Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lương tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử phonon quang)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
---------------------------TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------------

NGUYỄN THỊ KIM LAN
NGUYỄN THỊ KIM LAN

ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY L ƢỢNG TỬ
HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN

(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)

HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY L ƢỢNG TỬ
HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015
Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Thái Hưng, Trường Đại học Giáo

dục - ĐHQGHN, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, hướng dẫn tôi hoàn thành
NGUYỄN THỊ KIM LAN
luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quỹ phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia
NAFOSTED (Number 103.01 – 2015.22) đã tài trợ cho tôi hoàn thành luận văn
này.

ẢNH
HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới tất cả các thầy, cô, tập

HIỆU
ĐIỆN
ƢỢNG
thể
cán bộỨNG
Bộ mônRADIO
Vật lý lý thuyết
và vậtTRONG
lý toán; cácDÂY
thầy, côLtrong
Khoa TỬ
Vật lý,
trường Đại
học Khoa
học NHẬT
Tự Nhiên VỚI
đã truyền
đạt cho
tôi những

thức chuyên
HÌNH
CHỮ
THẾ
CAO
VÔ kiến
HẠN
ngành vô cùng quý báu.

(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
Tôi cũng không quên gửi lời cảm ơn đến gia đình; các anh, chị, bạn bè học

viên đã đồng hành, giúp đỡ tôi trong quá trình tìm tài liệu, trao đổi kiến thức
cũng như truyền đạt những kinh nghiệm giúp tôi có thể hoàn thành luận văn một

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

cách tốt nhất.

Mã số

: 60440103
Hà Nội, 12/2015

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Học viên

Nguyễn Thị Kim Lan

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ THÁI HƢNG

Hà Nội – 2015


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chƣơng 1: Dây lƣợng tử và lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong
bán dẫn khối ..............................................................................................................4
1.1. Dây lượng tử .......................................................................................................4
1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối ..........................5
Chƣơng 2: Hiệu ứng radio điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao
vô hạn dƣới ảnh hƣởng của phonon quang giam cầmError!

Bookmark

not

defined.
2.1. Hamiltonion của điện tử - phonon quang giam cầm trong dây lượng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn .............................. Error! Bookmark not defined.
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật
.......................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.3. Biểu thức mật độ dòng radio-điện toàn phần qua dây lượng tử hình chữ nhật
.......................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.4. Biểu thức giải tích cho cường độ trường radio - điện trong dây lượng tử hình
chữ nhật ............................................................ Error! Bookmark not defined.
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lƣợng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn của GaAs/GaAsAl ....... Error! Bookmark not defined.
3.1. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số Ω của bức xạError!

Bookmark

not defined.
3.2. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số ω của trường điện từ phân cực
thẳng ................................................................. Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................8
PHỤ LỤC .................................................................. Error! Bookmark not defined.



MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thành tựu của khoa học Vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ 20 được đặc
trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính, từ các vật liệu bán dẫn khối
(bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Việc chuyển từ hệ vật liệu có
cấu trúc 3 chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả
về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất vật lý của vật liệu như tính chất
quang, tính chất động (tán xạ điện tử - phonon, tán xạ điện tử - tạp chất, tán xạ bề
mặt,…). Đồng thời, cấu trúc thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt
hơn mà cấu trúc 3 chiều không có. Với ý nghĩa khoa học cũng như các ứng dụng
của hệ thấp chiều trong đời sống ở trên đã giải thích lí do tại sao các hệ bán dẫn
thấp chiều đã và đang là xu hướng nghiên cứu chính của các nhà vật lý trong nước
và thế giới [14], [15], [19], [20], [22].
Tùy theo trường điện thế phụ mà các bán dẫn thấp chiều có thể là bán dẫn 2
chiều (giếng lượng tử, hố lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng
mỏng,…), hoặc bán dẫn 1 chiều (dây lượng tử: hình trụ, hình chữ nhật,…), hoặc
bán dẫn 0 chiều (chấm lượng tử, điểm lượng tử,…). Ở bán dẫn khối, các điện tử có
thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều), nhưng ở các hệ thấp
chiều chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai

hoặc ba trục tọa độ. Phổ năng lượng của các hạt tải bị gián đoạn theo các phương
giới hạn này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ
bản các tính chất của vật liệu như hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng,
tương tác điện tử- phonon,… điều này đã được các nhà vật lý rất quan tâm. Đặc biệt
thời gian gần đây các tính chất và hiệu ứng vật lý trong dây lượng tử đã được các
nhà nghiên cứu rất chú trọng [16], [17], [18], [21].
Gần đây, hiệu ứng radio - điện trong bán dẫn thấp chiều được quan tâm nghiên
cứu nhiều bằng nhiều phương pháp khác nhau [5], [7], [11], [12], [13]. Bài toán về
ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong bán dẫn hai chiều đã
được nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động lượng tử trong các công

1


trình [5], [7], [12]. Tuy nhiên đối với hệ bán dẫn một chiều thì mới chỉ có các công
trình nghiên cứu về sự ảnh hưởng của điện tử giam cầm [11], [13], mà chưa có các
công trình nghiên cứu về sự ảnh hưởng của phonon giam cầm. Vì vậy, trong luận
văn này, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Ảnh hƣởng của phonon giam cầm liên
hiệu ứng radio - điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ
chế tán xạ điện tử -phonon quang)”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đối với bài toán về hiệu ứng radio - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với
thế cao vô hạn, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Đây là
phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt
hiệu quả cao và cho kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định. Từ Hamilton của hệ
điện tử - phonon quang giam cầm trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai ta xây dựng
phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật
với thế cao vô hạn, sau đó tính mật độ dòng hạt tải, cuối cùng suy ra biểu thức giải
tích của cường độ trường radio - điện.
Ngoài ra còn sử dụng chương trình Matlab để tính toán số và vẽ đồ thị sự phụ

thuộc của cường độ trường radio - điện vào tần số của bức xạ laser và tần số sóng
điện từ phân cực thẳng.
3. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết thúc, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn có 3
chương, cụ thể:
Chương 1: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio - điện trong bán
dẫn khối.
Chương 2: Hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn
dưới ảnh hưởng của phonon quang giam cầm (tán xạ điện tử - phonon quang).
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ
nhật với thế cao vô hạn của GaAs/GaAsAl.
Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chương 2 và chương 3, trong
đó đáng lưu ý là đã thu được biểu thức giải tích của trường radio - điện trong dây

2


lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử – phonon quang)
có kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm. Các kết quả thu được đã chứng tỏ ảnh
hưởng đáng kể của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử
hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang). Đồng thời
luận văn cũng đã thực hiện việc tính số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử hình chữ nhật
với thế cao vô hạn của GaAs/GaAsAl để làm rõ hơn về hiệu ứng radio-điện trong
dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có kể đến sự giam cầm phonon.
Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học, góp phần vào
phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn thấp chiều nói chung và
trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn nói riêng.

3

Chƣơng 1
DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO
ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Dây lƣợng tử
1.1.1. Tổng quan về dây lượng tử
Dây lượng tử (quantum wires) thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều. Dây
lượng tử có thể được chế tạo nhờ kĩ thuật lithography (điêu khắc) và photething
(quang khắc) từ các lớp giếng lượng tử, hoặc được chế tạo nhờ phương pháp
epitaxy chùm phân tử hoặc hết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ, một cách chế tạo khác
là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường (bằng cách này có
thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều). Bằng các kỹ thuật
này, chúng ta đã chế tạo được các dây lượng tử có các tính chất vật lý khá tốt với
các hình dạng khác nhau như: dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…
mỗi dây lượng tử được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau.
Trong dây lượng tử chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều giới hạn
của dây (chọn là trục x và trục y) và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn
lại (trục z, trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn) vì vậy nên hệ
điện tử trong trường hợp này còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trong
dây lượng tử phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai chiều.
Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử sẽ được
giải quyết dễ dàng thông qua việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ
một chiều:
(1.1)
Trong đó:

: là thế năng tương tác giữa các điện tử;

: là thế năng giam

giữ các điện tử do sự giảm kích thước; m: là khối lượng hiệu dụng của điện tử.
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật
Giả sử hố thế giam giữ cao vô hạn:
4



0 khi 0  x  L x ; 0  y  L y
V

 khi x < 0  x > L x ; y < 0  y > L y

(1.2)

Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật thu được trực tiếp
từ việc giải phương trình Shrodinger:
 n,l,k 


 

 n,l p 

 nπy 

 nπx  2
1 ikz 2
0  x  L x ; 0  y  L y
(1.3)

e
sin 
sin 
khi 


 L 
x
<
0

x
>
L
;
y
<
0

y
>
L
Lz
Lx
L
L

x
y
 x 

y

 y 
2 2 2  π 2 n 2 π 2l2 
p 
 2 

2m
2m  L2x
L y 

(1.4)

Trong đó:
n,l = 1, 2, 3,… biểu thị sự lượng tử hóa phổ năng lượng theo chiều x và y.
là các véc tơ sóng của điện tử.
Lx, Ly, Lz là kích thước dây lượng tử theo chiều x, y, z.
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối
Hiệu ứng radio điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang
theo cả năng lượng và xung lượng lan truyền trong vật liệu. Do đó các electron
được sinh ra với sự chuyển động có định hướng và hướng này xuất hiện một hiệu
điện thế trong điều kiện mạch hở.
Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong:
+) Một trường sóng điện từ phân cực thẳng với vector:


E  t   E  e  i t  e i t 

 
H  t    n , E  t  

(1.5)

Với tần số ℏω ≪  ( với  là năng lượng trung bình của hạt tải) trong điện


trường không đổi E 0 ( có tác dụng định hướng chuyển động của hạt tải theo E 0 ).


+) Một trường bức xạ laser: F(t) = Fsin  t được xem như một trường sóng điện từ
cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1 (τ: thời gian hồi phục đặc trưng).
Dưới sự xuất hiện của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển
động định hướng của hạt tải theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng. Kết quả là xuất hiện các

5


cường độ điện trường E0x, E0y, E0z là các thành phần của vector cường độ điện

trường không đổi E 0 theo các trục trong điều kiện phụ thuộc vào tham số của hố

lượng tử: phổ năng lượng và các giá trị ω, Ω, E . Đó chính là các hiệu ứng radio
điện.
Bây giờ ta thành lập biểu thức giải tích về cường độ điện trường E0x, E0y, E0z

thông qua việc thiết lập phương trình động lượng tử cho hàm phân bố hạt tải f p, t

 

trong bán dẫn khối:



 f p , t  
f p , t

 

  eE 0  eE  t   H  p , h  t   ,

t
p


 

  

 
 

2

    l
M
q
J
a
,
q
f

p
+
q
,
t
f
p
, t    p+q
= 2 



l
p



l 
q


  

   

(1.6)






+ Trong đó:



2

eH 
H(t)
e.F
p
H 
; ht =
; a
;  p 
mc
H
m 2
2m
(1.7)

+ Với: p là xung lượng chính tắc của hạt; Jl (x) là hàm Bessel của đối số thực; m là
khối lượng hiệu dụng của điện tử; M(q) được xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải.
Ta giả thiết: k l ≪ l ( l là quãng đường tự do trung bình của hạt tải) nên ta có thể


bỏ qua các số hạng k l trong các đối số của E  x, t  ; H  x, t  .
Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyến tính theo cường độ của nó nên ta chỉ
  2

lấy các số hạng với l  0;  1 và chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với a,q trong biểu
 2
a,q
(1.8)
thức khai triển của hàm Besel. Tức là: J 02  1; J 2±1 =
4
Hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối

(1.9)
xứng và phản đối xứng: f p  t  = f 0 + f p, t

 

 

 

+) f 0 là hàm số phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trường hợp khí điện tử không
suy biến thì ta có phân bố Boltzman:

6



  

f 0 = f 0  p  n0* exp  p 

 kB  


 


  f
+) Phần phản đối xứng: f1 p, t  PX  t  0
 p

 

Ta viết dạng khai triển theo thời gian:




f p, t = f10  p  + f1 p eit  f1*  p  eit

 




  f
0
f
p


PX
Với : 1

 p

  f
f10 p  PX 0 0
 p



(1.10)

(1.11)

(1.12)
(1.13)



(1.14)

Từ (1.11) và (1.12) ta có:

 

X  t  = X0 + Xe i t  X *ei t

(1.15)

Theo định nghĩa: mật độ dòng bằng tích tenxơ độ dẫn và cường độ điện trường
Ji  t    jk E k  t 

(1.16)

Ở thời điểm t = 0 thì:





 

*
 *
J  t = 0    R + R d   J1 + J1
0

(1.17)



  
Q


S


   d 

1


i





H
0


  
J1   R    d   
0

(1.18)

Trong đó:

R   



  
Q    S  
1  i H  





 e2 n 
Q
E    F 
m

S  e n ij    F   Aij     F  X j  F 
X j  F   


  
e
E
m 1  i H   

(1.19)

(1.20)
(1.21)

Trong đó:

7


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
1. Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Đỗ Quốc Hùng, Lê Tuấn (2011), Lý thuyết bán
dẫn hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), Vật lý
bán dẫn thấp chiều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

3. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà Nội.
4. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà
Nội.
5. Vũ Thị Hạnh (2014), Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện
trong hố lượng tử với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang, Luận văn Thạc sĩ
khoa học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.
6. Nguyễn Thị Huệ (2014), Hiệu ứng radio điện trong hố lượng tử, Luận văn Thạc
sĩ khoa học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.
7. Nguyễn Thị Thanh Huyền (2014), Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu
ứng radio điện trong hố lượng tử với cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm, Luận
văn Thạc sĩ khoa học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.
8. Lê Thái Hưng (2013), Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên một số hiệu ứng
cao tần trong bán dẫn thấp chiều, Luận văn Tiến sĩ khoa học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.
9. Bùi Mạnh Linh (2014), Hiệu ứng radio điện trong siêu mạng hợp phần, Luận
văn Thạc sĩ khoa học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.
10. Murray R. Spiegel (1998), Các công thức và bảng toán học cao cấp, Nhà xuất
bản giáo dục.
11. Phạm Văn Nghĩa (2014), Hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật
với hố thế cao vô hạn, trường hợp tán xạ - phonon âm, Luận văn Thạc sĩ khoa
học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.

8


12. Phạm Ngọc Thắng (2014), Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio
điện trong siêu mạng pha tạp với cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm, Luận văn
Thạc sĩ khoa học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.
13. Trần Thị Quỳnh Trang (2014), Hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình

chữ nhật với hố thế cao vô hạn, trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang,
Luận văn Thạc sĩ khoa học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN.
Tài liệu tiếng Anh
14. A. F. Khokhlov, I. A. Chuchmai, and A. V. Ershov (2000), “Absorption
Features in a- Si/ZnOx Nanostructures”, Semiconductors 34 (3), pp. 349 – 354.
15. Ayhan Ozmen, Yusuf Yakar, Bekir Cakir, Ulfet Atav (2009), “Computation of
the oscillator strength and absorption coefficients for the intersubband
transitions of the spherical quantum dot”, Opt. Commun 282, pp. 3999-4004.
16. Blencowe M. and Skik A. (1996), “Acoustoconductivity of quantum wires”,
Phys. Rev. B 54, pp. 13899-13907.
17. Branis S. V., Li G., Bajai K. K. (1993), “Hydrogenic impurities in quantum
wires in the presence of a magnetic field”, Phys. Rev. B 47 (3), pp. 1316-1323.
18. Boiko I. I., Sheka V. and Vasilopoulos P. (1993), “Kinetics of quasionedimensional electron gas in transverse magnetic field. II Arrays of quantum
wires”, Phys. Rev. B 47, pp. 15809-15815.
19. Charles Kittel (1987), Quantum Theory of Solid, the 2nd revised Edition, John
Wiley and Sons.
20. Charles Kittel (2004), Introduction to Sollid State Physics, John Wiley and
Sons.
21. Geyler V. A., Margulis V. A. (2000), “Quantization of the conductance of a
three – dimensional quantum wires in the presence of a magnetic field”, Phys.
Rev. B 61 (3), pp. 1716-1719.
22. S. Butscher, and A. Knorr (2006), “Occurrence of intersubband polaronic
repellons in a two- dimesional electron gas”, Phys. Rev. L 97, pp. 197401197405.

9