Hệ phương trình đại số

Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Dạng :
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =

(1)
Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ...
b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :
•
1221
22
11
baba
ba
ba
D
−==
(gọi là đònh thức của hệ)
•
1221
22

11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
(gọi là đònh thức của x)
•
1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==
(gọi là đònh thức của y)
Bước 2: Biện luận
• Nếu
0
≠
D
thì hệ có nghiệm duy nhất








=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
• Nếu D = 0 và
0
≠
x
D
hoặc
0
≠
y
D
thì hệ vô nghiệm
• Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

Ý nghóa hình học: Giả sử (d

1
) là đường thẳng a
1
x + b
1
y = c
1

(d
2
) là đường thẳng a
2
x + b
2
y = c
2

Khi đó:
1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất
⇔
(d
1
) và (d
2
) cắt nhau
2. Hệ (I) vô nghiệm
⇔
(d
1
) và (d

2
) song song với nhau
3. Hệ (I) có vô số nghiệm
⇔
(d
1
) và (d
2
) trùng nhau

9
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:
Cách giải: Giải bằng phép thế
Ví dụ : Giải hệ:



=−+
=+
522
52
22
xyyx
yx
2. Hệ phương trình đối xứng :
1. Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì hệ phương trình không thay đổi.
Ví dụ: Hệ phương trinh:




=++
=++
2
4
22
yxxy
yxyx
b.Cách giải:
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với
2
4S P≥
ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn
2
4S P≥
.
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :
2
0X SX P− + = ( đònh lý Viét đảo ).
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x
0
;y
0
) là nghiệm của hệ thì (y
0
;x
0

) cũng là nghiệm của hệ
2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.
Ví dụ: Hệ phương trinh:
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x y y
y x x

+ = −


+ = −


b. Cách giải:
• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
10
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .
III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:
a. Dạng :
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d


+ + =


+ + =


b. Cách giải:
Đặt ẩn phụ
x
t
y
=
hoặc
y
t
x
=
. Giả sử ta chọn cách đặt
x
t
y
=
.
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?
Bước 2: Với y
≠
0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta
khử y để được 1 phương trình chứa t .

Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y.
IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
a. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ:



=−−
=−−+
36)1()1(
12
22
yyxx
yxyx

b. Sử dụng phép cộng và phép thế:
Ví dụ:
2 2
2 2
x y 10x 0
x y 4x 2y 20 0

+ − =


+ + − − =


c. Biến đổi về tích số:

Ví dụ:





+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx

11