Chuyên đề hình học không gian vted

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN – CÁCH VẼ HÌNH KHÔNG GIAN.
PHẦN 2. GÓC TRONG KHÔNG GIAN.
PHẦN 3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG.
PHẦN 4. .KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
PHẦN 5. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ - ỨNG
DỤNG .
PHẦN 6. BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP.
PHẦN 7. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỔ
ĐIỂN.
PHẦN 8. CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

1|P a ge


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH PHẲNG LIÊN QUAN –

CÁCH VẼ HÌNH KHÔNG GIAN.
1. Hệ thức trong tam giác vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A , Đường cao AH
A

, BC  a, AC  b,AB  c . Ta có một số hệ thức
c

sau :

b

a

 AH.BC  AB.AC

B

H

C

 AH2  BH.CH
 AB2  BH.BC; AC2  CH.CB


1
1
1



 AH 
2
2
AH
AB
AC2

AB.AC
AB2  AC2

 c  b.tanB;b  c tan C
2. Hệ thức trong tam giác thường.
Cho tam giác ABC , BC  a, AC  b,AB  c , có các hệ thức sau :
 a2  b2  c 2  2bc.cos A
a
b
c



 2R
sin A sinB sin C
Một số công thức về diện tích tam giác.
1
1
AH.BC  AB.AC ( Đối với tam giác vuông )
2
2
1

1
1
 bc.sin A  ac.sinB  ab.sinC
2
2
2

 S ABC 
 S ABC

2|P a ge


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

abc
4R
 S  p.r ( p là nữa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác ) .

 S

 Công thức tính độ dài đường trung tuyến.
AB2  AC2 BC2
2

 AM 

2
4
2
2
CA  CB
AB2
2
 CK 

2
4
BA 2  BC2 AC2
 BN2 

B
2
4

A
N

K

C

M

3. Diện tích của một số đa giác .

 Diện tích hình thang : S ABCD 

1
2S ABCD
AH.  AB  CD   AH 
.
2
AB  CD

a2 3
a 3
; AH 
.
 Diện tích tam giác đều cạnh a : S ABC 
4
2
 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau :
1
S ABCD  AC.BD .
2

4. Một số tính chất hình phẳng hay gặp trong hình học không gian.
 Định lý Pytago đảo: Cho tam giác ABC , BC  a, AC  b,AB  c , nếu

a2  b2  c 2 thì tam giác ABC vuông tại A .
2

MN AM AN
S
 AM 



 k; AMN  
 k2 .
 Định lý Ta-lét : MN  BC 

BC AB AC
SABC  AB 
3|P a ge


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất
M

A

Hotline: xxxxxx

A

B

A

D

M

N

N

B

C

D

C

C

B

 Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC , có MA  MB  MC thì
tam giác ABC vuông tại A .
 Cho hình vuông ABCD. M là trung điểm AB , N là trung điểm BC , thì
AN  DM .
1
 Cho hình thang vuông tại A,B , có AB  BC  CD. Thì ta có tam
2
giác ACD vuông cân tạị C.

5. Cách vẽ hình không gian.
Để vẽ được hình đẹp và dễ nhìn, thông thường ta làm theo các bước sau :
- Bước 1. Dựa vào đề bài ta vẽ đáy trước. Cụ thể kích thước như sau và
chú ý các cạnh nét đứt.

4-5cm

A

A

4-5cm

D

C

E

A

D

2.5 - 3

2.5 - 3

B

B

C

B
C

- Bước 2. Dựng đường cao của khối rồi nối các đỉnh lại.

4|P a ge


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Tùy vào bài toán mà có thể xác định chân đường cao, rồi từ chân đường
cao ta dựng vuông góc lên . Để có thể làm được bước này, ta có thể xác
định đường cao các loại khối chóp như sau :
Loại 1. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là
chiều cao.
Loại 2. Khối chóp có hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với măt đáy
thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó chính là đường cao.
Loại 3. Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính
là đường vuông góc kẽ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên .
Loại 4. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng
tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn
ngoại tiếp đáy.
Loại 5. Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy một góc bằng nhau thì
chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy.
Loại 6. Hình chóp S.ABCD có  SAB  và  SAC  cùng tạo với đáy một góc

.

 thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc đường phân giác góc BAC
Loại 7. Hình chóp S.ABCD có SB  SC hoặc SB,SC cùng tạo với đáy một
góc  thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc đường trung trực của BC .
S

S

A

C

A
H

S

C

A

C
H

B

B

B

5|P a ge

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

6.Khái niệm về các hình đa diện đặc biệt trong không gian.
6.1. Hình chóp đều .
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một
đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Tính chất:
- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
Hai hình chóp đều thường gặp:
S
Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC . Khi đó:
- Đáy ABC là tam giác đều.
- Các mặt bên là tam giác cân tại S .
- Chiều cao SO .
A
- Góc giữa cạnh bên và mặt đáy :
O
  SBO
  SCO
 .

SAO

C
H

B


- Góc giữa mặt bên và mặt đáy : SHO
Chú ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều .
- Tứ diện đều có các mặt bên là tam giác đều.
- Hình chóp tam giác đều là tứ diện đều khi
cạnh bên bằng cạnh đáy.

S

Hình chóp tứ giác đều : Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD . Khi đó :
- Đáy ABCD là hình vuông.
- Các mặt bên là tam giác cân tại S .
- Chiều cao : SO .
  SBO
  SCO
  SDO
.
- Góc giữa cạnh bên và mặt đáy : SAO
A

B

D

H
O
C


- Góc giữa mặt bên và mặt đáy : SHO
6|P a ge


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

6.2. Hình lăng trụ .
Hình lăng trụ đứng : là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy ,
các mặt bên là các hình chữ nhật, cạnh bên chính là chiều cao
Hình lăng trụ đều : là hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều, các
mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
Hình hộp : là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, các mặt bên là hình
bình hành.
Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng , có 6 mặt đều là hình chữ nhật
Hình lập phương : là lăng trụ đứng có tất cả các mặt đều là hình vuông.

7|P a ge

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

PHẦN 2. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN.
1. Góc giữa hai đường thẳng .
a

 Khái niệm : Góc giữa hai đường thẳng a và

a'

b trong không gian là góc giữa hai đường

thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm lần lượt

b'

song song với hai đường thẳng a và b .

b

a;b   900 .
Chú ý : 00  
 Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng.
Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không

gian, ta làm các bước sau :
Bước 1. Cho một điểm E sao cho qua E có thể

a

xác định được hai đường thẳng a ' và b ' lần lượt
song song với a và b .

a'
M
E
b'

N

Bước 2. Trong  a';b '  , chọn M  a '; N  b' sao cho

b

 dựa vào hàm số cosin trong tam giác MNE .
có thể tính được cosMEN
 nếu
Bước 3. Kết luận góc giữa hai đường thẳng a và b là góc MEN

  0 hoặc 180  MEN
 nếu .
cosMEN





Chú ý : Ta có thể áp dụng vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng như
 
AB.CD





sau : cos 
.
AB;CD   cos AB;CD 
AB.CD





8|P a ge


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

 

Ta chỉ cần đi tính AB.CD nữa là xong.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 Khái niệm : là góc tạo bởi đường thẳng đó
(P)

với hình chiếu của nó trên mặt phẳng

a


Kí hiệu :  d;  P    
d;d'    , với d' là hình

d

b

chiếu vuông góc của d lên P 

(Q)

Trong đó : 00    900 .
 Cách xác định góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng P  .
Bước 1. Xác định giao điểm N của d và P  .
Bước 2. Chọn H  d sao cho có thể xác định được hình chiếu H của M
trên P  .
Bước 3. Kết luận góc giữa đường thẳng d và

P 

  .
là : MNH

3. Góc giữa hai mặt phẳng .
 Khái niệm : Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa
d

hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

M

phẳng đó .


Chú ý : . 00   P  ;  Q    900 . .

(P)


d'
H

 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng P  và  Q 
Bước 1. Xác định giao tuyến d  P    Q 
9|P a ge

N

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Bước 2. Tìm một mặt phẳng    mà d    
Bước 3. Xác định giao tuyến a      P  ; b       Q 
Khi đó :

a;b  .
P  ;  Q    


Các ví dụ điển hình.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB  a, AD  a 2 , tam giác SAB cân tại S và mặt phẳng  SAB  vuông

góc với mặt phẳng

 ABCD  .

Biết góc giữa mặt phẳng

 SAC 

và mặt

phẳng  ABCD  bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . Gọi H là trung

điểm cạnh AB . Tính góc giữa hai đường thẳng CH và SD.
Lời giải và phân tích.
Đối với các bài toán không gian, quan trọng nhất đầu tiên là phải xác định
được chân đường cao, từ đó mới có cơ sở để xác định được góc, khoảng
cách… từ giả thiết đó để suy ra được chiều cao và các yêu cầu đề bài.
Trong bài này, dấu hiệu nhận biết là: “ SAB cân tại .. và mặt phẳng
 SAB  vuông góc đáy”. Xác định 
 SAC  ;  ABCD   trở nên đơn giản khi
đã xác định được chân đường cao: lúc này cần xác định được giao tuyến,
rồi hạ vuông góc từ chân đường cao đến giao tuyến. Việc tính toán, ta nên
vẽ hình phẳng ra nháp nếu chưa thạo để dễ tính toán. Cụ thể:
Vì SAB cân tại S có HA  HB  SH  AB
Mặt khác  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  .

10 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Trong  ABCD  , hạ HK  AC  AC   SHK 

 
   SAC  ;  ABCD    SKH
 600 .
a

AH HK
AH.BC 2 .a 2 a 6
Ta có AKH  ABC 
.

 HK 


AC BC
AC
6
a 3

  a 6. 3  a 2 .
Nên SH  HK.tanSKH
6
2

S

Diện tích đáy ABCD là : S ABCD  AB.AC  a2 2 đvdt)

E

D

A
K

Thể tích khối chóp:

VS.ABCD

H

1
1 a 2 2
a3
 SH.dt  ABCD   .
.a 2 
.
3
3 2
3

B

C

Phân tích : Việc xác định góc giữa hai đường thẳng, thông thường ta sẽ
vẽ đường thẳng một điểm thuộc đường thẳng không nằm ở đáy (SD) song
song với đường thẳng nằm ở đáy (CH). Lúc này ta gắn vào tam giác và sử
dụng hàm số cosin để suy ra góc giữa hai đường thẳng. Cụ thể :
Gọi E  AB sao cho A là trung điểm của EH , nên HCDE là hình bình
SD;HC  
SD;DE
hành.  HC  DE . Do đó 



 

Ta có : DE  HD  HC  AH2  BC2 



a2
3a
 2a2 
;
4
2

a2 9a2 11a2
a2
3a2
2
2
2
2
SD  SH  HC 


; SE  SH  HE 
a 
.
2
4
4
2

2
2

2

2

11 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

11a2 9a2 3a2


SD  DE  SE

4
4
2  7 11  0 .
Suy ra : cosSDE 

2SD.DE
33
a 11 3a

.
2.
2
2
2

2

2

  ar cos  7 11  .
Vậy góc giữa CH và DS là : SDE


 33 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

AB  2a,AC  2a 3 . Gọi I là trung điểm BC , hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của AI . Góc giữa mặt phẳng

 SAB 

và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và

cosin của góc giữa SB và AC .

Lời giải và phân tích.Trong bài này, chân đường cao xác định dễ dàng,
nên

 SAB  ;  ABC   xác định bằng cách hạ vuông góc từ chân đường cao



đến giao tuyến của hai mặt phẳng, từ đó suy ra chiều cao. Tương tự bài
trên, nên vẽ hình phẳng ra nháp để dễ tính toán. Cụ thể:
Ta có : BC  AB2  AC2  4a  BI  IC  AI  2a .
Gọi K là hình chiếu của H lên AB suy ra

 
AB   SHK     SAB  ;  ABC    SKH
 600

Gọi J là trung điểm của AB  IJ 

1
IJ a 3
AC  a 3  HK  
2
2
2
12 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Suy ra : SH  tan 60.KH 

Diện tích đáy : S ABC 

3a
.
2

S

1
AB.AC  2a2 3 (đvdt)
2

Thể tích khối chóp VS.ABC

1
 SH.S ABC  a3 3 (đvtt).
3

C

A
H

K
J

I

B

Nhận xét : Trong bài này, hoàn toàn có thể tính cosin góc giữa hai đường
thẳng theo cách thông thường là dựng đường thẳng qua một điểm thuộc
đường thẳng không ở mặt đáy (SB) và song song với đường thẳng ở mặt
đáy (AC) như ví dụ 1. Nhưng ở đây sẽ trình bày cách sử dụng vectơ để
cho các bạn hiểu hơn :


Vì SH  AC;AB  AC  SH.AC  0;AB.AC  0

 
 cos  SB;AC   cos SB,AC 





 
SB.AC
SB.AC

1 

 
Ta chỉ cần tính SB.AC .

Ta có : ABI đều có cạnh bằng 2a nên

a
BH  a 3  SB  SH2  BH2 

 
    
SB.AC  SH  HB AC  HB.AC 





21
. Khi đó :
2
  
HA  AB AC





 
  AH.AC.cos ACB
  3a2
  AH.AC   AH.AC.cosHAC
Thay vào (1) ta được : cos  AC,SB  

7
.
7

13 | P a g e

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có AA ' 

a 10
,AC  a 2 , BC  a,
4

  1350. Hình chiếu vuông góc của C ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với
ACB
trung điểm M của AB . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A 'B 'C '
và góc tạo bởi đường thẳng C 'M với mặt phẳng  ACC' A '  .
Lời giải và phân tích.
Trong bài này, dễ dàng vẽ được chân đường cao, việc tính chiều cao đơn
giản chỉ dựa vào định lý Pytago, từ đó suy ra được thể tích.
Ta có : S ABC

1
a2
0
 CA.CB sin 135  . (đvdt)
2
2

Áp dụng định lý cosin cho ABC  AB  a 5

 CM2 

CA 2  CB2 AB2 a2
a 6


 C'M  C'C2  CM2 
.
2
4
4
4

Suy ra thể tích lăng trụ : V  C'M.S ABC

a3 6

. (đvtt)
8

C'

B'


Phân tích: Để tìm góc  C'M;  ACC' A '   ta tìm hình
A'

chiếu của M trên  ACC' A '  , vì M là chân đường cao
nên, ta vẫn hạ vuông góc từ M đến giao tuyến của

 ACC' A ' 

H

C
B

và đáy . Cụ thể:

K
M

Kẻ MK  AC K  AC  , MH  C'K , H  C'K 

A

Vì AC   C'MK  nên AC  MH  MH   ACC' A ' 

  
  C'M,  ACC' A '    MC'H
 MC'K. (1)
14 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy

nhất

Hotline: xxxxxx

Vì M là trung điểm AB nên :

a2
a
MK
1
2S
1

SCAM  SCAB 
 MK  MAC 
 tanMC
'K 

AC
C'M
2
4
2 2
3
0
  30 . (2)
 MC'K


Từ (1) và (2) suy ra  C'M,  ACC' A '    300.

Ví dụ 4.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông có
AB  BC  a. Cạnh bên SA  a và vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  .
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Tính
a. Góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  .
b. Góc giữa hai mặt phẳng  SMN và  SBC  .

Lời giải và phân tích.
a. Góc giữa  SAC  và  SBC  . Việc xác định góc, thông thường ta xác định
giao tuyến rồi tìm xác định mặt phẳng vuông góc với giao tuyến cắt hai mặt
phẳng ban đầu. Cụ thể:
Tam giác ABC vuông cân tại B , suy ra BN  AC .
Lại có BN  SA  BN   SAC  .

 
Trong  SAC  , hạ NK  SC  SC  BNK     SAC  ;  SBC    NKB
.
Ta có ; BN 

1
a 2
AC 
, SC  SA 2  AC2  a2  2a2  a 3 .
2
2

15 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

a 2
NK NC
NC
a 6
.
CKN  CAS 

 NK  SA.
 a. 2 
6
SA SC
SC
a 3

  BN  3  NKB
  600 .
Suy ra : tanNKB
NK
Vậy

d

 SAC  ;  SBC    600 .


S

b. Phân tích: tương tự ta cũng đi tìm giao tuyến, rồi tìm
mặt phẳng vuông góc với giao tuyến. Cụ thể:

K
N

Ta có : MN  BC , nên giao tuyến của  SMN và  SBC 

A

là đường thẳng d qua S và d  MN  BC .

C
M
B

BC  BA
Vì 
 BC   SAB   BC  SB;BC  SM , suy
BC  SA
ra d  SB; d  SM

Do đó

SM;SB  .
 SMN ;  SBC    


a2 a 5

; SB  SA 2  AB2  a 2 .
Tính được : SM  SA  AM  a 
4
2
2

2

2

5a2
a2
2
 2a 
SM2  SB2  MB2

4
4  3 .
Suy ra cosMBS 

2.SM.SB
a 5
10
2.
.a 2
2
Vậy

  ,cos  
 SMN ;  SBC    MBS


3
.
10

16 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm I,

a 6
2a 3
, SC 
. Tính theo a thể tích hình chóp
3
3
S.ABCD và góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  .
SB  SD  a,SA 

Lời giải và phân tích.

Trong bài này, chưa có dấu hiệu để xác định chân đường cao. Tuy nhiên
ta thấy rằng, đáy là hình thoi nên AC  BD và SI  BD từ đây suy ra
BD   SAC  , lúc này chân đường cao chính là chân đường vuông góc hạ
từ S xuống AC. Cụ thể trình bày:
Tam giác SBD cân tại S nên SI  BD
Lại có : BD  AC  BD   SAC  . Hạ SH  AC  SH   ABCD  .
Đặt AC  2x  AI  IC  x  DI  IB  a2  x 2
Vì SDI vuông ở I , suy ra SI2  SD2  DI2  SI  x .
Ta có : SI  IA  IC  x suy ra SAC vuông tại S .
Suy ra : AC2  SA 2  SC2  4x2  2a2  x 

S

a 2
2

K
P
D

A

SA.SB 2a
suy ra AC  a 2 ; SH 

,
AC
3
Suy ra ABCD là hình vuông.

H

I

C

B

Diện tích đáy ABCD : S ABCD  a2 (đvdt).

1
2a3
V

SH.S

Thể tích khối chóp S.ABCD :
(đvtt).
ABCD
3
9
Phân tích: Góc giữa  SAB  và  SBC  , ta vẫn đi xác định giao tuyến chung
là SB . Trong bài này, chân đường cao không thuộc một trong hai mặt
17 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

phẳng, khác với các ví dụ trước là chân đường cao sẽ nằm ở một trong hai
mặt phẳng, vì vậy mà sẽ khó dựng được một mặt phẳng vuông góc với SB
dựa vào chiều cao. Đối với trường hợp này sẽ có hai cách xử lí:
Thứ nhất: Dựa vào chân đường cao H xác định đường cao từ H đến hai
mặt phẳng, khi đó góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai đường
cao hạ từ H. Giống như các bài trên.
Thứ hai: Ta sẽ tạo ra 2 đường vuông góc với giao tuyến SB sao cho dễ
dàng tính nhất. Sẽ trình bày hướng thứ hai này như sau:

Kẻ AK  SB , KP  SB tại K , suy ra góc

AK;KP 
 SAB ;  SBC    


SB2  SA 2  AB2
1

Trong tam giác SAB : cos ASB 

2SA.SB
6

  a  AK  SA 2  SK 2  a 5
 SK  SA.cosSAB
3
3

Tương tự trong tam giác SBC tính được : SP 

a 3
a 2
 KP 
3
3

Trong tam giác vuông SAP : AP  SA 2  SP2  a

AK 2  KP2  AP2  10

 cos AKP 

 0.
2AK.KP
10
Nên

 SAB  ;  SBC    arc cos


10
.
10

18 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
  1200, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng
BCD

 SAB 

tạo với mặt phẳng  SBC  một góc 600. Tính theo a thể tích khối

chóp S.ABCD .
Lời giải và phân tích.
Trong bài này cần chú ý: góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

  1200 nên ABC
  600
Gọi O  AC  BD. Vì BCD
 ABC đều cạnh a  AC  a, OD  OB 

a 3
.
2

Kẻ OH  SB tại H . Vì AC   SBD  nên AC  SB

 SB   AHC   SB  AH và SB  HC.
S

 SAB ,  SBC    60


0

 
AH, CH  600

  600 hoặc AHC
  1200 .
 AHC
D

  60
TH 1. AHC

C

H

0

  300  OH  OA.cot 300  a 3  OB,
 AHO
2

A

B

vô lý vì OHB vuông tại H .

19 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

  1200  AHO
  600  OH  OA.cot 600  a
TH2. AHC
2 3
a 2
 BH  OB2  OH2 
.
3
Vì BOH  BSD nên

OH BH
OH.BD a 3

 SD 


.
SD BD
BH
2 2

a2 3 a2 3

(đvdt). Suy ra
Ta có : S ABCD  2.S ABC  2.
4
2
1
a3 2
VS.ABCD  SD.S ABCD 
. (đvtt)
3
8
Nhận xét : Bài toán này rất nhiều bạn sai . Thông thường góc giữa hai mặt
phẳng ta quy về góc giữa hai đường thẳng và đa số các bạn cho luôn góc
 .
đó là AHC

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ,
tâm O và SO vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Trên cạnh SA lấy điểm

  600 . Tính thể
M sao cho MA  2MS . Gọi N là trung điểm của CD , SNO
tích khối chóp S.ABCD theo a và cosin góc giữa MN với mặt phẳng

(ABCD) .
Đáp số : V 

a3 3
17

.
, cos MN;  ABCD   
6
29

Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
  600. Góc giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng  ABC 
A , AB  a, ABC
20 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

bằng 450 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và cosin của góc giữa
đường thẳng AB ' và mặt phẳng  A 'BC  .

3a2
2


.
Đáp số : V 
, cos  AB ';  A 'BC   
2
5
Bài 3. Chohình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,
AD
AB  BC 
 a , SA   ABCD  . Góc giữa mặt bên  SCD  và mặt đáy
2
 ABCD  bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc
giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  SBC  .

a3 2
 2 2
Đáp số . V 
,cos  SD;  SBC   
.
2
3
Bài 4. Chohình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  AB  a, AD  3a . Gọi M là trung
điểm của BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD và cosin góc tạo bởi
mặt phẳng  ABCD  và  SDM .
Đáp số : VS.ABMD 

3a3
 6
, cos   SMD  ;  ABCD    .
4

7

  600
Bài 5. Chohình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD
. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết rằng SO vuông góc với đáy và
3a
SO 
. Tính góc giữa hai đường thẳng  SBC  và  SAD  .
4

Đáp số :   SBC  ;  SAD    600
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a .
  600 . Mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng
SA  a,SB  a 3,BAD
21 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

đáy. Gọi M , N là trung điểm của AB, BC . Tính thể tích khối tứ diện
NSCD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và ND .

a3
3
Đáp số : V  , cos 

SM,ND  
.
4
4
Bài 7. Cho lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình
chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh AB
sao cho HB  3HA . Góc tạo bởi B 'C và mặt phẳng  ABB' A '  bằng 300 .
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B 'C ' và cosin góc giữa hai mặt
phẳng  ABB' A '  và  ACC' A '  .

9a3
3

Đáp số : V 
.
;cos   ABB' A '  ;  ACC' A '   
16
37
Bài 8. Cho lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
AB  AC  a . Hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng  ABC  là điểm
H thuộc cạnh BC sao cho HB  3CH . Góc tạo bởi BB ' và mặt phẳng
 ABC  bằng 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B 'C ' và cosin

góc giữa hai mặt phẳng BCC'B'  và  ABC  .

a3 30
2

.
Đáp số : V 

,cos  BCC'B'  ;  ABC   
8
19
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông , tam giác SAB
vuông cân tại S . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB . Các mặt phẳng

 SHC  ,  SHD  ,  ABCD  đôi một vuông góc. Biết SC  a

3 . Gọi M là trung

điểm của CD .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa
hai đường thẳng BD và SM .

a3 2
2
Đáp số : V 
.
,cos 
SM;BD  
3
10
22 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Bài 10 . Cho hình chóp S.ABC , có đáy là tam giác vuông cân tại B ,

AB  BC  a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng a 2 và
  SCB
  900 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và góc giữa
SAB
đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  .
a3 6 
,  SB;  ABC    450 .
Đáp số : V 
2
Bài 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' AB có AC  a , BC  2a ,
  600 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , biết góc tạo bởi A 'G
ACB
và  ABC  bằng 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B 'C ' và côsin
góc tạo bởi hai đường thẳng A 'G và B 'C .

3
A 'G;B 'C  
.
Đáp số : V  a3; cos 
2
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
AB  a,BC  2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  ,
SA  a . Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Tính thể tích khối chóp H.ACD
theo a và cosin góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  .

Đáp số : VH.ACD

a2
10
.
 ;cos 
SBC  ;  SCD  
6
5





Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
  300 ,
AB  a, SA  SB và ACB

23 | P a g e


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

3a
.
4
Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và

SA  SB . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

 SBC 

.

Đáp số : V 

a3 6
65

,cos   SAC  ;  SBC   
3
13

Bài 14. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 , đáy ABC là tam giác đều . Gọi
M , I lần lượt là trung điểm của AB và B1C1 . Biết BA 1  BI  BC1 . Khoảng

cách giữa A 1M và BC1 bằng

2a
.Góc tạo bởi mặt phẳng BCC1B1  và
14

mặt phẳng đáy bằng  , tan   2 . Tính thể tích khối chóp MIA 1C1 và góc
tạo bởi hai đường thẳng A 1M và BI .

a3 6
4
, cos 

A 1M;BI  .
Đáp số : V 
36
5
Bài 15. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có khoảng cách từ A đến mặt
phẳng  SBC  bằng a và góc tạo bởi AB và mặt phẳng  SBC  bằng 300 .
Gọi M là trung điểm của BC , N là trung điểm của SM . Tính thể tích khối
chóp S.ABC và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BN .

16a3 2
1
;cos 
SA;BN 
Đáp số : V 
.
3
7
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
  SAC
  600 . Tính thể tích
AB  3a , AC  4a . Cạnh bên SA  2a , SAB
khối chóp S.ABC và cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC .

7
Đáp số . V  2a3 2, cos 
SB;AC  
.
7
24 | P a g e

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy
nhất

Hotline: xxxxxx

Bài 17. Cho hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
  600 , BC  2a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ' trên mặt phẳng
ABC

 ABC  là trung điểm của cạnh

AC , biết A 'H 

3a
. Tính consin của góc
4

giữa hai đường thẳng A 'B và BC .

AB ';BC  
Đáp số : cos 

37
.
37

Bài 18. Cho hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có M là trung điểm của AB ,

  900 và ABC
  600 . Cạnh bên CC' tạo với mặt phẳng
BC  2a,ACB

 ABC  một góc bằng 450 . Hình chiếu vuông góc của C ' lên mặt phẳng
 ABC  là trung điểm của CM . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B 'C ' và
góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABC  và  ACC' A '  .

Đáp số : V  2a3 3, tan   ABC  ;  ACC' A '    2 .
Bài 19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B ' C'D' có AA '  a . Đường
thẳng B 'C tạo với AD một góc 600 , đường chéo B 'D tạo với mặt phẳng
BCC'B'  một góc 300 . Tính thể tích khối chóp ACB 'D ' và cosin góc giữa
hai đường thẳng AC và B 'D .

a3 3
1
Đáp số. V 
, cos  AC;B'D  
.
27
4 7

Bài 20. Cho hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy
ABC là tam giác vuông tại A , AB  a,AC  a 3 . Hình chiếu vuông góc

25 | P a g e