Đề cương ôn tập môn đại số lớp 10

Đề cương ôn tập môn Đại số cuối năm học 2011 - 2012 .
Lớp 10 – Trường Lương Văn Can.
---------------------------------Các kiến thức và kỹ năng cần biết
Vấn đề 1: Hàm số.
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc nhất, bậc hai.
2/ Vẽ đồ thị các hàm số có giá trị tuyệt đối. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của
phương trình.
Vấn đề 2: Phương trình và bất phương trình bậc hai
1/ Sử dụng định lý Viet tính các biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm.
2/ Xét dấu các tam thức bậc 2 chứa tham số.
3/ Sử dụng định lý Viet xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2.
4/ Giải bất phương trình bậc 2 và bất phương trình hữu tỷ.
Vấn đề 3: Hệ bất phương trình.
Giải hệ bất phương trình trình bậc nhất 1 ẩn. Tổng hợp nghiệm trên trục số.
Vấn đề 4: Các bài toán tổng hợp.
1/ Giải hệ phương trình hai ẩn bậc cao.
1/ Giải bất phương trình có trị tuyệt đối.
2/ Giải phương trình và bất phương trình vô tỷ.
Vấn đề 5: Biến đổi lượng giác.
1/ Thuộc các công thức lượng giác.
2/ Chứng minh các đẳng thức lượng giác.
Vấn đề 6: Phương trình lượng giác.
1/ Giải các phương trình lượng giác cơ bản và các dạng thường gặp.
2/ Giải các baì toán lượng giác có ẩn ở mẫu. Kết hợp nghiệm.

1


Bài tập minh họa
Bài 1. Cho hàm số y = ax + b . Xác định các hệ số a và b và vẽ đồ thị của hàm số với a,
b vừa tìm được, biết đồ thị hàm số:

1. đi qua các điểm A ( 1; −2 ) và B ( −2; −8 ) .
2. đi qua các điểm C ( 2; −3) và D ( 4; −3) .
1
3. đi qua điểm E ( 6; −1) và song song với đường thẳng y = − x + 7 .
3
Bài 2.
1. Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x + 5 .
2. Cho hàm số
y =

2x + 1
x+2
5 − 2x

nếu x ≤ 1 ,
nếu 1 < x < 3 ,
nếu x ≥ 3 .

7
a. Tính f ( 0 ) , f ( 1) , f  ÷.
2
b. Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Bài 3. Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c , lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số tìm được trong mỗi trường hợp sau khi biết đồ thị của nó:
1. Đi qua ba điểm A ( 1;0 ) , B ( 3; −2 ) , C ( −1; −6 ) .
2. Đi qua gốc tọa độ, điểm D ( 1, −3) và có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 .
3. Đi qua E ( 4,9 ) và có đỉnh là I ( 1;0 ) .
4. Có hoành độ của đỉnh là −2 , giao với đường thẳng y = 2 x + 8 tại hai điểm phân biệt
có tung độ lần lượt là 2 và 10 .
5. Có tung độ của đỉnh là 0 , đồng thời đi qua hai điểm F ( −1; −9 ) , G ( 0; −4 ) và

hệ số b > 0 .
6. Có tung độ của đỉnh là 1 , đồng thời cắt đường thẳng y = −3 tại các điểm có hoành
độ lần lượt là −2 và 2 .
Bài 4.
1.
2
a. Vẽ đồ thị, lập bảng biến thiên của hàm số y = x − 4 x + 3 .
2
b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x − 4 x + 3 = k .

2.
2


2
a. Vẽ đồ thị, lập bảng biến thiên của hàm số y = − x − 2 x + 3 .
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
− x 2 − 2 x + 3m − 1 = 0 .

3.

a. Vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
y=

−x −1

nếu

− x 2 + 3x − 1

nếu

x<0
x ≥ 0.

b. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng y = 2k + 3 .
Bài 5. Giải các bất phương trình sau :
1. −6 x 2 + x + 15 ≥ 0 .

2. ( x 2 + 6 x − 2 ) + 2 ( x 2 + 6 x + 2 ) − 43 < 0 .
2

3
1
2
1
3
2
≥ −
+
>
.
4. 2
.
x + 2 x x −3
x − 2 x + 2 3x + 2 2 x − 3
Bài 6. Giải các hệ bất phương trình sau :
x − 7 > 0
2 x − 7 ≥ 0


x
−
9
≤
0
1. 
2.  2
2 x − 19 x + 45 < 0
2 x 2 − 21x + 34 ≤ 0

 x −3
 x2 + x + 1 ≥ 0

− x 2 + x + 2 ≤ 0
 x−7
>0
3.  2
4.  2
−
x
+
x
−
1
14 x − 41x + 15 ≥ 0

2
2 x − 9 x − 5 > 0



5 x + 2 ≥ 0
2 x 2 + x − 15 > 0
 2

2
5.  x + 2 x − 3 > 0
6. 4 − x > 0
 x 2 − 3x + 2 ≥ 0
2 x 2 − x − 15 ≥ 0


3.

Bài 7.
1. Cho phương trình :
( m − 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0 .
Tìm m sao cho phương trình có:
a. Hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng ba lần nghiệm còn lại.
b. Hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 4 ( x1 + x2 ) = 7 x1 x2 .
3


( 5m − 1) x 2 − 9mx + 5 = 0 .
2. Cho phương trình :
Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn :
1
1
2
+
=− .

3 x1 − 2 3 x2 − 2
3
3. Cho phương trình :
2 x 2 − x ( 2m + 1) + m = 0 .
Tìm m sao cho phương có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn :
1
1
5
+
=
.
2
2
( 2 x1 − 3) ( 2 x2 − 3) 4
Bài 8. Xét phương trình :
( m − 1) x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 3m − 2 = 0 .
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có :
1. Hai nghiệm phân biệt ;
2. Hai nghiệm trái dấu ;
3. Một nghiệm duy nhất ;
4. Hai nghiệm dương ;
5. Hai nghiệm phân biệt âm.
Bài 9.
1. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
x 2 − 2mx + m + 6 ≥ 0 .
2. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
( m + 1) x 2 − 2 ( m + 1) x − 3m + 6 < 0 .
Bài 10.
1. Cho phương trình :

( x + 1) ( x 2 + 2mx + 1) = 0 .

Tìm m sao cho phương trình có :
a. Ba nghiệm phân biệt.
b. Đúng hai nghiệm phân biệt.
c. Đúng một nghiệm duy nhất.
2. Cho phương trình :
( x − 1) ( ( m − 1) x 2 + mx + m ) = 0 .
Tìm m sao cho phương trình :
a. Ba nghiệm phân biệt.
b. Đúng hai nghiệm phân biệt.
c. Đúng một nghiệm duy nhất.
4


Bài 11. Giải các phương trình sau :
1. ( Phương trình trùng phương )
2. ( Phương trình hồi quy )
4
2
a. 2 x − 3x − 20 = 0 .
a. x 4 − 7 x3 + 12 x 2 − 7 x + 1 = 0 .
b. 2 x 4 − 17 x 2 + 35 = 0 .
b. 6 x 4 − 7 x3 − 34 x 2 + 21x + 54 = 0 .
3. ( Giải bằng nhẩm nghiệm )
4. ( Chứng minh vô nghiệm )
4
3
2
a. 24 x + 28 x − 18 x − 7 x + 3 = 0 .

a. 2 x 4 − 2 x3 + 1 = 0 .
b. x 4 + 2 x3 + x 2 − 36 = 0 .
b. x 4 − 6 x + 11 = 0 .
c . 3 x 4 − 22 x 2 − 17 x + 6 = 0 .
c . 3 x 4 − 4 x 3 + 2 x 2 − 12 x + 13 = 0 .
Bài 12. Cho phương trình :
mx 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 1 = 0 .
Tìm m sao cho phương trình có :
1. 4 nghiệm phân biệt.
2. Đúng 3 nghiệm phân biệt.
3. Đúng 2 nghiệm phân biệt.
4. Đúng một nghiệm duy nhất.
5. Vô nghiệm.
Bài 13. Giải các hệ phương trình :
x + 2 y = 5
2 xy − 5( x + y ) + 11 = 0
1.  2
2.  2
2
2
3 x − xy + 2 y = 9.
 x + y + 4 = 3( x + y ).
 x3 = 7 y + 2 x
 x2 + y2 − x + y = 2
3. 
4.  3
 y = 7 x + 2 y.
 xy + x − y = −1.
y


 x − 3 y = 4 x
 x 2 + 2 xy + 3 y 2 = 3
5. 
6.  2
2
x
 x + y = 5.
 y − 3x = 4 .
y

2 x 2 + 2 xy + y = 5
7.  2
 y + xy + 5 x = 7.
Bài 14. Giải các phương trình sau :
1.
a. 2 x + 1 = 3 .
d. 3x − 2 + 3 x − 5 = 3 .
b. x + 1 = 3 x − 2 .
c. x + 1 + 3x − 2 = 2 .
3
= x+3 .
2.
x − 4 −1

3
e. x − x + 1 = x .

x2 − 5x + 2 −

3.

Bài 15. Giải các bất phương trình sau :
5

6
+1 = 0.
x2 − 5x + 2


1. 2 x + 1 ≤ 3 .

4. 3x − 2 < x − 1 .
x−2
≥ 3.
5. 2
x − 5x + 6
2
6. 2 x − 1 − 3 2 x − 1 + 2 ≤ 0 .

2. x + 1 + 3x − 2 ≤ 2 .
3. 1 − 4 x > 2 x + 1 .
Bài 16. Giải các phương trình sau :
1. x − 2 x + 3 = 0 .
3.
5.
7.

4. 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − 9 = 0 .

x −1 = x − 4 x − 2 .

3

2 − x = 1 − x −1 .
x + 3 + 14 − x +

x + 4 − 1 − x = 1 − 2x .

2.

6. x 3 + 1 = 2 3 2 x − 1 .
( x + 3) ( 14 − x ) = 9

8. 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 .
( Đề thi đại học, cao đẳng năm 2005 – Khối D )
9. 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 .
( Đề thi đại học năm 2009 – Khối A )
10. 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3 x .
( Đề thi đại học năm 2011 – Khối B )
Bài 17. Giải các bất phương trình sau :
1. x + 1 ≥ 2 ( x 2 − 1) .
3.

5x − 1 − x − 1 > 2x − 4 .

5.

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 >

7.

(x

2

− 3x ) 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0 .

2 ( x 2 − 16 )

2. 2 x + 5 < − x 2 + 4 x − 3 .
1 − 1 − 4 x2
4.
< 3.
x
3
. 6. x + x 2 − 9 − x − x 2 − 9 > x − 3 .
2
( Đề thi đại học và cao đẳng năm 2002 – Khối D )

7−x .
x−3
x−3
Bài 18. Giải hệ phương trình :
2 x + y = 4
1. 
 x − 2 y = 3.
 3 x − y = x − y
2. 
 x + y = x + y + 2.
 x + y − xy = 3
3. 

 x + 1 + y + 1 = 4.
4
3
2 2
 x + 2 x y + x y = 2 x + 9
4.  2
 x + 2 xy = 6 x + 6.
8.

+ x−3 >

( Đề thi đại học và cao đẳng năm 2004 – Khối A )

( Đề thi đại học và cao đẳng năm 2002 – Khối B )

( Đề thi đại học và cao đẳng năm 2006 – Khối A )
( Đề thi đại học và cao đẳng năm 2008 – Khối B )

6


 xy + x + 1 = 7 y
5.  2 2
( Đề thi đại học và cao đẳng năm 2009 – Khối B )
2
x
y
+
xy
+

1
=
13
y
.

Bài 19.
2
1. Cho sin x + cos x = . Tính giá trị các biểu thức sau :
3
a. A = sin x.cos x .
b. B = sin 3 x + cos3 x .
c. C = sin x − cos x .
d. D = sin 4 x + cos 4 x .
e. E = sin 6 x + cos 6 x .
6
2. Cho sin x − cos x = . Tính giá trị các biểu thức sau :
5
a. A = sin x.cos x .
b. B = sin 3 x − cos3 x .
c. C = sin x + cos x .
d. D = cos 2 x .
1
3. Cho sin x cos x = . Tính giá trị các biểu thức sau :
3
a. A = sin x + cos x .
b. B = sin 3 x + cos3 x .
c. C = sin x − cos x .
d. D = sin 3 x − cos3 x .
Bài 20. Chứng minh rằng :

1. 4sin 4 x + 4cos 4 x + 2cos x cos3 x + sin 2 x − cos 2 x − 3 = 2cos 4 x ( với x ∈ ¡ ).
3
3
2. ( 1 + tan 2t ) cos 2t + ( 1 + cot 2t ) sin 2t = sin 2t + cos 2t
( với t ∈ ¡ , giả thiết rẳng các biểu thức luôn có nghĩa ).
π 
3π 

π

3. 2sin  a + ÷cos  2a −
÷+ 2 sin  − a ÷ = 2sin a sin 2a ( với a ∈ ¡ ).
4 
4 

4

α
α
α
α
2
4. cot + sin 1 + tan tan ÷ =
2
2
2
4  sin α
(với α ∈ ¡ , giả thiết rẳng các biểu thức luôn có nghĩa ).
6
6

2
5. 8 ( sin b + cos b ) − 3 ( sin 6b − sin 2b ) sin 2b − 5 = 3cos 4b ( với b ∈ ¡ ).
Bài 21. Trong mỗi trường hợp sau, cho hai biểu thức A và B , hãy biến đổi từ biểu thức
A sao cho nó trở thành biểu thức B .
t
t
1. A = 2sin cos + 3sin 3t − 4sin 3 3t + 2sin t (2sin 2 2t − 1)
2
2
và B = 4sin 2t cos3t cos 4t (với t ∈ ¡ ).
α
5α
 2π
 π

− 4cos 2α sin 
− α ÷sin  − α ÷+ 1
2. A = 2cos cos
2
2
 3
 3

α
7α
và B = 2sin sin
(với α ∈ ¡ ).
2
2
3. A = sin 9 x + 3sin 7 x + 3sin 5 x + sin 3 x

và B = 8sin 6 x cos3 x ( với x ∈ ¡ ).
7


1
1
4. A = cos x − cos3 x − cos5x
2
2
3
2
và B = 8cos x sin x ( với x ∈ ¡ ).
5. A = sin 2 3a − cos 2 4a − sin 2 5a + cos 2 6a
và B = −2cos a sin 2a sin 9a ( với a ∈ ¡ ).
cos3x + sin 3 x
6. A = sin x +
1 + 2sin 2 x
và B = cos x (với x ∈ ¡ , giả thiết rẳng các biểu thức luôn có nghĩa ).
7. A = tan 2 3 x tan 5 x + 2 tan 3 x − tan 5 x
sin x
và B =
(với x ∈ ¡ , giả thiết rẳng các biểu thức luôn có nghĩa ).
cos 2 3x cos5 x
Bài 22. Giải các phương trình sau :
1.
π
π
2π 




a. sin  4 x + ÷+ sin 3 x = 0 .
b. cos  2 x − ÷+ cos  2 x −
÷= 0 .
3
5
9 



5π 
π
9π 
3π 




c. sin  7 x −
d. tan  4 x +
÷+ cos  3 x + ÷ = 0 .
÷+ cot  2 x −
÷= 0 .
6 
3
8 
4 





2.
π
π


2sin 2 x − 1
cos  2 x − ÷− cos  x + ÷
=0.
6
3
a.
.
b.


=0
2cos 2 x − 3 ( 3sin 3 x − 1)
( sin x − 1) ( 2sin x + 1)
3sin x − 1
=0.
c.
cos 2 x ( cot 3 x + 1)
Bài 23. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng cho trước :
π 1

 π π
= 0 với x ∈  − , ÷.
1. tan  2 x + ÷−
5

3

 2 2
0
0
2. cot ( 3 x + 9 ) = cot ( 18 ) với x ∈ ( 0, π ) .
Bài 24. Giải các phương trình sau :
5
1. 4 3 sin x cos x + 4cos 2 x = 2sin 2 x + .
2
 5π

π

 3π

2
+ x ÷cos  + x ÷− 5sin 2 
+ x ÷= 0 .
2. 3sin ( 3π − x ) + 2sin 
 2

2

 2

tan x + cot x
= 6cos 2 x + 4sin 2 x .
3.
cot x − tan x

Bài 25. Giải các phương trình sau :
1. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x . ( Đề thi đại học và cao đẳng năm

(

8

)


2008 – Khối B )
2. cos3 x − sin 3 x = sin x − cos x .

3. sin x sin 2 x + sin 3 x = 6cos3 x .

Bài 26. Giải các phương trình sau :
1. cos 4 x − 3 sin 4 x = − 2 .
2. cos7 x cos5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x sin 5 x .
3. 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2 x . 4. sin x + 3 cos x = 3 sin 2 x + cos 2 x .
5. sin 2 x − sin 3 x = cos 2 x − cos3 x .
Bài 27. Giải các phương trình sau :
1. sin x cos x + 2sin x + 2cos x = 2 .
2. 1 + tan x = 2 2 sin x .
π

3. sin 2 x + 2 sin  x − ÷ = 1 .
4. sin 3 x − cos3 x = 1 .
4

Bài 28. Giải các phương trình sau :

10
2
2
2
2
1. tan x + cot x = .
2. 3 ( tan x + cot x + 2 ) = 8 ( tan x − cot x ) .
3
Bài 29. Giải các phương trình sau :
1.
3
a. cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x = .
b. cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x = 1 .
2
2
2
2
c. sin x + sin 3 x = cos 2 x + cos 2 4 x . d. cos3 x cos3 x + sin 3 x sin 3 x = cos 3 4 x .
2.
a. cos 2 x + 5sin x + 2 = 0 .
b. cos 2 x = sin 3 x + cos3 x .
c. 2sin 3 x − cos 2 x + cos x = 0 .
3.
π
π


 3π x  1  π 3x 
− ÷ = sin  + ÷.
a. sin  2 x − ÷ = 5sin  x − ÷+ cos3 x .

b. sin 
3
6


 10 2  2  10 2 
4.
a. cos x + cos 4 x − 2 = 0 .
b. sin 2 x + cos3 x − 2 = 0 .
Bài 30. Giải các phương trình sau :
1. 9sin x + 6cos x − 3sin 2 x + cos 2 x = 8 .
2
2. ( 2sin x + 1) ( 3cos 4 x + 2sin x − 4 ) + 4cos x = 3 .

2
2
3. ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x ( Đề thi đại học và cao đẳng năm
2007 – Khối A ).
4. 3 cos5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0
( Đề thi đại học và cao đẳng năm
2009 – Khối D ).

9