,điều kiện lao động :
Học sinh hứng thú học tập hơn , tích cực hoạt động hơn , môi trường làm việc thõa
mái nhẹ nhàng khi các em có nhiều phương pháp vận dụng để giải bài tập ,cải thiện
được điều kiện lao động , trí não có khả năng tư duy cao hơn , nhìn vấn đề rộng hơn
và tổng quát hơn.

C.KẾT LUẬN:
- Những điều kiện , kinh nghiệm áp dụng , sử dụng giải pháp :
Trong quá trình tham gia học bồi dưỡng chuyên đề học sinh phải tích cực học tập ,
phải có tài liệu tham khảo thêm , học thường xuyên không bỏ tiết , phải làm bài tập về
nhà , phải biết thắc mắc , tìm tòi và học hỏi những gì còn mơ hồ chưa hiểu hết để hiểu
vấn đề một cách tường tận thấu đáo .
Về phía giáo viên nên động viên khuyến khích học sinh biết tự học , chăm chỉ ,
chịu khó qua mỗi bài tập phải hiểu rõ ràng tường tận , không qua loa đại khái . Giao
bài tập về nhà để học sinh tự làm thêm , khuyến khích học sinh có những cách giải
hay , ngắn gọn , đầy đủ ,chính xác
- Những triển vọng trong việc vận dung và phát triển giải pháp :
GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

Một bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử thường là các dạng đã nêu trên ,
chúng ta thường sử dụng một trong chín phương pháp đó để giải . Dạng tốn này vận

dụng rất nhiều trong giải tốn ở các u cầu khác , chẳng hạn tốn chia hết , các bài
tốn rút gọn biểu thức , giải phương trình tích …
-Đề xuất , kiến nghị :
Trên mơ hình đó . Chúng ta muốn dạy học sinh phát triển được mơn tốn ,
theo tơi qua mỗi nội dung, mỗi phần , mỗi chương người giáo viên cần hệ thống hóa
kiến thức cơ bản mỗi phần . Trên cơ sở lý thuyết đó liệt kê ra từng dạng tốn , cách
giải mỗi dạng . Làm như vậy để rèn kỹ năng giải tốn của học sinh phong phú hơn .
Chẳng hạn , trong chương trình tốn THCS , chỉ học sinh có những dạng tốn nào ?
giáo viên nêu có một số dạng thường gặp sau: dạng rút gọn của một biểu thức ( hay
tính giá trị biểu thức ) , dạng giải phương trình , dạng so sánh các số hay các biểu thức
số , dạng phân tích đa thức thành nhân tử , dạng chứng minh hai đẳng thức bằng
nhau… .
Nói chung , ta xây dựng cho học sinh về mặt lý thuyết cũng như phương pháp
giải tốn trên cơ sở sơ đồ tư duy nghĩa là từ một nhánh cả đẻ ra nhiều nhánh con , từ
một nhánh con đẻ ra nhiều nhánh con nữa ……Có như vậy học sinh mới nhớ lâu và
nhớ sâu hơn
Đối với việc dạy bồi dưỡng học sinh mũi nhọn là một trong những nội dung
then chốt quan trọng của nhà trường và đồng thời muốn mang lại hiệu quả cao cũng
khơng phải dễ , người giáo viên từng mỗi bộ mơn cần phải suy nghĩ đặt ra cho mình
một kế hoạch dạy học sinh đạt kết quả tốt mang lại thành tích cho bản thân và nhà
trường . Theo tơi chúng ta cần nghiên cứu tài liệu hệ thống hóa kiến thức , phân ra
dạng tốn , liệt kê các phương pháp giải cho từng chủ đề thì việc dạy học sẽ mang
hiệu quả cao hơn . Chẳng hạn chương trình tốn THCS (riêng đại số và số học )chúng
ta cần chia ra các chủ đề sau : Phương pháp chứng minh đẳng thức , phương pháp
chứng minh bất đẳng thức , chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử , chủ đề tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất , chủ đề về tính chia hết , chủ đề về phương trình nghiệm ngun
…….Mỗi chủ đề soạn riêng biệt và chuẩn bị thời gian dạy cho từng chủ đề để làm tư
liệu bồi dưỡng học sinh , đáp ứng tình hình học tập hiên nay
Trong tình hình chất lượng HS hiện nay các môn nói chung môn toán nói riêng
HS phân cựcõ hoặc yếu hoặc khá giỏi ít trung bình .Là người GV đứng trước tình

hình đó phải trăn trở suy nghĩ tìm ra ngun nhân chính để từ đó giúp các em học
tập tốt, nâng dần chất lượng đảm bảo yêu cầu của cấp học.
Theo tôi nghó để giúp các em học được môn toán người GV giúp HS nắm chắc
kiến thức biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập.Phải có cái nền từng bước nâng dần
từ yếu lên trung bình , từ trung bình lên khá…,biết phương pháp tự học ,biết suy nghó
tìm tòi ,biết khiêm tốn học hỏi bạn bè để vươn lên…
Phải kết hợp chặt chẽ giữa gia đình, nhà trường và xã hội.Về phía GV không
những phải có năng lực mà phải có nhiệt tình để giúp tất cả đối tượng HS .Phác
hiện HS có năng khiếu có kế hoạch bồi dưỡng và giúp đỡ.Thường xuyên liên hệ với

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Trường THCS Nhơn Thọ

Năm học : 2015-2016

phụ huynh HS nhất là HS cá biệt để sửa chữa kòp thời những sai phạm ,lê là trong
học tập mà HS gây ra.Kết hợp với giáo viên chủ nhiệm giáo dục những HS có
ù hạnh kiểm không tốt ,không cầu tiến để đưa vào quỹ đạo chung của lớp.
Thời gian tới bản thân cố gắng thực hiện đầy đủ và nhiều hơn nữa những gì
còn trăn trở .Làm sao các em đều học được toán, môn toán trở thành một môn học
rất gần gũi với các em ,bổ ích nhiều điều thú vò say mê trong học tập .Các em không
ngại giải bài tập xem đó la khâu thực hành cần thiết để giúp các em phát triển
tư duy, trí tuệ,tính chòu khó cần cù làm đến nơi đến chốn không bỏ dở giữa chừng .
Tính suy luận lo gich, chính xác, chặt chẽ là cơ hội để rèn luyện bản thân nhân
cách của con người bước vào tương lai đầy niềm tin và hy vọng ./.
--------------------------------

GV:Nguyễn Bỉnh

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử