chuyên đề hình học không gian

Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
Chuyên đề
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Mở đầu.
1.1 Lý do chọn chuyên đề.
Trong chương trình toán lớp 12, phần phương trình mặt phẳng là kiến thức
khá khó đối với học sinh lớp 12, do học sinh rất e ngại học môn hình học không
gian vì các em nghĩ rằng môn hình học không gian rất trừu tượng. Phần này luôn
có trong các đề thi tốt nghiệp THPT – Bổ túc THPT, các đề thi Đại học và Cao
Đẳng hàng năm, phần phương trình mặt phẳng về lý thuyết tuy không nhiều nhưng
bài tập rất đa dạng các em thường gặp khó khăn khi viết các dạng phương trình
mặt phẳng. Từ đó tôi chọn chuyên đề về phương trình mặt phẳng với mục đích
nhằm khắc phục các hạn chế mà các em đã gặp và cũng nhằm nâng cao kết quả
trong các kì thi.
1.2 Mục tiêu của chuyên đề.
Chuyên đề đưa ra các dạng toán về phương trình mặt phẳng và đề ra các
phương pháp nhằm giúp học sinh học nắm thật tốt các dạng phương trình mặt
phẳng. Chuyên đề nhằm giúp học sinh rèn luyện các dạng phương trình mặt phẳng.
1.3 Giới hạn của chuyên đề.
Chuyên đề áp dụng cho học sinh trung học phổ thông.
2. Nội dung.
2.1 Tóm tắt lý thuyết.
2.1.1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ
0n ≠
r r
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của
vectơ
n
r
vuông góc với mặt phẳng (P).

Chú ý:
- Nếu
n
r
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k.
n
r
với
0k ≠
cũng là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
- Nếu hai vectơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r r
không cùng phương và giá của
chúng song song với một mặt phẳng (P) hoặc nằm trên mặt phẳng (P) thì vectơ
, n a b
 
=
 
r r r
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
2.1.2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát có dạng Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C+ + ≠
.

- Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì
mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
( )
; ;n A B C=
r
.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
với vectơ pháp tuyến
( )
; ;n A B C=
r
có phương trình là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

1
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
2.1.3 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì
phương trình mặt phẳng (P) là:
1
x y z
a b c
+ + =
với

. . 0a b c ≠
.
2.1.4 Công thức tính khoảng cách từ một điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
đến một
mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 là:
( )
( )
0 0 0
2 2 2
Ax
,
By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
.
2.2 Các dạng phương trình mặt phẳng.
• Dạng 1
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và vuông
góc với đường thẳng d.
a. Phương pháp

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là
=
uur uur
P d
n a
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
b. Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp(P) qua điểm
M(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình tham số
x 1 2t
y 3t
z 2
= +


= −


=


.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;2;-1).
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là
( )
P d
n a 2; 3;0= = −
uur uur
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
.

( ) ( ) ( )
⇒ − − − + + =
⇔ − − + =
⇔ − + =
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết
phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài giải
- Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
( )

I 2;2;2⇒
.
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).

2
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n AB 2;2;2= =
uur uuur
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0

( ) ( ) ( )
⇒ 2 − + − + − =
⇔
x 2 2 y 2 2 z 2 0
x+y+z-6=0
c. Bài tập luyện tập
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua điểm A(0;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình chính tắc là
x 1 y 2 z
1 2 2
− +
= =

−
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;6;0),
C(0;0;9).
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với BC tại B.
2. Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua trọng tâm tam giác ABC và
vuông góc với AB.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 32x y z− + + + − =
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
đi qua tâm mặt
cầu (S) và vuông góc với trục Ox.
• Dạng 2
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và
song song với mặt phẳng (Q).
a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0

; ;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp
tuyến là:
=
uur uur
P Q
n n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua điểm A(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là:
2x+2y+z=0.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến là:
( )
P Q
n n 2;2;1= =
uur uur
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =

0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0

3
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.

( ) ( ) ( )
⇒ 2 − + − + − =
⇔ 2 − + − + − =
⇔ 2 + + − =
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 9 0
Cách khác:
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng
(P) có dạng
2 + + + = ≠x 2y z D 0, D 0.
- Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;3) nên:
2.1+ + + = ⇔ = −
2.2 3 D 0 D 9.
- Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:
2 + + − =x 2y z 9 0
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0),
C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt
phẳng (ABC).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Tính
( ) ( )

= − = −
uuur uuur
AB 1;1;0 , AC 1;0;1 .
- Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= =
 
uuuur uuur uuur
ABC
n AB,AC 1;1;1
.
- Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= =
 
uur uuur uuur
P
n AB,AC 1;1;1
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − + − =

⇔
x 0 1 y 0 1 z 0 0.
x+y+z=0.
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua điểm A(1;-2;0) và song song với mp (Q) có phương trình: 2x-3y+4z-9=0.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi
qua điểm B(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1),
B(2;-3;2), C(5;0;4), D(6;2;5). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D và
song song với mặt phẳng (ABC).
• Dạng 3
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;A x y z
.
- Do mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C nên mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến là
P
n AB,AC
 
=
 
uur uuur uuur

.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

4
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,AC
 
=
 
uur uuur uuur
.
Với
( )
( )

= −


= −



uuur
uuur
AB 1;1;0 .
AC 1;0;1 .

( )
P
n AB,AC 1;1;1
 
⇒ = =
 
uur uuur uuur
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
.

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − + − =
⇔ − + + =
⇔ + + − =
x 1 1 y 0 1 z 0 0.
x 1 y z 0.
x y z 1 0.
Cách khác: Ta có thể áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

- Do ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt
phẳng (P) có phương trình là:
o
1 1 x+y+z-1=0
1 1 1
x y z x y z
a b c
+ + = ⇒ + + = ⇔
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
+ + + + + =
2 2 2
x y z 2x 4y z 0
. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ) của
mặt cầu (S) với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua ba
điểm A, B, C.
Bài giải
• Tìm A.
- Vì
( )
Ox A x;0;0A∈ ⇒
.
- Do
( ) ( )
2
0
S 2 0 2;0;0

2
x
A x x A
x
=

∈ ⇒ + = ⇔ ⇒ −

= −

.
• Tìm B.
- Vì
( )
Oy 0;y;0Β∈ ⇒ Β
.
- Do
( ) ( )
2
0
S y 4 0 0; 4;0
4
y
y
y
=

Β∈ ⇒ + = ⇔ ⇒ Β −

= −


.
• Tìm C.
- Vì
( )
C Oz C 0;0;z∈ ⇒
.
- Do
( ) ( )
2
0
C S z 0 C 0;0; 1
1
z
z
z
=

∈ ⇒ + = ⇔ ⇒ −

= −

.

5
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
• Do ba điểm A(-2;0;0), B(0;-4;0), C(0;0;-1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt
phẳng (P) có phương trình là:

1

1
2 4 1
x+y+4z+4=0
x y z
a b c
x y z
+ + =
⇒ + + =
− − −
⇔ 2
.
c. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(2;4;5),
C(4;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0;-2),
trung điểm đoạn thẳng AB là I(-1;1;4) và trọng tâm là G(9;1;2). Viết phương trình
mặt phẳng (ABC).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K(1;2;3), đường thẳng d có
phương trình tham số:
x 1 t
y 1 t
z 2t
= − +


= − +


= −


và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát:
x+y-2z-4=0. Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương
trình mặt phẳng (OHK).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-3;4). Gọi A, B, C lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ. Viết phương trình mặt
phẳng (ABC).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của điểm M(2;3;-5) lên các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt
phẳng đi qua ba điểm I, J, K.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1),
B(2;-3;2), C(5;0;4), D(6;2;5). Gọi G là trọng tâm tứ diện và I là điểm cách đều các
đỉnh của tứ diện. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I.
• Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
không đi qua A.
a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
- Chọn một điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uuuur uur
P d
n MA,a

.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

6
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số
1
2
2
x t
y t
z t
= +


=


= +

và điểm A(1;3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
chứa đường thẳng d.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;3;2).

- Đường thẳng d đi điểm M(1;0;2) và có vectơ chỉ phương là
( )
1;2;1
d
a =
uur
.
- Ta có
( )
0;3;0MA =
uuur
.
- Do mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = −
 
uur uuuur uur
P d
n MA,a 3;0; 3
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
( ) ( ) ( )
3 1 0 3 3 2 0
3 3 3 6 0

3 3 3 0
1 0
x y z
x z
x z
x z
⇒ − + − − − =
⇔ − − + =
⇔ − + =
⇔ − + =
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua điểm A(2;1;1) và chứa trục Ox.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uuur r
P
n OA,i
.
- Với
( )
( )
2;1;1
1;0;0
OA
i


=


=


uuur
r
.
- Suy ra:
( )
 
= = −
 
uur uuur r
P
n OA,i 0;1; 1
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
( ) ( ) ( )
x 1 0 1 0 0
0
y z
y z
⇒ 0 −0 + − − − =
⇔ − =

c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
chính tắc là
1 1
1 2 3
x y z− +
= =
và điểm B(1;-3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua B và chứa đường thẳng d.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi
qua điểm M(-2;1;-3) và chứa trục Oy.

7
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi
qua điểm E(3;-1;0) và chứa trục Oz.
• Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (Q).
a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uuur uur
P Q

n AB,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua hai điểm A(3;-2;5), B(1;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-3y+2z+4=0.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3;-2;5).
- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uuur uur
P Q
n AB,n
.
- Với
( )
( )
2;1; 2
1; 3;2
Q
AB
n


= − −


= −


uuur
uur
, suy ra
( )
 
= = −
 
uur uuur uur
P Q
n AB,n 4;2;5
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
4 3 2 2 5 5 0
4 12 2 4 5 25 0
4 2 5 9 0
x y z
x y z
x y z

⇒ − − + + + − =
⇔ − + + + + − =
⇔ − − + =
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua hai điểm A(2;-1;4), B(3;2;-1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+y+2z-3=0.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi
qua hai điểm M(2;1;1), N(3;2;2) và vuông góc với mặt phẳng (
β
): x+2y-5z-3=0.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi
qua hai điểm E(1;-2;2), F(-3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x+y-z+6=0.

8
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
• Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc
với mặt phẳng (Q).
a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 

uur uur uur
P d Q
n a ,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
1
2
2
x t
y t
z t
= +


=


= +

và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x-y+3=0. Viết
phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với
mặt phẳng (Q).
Bài giải

- Chọn điểm M(1;0;2) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
1;2;1
d
a =
uur
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
( )
2; 1;0
Q
n = −
uur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = −
 
uur uur uur
P d Q
n a ,n 1;2; 5
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 1 2 0 5 2 0.
2 5 9 0.
x y z
x y z
⇒ − + − − − =
⇔ + − + =
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
1 1
1 2 1
x y z− +
= =
và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát
x+y+z+10=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
và vuông góc với mặt phẳng (Q).
Bài giải
- Chọn điểm M(1;0;-1) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
1;2;1
d
a =
uur
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
( )
1;1;1
Q

n =
uur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = −
 
uur uur uur
P d Q
n a ,n 1;0; 1
.

9
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 1 0 0 1 1 0.
2 0.
x y z
x z
⇒ − + − − + =
⇔ − − =
c. Bài tập luyện tập.

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
1 2
1
2
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x+z+1=0. Viết
phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với
mặt phẳng (Q).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
2
1 2 3
x y z +
= =
và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát
x-2y-z+9=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
vuông góc với mặt phẳng (Q).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): 4x+y+3z-8=0.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P): 5x-3y-2z+7=0.
• Dạng 7
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song
với đường thẳng d’.
a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và và song song với đường thẳng d’
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uur uur
P d d'
n a ,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
3
1
2 2

x t
y t
z t
= +


= −


= +

và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
'
2 3 '
2 '
x t
y t
z t
= −


= +


=

.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song
với đường thẳng d’.

10
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
Bài giải
- Chọn điểm M(3;1;2) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
1; 1;2
d
a = −
uur
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
( )
'
1;3;2
d
a = −
uur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = − −
 
uur uur uur
P d d'
n a ,a 8; 4;2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):

( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
3 4 1 2 2 0.
4 2 24 0.
4 2 12 0
x y z
x y z
x y z
⇒ −8 − − − + − =
⇔ −8 − + + =
⇔ + − − =
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
chính tắc là:
1 2
2 2 1
x y z− −
= =
− −
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
2
5 3
4
x t
y t
z

= −


= − +


=

. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
song song với đường thẳng d’.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
chính tắc là:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
và đường thẳng d’ có phương trình chính tắc là :
5 4
2 3 1
x y z+ −
= =
− −
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
d và song song với đường thẳng d’.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0),
C(0;0;1), D(1;1;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với
đường thẳng CD.
2. Viết phương trình mặt phẳng

( )
α
chứa đường thẳng BC và song song với
đường thẳng AD.
• Dạng 8
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uur uur
P d d'
n a ,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

11
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

tham số là:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t
= +


= +


= − +

và đường thẳng d’ có phương trình tham số là:
2 '
1 2 '
1 '
x t
y t
z t
= +


= +


= +


.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường
thẳng d’.
Bài giải
- Chọn điểm M(1;2;-1) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
2;1;3
d
a =
uur
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
( )
'
1;2;1
d
a =
uur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = −
 
uur uur uur
P d d'
n a ,a 5;1;3
.

- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 1 2 3 1 0.
x+y+3z+6=0.
x y z⇒ −5 − + − + + =
⇔ −5
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
1 2
2
x t
y t
z t
= +


=


= +

và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1 4 '
1 2 '
2 '

x t
y t
z t
= +


= +


=

.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường
thẳng d’.
Bài giải
- Chọn điểm A(1;0;2) thuộc đường thẳng d.
- Chọn điểm B(1;1;0) thuộc đường thẳng d’.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
2;1;1
d
a =
uur
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
( )
'
4;2;2
d
a =

uur
.
- Nhận thấy
'
2
d d
a a=
uur uur
và điểm A thuộc d nhưng không thuộc d’ nên đường
thẳng d song song với đường thẳng d’.
- Tính
( )
0;1; 2AB = −
uuur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = − −
 
uur uuur uur
P d
n AB,a 3; 4; 2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 4 0 2 2 0.
3 3 4 2 4 0
x-4y-2z+1=0.
x y z
x y z
⇒ 3 − − − − − =
⇔ − − − + =
⇔ 3

12
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
0
1
1
x
y
z t
=


=


= −


và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
2 2 '
1
0
x t
y
z
= − +


=


=

.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường
thẳng d’.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
chính tắc là:
1 2 4
2 1 3
x y z− + −
= =
−
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1
2 3
x t
y t

z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
đường thẳng d’.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
2
1 3
x t
y t
z t
= − +


= +


=

và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
3 '
2 9 '
1 3 '

x t
y t
z t
=


= +


= − +

.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường
thẳng d’.
• Dạng 9
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với
mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt
phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uur uur
P Q R
n n ,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )

0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình
tổng quát là x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng quát là 2x-y-3=0 và
điểm M(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với
mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1).
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
( )
1;1;1
Q
n =
uur
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
( )
2; 1;0
Q
n = −
uur
.

13
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt
phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:.
( )

 
= = −
 
uur uur uur
P Q R
n n ,n 1;2; 3
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 1 0.
2 3 2 0.
x y z
x y z
⇒ − + − − − =
⇔ + − − =
c. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình
tổng quát là 2x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng quát là x-2y+z+4=0
và điểm M(1;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc
với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0),
C(0;0;2) và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là x+2z+10=0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;1;-3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) và
mp(ABC).
• Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa điều kiện cho trước và tiếp xúc

với một mặt cầu cho trước.
a. Phương pháp.
- Phương trình mp(P) có dạng
Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C+ + ≠
.
- Từ điều kiện cho trước ta tìm được vectơ pháp tuyến
( )
; ;
P
n A B C=
uur
của mặt
phẳng (P).
- Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ tâm I của mặt
cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R. Từ điều kiện này ta tính được D.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và
mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
+ − + − =
2 2 2
x-1 y 2 z 3 9
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài giải
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3.
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng

(P) có dạng 2x+2y+z+D=0 với D
≠
-1.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
( )
( )
,
2.1 2.2 3
3 9 9
9
9 9 0
9 9 18
d I P R
D
D
D D
D D
=
+ + +
⇔ = ⇔ + =
+ = =
 
⇔ ⇔
 
+ = − = −
 


14
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.

- Với D=0, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z = 0.
- Với D=-18, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z-18 = 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là
2 2
9 2
x t
y t
z t
= − +


=


= +

và mặt cầu (S)
( ) ( ) ( )
+ − + − =
2 2 2
x-1 y 1 z 1 9
. Viết phương trình
mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài giải
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=3.
- Phương trình mp(P) có dạng
Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2

0A B C+ + ≠
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là
( )
2;1;2
P d
n a= =
uur uur
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x+y+2z+D=0.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
( )
( )
,
2.1 1 2.1
3
9
5 9 4
5 9
5 9 14
d I P R
D
D D
D
D D
=
+ + +
⇔ =
+ = =

 
⇔ + = ⇔ ⇔
 
+ = − = −
 

- Với D=4, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y+2z+4 = 0.
- Với D=-14, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y+2z-14 = 0
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và
mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) bán kính R=3. Viết phương trình mặt phẳng (P) song
song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
tổng quát là 16x-15y-12z-75=0 và mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
+ − + − =
2 2 2
x-1 y 2 z 3 4
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là
6 2
4
1 2
x t
y t
z t
= −



= −


= +

và mặt cầu (S)
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0+ + − − − − =
. Viết phương
trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp
xúc với mặt cầu (S):
2 2 2
10 2 26 170 0x y z x y z+ + − + + + =
và song song với hai đường
thẳng d:
5 2 x=-7+3t'
1 3 , d': y=-1-2t'
13 2 z=8
x t
y t
z t
= − +
 
 
= −
 
 

= − +
 
.

15
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
PHỤ LỤC
TT NỘI DUNG Trang
1 Mở đầu. 1
2
Tóm tắt lý thuyết.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
1
1
2
2
3
Các dạng phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và vuông góc với đường thẳng d.
2
4
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và song song với mặt phẳng (Q).
3
5
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C
không thẳng hàng.
4
6
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa
đường thẳng d không đi qua A.
6
7
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua qua hai điểm A,
B và vuông góc với mặt phẳng (Q).
8
8
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
vuông góc với mặt phẳng (Q).
9
9
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
song song với đường thẳng d’.
10
10
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
đường thẳng d’.
11
11

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
13
12
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa điều kiện cho
trước và tiếp xúc với một mặt cầu cho trước.
14
14 Kết quả đạt được. 16
15 Kết luận – Kiến nghị. 16
16 Phụ lục. 17

16
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
17 Tài liệu tham khảo. 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Hạo “Sách giáo khoa lớp 12 cơ bản”, nhà xuất bản giáo dục
Việt Nam, năm 2011.
2. Đoàn Huỳnh “Sách giáo khoa lớp 12 nâng cao”, nhà xuất bản giáo dục
Việt Nam, năm 2012.
3. Nguyễn Mộng Hy “Sách bài tập hình học lớp 12 cơ bản”, nhà xuất bản
giáo dục Việt Nam, năm 2008.
4. Văn Như Cương “Sách bài tập lớp 12 nâng cao”, nhà xuất bản giáo dục
Việt Nam, năm 2009.
5. Trần Đức Huyên “Phương pháp tọa độ trong không gian”, nhà xuất bản
giáo dục Việt Nam, năm 2010.
6. Trần Diệu Minh và Nguyễn Phong Lưu “Hệ thống kiến thức và giới thiệu
một số đề thi”, nhà xuất bản giáo dục, năm 2009.
7. Hồ Sĩ Vinh “Những bài toán chọn lọc Hình học giải tích”, nhà xuất bản
đại học quốc gia Hà Nội, năm 2010./.

17