Chương 2 - các phương pháp đếm và nguyên lý Dirichlet

CHƯƠNG 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM
VÀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Các phần học trong chương 2

Các nguyên lý đếm cơ bản.

Khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ
hợp.

Nhị thức Newton.

Nguyên lý Dirichlet.

Hệ thức truy hồi.

Quan hệ chia để trị

Nguyên lý bù trừ.

1.Các nguyên lý đếm cơ bản
1.1 Nguyên lý cộng

Cho A là một tập hữu hạn các phần tử, ta
ký hiệu N(A) là số lượng các phần tử của
A.

Nguyên lý cộng: Cho A
1

, A
2
, ..., A
n
là các
tập hữu hạn, không giao nhau từng đôi
một. Khi đó:
( )
∑
=
=
=








n
i
i
n
i
i
ANAN
1
1


1.Các nguyên lý đếm cơ bản
1.1 Nguyên lý cộng

Ví dụ: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành
máy tính trong ba danh sách tương ứng có 23, 15
và 19 bài. Có bao nhiêu cách chọn bài thực hành?

Giải:

Có 23 cách chọn bài thực hành từ ds thứ
nhất.

Có 15 cách chọn bài thực hành từ ds thứ hai.

Có 23 cách chọn bài thực hành từ ds thứ ba.

Vậy có 23 + 15 + 19 cách chọn bài thực
hành.

1.Các nguyên lý đếm cơ bản
1.2 Nguyên lý nhân

Nguyên lý nhân: Cho A
1
, A
2
, ..., A
n
là

các tập hữu hạn bất kỳ, khi đó:
( ) ( )
∏
=
=×××
n
i
in
ANAAAN
1
21
...

1.Các nguyên lý đếm cơ bản
1.2. Nguyên lý nhân

Ví dụ: Trong một trung tâm máy tính có
32 chiếc máy vi tính. Mỗi máy có 24
cổng. Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau
trong trung tâm này?

Giải:

Thủ tục chọn cổng gồm 2 việc: chọn máy, và
chọn cổng.

Vì có 32 cách chọn máy tính và 24 cách chọn
cổng bất kể máy nào đã được chọn. Quy tắc
nhân cho ta thấy có 32×24 = 768 cổng.

2. K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.1 Chỉnh hợp lặp

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là
một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử lấy
từ tập gồm n phần tử đã cho, mỗi phần tử
có thể lấy lặp lại.

Công thức tính:
kk
n
nA
=
Ví dụ: Tập A = {1,2,3,4,5} các bộ (1,1,2);
(1,2,1); (2,3,5) và (2,3,2) là chỉnh hợp lặp
chập 3 của 5 phần tử.

2. K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.2 Chỉnh hợp không lặp

Chỉnh hợp không lặp chập k từ n phần tử
là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử
của n phần tử, mỗi phần tử không được
lấy lặp lại.

Công thức tính:
)!(
!
kn
n

P
k
n
−
=
Ví dụ: Tập A = {1,2,3,4,5} các bộ (1,3,2);
(3,2,1); (2,3,5) và (2,3,4) là chỉnh hợp
không lặp chập 3 của 5 phần tử.

2. K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.3 Hoán vị

Hoán vị của n phần tử khác nhau là một
cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó.

Công thức tính: P
n
= n!

Ví dụ: Một bàn có 4 học sinh, hỏi có bao
nhiêu cách sắp chỗ ngồi cho 4 hs đó.

Giải: Mỗi phương án lựa chọn để xếp chỗ
ngồi là một hoán vị từ 4 học sinh. Vậy có
4! = 24 cách.

2. K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.4. Tổ hợp

Tổ hợp chập k từ n phần tử là cách chọn

không phân biệt thứ tự k phần tử lấy từ
tập n phần tử đã cho, mỗi phần tử
không được lấy lặp lại.

Công thức tính:
!)!(
!
kkn
n
C
k
n
−
=
Ví dụ: Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số
10 cầu thủ cầu lông để đi thi đấu?
Giải: Đó chính là số tổ hợp chập 5 của 10
phần tử:
252
!5!5
!10
5
10
==C

2. K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.5. Tổ hợp lặp

Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ
gồm k phần tử không phân biệt thứ tự,

mỗi phần tử có thể được lấy lặp lại từ n
phần tử đã cho.

Công thức tính:
!!
)!1(
1
nk
kn
CR
k
kn
k
n
−+
==
−+

3. Nhị thức Newton

Với x, y ∈ R và n là số nguyên dương ta
có:
0
( )
n
n k n k k
n
k
x y C x y
−

=
+ =
∑

Ví dụ: triển khai biểu thức (x+y)
4
4322344
44
4
33
4
222
4
31
4
40
4
4
464)(
)(
yxyyxyxxyx
yCxyCyxCyxCxCyx
++++=+
++++=+

4. Nguyên lý Dirichlet
4.1. Mở đầu

Giả sử có một đàn chim bồ câu có 5 con bay
vào chuồng.


Nhưng chỉ có 4 chuồng.

Điều gì sẽ sảy ra?

4. Nguyên lý Dirichlet
4.1. Mở đầu

Nguyên lý Dirichlet:
Nếu xếp nhiều hơn n đối tượng vào n cái
hộp thì tồn tại ít nhất một họpp chứa không
ít hơn 2 đối tượng.

VD: Trong bất kỳ một nhóm 367 người thế nào
cũng có ít nhất hai người có ngày sinh nhật
giống nhau bởi vì chỉ có tất cả 366 ngày sinh
nhật khác nhau.