ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ LỚP 9

ÔN TẬP TOÁN 9 (ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC)
A. ĐẠI SỐ:
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN CĂN THỨC
I. Kiến thức cơ bản:
1. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
. (a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
.
a
2
– b
2
= (a + b)(a – b). (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc.

(a – b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
– 2ab + 2ac – 2bc. (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
.
(a – b)
3
= a
3
– 3a
2
b + 3ab
2
– b
3
. a

3
+ b
3
= (a + b)(a
2
– ab + b
2
).
a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
).
2. LŨY THỪA:
a. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.
a
m
. a
n
= a
m + n
VD: 2
2
. 2
3
= 2

2 + 3
= 2
5
; 5 . 5
3
= 5
1 + 3
= 5
4
b. Chia hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số, lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ cho số mũ
của lũy thừa chia.
a
m
: a
n
= a
m – n
(m n)
VD: 5
7
: 5
5
= 5
7 – 5
= 5
2
c. Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa.
(x . y)
n
= x

n
. y
n
VD: (2 . 3)
2
= 2
2
. 3
2
= 4 . 9 = 36 ; 3
2
. 5
2
= (3 . 5)
2
d. Tính lũy thừa của một lũy thừa ta giữ nguyên cơ số nhân hai số mũ.
(x
n
)
m
= x
n . m
VD: (3
2
)
3
= 3
2 . 3
; 2
10

= (2
2
)
5
= (2
5
)
2

e. Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.
3. CĂN BẬC HAI:
a. Căn bậc hai của một số a không âm là một số x, sao cho x
2
= a, kí hiệu căn bậc hai là “”
Trang: 1
VD: Số 4 có hai căn bậc hai là = 2 và - = - 2. Vì 2
2
= 4 và (- 2)
2
= 4.
Số 3 có hai căn bậc hai là và - .
b. Số a không âm, số được gọi là căn bậc hai số học của số a.
VD: Căn bậc hai số học của 16 là 4.
Căn bậc hai số học của 19 là .
c. So sánh hai căn bậc hai số học.
Định lý: Với hai số a và b không âm, ta có: a < b .
VD: 2 < vì 2 = mà < (vì 4 < 5)
4 > vì 4 = mà > (vì 16 > 15)
> 3 vì 3 = mà >
d. Căn thức bậc hai: là căn thức bậc hai của A, với A là một biểu thức đại số

e. Một số quy tắc cần nhớ:
- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một bất đẳng thức ta đổi
dấu của hạng tử (cộng thành trừ, trừ thành cộng), chiều bất đẳng thức không đổi.
- Quy tắc nhân:
+ Nếu nhân hay chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số lớn hơn 0 thì chiều của bất
đẳng không đổi.
+ Nếu nhân hay chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số nhỏ hơn 0 thì chiều của bất
đẳng thức thay đổi.)
g. Điều kiện tồn tại: có nghĩa A 0.
h. Hằng đẳng thức:
i. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương:
k. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:
l. Đưa thừa số ra ngoài căn:
m. Đưa thừa số vào trong căn: ,
n. Khử căn thức ở mẫu:
o. Trục căn thức ở mẫu:
4. CĂN BẬC BA:
a. Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a.
Trang: 2
b. Tính chất:
1. a < b 2.
5. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
a. Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
Phương pháp: Nếu biểu thức có:
• Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0
• Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
• Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn > 0
• Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0

b. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có).
• Bước 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có).
• Bước 3: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn .
• Bước 4: Rút gọn biểu thức.
Dạng toán này rất phong phú vì thế học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm được “mạch bài toán”
và tìm ra hướng đi đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp.
c. Dạng 3: Rút gọn biểu thức:
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho.
• Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
• Bước 3: Quy đồng mẫu thức.
o Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
o Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.
o Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.
o Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
o Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
o Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).
• Bước 4: Rút gọn.
d. Dạng 4: Tìm giá trị của ẩn khi biết giá trị của biểu thức hoặc tìm giá trị của biểu thức khi
biết ẩn:
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau:
• Để tính giá trị của biểu thức biết x = a ta rút gọn biểu thức rồi thay x = a vào biểu thức
vừa rút gọn.
• Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình A = x.
Trang: 3
Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đã rút gọn.
II. Bài tập:
Bài tập 1. Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:

1)
3x2 +−
2)
2
x
2
3)
3x
4
+
4)
6x
5
2
+
−
5)
4x3
+
6)
2
x1
+
7)
x21
3
−
8)
5x3
3

+
−
9)
3
x
10)
x5
−
11) 12)
43
+−
x
13)
x1
1
+−
14)
2
x1
+
15)
1
1
3
x
x
− +
−
16)
3 x−

17)
2
4 5x x+ +
18)
1
5
2
x
x
+ +
−
19)
2008 2 1x− −
20)
2008
4x −
21)
-5x
22)
1
5
x
x
−
−
23)
2 7x
−
24)
2

x x
−
25)
3x 1 −
26)
2
x 3
+
27)
5 2x
−
28)
1
7x 14−
29)
2x 1 −
30)
3 x
7x 2
−
+
31)
x 3

7 x
+
−
32)
2
1

2x x−
33)
2
2x 5x 3
− +
34)
2
1
x 5x 6− +
35)
1 3x
x 3 5 x
+
− −
36)
123 −x
37)
2
x 3x 7− +
38)
6x 1 x 3 − + +
39)
3
3
1 3x
−
−
40)
1x5 +−

41)
4
2
7 3x− +
42)
23
2
+x
43)
2
x
5
44)
5x3
1
+
−
45)
3
1
1
5
x
x
x
+
− +
−
46)
1x8

−
47)
x213 −
48)
x−2
2
49)
2
x6
5
50)
8 3
2 1 3 5x x− − −
51)
3 2
1
4 5
2
x x
x
− − −
−
52)
2
27
7
x+
x−4
Trang: 4
53)

6x3
2
−
54)
2
x32
−
55)
2
4
2
5
2
x
x
x
− −
−
56)
3
3 6 2
1
x x
x
− −
−
57)
3
1
3

22 44
x
x
− +
−
Bài tập 2. Tính giá trị biểu thức:
1)
483512
−+
2)
4532055 −+
3)
18584322
−+
4)
485274123
+−
5)
277512
−+
6)
16227182
+−
7)
54452203
+−
8)
222)22( −+
9)
15

1
15
1
+
−
−
10)
25
1
25
1
+
+
−
11)
234
2
234
2
+
−
−
12)
21
22
+
+
13)
877)714228(
++−

14)
286)2314(
2
+−
15)
120)56(
2
−−
16)
24362)2332(
2
++−
17)
22
)32()21( ++−
18)
)319)(319( +−

19)
22
)25()35( −+−
20)
22
)13()23( −+−
21)
57
57
57
57
+

−
+
−
+

22)
)y2x()y4xy4x(y2x
222
≥+−−+
23)
)2x()12x(x4
2
≥−+
24)
( ) ( )
22
2323
−++
25)
( ) ( )
22
3232
+−−
26)
( )
( )
2
2
3535
++−

27)
15281528
−−+
28)
( )
625 +
+
1528−
29)
83
5
223
5
324324
+
−
−
−−++
30)
31 12 3−
31)
3 2 4 18 2 32 50− + −
32)
1622001850
−+−
33)
4532055 −+
34)
5 48 4 27 2 75 108− − +
35)

1 33 1
48 2 75 5 1
2 3
11
− − +
36)
485274123
+−
37)
483512
−+
38)
18584322
−+
39)
54452203
+−
Trang: 5
40)
2 24 2 54 3 6 150− + −
41)
16227182 +−
42)
2 75 3 12 27− +
43)
3 8 4 18 5 32 50− + −
44)
125 2 20 3 80 4 45− − +
45)
277512

−+
46)
2 28 2 63 3 175 112+ − +
47)
1
3 2 8 50 32
2
+ + −
48)
8 32 18
6 5 14
9 25 49
− +
49)
3 50 2 12 18 75 8− − + −
50)
27 12 75 147− + +
51)
52)
16 1 4
2 3 6
3 27 75
− −
53)
1
3 2 8 50 32
5
+ + −
54)
12 2 35+

55)
5 2 6+
56)
16 6 7+
57)
27 10 2+

58)
14 6 5+
59)
17 12 2−
60)
7 4 3−
61)
2 3+
62)
8 28−
63)
18 2 65−
64)
9 4 5−
65)
4 2 3−
66)
7 24+
67)
2 3−
68)
5 2 6 5 2 6+ − −
69)

70)
17 12 2 24 8 8
− − −
71) 72)
6 2 5 6 2 5+ + −
73)
17 3 32 17 3 32− + +
74)
11 6 2 11 6 2
+ − −
75)
3 2 2 5 2 6+ + −
76)
15 6 6 33 12 6
− + −
77)
8 2 15 23 4 15
− − −
78)
10271027 −−+
79)
31 8 15 24 6 15− + −
81)
49 5 96 49 5 96− − +
81)
17 4 9 4 5− +
82)
3 2 2 6 4 2+ − −
83)
40 2 57 40 2 57− − +

84)
8 8 20 40+ + +
85)
35 12 6 35 12 6+ − −
86)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − +
87)
2 3 5 13 48+ − +
88)
( ) ( )
4 15 10 6 4 15
+ − −
89)
6 2 5 13 48+ − +
90)
13 30 2 9 4 2+ + +
91)
4 5 3 5 48 10 7 4 3+ + − +
92)
13 30 2 9 4 2+ + + +
93)
( ) ( )
9 4 5. 21 8 5
4 5 5 2
− +
+ −
243754832
−−+
9 4 5 9 80
− − +

246223
−−+
Trang: 6
94)
30 2 16 6 11 4 4 2 3− + + −
95)
4 8. 2 2 2 . 2 2 2+ + + − +
96)
2 3 2 3
2 3 2 3
+ −
+
− +
97)
3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
− +
−
− +
98)
2 3 2 3
2 3 2 3
+ −
−
− +
99)
3 4
6 3 7 3
+
− +

100)
6
3 2 2 3+
101)
)23)(122375( +−−
102)
5 3 5 3
5 3 5 3
+ −
+
− +
103)
5 3 5 3 5 1
5 3 5 3 5 1
− + +
+ −
+ − −
104)
2
2 3 4 2+
105)
1 1
4 3 2 4 3 2
−
− +
106)
6
2 3 3− +
107)
1

10 15 14 21+ + +
108)
1
2 5 2 2 10+ + +
109)
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
+ + −
+ − −
110)
( )
15 4 12
6 11
6 1 6 2 3 6
 
+ − +
 ÷
+ − −
 
111)
2 10
24 6
3
6 1
+ +
−
112)
2 15 10
84 6
+

+
113)
2 40 12 2 75 3 5 48
− −
114)
( )
2
7 5 2 35− +
115)
1
4 20 3 125 5 45 15
5
− + −
116)
( ) ( )
3 8 2 12 20 : 3 18 2 27 45− + − +
117)
2 30
5 6 7+ +
118)
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 3 1 3 5 4
:
3 1 5 1
+ − + −

+ +
119)
2 2 2 5 1
3 12
3 3 6
+ + −
120)
1 1 2
2 3 3 3 3
+ −
+ +
121)
6 14 3 45 243
2 3 28 5 3
+ +
+
+ +
122)
1 1
7 24 1 7 24 1
−
− + + −
123)
3 3
5 2 7 5 2 7+ − −
Trang: 7
124)
( ) ( )
2 2
8 8

5 3 5 3
−
+ −
125)
3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
+ −
+
+ + − −
126)
5 5 5 5
10
5 5 5 5
+ −
+ −
− +
127)
( )
3
3 3
26 15 3 2 3
9 80 9 80
+ −
+ + −
128)
3 3
26 15 3 26 15 3+ − −
129)
2832
146

+
+
130)
3;
3
20 14 2 20 14 2+ + −
131)
3 3
26 15 3 26 15 3+ − −
132)
15
1
15
1
+
−
−
133)
( )
15 50 5 200 3 450 : 10
+ −
134)
2 3 15 1
.
3 1 3 2 3 3 3 5
 
+ +
 ÷
− − − +
 

135)
222)22(
−+
136)
34
1
23
1
12
1
+
+
+
+
+
137)
222.222.84
+−+++
138)
5 2 6 5 2 6

5 6 5 6
+ −
+
− +
139)
14 7 15 5 1
):
1 2 1 3 7 5
− −

+
− − −
140)
2 3 6 216 1

3
8 2 6
 
−
− ×
 ÷
 ÷
−
 
141)
3 5 3 5
3 5 3 5
+ −
+
− +
142)
4 7 4 7 7
− − + +
143)
3 5 3 5 2
+ − − −
144)
25
1
25

1
+
+
−
145)
( ) ( )
3 5 3 5 3 5 3 5
− + + + −
146)
1 1
7 24 1 7 24 1
−
− + + +
145)
21
22
+
+
148)
3 3
3 1 1 3 1 1
−
+ − − +
149)
2 6 2 3 3 3
27
2 1 3
− +
− +
−

150)
234
2
234
2
+
−
−
151)
3 1 2
18 3 2 2
2 3
2
+ − + −
152)
4 8 15
3 5 1 5 5
− +
+ +
153)
120)56(
2
−−
154)
5 5 5 5
3 3
5 1 1 5
  
− +
+ −

 ÷ ÷
 ÷ ÷
− +
  
155)
877)714228( ++−
156)
286)2314(
2
+−
157)
24362)2332(
2
++−
158)
22
)32()21( ++−
159)
22
)13()23( −+−
Trang: 8
160)
22
)25()35( −+−
161)
57
57
57
57
+

−
+
−
+
162)
)319)(319(
+−
163)
5 5
3 2 2 3 8
− −
− +
164)
( )
3 2 3 2 2
2 3
3 2 1
+ +
+ − +
+
165)
2 3 2 3+ + −
167)
3 2 2 6 4 2− − +
168)
( ) ( ) ( )
2
3 3 2 3 3 3 1− − + +
169)
4 3 2 2 57 40 2+ − +

170)
1100 7 44 2 176 1331− + −
171)
1 2
72 5 4,5 2 2 27
3 3
− + +
172)
4 7 4 7+ − −
173)
( )
2
1 2002 . 2003 2 2002− +
174)
( )
3 2 3 2
6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
   
+ − − − −
 ÷ ÷
   
175)
8 2 15 8 2 15
− − +
176)
8 60 45 12
+ + −
177)
9 4 5 9 4 5− − +

178)
( ) ( )
2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2
+ − − −
179)
2 5 14
12
+ −
180)
( ) ( )
5 3 50 5 24
75 5 2
+ −
−
181)
3 5 3 5
3 5 3 5
+ −
+
− +
182)
3 8 2 12 20
3 18 2 27 45
− +
− +
183)
( )
2
2
1 5 2 5

2 5
2 3
 
−
−
 ÷
−
 
+
184)
422
)1(5)3(2)32( −−−+−
185)
3521
106
+
+
186)
( )
2.503218 −+
187)
322
32
322
32
−−
−
+
++
+

188)
25
1
25
1
−
+
+
189)
( )
3:486278
−
190)
1027
1528625
+
−++
191)
3 13 48+ +
Trang: 9
192)
3 13 6
2 3 4 3 3
+ +
+ −
193)
3 13 6
2 3 4 3 3
+ +
+ −

194)
13
1
13
1
+
−
−
195)
2 5 125 80 605
− − +
196)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+ −
197)
15 216 33 12 6− + −
198)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
− +
−
− +
199)
2 3 2 3
2 3 2 3
− +
+

+ −
200)
( )
2 3 5 2− +
201)
16 1 4
2 3 6
3 27 75
− −
202)
4 3
2 27 6 75
3 5
− +
203)
( )
3 5. 3 5
10 2
− +
+
204)
8 3 2 25 12 4 192− +
205)
4 10 2 5 4 10 2 5
+ + + − +
206)
3 5 3 5− + +
207)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6

+ − −
208)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ + − −
209)
( )
2
5 2 8 5
2 5 4
+ −
−
210)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+ −
+
+ + − −
211)
24362)2332(
2
++−
212)
28:
37
37
37
37





+
−
−




−
+
213)
2222
817312313
−+−
214)
2492301323
+++−
215)
14 8 3 24 12 3− − −
216)
( ) ( )
116.222.11212
++−
217)









−
−
−








+
+
+
13
1553
1.1
53
3553
218)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+ − −
219)
4 1 6
3 1 3 2 3 3

+ +
+ − −
220)
3 3
1 3 1 1 3 1
+
− + + +
221)
286)2314(
2
+−
Trang: 10
222)
( )( )
325027275032 −++−
223)
3 2 3 2 2 1
. 1:
3 2 1 2 3
+ +
+
+ +
 
 
 ÷
 ÷
 
 
224)
( )

2
1 1 1
.
5 2 5 2
2 1
+
− +
+
 
 ÷
 
225)
1 1
1
7 24 1 7 24 1
− +
− + + −
 
 ÷
 
226)
2 3 15 1
.
3 1 3 2 3 3 3 5
+ +
− − − +
 
 ÷
 
227)

61
66
:
6
5
2
3
3
2
−
−








+−
228)
32
1
32
1
−
+
+
229)
( )

2
3218
−
230)
28
632
−
−
231)
21
22
+
+
232)
520
2
1
5
1
5 ++
233)
3
1
15
11
33
75248
2
1
+−−

234)
( )
12056
2
−+
235)
520
2
1
5
1
5 ++
236)
5,125,4
2
1
++
237)
721834520 ++−
238)
50.4,008,0.2200.1,0 ++
Bài tập 3. Rút gọn biểu thức:
1)
2
1
:
1
1
11
2 −









−
+
++
+
−
+
=
x
xxx
x
xx
x
A

( )
2
1
4
+
=
x
x

A
2)
)1(:
1
1
1
12
x
x
xx
x
xx
B −








−
−
−









+
++
=

1+= xA
3)








−
−
−
−−








−
−

+
−
−
−
+
=
1
1
1
3
:
1
8
1
1
1
1
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
B

4
4

+
=
x
x
B
4)
xxxxx
A
2
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
+






+
−
−







+
+
−
=
x
A
2
3
=
5)
9
93
3
2
3
−
+
−
−
+
+
=
x
x
x

x
x
x
A

3
3
+
=
x
A
6)Q =








−
−
+









−
−
−
−
2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx
x

xA −=1
7)
3
1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
−
= + +
− − − + −

12 −−= xxA
8)
( )
3 1 4 4
a > 0 ; a 4
4
2 2
a a a
a
a a
+ − −
− + ≠
−
− +
2
4
−
=
a
A
Trang: 11
9)
1 1 1 1 1
A= :
1- x 1 1 1 1x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
+ − + −
   

)1(
1
xx
A
−
=
10)
1
)1(22
1
2
−
−
+
+
−
++
−
=
x
x
x
xx
xx
xx
A
1+−= xxA
11)









++
+








−
−
−
+
=
1
2
:
1
1
1
2
xx
x

xxx
xx
A
2
1
+
=
x
A
12)








−
−
+
−
−
+







−
−
=
xx
x
xx
x
x
x
x
A
2
1
11
:
1
1+
=
x
x
A
13)
3
32
1
23
32
1115
+
+

−
−
−
+
−+
−
=
x
x
x
x
xx
x
A
3
52
+
−
=
x
x
A
14)
1
1
1
1
+
−
−

−
+
=
x
x
x
xx
A
1−
=
x
x
A
15)
1
2
:
1
1
1
4
1
−
−







−
+
+
−=
x
xx
x
x
A
x
x
A
2−
=
16)
9
93
3
2
3
−
+
−
−
+
+
=
x
x
x

x
x
x
A
3
3
+
=
x
A
17)
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
A
x
x x x
   
− −
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
39
133
−

−
=
x
xx
A
18)
2 10 2 1
6 3 2
x x x
Q
x x x x
+ − −
= − −
− − − −
1
2
Q
x
=
+
19)








−

+
−
−
+






−
−=
2
1
1
2
:
1
11
x
x
x
x
xx
A
x
x
A
3
2−

=
20)








+
−
+
−
+






−+









+
+
−
−
−
=
1
1
1
1111
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
E
x
xx
A
)1(2 ++
=
21)









−
+








−
−
−
−
+
=
1
:
1
1
1
1
x
x
x

x
x
x
xx
A
x
x
A
−
=
2
22)








−
−
+
−
−
+







−
−
=
xx
x
xx
x
x
x
x
A
2
1
11
:
1
1+
=
x
x
A
23)









−
−
+








−
−
−
−
=
2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx

x
A
xA −=1
24)






++
−
−






−
+
−
+
=
1
2
1:
1
1
1

12
xx
x
xxx
x
A
3+
=
x
x
A
Trang: 12
25)








+
+
+−
−
−
+
−+
=
1

1
1
1
1
22
:1
xxx
x
xx
xx
A
x
xx
A
1+−
=
26)








−
+
−
+









−
−
+
−
−
+
=
xx
x
x
x
x
x
xx
x
A
2
2
2
3
:
2
23

2
3
2
1
2
+
+
=
x
x
A
27)








−
−
−









−
+
+
=
xxx
x
x
x
x
P
2
2
1
:
4
8
2
4
x
x
A
−
=
3
4
28)
11
1
1

1
3
−
−
+
+−
+
−−
=
x
xx
xxxx
P
12 −−= xxA
29)








+−
+
+
−
+
−
−

+








+
−=
65
2
3
2
2
3
:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
A
1

2
+
−
=
x
x
A
30)






+
+
−
+








−
−−
−
−

+
=
1
2
1
3
:
1
32
1
1
x
x
x
x
xx
x
x
A
1
4
+
=
x
A
31)







−
−
−








−+−
−
−
+
=
1
2
1
1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x

x
A
1
1
+
−
=
x
x
A
32)






++
+
−








−
−

−
+
=
1
4
1:
1
1
1
12
3
xx
x
x
x
x
A
3+
=
x
x
A
33)
a
a
a
a
a
a
A

−
+
−
−
+
−
+−
−
=
3
12
2
3
65
92
3
1
−
+
=
a
a
A
34)









−
−
+
+
+
−
−+
−








−
−
−
=
3
5
5
3
152
25
:1
25

5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
A
x
A
+
=
3
5
35)








+
−
−
−
−

−
−+
−








−
−
−
=
3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x

x
xx
A
2
3
−
=
x
A
36)








−
−
−








−

+
−
−
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
A
3
3
+
−
=
x
A
37)

3 1 4 4

4
2 2
a a a
A
a
a a
+ − −
= − +
−
− +
2
4
−
=
a
A
38)
1
)12(2
:
11
−
+−









+
+
−
−
−
=
x
xx
xx
xx
xx
xx
A
1
1
−
+
=
x
x
A
39)







−
−
−








−
−
−
+
=
1
2
1
1
:
1
1
1
12
3
x
xx
x

x
A
3−
=
x
x
A
40)
aaaa
a
A
−
+
−+
−
+
+
=
2
1
6
5
3
2
2
4
−
−
=
a

a
A
Trang: 13
41)








+
−
−






+++
−
+
=
1
2
2:
1
2

1
1
x
xx
xxxxx
A
x
x
A
+
−
=
2
1
42)






−
−
+









−
−
+
−
−+
=
1
1
3
1
:
3
1
9
72
xxx
x
x
xx
A
3
1
−
−
=
x
x
A

43)
2
1
:
1
1
11
2 −








−
+
++
+
−
+
=
a
aaa
a
aa
a
A
44)









−
−
−
⋅








+
+
+
= 1
1
1
1 a
aa
a
aa

A
45)








−
+
−
+
−
⋅








−=
112
1
2
x
xx

x
xx
x
x
A
46)








+
+
+⋅








−
−
−=
1
3

1
3
x
xx
x
xx
A
47)
11
1
1
1
3
22
−
−
+
+−
+
+−−
+
=
a
aa
aa
aaa
a
A
48)
( )

( )
3 2 2
3 2 2
3 1 4 2
2
:
2
3 1 4 2
a a a a
a
A
a
a a a a
 
− + − − −
+
 ÷
=
 ÷
−
− + − − +
 
49)









+++
−
+








+
−=
1
2
1
1
:
1
2
1
aaaa
a
a
a
a
A
50)









−−+
+
−








+
+=
aaaa
a
a
a
a
A
1
2
1
1

:
1
1
51)








−
−
−
−−








+
−
−
−
−
−

+
=
1
1
1
3
:
1
1
1
8
1
1
xx
xx
x
x
x
x
x
x
A
52)









−
+
+
⋅








++
−
−
+
= a
a
a
aa
a
a
a
A
1
1
1
1
12

3
3
53)
121
2
1
12
1
−
−
⋅








−
+−
−
−
−+
+=
a
aa
aa
aaaa
a

aa
A
54)








−
−
−








−
+
+
−
+
+
=
1

3
22
:
9
33
33
2
a
a
a
a
a
a
a
a
A
55)








+
+









−
−
−−+
=
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
A
56)








−

−
−
−
+








−
−
−
= 1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
A

Trang: 14
57)
144
1
:
21
1
14
5
2
2
1
++
−








−
−
−
−
+
−=
xx
x

x
x
x
x
P
58)
3
32
1
23
32
1115
+
+
−
−
−
+
−+
−
=
x
x
x
x
xx
x
P
59)









−
−
+








−
+
−
=
xxxxx
x
P
1
2
1
1
:

1
1
60)
12
1
:
1
11
+−
+








−
+
−
=
xx
x
xxx
P
61)









−
−
+








−
−
+−
−
=
x
x
xxx
x
P
1
3
2:
1

1
352
2
62)








+
−+
+
−
−+








−
−
=
xx
xxxx

x
xx
xx
P
1
2
1
12
:
1
1
1
63)








−
−
+
+
+
−
−+
−









−
−
−
=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
M
64)

( )
















−
+
+








+
−

−
+
−
= x
x
xx
x
x
xx
x
xx
P
1
1
.
1
1
:
1
1.
2
65)









−
−
−








−
+
−
−
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x

x
x
x
P
66)
( )
2 2 1
1 1
:
1
x x
x x x x
P
x
x x x x
 
− +
 
− +
 ÷
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 
67)
1 1

:
1
1 1
x x x x
P x
x
x x
   
+ −
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− −
   
68)
1
1
1
1
+
−
−
−
+
x
x
x
xx
69)

4
52
2
2
2
1
−
+
−
+
+
−
+
x
x
x
x
x
x
70)








−
+

−
−
+








−
− 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
71)
x
x
x
x

x
x
4
4
.
22
−








+
+
−
72)
1
3
11
−
−
+
−
−
+
x
x

x
x
x
x
Trang: 15
73)
8
44
.
2
2
2
2 ++








+
−
−
xx
xx
74)
+
−+
−

+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a−2
1
75)








−
+
−
−
+









−
− 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
76)
1
2
1
3
1
1
+−
+
+
−
+ xxxxx

77)
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
78)









−
+
+








−
−
−
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
79)
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a

a a a
 
+ −
 
− + +
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
80)
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   
81)
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3

x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
82)
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
83)
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
84)
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
85)
7 1 2 2 2
:
4 4

2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
86)
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
87)

( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
 
 
− +
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −
−
 
 
88)
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
89)

1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
Trang: 16
90)
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x
−
 
− +
 ÷
− −
+

 
91)
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
92)








−
+
−

+
−








−=
1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
P
93)
a
a

a
a
aa
aa
P
−
−
+
+
+
−
−+
−+
=
1
2
2
1
2
393
94)
x
x
x
x
xx
x
A
1
.

1
2
12
2
+








−
−
−
++
+
=
95)
1
1
1
1
1
+
−
+
+
=

aa
A
96)
2
2
:
11
−
+








+
+
−
−
−
=
a
a
aa
aa
aa
aa
A

97)








−
−
−








+
+
−
= 2
1
1
1
1
1
1

x
x
xx
A
98)
( )
1
122
:
11
−
+−








+
+
−
−
−
=
x
xx
xx
xx

xx
xx
A
99)
x
x
x
x
xx
A −
−
−
+
+
++
=
1
1
1
12
100)








−

+
−
+
+
+








−
−
+
+
+
+
12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx

x
x
x
xx
x
x
101)
xxx 33273432 −+−
102)
281878523
++−
xxx
Bài tập 4.
1)Cho biểu thức: A =
2
1
x x x
x x x
−
−
− −
với (x > 0 và x ≠ 1)
a)Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại
3 2 2x = +
2)Cho biểu thức: P =
4 4 4
2 2
a a a
a a
+ + −

+
+ −
(Với a
≥
0; a
≠
4)
a)Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.
3)Cho biểu thức: A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ − +
+
− +
a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
Trang: 17
b) Rút gọn biểu thức A.
c)Với giá trị nào của x thoả A < - 1
4)Cho biểu thức: A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+ −
+ −
+ −
(Với
0; 1x x

≥ ≠
)
a)Rút gọn A. b) Tìm x để A = - 1
5)Cho biểu thức: B =
x
x
xx
−
+
+
−
−
1
22
1
22
1

a)Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B với x = 3.
c)Tìm giá trị của x để
2
1
=A
.
6)Cho biểu thức: P =
x
x
x
x

x
x
−
+
+
+
+
−
+
4
52
2
2
2
1
a)Tìm TXĐ . b) Rút gọn P. c) Tìm x để P = 2
7)Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1
−
+
−
−

+
−
− a
a
a
a
aa
a)Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b) Tìm a để Q dương
c)Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4
5
8)Cho biểu thức: M =








−
+
−
+
−









−
112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a)Tìm ĐKXĐ của M.
b) Rút gọn M
c)Tìm giá trị của a để M = - 4
9)Cho biểu thức: K =
3
32
1
3
32
1115
+
+
−
−
+
−+

−
x
x
x
x
xx
x
a)Tìm x để K có nghĩa.
b) Rút gọn K.
c)Tìm x khi K =
2
1
.
d) Tìm giá trị lớn nhất của K.
10) Cho biểu thức: G =
2
12
.
12
2
1
2
2
+−









++
+
−
−
− xx
xx
x
x
x
a)Xác định x để G tồn tại.
b) Rút gọn biểu thức G.
c)Tính số trị của G khi x = 0,16.
d) Tìm gía trị lớn nhất của G.
e)Tìm x ∈ Z để G nhận giá trị nguyên.
f) Chứng minh rằng: Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương.
Trang: 18
g)Tìm x để G nhận giá trị âm.
11) Cho biểu thức: P =
2
1
:
1
1
11
2 −









−
+
++
+
−
+ x
xxx
x
xx
x
Với x ≥ 0 ; x ≠ 1
a)Rút gọn biểu thức trên. b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1.
12) Cho biểu thức: Q =






+









−
+
−
−
+
+
aa
a
aa
1
1.
1
1
22
1
22
1
2
2
a)Tìm a để Q tồn tại. b) Chứng minh rằng: Q không phụ thuộc vào giá trị của a.
13) Cho biểu thức: A =
x
x
xxyxy
x
yxy
x

−
−
−−+
+
− 1
1
.
22
2
2
3
a)Rút gọn A. b) Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2.
14) Xét biểu thức: P =
( )








+
+
−







−
+
+
−
+
+ 4
52
1:
16
24
44
3
a
a
a
a
a
a
a
a
(Với a ≥ 0; a ≠ 16)
a)Rút gọn P. b) Tìm a để P = - 3 c)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố.
15) Cho biểu thức :
a 2 5
P
a 3 a a 6
+
= − +
+ + −

1
2 a−
a)Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để P < 1.
16) Cho biểu thức: P =
x x 3 x 2 x 2
1 :
x 1 x 2 3 x x 5 x 6
   
+ + +
− + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
a)Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để P < 0.
17) Cho biểu thức: P =
x 1 1 8 x 3 x 2
: 1
9x 1
3 x 1 3 x 1 3 x 1
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   

a)Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P =

6
5
.
18) Cho biểu thức: P =
a 1 2 a
1 :
a 1
a 1 a a a a 1
   
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   

a)Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của a để P < 1.
c)Tìm giá trị của P nếu
a 19 8 3= −
.
19) Cho biểu thức: P =
2 3 3
a(1 a) 1 a 1 a
: a . a
1 a
1 a 1 a
 
   
− − +

 
 ÷ ÷
+ −
 ÷ ÷
+
− +
 
   
 
a)Rút gọn P. b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P -
1
2
).
20) Cho biểu thức: P =
x 1 2x x x 1 2x x
1 : 1
2 x 1 2x 1 2x 1 2x 1
   
+ + + +
+ − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − + −
   
Trang: 19
a)Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi x
( )
1
. 3 2 2
2

= +
.
21) Cho biểu thức: P =
2 x 1 x
: 1
x 1
x x x x 1 x 1
   
− +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ − − −
   
a)Rút gọn P. b) Tìm x để P
≤
0.
22) Cho biểu thức: P =
3
3
2a 1 a 1 a
. a
a a 1 1 a
a 1
 
 
+ +
 ÷− −
 ÷
 ÷

 ÷
+ + +
−
 
 
a)Rút gọn P. b) Xét dấu của biểu thức P
1 a−
.
23) Cho biểu thức: P =
x 2 x 1 x 1
1: .
x 1
x x 1 x x 1
 
+ + +
+ −
 ÷
 ÷
−
− + +
 
a)Rút gọn P. b) So sánh P với 3.
24) Cho biểu thức: P =
1 a a 1 a a
a . a
1 a 1 a
   
− +
+ −
 ÷ ÷

 ÷ ÷
− +
   

a)Rút gọn P. b) Tìm a để P <
7 4 3−
.
25) Cho biểu thức: P =
2 x x 3x 3 2 x 2
: 1
x 9
x 3 x 3 x 3
   
+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
a)Rút gọn P b) Tìm x để P <
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
26) Cho biểu thức: P =
x 3 x 9 x x 3 x 2
1 :
x 9
x x 6 2 x x 3
   

− − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   
a)Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P < 1.
27) Cho biểu thức: P =
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x x 3
− − +
+ −
+ − − +
a)Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P =
1
2
. c) Chứng minh P
2
3
≤
.
28) Cho biểu thức: P=
2
2
2 x x m
4x 4m
x m x m
+ −
−

+ −
với m > 0
a)Rút gọn P.
b) Tính x theo m để P = 0.
c)Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1.
29) Cho biểu thức: P =
2
a a 2a a
1
a a 1 a
+ +
− +
− +
a)Rút gọn P.
b) Biết a > 1 Hãy so sánh P với
P
.
c)Tìm a để P = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Trang: 20
30) Cho biểu thức: P =
a 1 ab a a 1 ab a
1 : 1
ab 1 ab 1 ab 1 ab 1
   
+ + + +
+ − − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − + −

   

a)Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu a =
2 3−
và b =
31
13
+
−
.
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
a b 4+ =
.
31) Cho biểu thức: P =
a a 1 a a 1 1 a 1 a 1
a
a a a a a a 1 a 1
 
 
− + + −
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
a)Với giá trị nào của a thì P = 7. b) Với giá trị nào của a thì P > 6.
32) Cho biểu thức: P =

2
a 1 a 1 a 1
2
2 a a 1 a 1
   
− +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
a)Tìm các giá trị của a để P < 0. b) Tìm các giá trị của a để P = -2.
33) Cho biểu thức: P =
( )
2
a b 4 ab
a b b a
.
a b ab
− +
−
+
a)Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi a =
2 3
và b =
3
34) Cho biểu thức: P =
x 2 x 1 x 1
:
2

x x 1 x x 1 1 x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
a)Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 0,
∀
x
1
≠
.
35) Cho biểu thức: P =
2 x x 1 x 2
: 1
x x 1 x 1 x x 1
   
+ +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − + +
   
a)Rút gọn P. b) Tính
P
khi x =
325 +
.

36) Cho biểu thức: P =
3x
1 2 1
2
1: :
4 x
2 x 4 2 x 4 2 x
 
 ÷
+ −
 ÷
−
+ − −
 ÷
 
a)Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P = 20.
37) Cho biểu thức: P =
2a a 1 2a a a a a a
1 .
1 a
1 a a 2 a 1
 
+ − − + −
+ −
 ÷
 ÷
−
− −
 
a)Cho P =

6
1 6+
tìm giá trị của a. b) Chứng minh rằng P >
2
3
.
38) Cho biểu thức: P =
x 5 x 25 x x 3 x 5
1 :
x 25
x 2 x 15 x 5 x 3
   
− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a)Rút gọn P. b) Với giá trị nào của x thì P < 1
Trang: 21
39) Cho biểu thức P =
( )
( )
a 1 . a b
3 a 3a 1
:
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b
− −
 

− +
 ÷
 ÷
+ + − − + +
 
a)Rút gọn P. b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
40) Cho biểu thức: P =
1 1 a 1 a 2
:
a 1 a a 2 a 1
 
 
+ +
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
 
a)Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để P >
1
6
.
41) Cho biểu thức: Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
 

+ − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 

a)Tìm x để
Q Q>
. b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
42) Cho biểu thức: P =
1 x
x 1 x x
+
+ −
a)Rút gọn biểu thức sau P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
43) Cho biểu thức: A =
x x 1 x 1
x 1
x 1
+ −
−
−
+
a)Rút gọn biểu thức.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
4
.
c)Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
A A=
.
44) Cho biểu thức: A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a
  
+ −
 ÷ ÷
− +
  

a)Rút gọn biểu thức sau A. b) Xác định a để biểu thức A >
1
2
.
45) Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
− +
 

− +
−
 ÷
 ÷
−
− +
 

a)Rút gọn biểu thức sau A. b) Tìm x để A < 0.
46) Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 

a)Rút gọn biểu thức sau A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
47) Cho biểu thức: A =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+ − −
− +
−

− +

a)Rút gọn biểu thức sau A. b) Tính giá trị của P với a = 9.
Trang: 22
48) Cho biểu thức: A =
a a a a
1 1
a 1 a 1
  
+ −
+ −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  

a)Rút gọn biểu thức sau A. b) Tìm giá trị của a để N = - 2010.
49) Cho biểu thức: A =
+ − −
− +
+ − − +
x x 26 x 19 2 x x 3
x 2 x 3 x 1 x 3

a)Rút gọn biểu thức sau A.
b) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
50) Cho biểu thức: A =
a 1 a 1 1
4 a . a
a 1 a 1 a

 
 
+ −
− + +
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 

a)Rút gọn biểu thức sau A. b) Tính A với a =
( ) ( )
( )
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
.
51) Cho A=
x 3 x 9 x x 3 x 2
1 :
x 9
x x 6 x 2 x 3
   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   
với x

≥
0 , x ≠ 9, x ≠ 4
a)Tìm x để A < 1. b) Tìm
x Z∈
để A ∈ Z.
52) Cho A =
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x x 3
− − +
+ −
+ − − +
với x
≥
0 , x ≠ 1.
a)Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A.
c)Tìm x để A =
1
2
.
d) CMR: A
2
3
≤
.
53) Cho A =
x 2 x 1 1
x x 1 x x 1 1 x
+ +
+ +

− + + −
với x
≥
0 , x ≠ 1.
a)Rút gọn A. b) Tìm GTLN của A.
54) Cho A =
1 3 2
x 1 x x 1 x x 1
− +
+ + − +
với x
≥
0 , x ≠ 1.
a)Rút gọn A. b) CMR:
0 A 1
≤ ≤
.
55) Cho A =
x 5 x 25 x x 3 x 5
1 :
x 25
x 2 x 15 x 5 x 3
   
− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   

a)Rút gọn A. b) Tìm
x Z
∈
để A ∈ Z.
56) Cho A =
2 a 9 a 3 2 a 1
a 5 a 6 a 2 3 a
− + +
− −
− + − −
với a
≥
0 , a ≠ 9 , a ≠ 4.
a)Tìm a để A < 1. b) Tìm
x Z
∈
để A ∈ Z.
57) Cho A =
x x 7 1 x 2 x 2 2 x
:
x 4 x 4
x 2 x 2 x 2
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   

với x > 0 , x ≠ 4.
Trang: 23
a)Rút gọn A. b) So sánh A với
1
A
.
58) Cho A =
x x 1 x x 1 1 x 1 x 1
x .
x x x x x x 1 x 1
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Với x > 0 , x ≠ 1
a)Rút gọn A. b) Tìm x để A = 6.
59) Cho A =
( )
x 4 3 x 2 x
:
x 2 x x 2
x x 2
 
 

− +
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −
−
 
 
với x > 0 , x ≠ 4.
a)Rút gọn A. b) Tính A với x =
6 2 5−
.
60) Cho A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 2 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
với x > 0 , x ≠ 1.
a)Rút gọn A. b) Tính A với x =
6 2 5−
.
61) Cho A =
3
2x 1 1 x 4

: 1
x 1 x x 1
x 1
 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− + +
 
−
 
với x
≥
0 , x ≠ 1.
a)Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nguyên.
62) Cho A =
1 2 x 2 1 2
:
x 1
x 1 x x x x 1 x 1
 
−
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷

−
+ − + − −
 
 
với x
≥
0 , x ≠ 1.
a)Rút gọn A. b) Tìm x để A đạt GTNN.
63) Cho A =
2 x x 3x 3 2 x 2
: 1
x 9
x 3 x 3 x 3
   
+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
với x
≥
0 , x ≠ 9
a)Rút gọn A. b) Tìm x để A < -
1
2
.
64) Cho A =
x 1 x 1 8 x x x 3 1

:
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
với x
≥
0 , x ≠ 1.
a)Tính A với x =
6 2 5−
. b) CMR: A ≤ 1.
65) Cho A =
1 1 x 1
:
x x x 1 x 2 x 1
+ 
+
 ÷
− − − +
 
với x > 0 , x ≠ 1.
a)Rút gọn A. b) So sánh A với 1.
66) Cho A =
x 1 1 8 x 3 x 2

: 1
9x 1
3 x 1 3 x 1 3 x 1
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
Với
1
x 0,x
9
≥ ≠
a)Tìm x để A =
6
5
. b) Tìm x để A < 1.
67) Cho A =
2
x 2 x 2 x 2x 1
.
x 1 2
x 2 x 1
 
− + − +
−
 ÷

 ÷
−
+ +
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a)Rút gọn A.
b) CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0.
Trang: 24
c)Tính A khi x = 3 + 2
2
.
d) Tìm GTLN của A.
68) Cho biểu thức: A =
2 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
+
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
:
2

1
−
x
a)Tìm điều kiện xác định.
b) Chứng minh: A =
1
2
++ xx
c)Tính giá trị của A tại
288 −=x
.
d) Tìm max A.
69) Cho biểu thức: P =
3
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x

x
−
−








+
−
−
−
−
−
+
a)Rút gọn P. b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
70) Cho biểu thức: M =








+
+

−
+








−
−
+
−
xx
x
x
x
x
x
x
x 141
:
1
13
1
a)Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên.
c)Tìm x thoả mãn M < 0.
71) Cho biểu thức:









−
+
−
+
−








−=
1
1
1
1
.
2
1
2

2
a
a
a
a
a
a
P
a)Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để P > 0.
72) Cho biểu thức:
1
1
1
1
1
+
−
+
+
=
aa
A
a)Rút gọn A. b) Tìm a để
2
1
=A
.
73) Cho biểu thức:
x
x

x
x
xx
x
A
1
.
1
2
12
2 +








−
−
−
++
+
=
a)Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A có gia trị nguyên.
74) Cho biểu thức:
2
2
:

11
−
+








+
+
−
−
−
=
a
a
aa
aa
aa
aa
A
a)Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c)Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
75) Cho biểu thức:
( )
1

122
:
11
−
+−








+
+
−
−
−
=
x
xx
xx
xx
xx
xx
A
a)Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
76) Cho biểu thức:









−
−
−








+
+
−
= 2
1
1
1
1
1
1
x
x
xx

A
với
1;0 ≠≥ xx
Trang: 25