cac phuong phap giai phuong trinh vo ti

A. Đặt vấn đề
I. Cơ sở lí luận:
Học sinh Việt Nam đang đợc sống trong thời đại của nền văn minh tri thức,
thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp đăng quang đã phải nh-
ờng chỗ cho cái mới khác. Vậy thì hoạt động dạy và học tròn nhà trờng cần phải
không ngừng đổi mới để đáp ứng đợc yêu cầu của thời đại.
Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu học phải đi đôi với
hành, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm
tìm ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp học sinh chủ
động nắm vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học. Để đạt đợc điều
đó thì giáo viên và học sinh phải trau dồi kiến thức, su tầm và hệ thống cho chính
mình những phơng pháp dạy và học cho phù hợp.
Trong quá trình dạy học việc đi phân loại các phơng pháp giải một dạng toán,
nó giúp học sinh có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó cũng
giúp học sinh nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để học
sinh tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất.
II. Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay, trong chơng trình toán 9 việc giải một phơng trình vô tỉ là một vấn
đề khó đối với học sinh, đa số các giáo viên đã dạy hết cho học sinh những kiến
thức, những phơng pháp giải nhng cha có tính hệ thống cao, cha đi sâu vào phân
tích những u điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp, chính
vì thế mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên
nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động và cha có tính quyết toán
trong việc tìm cho mình một phơng pháp tối u nhất khi đứng trớc một bài toán giải
phơng trình vô tỉ.
Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình
những phơng pháp giải loại phơng trình này, hay còn phần lớn các em không biết
cách giải thế nào cho đúng, cho hay. Các em thờng giải theo phơng pháp lũy thừa
và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc phơng trình sau có tơng đơng
với phơng trình đã cho hay không?
Chính bởi những lí do trên mà tôi mà tôi đã nghiên cứu, hệ thống các phơng

pháp giải phơng trình vô tỉ để dạy cho học sinh khối 9
Trong quá trình dạy học tôi đã giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải
một bài giải phơng trình vô tỉ. Trên cơ sở đó học sinh tìm đợc những vớng mắc, khó
khăn mà các em thờng gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này.
B. Nội dung
I. Những vấn đề chung của phơng trình:
Trớc khi dạy cho học sinh các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ tôi đã hệ
thống lại cho học sinh những vấn đề chung về phơng trình, từ đó học sinh đã chủ
động hơn khi học phơng trình vô tỉ
1. Hai ph ơng trình t ơng đ ơng:
1.1. Định nghĩa :
Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm
trong cùng một tập số.
1.2. Ví dụ :
a. Cho hai phơng trình :
x
2
- 7x + 6 = 0 và 2x
2
14x + 12 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng
có cùng tập nghiệm S = {1; 6}.
b. Hai phơng trình:
x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phơng trình không tơng đơng vì tập
nghiệm của phơng trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phơng trình thứ hai là S = {-
1; 5}.
c. Hai phơng trình:
x
2
+ 1 = 0 và x
2

+ x + 6 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung
một tập nghiệm là S = .
3. Nghiệm của ph ơng trình:
Cho phơng trình f(x) = g(x). Nghiệm của phơng trình xét trên tập A là số A sao
cho f() = g().
4. Các phép biến đổi t ơng đ ơng:
a. f(x) = g(x) + h(x) f(x) g(x) = h(x)
b. f(x) = g(x) f(x) c = g(x) c (với c R)
c. f(x) = g(x) k.f(x) = k.g(x) (với k 0)
d. f(x) = g(x) (f(x))
2k + 1
= (g(x))
2k + 1
(với k N).
e. f(x) = g(x) (với f(x) 0; g(x) 0) [f(x)]
2k
= [g(x)]
2k
(với k N)
II. Phơng trình vô tỉ:
1. Định nghĩa:
Phơng trình vô tỷ là phơng trình có ẩn nằm trong dấu căn
2. Cách giải chung:
Bớc 1: tìm tập xác định của phơng trình.
Bớc 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm.
Bớc 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phơng trình.
3.Ví dụ :
Giải phơng trình :
(1)
Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 0 (2)

với điều kiện x 0 (3)
phơng trình (1) (2x + 3) = x
2
(4)
x
2
2x 3 = 0.
Vì a b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x
1
= - 1; x
2
= 3
x
1
= - 1 không thoả mãn điều kiện (3)
x
2
= 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy nghiệm duy nhất của phơng trình là x = 3.
4. Một số kiến thức cần nhớ:
4.1. Điều kiện tồn tại một căn thức:
tồn tại khi A 0 (k N)
tồn tại khi A R (k N)
= A = A khi A 0
- A khi A 0
4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng:
a. Bất đẳng thức Côsi:
Nếu a
1
, a

2
..... a
n
là các số không âm ta có:
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
=.... = a
n
.
b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Nếu a
1
, a
2
..... a
n
và b
1
, b
2
..... b
n
là các số tuỳ ý ta có:
(a
1
2
+ a
2

2
+..........+ a
n
2
).(b
1
2
+ b
2
2
+........+ b
n
2
) (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ........ + a
n
b
n
)
2
.
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
c. Bất đẳng thức Trêbsep.

Nếu a
1
a
2
..... a
n
và b
1
b
2
...... b
n
, ta có:
(a
1
+ a
2
+ ........ + a
n
).(b
1
+ b
2
+ .......... + b
n
) n.(a
1
b
1
+ a

2
b
2
+.......+ a
n
b
n
).
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= ...... = a
n
hoặc b
1
= b
2
= ....... = b
n
.
d. Lợc đồ Hoocle.
Cho đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1

+ ...... + a
1
x + a
0
(với x = ), ta có:
x32x
=+
2
3

x
k
A
2
12
+
k
A
2
A
n
n21
n21
...a.aa
n
.........aaa

++
n
n

2
2
2
b
a
b
a
b
a
==
1
a
n
a
n-1
..... a
1
a
0
+ +
x a
n
a
n
+ a
n-1
. + a
1
f()
Phơng pháp biến đổi tơng đơng

Khi dạy học sinh giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng
tôi đã tôi đã hớng dẫn học sinh cách làm và những lu ý khi làm bài, từ đó học
sinh đã học bài rất tốt
I. Phơng pháp nâng lũy thừa:
1. Các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản:
a. = A 0 hay B 0
A = B
b. = B B 0
A = B
2
c. = B A = B
3
d + = A 0 A + B + = C
B 0
Lu ý: Với phơng pháp lũy thừa hai vế. Muốn nâng hai vế phơng trình lên lũy thừa
bậc chẵn, ta phải biết chắc chắn hai vế cùng dấu, tốt nhất là cùng dơng.
Để nắm đợc phơng pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể:
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
(1)
Giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa x 5 0 x 5 (2)
Với điều kiện x 7 0 x 7 (3)
phơng trình (1) tơng đơng với: x 5 = (x 7)
2
x
2
15x + 54 = 0 (4)
Giải phơng trình (4) ta đợc:
x

1
= 6 không thỏa mãn điều kiện (3)
x
2
= 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9.
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do s phạm. Thực ra
không cần điều kiện này. Thật vậy, khi bình phơng hai vế của (1), biểu thức x 5
bằng một bình phơng, đơng nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3)
cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2).
Ví dụ 2: Giải phơng trình
A
B
A
3
A
A
CB
AB2
75
=
xx

Giải:
Chuyển vế phơng trình đã cho, ta có:
(1)
phơng trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 0 (2)
x + 2 0 x - 2

với điều kiện (2) thì phơng trình (1) tơng đơng với:

2x + 3 = (x + 2)
2
x
2
+ 2x + 1 = 0 (3)
Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1.
Lu ý: Nhiều em khi gặp bài này thờng giải theo cách quen thuộc:
Điều kiện

x + 2 0

x - 2.
2x + 3 = (x + 2)
2


(x + 1)
2
= 0
và cũng tìm đợc nghiệm x = - 1 thoả mãn (x - 2).
Nhng với điều kiện (- 2 ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0.
Ví dụ 3: Giải phơng trình
(1)
Giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 x 0 x 1
1 2x 0 (2)

x + 4 0 x - 4
Với điều kiện (2) phơng trình (1) tơng đơng với:

1 x + 1 2x +


(3)
với điều kiện 2x + 1 0 (4) thì phơng trình (3) tơng đơng với:
2x
2
3x + 1 = 4x
2
+ 4x + 1
2x
2
+ 7x = 0 (5)
Giải phơng trình (5) ta đợc x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4))

không thỏa mãn điều kiện (4)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.
0322
=++
xx
232
+=+
xx
2
3

x
232

+=+
xx
2
3

x
32
+
x
4211
+=+
xxx
2
1

x
2
1
4

x
4)21).(1(2
+=
xxx
22
)4()211(
+=+
xxx
24)21).(1(2
+=

xxx
12)21).(1(
+=
xxx
2
1

x
( )
2
2
)12()21).(1(
+=
xxx
2
7
=
x
Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần
2
1

x
thì phơng trình (1) đã tơng đơng với
phơng trình (3) vì khi bình phơng thì (x + 4) bằng một bình phơng, đơng nhiên là
dơng.
Với , điều này chỉ đúng khi a 0 ; b 0 và trong trờng hợp
a 0; b 0 thì .
Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc.
Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng:

A = B A = B
A = - B (với B 0)
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:



Điều kiện để căn thức có nghĩa x 2 0 x 2


x 2 0 x 3
x 2 1
Vậy khi x 3
khi 2 x < 3
Tóm lại phơng trình sau tơng đơng với:
khi x 3
khi 2 x < 3
a) - 1 = 0 (vô lí)
b) khi 2 x < 3
thỏa mãn 2 x < 3.
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là:
Lu ý: Đối với phơng pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình:
Nhiều bạn rất hay làm thiếu trờng hợp (- A).
Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:
NnvớiBAB)(A
2n
2n
=
NnvớiBAB)(A
12n
12n

+=
+
+
13x22x
=
13x23x
=+
1
baab
=
.
baab .
=
12x22x12x2 2 - x
=+++
1
12x21x1x2x2
=+
( ) ( )
11
22
=+
2x12x
11
=+
2x12x
)(11
+=+
2x12x
12x12x12x

+=++
1
01

2x
=
12x
2
1
=
2x
1
+
2x
111
+=+
2x2x
111
+=+
2x2x
4
1
2
=
x
4
9
=
x
4

9
=
x



<

==
0
0
AkhiA
AkhiA
AA
2
1
+
2x
1

2x
111
+=+
2x2x
(1)
(2)
Điều kiện để căn thức tồn tại x 3 0 x 3 (3)
với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với:

thỏa mãn điều kiện (3)

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x
1
= 3; x
2
= 7.
Lu ý:
Ta có thể dùng

A = B
A = - B (với B 0)
thì việc giải sẽ nhanh hơn.
Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:
(1)
Lời giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa:
x 1 0 x 1
x 0 x 0 x 1 (*)
x
2
x 0 x 0 hoặc x 1
x = 2 thoả mãn (*) hoặc
với điều kiện x 1 thì hai vế của (3) đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc:

- (x 1)
2
1 < 0 với x 1 suy ra phơng trình (3) vô nghiệm.
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.
Phơng pháp dùng miền xác định.
( )
13x

=+
2
1
13x
=+
1
13x
=
1
13x
=
1
23x
=
03x
=
4
=
3x
0
=
3x
7
=
x
3
=
x
=
2

A A
BA
=
0xxx1).(x1x2x
2
=+
( )
0xxx1).(x1x2x1
=++
1.11
( ) ( )
0x1)x.(x.1x
=
11.1
2
( )
[ ]
0.1)x.(xx1x
=
111
( )
[ ]
0.1)x.(xx1x
=
111
( )
( )
=
2011x
111

==
x1x
( )
311
+=
xx1x
11)x.(x1)x.(x21x
++=
11)(x1)x.(x2
2
=
Khi sử dụng phơng pháp này ta thờng chia nhỏ TXĐ của phơng trình và kết hợp với
các điều kiện ràng buộc ta sẽ có nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 1: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x(x 1) 0 x 0 hoặc x 1 x 1
x(x + 2) 0 x - 2 hoặc x 0 x - 2
- Với x - 2 ta có phơng trình tơng đơng với:



Vì x - 2 nên hai vế đều dơng, ta bình phơng hai vế:
4x
2

+ 4x 8 = 1 4x + 4x
2
8x = 9

- Với x 1, ta có:
(1)
Bình phơng hai vế ta đợc :


8x = 9
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là :
Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phơng
trình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x + 1 0 x - 1
4x + 13 0 x - 1
3x + 12 0 x - 4
Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc:
(1)
(3)
2
x22)x(x1)x(x
=++
x.x22xx1x.x
=+
x22xx1
=+
4x2) 1).(x(x2 2 - x - x1
=++
2x2) xx2
2

=+
1
2
8
9
vi(loại)
8
9
x
=
x.x22xx1x.x
=++
4x2) xx2 2 x 1 - x
2
=++++
2x2) xx
2
+=+
1
mãn)(thỏa
8
9
x
=
8
9
x
=
12 3x13)4x1x
+=+++

4
13
x

12 3x1)13).(x(4x134x1x
+=++++++
2
1 x1)13).(x(4x
=++
Để phơng trình (3) tồn tại - x 1 0 x - 1 (4)
Kết hợp (2) với (4) ta đợc x = - 1 và thỏa mãn (1)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = - 1.
Ví dụ 3:
Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau:
(2)
* Với 0 x 1 0
x 1 1 x 2
Thì (2)
* Với
Thì (2) luôn đúng với x [1;2]
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: 1 x 2.
Phơng pháp dùng lợng liên hợp:
- Đối với phơng pháp này, chúng ta rất dễ áp dụng nhng nó thờng phải áp dụng kết
hợp với các phơng pháp khác thì mới có hiệu quả.
- Khi sử dụng chúng ta thờng áp dụng công thức sau:

Ví dụ 1:

Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x + 1 0 x - 1
4x + 13 0 x - 1
3x + 12 0 x - 4
Ta nhận thấy rằng:
Vậy từ (1) ta có : (2)
Kết hợp (1) và (2) ta đợc :
2
=++
1x2.x1x2.x
( ) ( )
211
22
=++
1x1x
211
=++
1x1x
1

1x
mãn)Thoả2x1x1x1x (1211
===++
2x1
11x
01x
1x

<



<

<
1
221x1x
==++
211
( ) ( )
. A B
+ =
A B A B
( )
( )
BABABA.BA
3 2
3
3 2
33
=+
12 3x13)4x1x
+=+++
4
13
x

( )( )

12311341134.1134
+=+=+++++
xxxxxxx
1231
+=++
xx13 4x
11341
++=+++
xxx13 4x
x + 1 = 0 x = - 1 (thỏa mãn điều kiện *)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : x = - 1.
Lu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức d-
ơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải.
Ví dụ 2 :
Giải phơng trình :
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa
x
2
+ x 0 x - 1 (*)
x 0 x > 0
x
2
+ x 0
x 0
Phơng trình (1) tơng đơng với:

x - 1 x - 1
25(x
2
+ x) = (3x + 3)
2
16x
2
+ 7x 9 = 0
Ta thấy 16 7 9 = 0, vậy phơng trình có nghiệm là:
x
1
= - 1 (thỏa mãn)
(thỏa mãn)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm : x
1
= - 1;

Ví dụ 3: Giải phơng trình
(1)
Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
0 x 0
2 + x 0 x - 2 (*)
0
=+
1x
x
3
xxx
1
xxx

4
22
=
+

++
0
++
xx
2
x
0
+
xx
2
x
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
x
3
xxx.xxx
xxx
xxx.xxx
xxx4
22
2
22
2

=
+++
++

+++
+
( ) ( )
x
3
x
xxx
x-
xxx4
22
=
++

+
33.5
=+
xxx
2
33.5
+=+
xxx
2
16
9
=
2

x
16
9
x
=
2
22
=
+

++
+
x22
x - 2
x22
x 2
x22
++
phơng trình (1) tơng đơng với:




x = - 2 x = - 2
x > 0 x > 0
8(2 + x) = x
2
- x
2
+ 8x + 16 = 0

x = -2
x> 0

(loại)
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là:
x
1
= - 2 (thỏa mãn (*)
(thỏa mãn (*)
Tóm lại: S =
Ví dụ 4: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Gọi miền D là miền xác định của phơng trình tức là D đợc xác định bởi hệ sau:
3x
2
7x + 3 0
x
2
2 0
3x
2
5x 1 0
x
2
3x + 4 0
bằng cách nhân liên hợp của (1) về dạng sau:

( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
22
.
.
=
+++
++
+
+++
++
x22x22
x22x - 2
x22x22
x22x 2
22
x
2x.x2x.22.x22.x2x.2x.x22.22.
=

+++++++
xx2x2 .2.2..4
=+
022.(
=++
xx2x2

0.)2(.2
=++
x2xx2
0
=+
x2
xx2
=+
22
244
1
+=
x
244
2
=
x
244
2
+=
x
{ }
244;2
+
4315337
22
+=+
xxxx2xx3x
22
43215337

222
+=+
xxxxxx3x
2
( )( )
=
++
+++
1 - x3x3x
1 - x3x3x1 - x3x3x
22
2222
537
537.537
x
xx
( ) ( )
4 xxx
4 xxx4 xxx
22
2222
++
+++
=
32
32.32
4 xxx1 - x3x3x
2222
++

=
++

32
63
537
24 x
x
x
(5)
Ta thấy rằng với x > 2 thì chắc chắn không phải là nghiệm của (5) vì với mỗi x > 2,
x D thì:
* 4 2x < 0
* 3x 6 > 0
Tơng tự nh vậy với x < 2, x D thì:
* 4 2x < 0
* 3x 6 > 0
rõ ràng x = 2 D thỏa mãn (5) vì:
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là: x = 2.
Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
- Để khử căn thức, ngời ta có thể đa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tuỳ theo dạng
của phơng trình mà các bạn lựa chọn cho thích hợp.
- Đây là một công cụ tơng đối mạnh và đạt hiệu quả cao trong việc khử căn thức
song nó cũng có nhiều chỗ làm cho các bạn nhầm giữa ẩn đã cho với ẩn mới.
I. Đặt ẩn phụ để chuyển về phơng trình hữu tỉ :
- Ta thờng đặt một ẩn mới thay ẩn của phơng trình song chúng ta phải chú tới điều
kiện liên quan giữa ẩn cũ và ẩn mới.
Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
Lời giải :

Điều kiện để phơng trình có nghĩa là : x 3 0 x 3 (2)
Đặt
Thay vào (1) ta đợc phơnh trình mới tơng đơng với phơng trình (1)

Với
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 4
Chú ý :
0
537
24

++

1 - x3x3x
22
x
x
0
32
63

++

4 xxx
x
22
0
32
63

++

4 xxx
22
x
0
537
24

++

1 - x3x3x
22
x
x
00
32
62.3
532.7
2.24
=
++

=
++

4 .2221 - .23.23.2
2222
( )
1232

=
xx
21303
22
=+==
xtxtxt
( ) ( )
( ) ( )
2/413311
/10101212
2
22
MTxxxt
MTtttttt
====
===++=