Ôn tập Toán 7 năm học 2014 -2015

ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN 7
A – ĐẠI SỐ
SỐ HỮU TỈ - CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ HƯU TỶ
A - Kiến thức cần nhớ :
1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số

a
với a, b ∈ Z ; b ≠ 0 . Tập hợp số hữu tỉ
b

kí hiệu là Q
2. Với hai số hữu tỉ bất kì ta luôn có : x = y hoặc x < y hoặc x > y .
* Để so sánh hai số hữu tỉ ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh . Số
hữu tỉ dương là số hữu tỉ lớn hơn 0 ; số hữu tỉ âm là số hữ tỉ nhỏ hơn 0 ; Số 0 không
là hữu tỉ dương cũng không là hữu tỉ âm .
3.* Để cộng hay trừ hai số hữu tỉ x , y ta có thể viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng , trừ phân số .
* Phép cộng ( trừ ) các số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng ( trừ ) các phân số .
4. * Trong tập hợp Q cũng có các tổng đại số được áp dụng các phép biến đổi như
các tổng đại số trong Z
* Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức , ta phải đổi
dấu số hạng đó .
5. * Để nhân , chia hai số hữu tỉ x , y ta viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng
quy tắc nhân chia phân số . Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất : giao hoán , kết hợp
, nhân với số 1 ,nhân với số nghịch đảo , tính chất phân phối phép nhân với phép
công .
* Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ( y ≠ 0 ) gọi là tỉ số của x và y ;
x

kí hiệu y hay x : y
6. * Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x , kí hiệu | x | là khoảng cách từ điểm x đến gốc O

trên trục số .

 x( x ≥ 0)
| x |= 
− x( x < 0)

7. * Lũy thừa : Cho n là số tự nhiên khác 0 , x là số hữu tỉ bất kì , Lũy thừa bậc n
của x kí hiệu xn là tích của n thừa số x ;

x n = x.x.x......
 x ( x ∈ Q; n ∈ N ) . xn được gọi là
n thöøa soá

lũy thừa , x là cơ số , n là số mũ .
* Khi n = 1 , n = 0 ta quy ước : x1 = x ; x0 = 1 ( x ≠ 0 )
a
* Khi số hữu tỉ x = (a, b ∈ Z , b ≠ 0)
b

* Các phép tính về lũy thừa :
- Nhân : xn . xm = xm+n

n

an
a
ta có :   = n
b
b

- Chia : xn : xm = xm - n ( x ≠ 0, m ≥ n )
- Lũy thừa của lũy thừa : ( xm)n = xm.n
- Lũy thừa của một tích : ( x . y )n = xn.yn
n

 x
xn
- Lũy thừa của một thương :   = n ( y ≠ 0)
y
 y

8.* Tỉ lệ thức : Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a c
= hay a : b = c : d ; Các số
b d

a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức , a và d gọi là ngoại tỉ ( số hạng
ngoài ) , b và c gọi là trung tỉ ( số hạng trong ).
* Tính chất của tỉ lệ thức :
- Nếu

a c
= ⇔ a.d = b.c
b d

a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

a c e
a c e
a+c+e
a−c+e
- Từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = f ⇒ b = d = f = b + d + f = b − d + f

- Nếu a.d = b.c và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức

- Khi có dãy tỉ số

a b c
= = , ta nói các số a , b , c tỉ lệ với các số 2 , 3 , 5 .
2 3 5

9 . Số vô tỉ : là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn . Tập
hợp số vô tỉ kí hiệu là I
10. Khái niệm về căn bậc hai :
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a ; Số dương a có hai căn
bậc hai là a và − a
* Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực . Tập hợp số thực kí hiệu là R . So
sánh các số thực như so sánh các số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân .Trục số biểu
diễn các số thực nên được gọi là trục số thực
B -Bài tập :
1. Thực hiện các phép tính ( bằng cách hợp lý nếu có thể ) :
a) 5

5
7
5 16
+

+ 0,5 −
+
27 23
27 23
3

3
8

1
5

1 3
5 8

b) .27 − 51 . + 19 ;

;

2

1  4
1  4
d) 35 :  −  − 45 :  −  ;

1
 1 1
 1
c ) 25. −  + − 2. −  −
2

 5 5
 2

6  5

  3 2    5 1    4
1 −  4 − 3  − 1 −  3 − 4  − 1 −  3 +
  
  
 

6  5

e)

3 

4 

2. Tìm x biết :
a)

1
−2
+x=
5
3

;

5
4

b) − + x =

4
;
9

3
4

1
2

c) 1 .x + 1 = −

e) | x | = 3,5 ; f ) | x | = - 2,7 ; g) | 1 – x | + 0,73 = 3

4
1 1 1 1
; d) x +  −  +  = 0
5
5 4 7 8

h) 52.73.112.x + 52.72.11 = 0


i) (3.5 + 5.7). x + ( 3.5 + 5.7) + (3.5 + 5.7) = 0 ;
k) 52.73.112.x - 52.72.114 = 0 ;

l ) x+

3
− 5 = −2
4

1 5 5 7
2
−
+
− +1
3 2.6 3. 5
a) A =
3 1
5
2
−
1−
−1
4 2
6
5

3. Tính

1 4
−
3
.

b) B = 1 5
4
−
3 5

4. Tìm số nguyên n biết :
a) 5-1 . 25n = 125 ;
b) 3-1 . 3n + 6.3n -1 = 7.36 ;

3 5 4
−
−1
4 3: 5
3 5
2
+
1−
4 3
3

c) 25 < 5n : 5 < 625 ;

1
9

d ) 3 4 < .27 n < 310
5.

Tìm x trong các tỉ lệ thức :

a) x : ( - 3,7) = (-2,5) : 0,25

;

2
3

1
: (−0,06)
12
a c
6 . Từ tỉ lệ thức = hãy suy ra các tỉ lệ thức :
b d
a+b c+d
a−b c−d
=
=
a)
;
b)
;
b
d
b
d
a+b c+d
a
c
=
=

c)
;
d)
a
c
a+b c+d

b) 2 : x = 2

7 . Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 90m và tỉ số giữa hai cạnh là

2
. Tính
3

diện tích của mảnh vườn .
8. Ba lớp 7A , 7B , 7C có 117 bạn đi trồng cây . Biết rằng số cây mỗi bạn học sinh
lớp 7A , 7B, 7C trồng được theo thứ tự là 2, 3, 4 cây và số cây mỗi lớp trồng được
bằng nhau . Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh đi trồng cây .
9. Ba tấm vải có chiều dài tổng cộng 145m . Nếu cắt tấm thứ nhất đi
đi

1
; tấm thứ hai
2

1
1
, tấm thứ ba đi chiều dài mỗi tấm thì chiều dài còn lại của ba tấm vải bằng
3

4

nau . Tính chiều dài mỗi tấm vải trước khi cắt .
10. Tìm hai số x , y biết : a)

x y
=
và x2y2 = 2
2 4

b) 4x = 7y và x2 + y2 = 260
2012

11 . Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a) A = | x | +2013
12. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :

a) C =

b) B =

| x | +2012
2013

13. Tìm các số nguyên n sao cho các biểu thức sau là số nguyên :
a) P =

3n + 2
n −1

3 | n | +1

b) Q = 3 | n | −1

| x | +2012
− 2013
− 10

b) D = | x | +10


HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
A-Kiến thức cần nhớ :
1. Tỉ lệ thuận :* Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k.x ( với
k là hằng số khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k .( khi đó x cũng tỉ
lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ

1
)
k

* Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì :
+ Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận luôn luôn không đổi
( bằng hệ số tỉ lệ )
+ Tỉ số gữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của
đại lượng kia.
a
x

2. Tỉ lệ nghịch : * Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = hay
x.y = a ( Với a là một hằng số khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ

a .Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y .
* Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì :
+ Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng
kia là một hằng số ( = a)
+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị
tương ứng của đại lượng kia.
3 . Hàm số : Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi sao cho : Với mỗi
giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là
hàm số của x và x gọi là biến số .
4. Mặt phẳng tọa độ : Trên mặt phẳng , hai trục số Ox , Oy vuông góc với nhau và
cắt nhau tại gốc của mỗi trục số lập thành hệ trục tọa độ Oxy . Các trục Ox , Oy gọi
là các trục tọa độ . Trục ngang Ox là trục hoành , Trục đứng Oy gọi là trục tung .
Giao điểm O gọi là gốc tọa độ . * Trên mặt phẳng tọa độ mỗi điểm M xác định một
cặp số ( x0 , y0 ) Ngược lại mỗi cặp số ( x0 , y0 ) xác định một điểm M . Cặp số ( x0 , y0 )
gọi là tọa độ của điểm M ; x0 là hoành độ , y0 là tung độ của M . Điểm M có tọa độ
( x0 , y0 ) kí hiệu là M( x0 , y0 )
5. Đồ thị hàm số y = ax(a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ
B -Bài tập :
1. Hai thanh nhôm và chì có khối lượng bằng nhau . Hỏi thanh nào có thể tích lớn
hơn và lớn hơn bao nhiêu lần biết rằng khối lượng riêng của nhômlà 2,7(g/cm3) và
của chì là 11,3(g/cm3).


2 . Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 48(km/h) . Lúc về xe đi quãng đường BA với
vận tốc 42(km/h) . Biết thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ 30 phút . Tính thời gian lúc đi ,
thời gian lúc về và chiều dài quãng đường AB.
3. Đội I có 10 công nhân , mỗi người làm 18 ngày đào đắp được 648 m3 đất . Hỏi 8
công nhân đội II , mỗi người làm trong 25 ngày đào đắp được bao nhiêu m3 đất .
( Biết rằng năng suất mỗi công nhân như nhau ).
4. Để làm xong một công việc trong 5 giờ cần 12 công nhân . Nếu số công nhân tăng

thêm 8 người thì thời gian hoàn thành công việc giảm được mấy giờ ( Biết rằng năng
suất mỗi công nhân như nhau ).
5. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B . Xe thứ nhất đi từ A đến
B mất 3 giờ , xe thứ hai đi từ B về A mất 2 giờ . Đến chổ gặp nhau , xe thứ hai đi
được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ nhất đã đi là 27 km . Tính quãng
đường AB .6 . Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số :
a) y = x ;

b) y = - x ;

1
4

c ) y = x;

1
4

d) y = − x

7 . Cho hàm số y = - 3x2 + 5 . Những điểm nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị
hàm số trên :
A( -2 ; - 7)

; B( -3 ; 3 )

1 2
C ( ;4 )
3 3

THỐNG KÊ
( Học sinh tự ôn tập )

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A- Kiến thức cần nhớ :
1.* Một biểu thức đại số có thể chứa các chữ , các số … Các chữ có thể nhận những
giá trị bằng số tùy ý của một tập hợp số nào đó gọi là biến số ( gọi tắt là biến ) . Khi
thực hiện các phép toán trên các chữ , ta có thể áp dụng các tính chất của phép toán
tương tự như trên các số.
* Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của các biến , ta
có thể thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính .
2. Đơn thức : Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một tích các số với các biến .
* Đơn thức thu gọn là đơn thức gồm tích của hệ số với các biến đã được nâng lên
thành lũy thừa với số mũ nguyên dương . Một số hoặc một chữ cũng là một đơn thức
thu gọn.
* Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn
thức đó .


* Nhân hai đơn thức : Ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau .
Trong phép nhân các chữ ta có thể sử dung tính chất giao hoán , kết hợp tương tự
như trên các số .
*Đơn thức đồng dạng: là các đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến .Mọi số
thực được coi là ĐTĐD
*Cộng , trừ đơn thức đồng dạng : Để cộng, ( trừ ) các đơn thức đồng dạng , ta cộng (
hay trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến .
3. Đa thức là tổng của các đơn thức . Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của
đa thức .
* Thu gọn đa thức là thực hiện cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng có trong đa thức .
* Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa

thức đó .
* Cộng hai đa thức : Ta thực hiện thứ tự các bước sau :
+ Viết liên tiếp các số hạng của hai đa thức đó cùng với dấu của chúng .
+ Thu gọn các đơn thức đồng dạng ( Nếu có )
* Trừ hai đa thức : Ta thực hiện lần lượt các bước sau :
+ Viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng
+ Viết tiếp các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngược lại
+ Thu gọn các đơn thức đồng dạng nếu có .
* Đa thức một biến : là một đa thức chỉ chứa một biến . Ví dụ : A(x) = 3x + 5. Ta
có thể sắp xếp đa thức một biến ( đã thu gọn ) theo lũy thừa giảm ( hoặc tăng ) của
biến .
* Hệ số ( đa thức đã thu gọn ) là hệ số tương ứng theo số mũ của biến . Hệ số cao
nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất . Hệ số tự do là hệ số của biến bậc 0 .
* Cộng và trừ đa thức một biến : Ta có thể thực hiện theo một trong hai cách :
+ Cách 1 : Tương tự như cộng , trừ đa thức đã học .
+Cách 2 : Sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm (tăng) của biến và đặt phép tính như
trường hợp cộng và trừ các số (Lưu ý đặt các đơn thức đồng dạng trong cùng một cột
)
* Nghiệm của đa thức một biến : là giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng
0 .( Nếu tại x = a , đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói x = a là một nghiệm của
đa thức đó .
Một đa thức ( khác đa thức 0 ) có thể có một , hai , ….. hoặc không có nghiệm nào
. Số nghiệm của một đa thức ( khác đa thức 0 ) không vượt quá bậc của nó .
B -Bài tập :
1. Tính giá trị của các biểu thức sau tại x = -1 , y = 1 , z = - 2


a) A = (4x2 – xy + z2) . (x2 – yz)

; b) B = 3xyz −

2z 3
x2 +1

2 2 3
c) C = x y z :

y2 +1
2x 2 y

2.Thu gọn các đơn thức rồi tìm hệ số của nó : ( a là hằng số )

2 
a) 1 x y . −
5
 7

7 2 3
xy y 
  12


 2 2 2  1 3
2
b)  2 x y . − . − xyz 
 3

 4 8



10

 1
  3

c)  2 x 2 y 3 z  . − x 5 y 4 z 2 .axyz
 3
  7

1
1
1
3.Cho đa thức : f(x) = 9x 3 − x + 3x 2 − 3x + x 2 − x 3 − 3x 2 − 9 x + 27 + 3x
3
3
9

a) Thu gọn đa thức trên
b) Tính f(3) ; f(-3)
4. Cho hai đa thức :
F(x) = 6x5 + 5x3 – 17x4 – 11x +15x2 + 2
G(x) = - 5x4 + 6x3 + x5 + x2 – 5x + 6
Tính F(x) + G(x) và F(x) – G(x) .
5. Cho đa thức : f(x) = 2x6 + 3x2 + 5x3 – 2x2 + 4x4 – x3 +1 – 4x3 – x4
a) Thu gọn đa thức f(x)
b) Tính f(-1) ; f(1)
c) Chứng tỏ rằng đa thức f(x) không có nghiệm .
6. Tính giá trị biểu thức : A = 3x2 – 3xy + 2y2 với | x | = 1 ; | y | = 3
7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : a ) A = (x – 2)2 – 1 ;

b) B = (x2 – 9)2 + | y – 2 | + 10
3

8. Tìm giá trị lớn nhất của : a ) C = ( x − 2) 2 + 5

b) − 10 − ( x − 3) 2 − | y − 5 |

9. Cho biết : M + ( 2x3 + 3x2y – 3xy2 + xy +1 ) = 3x3 + 3x2y – 3xy2 + xy
a) Tìm đa thức M
b) Với giá trị nào của x thì M = - 28
10 .Xác định hệ số tự do c để đa thức f(x)= 2x2 – 3x + c có nghiệm là – 2
11 . Xác định các hệ số a , b , c của đa thức f(x) = ax 2 + bx + c biết f(0) = 1 ; f(1) =
2 ; f(2) = 2
B HÌNH HỌC
CHƯƠNG I - ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC – ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A -Kiến thức cần nhớ :
1. * Định nghĩa Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối
của một cạnh góc kia .
* Tính chất : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau


2. Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc
vuông thì hai đường thẳng đó được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí
hiệu là xx' ⊥ yy '
3.* Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung .Hai
đường thẳng phân biệt thì cắt nhau hoặc song song .
* Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a , b và trong các góc tạo thành có một
cặp góc so le trong bằng nhau ( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a song
song với b . Kí hiệu a // b.

* (TĐề Ơclít) Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song
song với đường thẳng đó .
* Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì :
+ Hai góc so le trong bằng nhau
+ Hai góc đồng vị bằng nhau
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau
* Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau
* Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đường thẳng kia .
* Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau .
4. Định lí : Một tính chất được khẳng định là đúng bằng suy luận là một định lý .
Mỗi định lí thường đước phát biểu dưới dạng “Nếu …..thì …”. Phần nằm giữa từ
“nếu “ và từ “ thì” là phần giả thiết (GT) ; phần nằm sau từ “ thì” là phần kết luận
( KL ) . Chứng minh định lí là dùng suy luận để từ GT khẳng định được
b
KL là đúng.
a
B-Bài tập :
1230
570
c
Bµi tËp 1.Cho hình vẽ
a) Đường thẳng a có song song với b không ? vì sao ?
d
x0
b) Tính số đo góc x ? Giải thích vì sao tính được ?
850
Bµi tËp 2. Chứng minh rằng : Nếu hai đường thẳng cắt một

đường
thẳng mà trong những góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì hai
đường thẳng đó song song với nhau .
Bµi tËp 3. Cho góc AOB khác góc bẹt .Tia OM là tia phân giác của góc AOB . Vẽ
các tia OC , OD lần lượt là tia đối của tia OA và OM . Chứng minh rằng COˆ D = MOˆ B
Bµi tËp 4. Cho hai góc xOˆ y và x' Oˆ ' y ' cùng nhọn có cạnh Ox // O’x’ ; Oy // O’y’ .
Chứng minh xOˆ y = x' Oˆ ' y '


Bài tập 5. Cho gúc xOy . Qua im A trờn tia Ox v ng thng a Ox , qua
im B trờn tia Oy v ng thng b Oy . Chng minh rng :
a) Nu xO y 180 0 thỡ hai ng thng a v b ct nhau
b) Nu xO y = 180 0 thỡ hai ng thng a v b song song
c) Nu xO y = 90 0 thỡ hai ng thng a v b vuụng gúc vi nhau .
Bài tập 6-Cho hình vẽ, chứng minh a//b
a

A

1400
O

c

1

7002

1500

b

B

Bài tập 7 - Cho hình vẽ, biết àA + Bà + Cà = 3600
Chứng tỏ: Ax//Cy.
A
B

x
d

1
2

C

y

Bài tập 8 : Cho xA y = 40O . Trên tia đối của tia Ax lấy điểm B. Kẻ tia Bz sao cho tia
Ay nằm trong xB z và xB z = 40O .
a) Chứng minh rằng: Bz//Ay.
b) Kẻ Am, An lần lợt là hai tia phân giác của góc xA y và xB z . Chứng minh
rằng: Am//Bn.
CHNG II TAM GIC ( 2bui )
A - Kin thc cn nh :
1.* Tng ba gúc trong ca mt tam giỏc bng 1800
* Tam giỏc vuụng l tam giỏc cú mt gúc vuụng . Trong tam giỏc vuụng hai gúc
nhn ph nhau.
* Gúc ngoi ca tam giỏc l gúc k bự vi mt gúc ca tam giỏc . Mi gúc ngoi

ca mt tam giỏc bng tng hai gúc trong khụng k vi nú . Gúc ngoi ca mt tam
giỏc ln hn mi gúc trong khụng k vi nú .
2. Ba trng hp bng nhau ca tam giỏc :
*TH1: Nu ba cnh ca tam giỏc ny bng ba cnh ca tam giỏc kia thỡ hai tam
giỏc bng nhau :
( Nu ABC v A' B' C ' cú AB = A' B' ; AC = A' C ' ; BC = B' C ' ABC = A' B' C ' (c.c.c) )


* TH2: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen
giữa của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau . ( Nếu ∆ABC và ∆A' B' C ' có
AB = A' B ' ; AC = A' C ' ; Aˆ = Aˆ ' ⇒ ∆ABC = ∆A' B' C ' (c.g .c) )

+ Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này , lần lượt bằng hai cạnh
góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam gác vuông đó bằng nhau .
* TH3: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề
của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau . ( Nếu ∆ABC và ∆A' B' C ' có
AB = A' B ' ; Aˆ = Aˆ ' ; Bˆ = Bˆ ' ⇒ ∆ABC = ∆A' B ' C ' ( g.c.g ) )

+ Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông
này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia
thì hai tam giác vuông đó bằng nhau .
+ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền
và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau .
3. * Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau . Trong tam giác cân hai góc ở
đáy bằng nhau ngược lại nếu một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác
đó là tam giác cân .
* Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau . Trong một tam giác đều mỗi
góc bằng 600 . Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều
hoặc nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều
4. * ( Định lý Pi – Ta – Go ) Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền

bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông ( ∆ABC vuông tai A ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 )
* ( Định lý Pi – Ta – Go đảo ) Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh
bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông :
∆ABC : BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ ∆ABC vuông tai A

* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh
huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó
bằng nhau .
B - Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AD = AE . Gọi M là giao điểm của BE và CD . Chứng minh rằng :
a) BE = CD
b) ∆BMD = ∆CME
c) AM là tia phân giác của góc BAC.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai
điểm D và E sao cho BD = CE
a) Chứng minh DE // BC.


b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC .Chứng minh
DM = EN
c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân .
d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I .
Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC.
Bài 3. Cho tam giác cân ABC có Â = 450 , AB = AC . Từ trung điểm I của cạnh AC
kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M . Trên tia đối của tia AM lấy
điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh rằng :
a) AMˆ C = ABˆ C
b) ∆ABM = ∆CAN
c) Tam giác MNC vuông cân tại C .

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A có

AB 5
=
và AC – AB = 14cm . Tính các
AC 12

cạnh của tam giác đó .
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B . Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE .Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AE và BD . Chứng minh rằng :
a) AE = BD .
b) ∆CME = ∆CNB
c) Tam giác MNC là tam giác đều.
Bài 6 .Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D . trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho AD = AE . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt
BC ở G và H . Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M . Đường thẳng kẻ
từ A song song với BC cắt MH ở I . Chứng minh :
a) ∆ACD = ∆AME
b) ∆AGB = ∆MIA
c) BG = GH
Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh BC lấy điểm D . Trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD = CE . Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M . Từ
E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N .
a) Chứng minh MD = NE
b) MN cắt DE ở I . Chứng minh I là trung điểm của DE
c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt
nhau tại O. Chứng tỏ Ao là đường trung trực của BC
Bài 8. Cho tam giác ABC . đường cao AH . Gọi M là trung điểm của BC . Biết AH ,
AM chia góc ở đỉnh A thành ba góc bằng nhau . Tính các góc của tam giác ABC.

QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIAC ( 2 buổi)
A - Kiến thức cần nhớ :
1.* Trong một tam giác , góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn .
* Trong một tam giác , cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn .
2. * Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường
thẳng đến đường thẳng đó , đường vuông góc là đường ngắn nhất .
* Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường
thẳng đó
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn .
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại .
3. Trong một tam giác , tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh
còn lại .
∆ABC ⇒ AB + AC > BC; AB + BC> AC ; AC + BC > AB ( Bất đẳng thức tam giác )
Hệ quả :
∆ABC ⇒ AB − BC < AC < AB + BC ; AB − AC < BC < AB + AC ; BC − AC < AB < BC + AC

4. * Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC
gọi là đường trung tuyến ( xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của tam giác
ABC . Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến .
* T/c : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm đó
cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

2
độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy . Trong
3

tam giác ABC , các đường trung tuyến AD, BE , CF đồng quy tại điểm G và ta có
AG BG CG 2
=
=
= . Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
AD BE CF 3

5 . T/c tia phân giác : Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh
của góc đó . Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên
tia phân giác của góc đó .
* Ba tia phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó .


* Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là tia phân giác thì tam
giác đó là một tam giác cân
* Trong một tam giác cân , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là
đường phân giác ứng với cạnh đáy .
6.* T/c đường trung trực : Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì
cách đều hai mút của đoạn thẳng đó .Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng
thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó .
* Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm này cách
đều ba đỉnh của tam giác đó . Giao điểm này là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của
tam giác ( đường tròn ngoại tiếp )
7. Trong một tam giác đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh
đối diện gọi là đường cao của tam giác đó . Mỗi tam giác có ba đường cao .
* Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm , điểm này gọi là trực tâm
của tam giác đó.
* Trong tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân
giác , đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó . Trong tam

giác đều các điểm : Trọng tâm , trực tâm , điểm cách đều ba đỉnh , điểm cách đều ba
cạnh là trùng nhau .
* Trong một tam giác , nếu hai trong bốn loại đường : đường trung tuyến , đường
phân giác , đường trung trực , đường cao trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
B - Bài tập :
Bài 1. Cho tam giác ABC có Bˆ = 60 0 ; Cˆ < Aˆ
a) Chứng minh rằng AB < BC
b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA . Chứng minh tam giác ABD là tam
giác đều .
c) So sánh độ dài các cạnh AB , BC , CA.
Bài 2 . Cho tam giác đều ABC . Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở M . Từ A kẻ
đường thẳng vuông góc với AB cắt các tia BM và BC lần lượt ở N và E . Chứng
minh
a) Tam giác ANC là tam giác cân .
b) NC vuông góc với BC .
c) Tam giác AEC là tam giác cân .
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BM , CN . Trên tia đối của tia BM
lấy điểm D sao cho BD = AC , trên tia đối của tia CN lấy điểm E sao cho CE = AB .
Chứng minh :
a) ACˆ E = ABˆ D
b) ∆ACE = ∆BDA


c) Tam giác AED là tam giác vuông cân .
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi O là giao điểm các đường trung trực của
tam giác . Trên tia đối của các tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao
cho AM = CN .
a) Chứng minh OAˆ B = OCˆ A
b) Chứng minh ∆AOM = ∆CON
c) Gọi I là giao điểm hai đường trung trực của OM và ON . Chứng minh OI là tia

phân giác của góc MON.
Bài 5.Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , đường cao AD . G là trọng tâm của tam
giác ABC , trên tia đối của tia DG lấy điểm E sao cho DE = DG .
a) Chứng minh BG = GC = CE = BE .
b ) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE
1
2

c) Nếu CG = AE thì tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?
Bài 6. Cho tam giác ABC . Đường phân giác ngoài tại đỉnh B và đỉnh C của tam
giác cắt nhau ở O . Từ A lần lượt kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường phân
giác trên , cắt đường thẳng BC ở M và N . Chứng minh rằng :
a) Chu vi tam giác ABC bằng MN;
b) Đường trung trực của MN đi qua O.
c) AO là tia phân giác của góc BAC.
Bài 7. Cho tam giác cân DEA ( DE = DC > EC ) . Đường trung trực của DC cắt
đường thẳng EC tại A . Trên tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE . CMR
a) ADˆ C = ACˆ D
b) Tam giác ABC là tam giác cân .
Bài 8. Cho tam giác ABC có Bˆ = 45 0 ; Cˆ = 120 0 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao
cho CD = 2CB . Kẻ DE vuông góc với AC . Chứng minh rằng
a) CE = CB
b) Tam giác AEB là tam giác cân
c) Tam giác AED là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Tính số đo góc ADB


Một số bài toán tổng hợp hình học
1. Cho ∆ABC, các trung tuyến BM, CN. Trên tia đối của tia MB lấy điểm I sao cho
MB = MI. Trên tia đối của tia NC lấy điểm K sao cho NC = NK. Chứng minh rằng

a, ∆ AMI =∆ CMB

b, AI // BC; AK // BC

c, A là trung điểm của KI

2. Cho ∆ABC , điểm S nằm ngoài ∆ABC và thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường
thẳng AC không chứa điểm B; trên các tia đối của các tia SA; SB; SC theo thứ tự lấy
điểm D; E; F sao cho SD = SA; SE = SB;
SF = SC. Nối D với E, E với F, F với D.

a, Chứng minh ∆ABC = ∆DEF.

b, Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng BC; trên tia đối của tia SM lấy N sao cho
SN = SM. Chứng minh ba điểm E, F, N thẳng hàng
3. Cho tam giác ABC , vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là
BAE và CAF
1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngược lại nếu I thuộc BC
và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC
2) chứng tỏ rằng AI = EF/ 2. ( với I là trung điểm của BC )
3) Gỉa sử H là trung điểm của EF ,hãy xét quan hệ của AH và BC.
4. Cho Δ ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Từ A kẻ AD // BM sao cho AD =
BM ( điểm D và điểm M nằm khác phía so với cạnh AB ) .Gọi I là trung diểm của
AB
a -CMR: DI=IM từ đó suy ra M,I,D thẳng hàng.
b. Chứng minh BD// AM.
5. Cho tam giác ABC ( AB < AC) có AM là phân giác của góc A.(M thuộc BC).Trên
AC lấy D sao cho AD = AB. a. Chứng minh: BM = MD
b. Gọi K là giao điểm của AB và DM .Chứng minh: ∆DAK = ∆BAC
c. Chứng minh : ∆AKC cân d. So sánh : BM và CM.

6: Cho ∆ ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của AC cắt
đường thẳng BC tạiM. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC b/ Chứng minh rằng CM = CN
c/ Muốn cho CM ⊥ CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì?
HD:c/ Ta có CM = CN ,để CM ⊥ CN thì tam giác CMN vuông cân tại C.
Suy ra góc M = 450 .Tam giác ACM cân tại M nên đường cao xuất phát từ M
(MK)cũng là đường phân giác.
Nên góc CMK = 450 : 2 = 27,50.mà tam giác CMK vuông tại K suy ra góc KCM =
900-27,50=62,50 .


Vậy tam giác cân ABC phải có góc ở đáy = 62,50
7:Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuông
góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lầm lượt tại E và
F. Chứng minh rằng:

a/ BE = CF

ˆ
ACˆB − B
ˆ
BME =
2
c/
8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC . Kẻ HP vuông góc với AB và kéo
dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF = QH
AB − AC
AB + AC
BE =
AE =

2
2
b/
;

1/Chứng minh ∆APE = ∆APH, ∆AQH = ∆AQF
2/Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF
3/Chứng minh BE//CF
4/Cho AH = 3cm, AC = 4cm. Tính HC, EF

PHẦN II:ĐỀ TỔNG HỢP
ĐỀ 1
Bài 1: Thực hiện phép tính:
4  1
5 2
a) :  − ÷+ 6 .  ÷;
9  7
9 3

Bài 2: Tìm x:

a)

2

2

 1 4 7  1
b)  − ÷ . + .  − ÷
 3  11 11  3 

1 4
+ .x = −3 ;
5 5

b) x +

1 2
16
− =
2 3
9

Bài 3: Tìm x, y, z biết:
a)

x y
= và x − y = 36
12 3

b)

x
y y
z
=
;
=
và x - y + z = - 49
2

3 5
4

Bài 4: Bốn đội máy cày có 36 máy ( có cùng năng suất) làm việc trên bốn cánh đồng
có diện tích bằng nhau. Đội thứ I hoàn thành trong 4 ngày, đội II hoàn thành trong 6
ngày, đội III hoàn thành trong 10 ngày, đội còn lại hoàn thành trong 12 ngày. Mỗi đội
có bao nhiêu máy?
Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A có góc B = 300.
a.
Tính góc C.
b.
Vẽ tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại D. Trên cạnh CB lấy
điểm M sao cho CM CA. Chứng minh: ACD = MCD
Qua C vẽ đường thẳng xy vuông góc CA. Từ A kẻ đường thẳng song song với CD
cắt xy ở K. Cm: AK = CD.
c.
Tính góc AKC


ĐỀ 2
Bài 1: Thực hiện phép tính:
0

5

2

4  2
 1
a)  − ÷ − 2 +  − ÷ ;

9  3
 7

b)  5 − 4 ÷. 6 +  − 3 ÷
 2 3 7  2
2

2
1  −2 
a); .x − =  ÷
3
2  3 

Bài 2: Tìm x:

3

 3
:− ÷ .
 2

1
2

b) 3,5 − 2 x − = −0,75 .

Bài 3: Cho biết 36 công nhân đắp một đoạn đê hết 12 ngày . Hỏi phải tăng thờm bao
nhiêu công nhân để đắp xong đoạn đê đó trong 8 ngày ( năng suất của các công
nhân như nhau ).
Bài 4: Tìm x, y , z khi: a)

x y z
= = và x + y − z = 21
6 4 3

b) 2x = 3y và x2 – y2 =

25
Bài 5: Cho ABC, biết góc A = 300, và Bˆ = 2Cˆ . Tính Bˆ và Cˆ .
Bài 6: Cho góc nhọn xOy ; trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (A nằm giữa O,B). Trờn
Oy lấy 2 điểm C,D (C nằm giữa O,D) sao cho OA = OC và OB = OD . Chứng
minh:a) ∆AOD = ∆COB b) ABD = CDB
c) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh IA = IC; IB = ID.
ĐỀ 3
2

1 5 5
Bài 1: Thực hiện phép tính:a)  − ÷ + : 2 ;
3 6 6

b)

5, 7 + 3, 6 − 3.(1, 2 − 2,8)

Bài 2: Tìm x: a)

3 
2 5
−  x − ÷= ;
4 

3 6

b) x − 2 − 4 = 1 ;

x

4

c) −2,5 = 5

Bài 3: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 8 thì y = 15.
a) Hãy biểu diễn y theo x.
b) Tính giá trị của y khi x = 6; x = −
10.
c) Tính giá trị của x khi y = 2; y = − 30.
Bài 4: Tìm x, y, z biết:
a)

x y
= và 3x - 2y = 5
3 4

b) 3x = 2y = 5z và y – 2x = 5

Bài 5: Cho ABC cóM là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm E
sao cho ME = MA. Chứng minh:
a) MAB = MEC.
b) AC // BE.

c) Trên AB lấy điểm I , trên tia CE lấy K sao cho BI = CK. Chứng minh : I, M, K
thẳng hàng.
ĐỀ 4

25 − 3

Bài 1: Thực hiện phép tính: a)
Bài 2: Tìm x:

5  2 5


b)  2 − ÷:  + − 1÷
3   7 21 


4
;
9

1
2
a) − x − = 2 ;
6
3

b) 3,5 − x +

2 4
= ;

3 5

c)

35.x = 312
Bài 3: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận có các giá trị theo bảng:
Điền giá trị thích hợp vào ô trống:
x
y

-8
72

-3

1
-18

-36

Bài 4: Tìm x, y, z biết:
a)

x y z
= =
và 5x + y – 2x = 28;
10 6 21

b) 4x = 5y và xy – 80 = 0

Bài 5: Ba đội san đất làm ba khối lượng cụng việc như nhau. Đội I làm trong 4 ngày,
đội II làm trong 6 ngày, đội III làm trong 8 ngày. Mỗi đội có bao nhiêu máy biết đội
hai ít hơn đội một 2 máy?
Bài 6: Cho ABC, vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC), trờn tia AH lấy D sao cho AH = HD.
Chứng minh:
a) ABH = DBH
b) AC = CD.
c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC tại E. Chứng minh H là
trung điểm của BE.
ĐỀ 5
Bài 1: Thực hiện phép tính::
a) 12,7 – 17,2 + 199,9 – 22,8 – 149,9;b)
4

2
 1
0
 − ÷ + − − 2007 ;
3
 2

Bài 2: So sánh các số sau:
a) 2100 và 550 ;
b) 430 và 820
Bài 3: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận có các giá trị theo bảng:
Điền giá trị thích hợp vào ô trống.
x
y
Bài 4: Tìm x, y, z khi:

-4
-2
-2
x y z
a) = = và
5 7 2

4
16

8

y − x = 48

b)

x y
= và x.y = 54
2 3


Bài 5: Bốn đội máy cày có 72 máy ( có cùng năng suất) làm việc trên bốn cánh đồng
có diện tích bằng nhau. Đội thứ I hoàn thành trong 4 ngày, đội II hoàn thành trong 6
ngày, đội III hoàn thành trong 10 ngày, đội còn lại hoàn thành trong 12 ngày. Mỗi đội
có bao nhiêu máy?
Bài 6: Cho ABC vuông tại C, biết Bˆ = 2 Aˆ . Tính Aˆ và Bˆ .
a) Trên tia đối tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Chứng minh AD =AB.
b) Trên AD lấy điểm M, trờn AB lấy điểm N sao cho AM = AN. Chứng minh
CM = CN.
c) Gọi I là giao điểm của AC và MN . Chứng minh IM = IN.

d) Chứng minh MN // BD.
ĐỀ 6
3

0

1
 1
Bài 1: Thực hiện phép tính:: a) 4  − ÷ + : 5 ;
2
 2
Bài 2: Tìm x:

a) 2

Bài 3: So sánh :

a)

2
7
: x =1 : 2;
3
9

 6
b) 3 −  − ÷ + 9 : 2 ;
 7

b) 7 -

930 và 27 20 ;

2
+x =
3
b)

2210

9
;
4
và

5140 .

Bài 4: Tìm 3 số x,y, z biết:
a)

x 5
= và
y 7

x + y = 72

b)

x
y y z

= ; = và x - y + z = - 49
2 3 5 4

Bài 5: Cho biết 56 công nhân hoàn thành 1 công việc trong 21 ngày. Hỏi phải tăng
thêm bao nhiêu công nhân nữa để hoàn thành công việc đó trong 14 ngày (năng suất
mỗi công nhân là như nhau).
Bài 6: Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy
điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN=BM.
a) Chứng minh ABˆ I = ACˆ I và AI là tia phân giác góc BAC.
b) Chứng minh AM = AN.
c) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt tia AI tại K. Chứng minh KC ⊥ AC.
ĐỀ 7
Bài 1: Thực hiện phép tính:a)

( −2 )

3

1 1
+ : − 25 + −64 .
2 8

5
19 16 4
+ 0,5 − + − ;
21
23 21 23

b)

Bài 2: Tìm x:

( x − 5)
Bài 3:

3

a)

1 5
+ : x = 22 ;
3 3

b) x + 2 − 4 = 0 ;

c)

=8
a) Tìm 2 số a, b biết: 11.a = 5.b và a − b = 24.
b) Tìm x, y, z biết

x y y z
= ; =
và 5x + y – 2x = 28
5 3 2 7

Bài 4: Bốn đội công nhân có 154 người cùng làm một công việc như nhau. Đội thứ I
hoàn thành trong 4 ngày, đội II hoàn thành trong 6 ngày, đội III hoàn thành trong 8
ngày, đội còn lại hoàn thành trong 10 ngày. Mỗi đội có bao nhiêu người?

Bài 5: Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; 7. Hỏi mỗi nhà sản xuất phải góp bao
nhiêu vốn biết rằng tổng số vốn là 210 triệu đồng.
Bài 6: Cho góc xOy = 600 . Vẽ Oz là tia phân giác của gúc xOy .
a)
b)

Tính góc zOy ?
Trên Ox lấy điểm A và trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Tia Oz cắt AB
tại I .
Chứng minh: OIA = BIB
c)
Chứng minh OI ⊥ AB.
d)
Trên tia Oz lấy điểm M. Chứng minh MA= MB.
e)
Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia Ox, Oy lần lượt tại C và D.
Chứng minh BD = AC.
ĐỀ 8
Bài 1: Thực hiện phép tính:

( −5)

2

.

 3 2  17 3
a)  + ÷: − ;
4 3 4 4

b)

7
2 11
+ ( −5 ) .
45
45

1
2
1
2
x − =1 ;
b) x − 3 = 7 ;
c) ( x − 3 ) = 25 .
2
3
4
Bài 3: Một tam giác có số đo ba góc lần lượt tỉ lệ với 3; 5; 7. Tính số đo các góc của
tam giác đó.
Bài 4: Cho ABC vuông tại A. ( AB < AC). Biết góc B = 500.
a.
Tính số đo góc C.
b.
Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =
BA.
Bài 2: Tim x biết: a)


Chứng minh:.ABD = EBD

c.
Chứng minh: DE ⊥ BC .
d.
Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AB và DE.
Chứng minh: DK = DC và AK = EC.
e.
Chứng minh: BD ⊥ CK .
ĐỀ 9
Bài 1: Thực hiện phép tính:

1
3
a) ( −3) . − 49 + ( −5 ) : 25 ;
3

 1
b)  − 
 2

2

Bài 2: Tìm x: a)

15 
3 2
:  −x + ÷= ;
8 
4 3

2

−1
 1
:
− 2. − 
4
 2

b) 2, 5 − x −

3

+

25 − 16

1
= 0, 5
2

Bài 3: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong
trong 2 ngày, đội thứ hai trong 4 ngày, đội thứ 3 trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao
nhiêu máy biết rằng ba đội có tất cả 33 máy.
Bài 4: Tìm các số x, y biết:
a) x : 2 = y : (-5) và x – y = -7b) 2x - 3y = 0 và xy
– 150 = 0
Bài 5: ChoABC. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng
song song với AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: AD = BC và AB = DC.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Chứng minh: AM = CN .

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OA = OC và OB = OD .
d) Chứng minh: M, O, N thẳng hàng.
ĐỀ 10
Bài 1: Thực hiện phép tính:
20

8

8

1
 3  4
a) 25 .  ÷ +  − ÷ .  − ÷ − 20110
5
 4  3
10

Bài 2: Tìm x, y biết::

a)

2 4
7
− x= ;
3 5
10

1 2 5 3 7 5
b)  − ÷−  − ÷+  − ÷.
2 3 3 2 3 2

b)

x y
= và
5 3

y − x = −12
Bài 3: Cho biết 8 người làm cỏ một cánh đồng hết 5 giờ. Hỏi nếu tăng thêm 2 người
( với năng suất như thế) thì làm cỏ cánh đồng đó trong bao lâu?


Bài 4: Cho ΔABC vuông tại A , vẽ tia phân giác BD của gúc ABC (D ∈ AC). Trên
cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = AB , nối D với E .
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD
b) Chứng minh góc BED là gúc vuông
·
= ·ACH và AH //
c) Vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC) . Chứng minh : BAH

DE .
d) Chứng minh: DB là đường trung trực của đoạn thẳng AE.
ĐỀ 11
Bài 1: Thực hiện phép tính:
2

1
1 5 
a) 5 + 2,5 ×  − 
3

 3 12 

b)

3
 3

5 
12 − 44 − 1 − 2  + ( − 1.5) :  − 
 4

 2

4

2

Bài 2 : Tìm x, y biết:
1
0
a) 1 x − 32 = ( − 2010)
2

c) 2 x +

b) 3x = 2y và y – 2x = 5

1
 1
− 1,25 =  − 

3
 2

2

Bài 3 : Đội có 12 công nhân sửa đường làm trong 15 ngày được 1020 m đường . Hỏi
15 công nhân của đội B làm trong 10 ngày sửa được quãng đường dài bao nhiêu .
Biết rằng năng suất của mỗi công nhân như nhau .
Bài 4 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M.
1) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác AMC
2) Kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AC. Chứng tỏ: ME = MF.
3) Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng FM tại I.
Chứng minh BE = BI.
4) Chứng minh ME =

1
IF.
2

ĐỀ 12
5

3

10 8
− (5 4 ) 2 +
8
2

Bài 1: Thực hiện phép tính:a)  5 − 4 ÷. 6 +  − 3 ÷ :  − 3 ÷ b)

2

3 7  2

 2

(−3) 2 + (−4) 2
3
4

2
c) (− ) + −

Bài 2 : 1) Tìm x biết::
2

3
1  1
5 − 2x + =  − ÷
4
3  2

a)

11 5
− . (−12) 2
18 12

1
3

+ x2 −
= 0
2
4

b)


2) Tỡm a, b, c biết : 2a = 3b = 5c và 2a – 3b + c = 6
Bài 3: Cho biết 36 công nhân đắp một đoạn đê hết 12 ngày . Hỏi phải tăng thêm bao
nhiêu công nhân để đắp xong đoạn đê đó trong 8 ngày ( năng suất của các công
nhân như nhau )
Bài 4: Ba lớp 7A,7B,7C đi lao động trồng cây. Số cõy trồng được của cỏc lớp
7A,7B,7C thứ tự tỉ lệ với 3 ; 4 ; 5 .Tìm số cây mỗi lớp trồng được biết rằng tổng số
cây trồng được của hai lớp 7A và 7C là 48 cây.
Bài 5 : Cho ∆ ABC, gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D
sao cho IB = ID.
a) Chứng minh : ∆ AIB = ∆ CID
b) Chứng minh : AD = BC và AD // BC
c) Tìm điều kiện của ∆ ABC để DC ⊥ AC