Phương pháp giải các bài toán thể tích trong đề thi tuyển sinh

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bạn Download tài liệu tại www.k2pi.net

2012

gb
oc

uo

c.
co

m

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH-CĐ
Ths. Nguyễn Bá Thuỷ
Trường THPT Bắc Yên Thành
Theo cấu trúc đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ do Bộ GD-ĐT ban hành cũng như trong đề thi
Tuyển sinh ĐH-CĐ những năm gần đây, phần HHKG là chủ đề bắt buộc (chiếm khoảng 1,0điểm).
Đây là bài toán gây nhiều khó khăn cho thí sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh không biết lựa
chọn công cụ giải toán phù hợp, hay nói cách khác các em chưa nắm được “yếu quyết” để giải
qiuyết các loại toán này. Một trong những loại toán thường gặp về hình học không gian tổng hợp
trong đề thi tuyển sinh là bài toán thể tích. Bài viết này của chúng tôi hi vọng phần nào giúp các em
học sinh giải quyết được những khó khăn trong việc các bài toán dạng này.
Có thể chia bài toán thể tích thành các loại toán như sau:
Loại 1: Các bài toán tính thể tích trực tiếp.
Đề giải được các bài toán thuộc dạng này, vấn đề quan trọng nhất là xác định được đường
cao của đa diện.
Ví dụ 1 (TSĐH 2009A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có

AB+AD=2a, CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm AD,
biết 2 mặt phẳng (SBI) và SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD?
Giải:
(SIB)  (ABCD) và (SIC)  (ABCD) nên ta có SI  (ABCD)
S
Vậy SI là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Ta tính SI:
Có diện tích hình thang ABCD là: dt(ABCD)= 3a2.
1
1
1
dt(ABI)  AB.IA  a 2 , dt(CDI)  CD.ID  a 2
A
B
2
2
2
I
3a 2
 dt(ICB)  dt(ABCD)  dt(IAB)  dt(ICD) 
K
D
C
2

BC  (AB  CD)2  AD2  a 5

Kẻ IK  BC (K  BC) thì ta có BC  (SIK)  SKI  600 và IK 

 SI  IK.tan SKI 

2dt(IBC) 3 5a

CB
5

3 15a
.
5

kh

on

1
3 15a 3
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là : V  SI.dt(ABCD) 
(đvtt).
3
5
Chú ý 1.
 Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao.
 Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh vuông góc
với giao tuyến của đáy với mặt bên đó (Nói đơn giản là đường cao của mặt bên).
 Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên chung
của 2 mặt đó.
 Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các góc bằng
nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
 Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm
đường tròn nội tiếp đáy.

Ngoài ra trong một số trường hợp khác chúng ta có thể khai thác các tính chất khác của đa
diện để xác định đường cao.
Ví dụ 3 (TSĐH 2010B). Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có Ab=a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm A'BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bạn Download tài liệu tại www.k2pi.net

A'

2012

Giải: (Ở đây chúng tối chỉ giải phần tính thể tích nhằm
minh họa cho bài viết của mình)

C'

Gọi D là trung điểm của BC, ta có :

B'

m

BC  AD  BC  A'D , suy ra : ADA '  600
3a
Ta có : AA '  AD.tan ADA'  .
2

2
a 3
dt(ABC) 
4
Do đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là :
3a 3 3
VABC.A 'B'C'  AA '.dt(ABC) 
(đvtt)
8

G

A

c.
co

j

C
H

D

B

gb
oc

uo

Chú ý 2.
 Với lăng trụ đứng ta thường gặp các loại:
- Biết chiều cao hoặc cạnh đáy.
- Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Biết góc giưa 2 mặt phẳng.
 Với khối lăng trụ xiên: Vấn đề quan trọng nhất là xác định được chiều cao của lăng trụ.

on

Loại 2: Các bài toán sử dụng công thức tỉ số thể tích.
Lưu ý: Đối với khối chóp tam giác S.ABC và A’, B’, C’ là các điểm tương ứng thuộc các
V
SA ' SB' SC '
.
cạnh SA, SB, SC thì ta có: S.A 'B'C ' 
.
.
VS.ABC
SA SB SC
Ví dụ 3 (Đề dự bị 2007A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a,
cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
a 3
AM 
. Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích
3
khối chóp SBCMN?
S
Từ M kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SD tại N thì N là
giao điểm của (BCM) và SD, vì SA  (ABCD) nên góc giữa

kh

M

SB và (ABCD) là SBA  600 . Ta có SA  SB.tan SBA  a 3 .

N

Từ đó ta có: SM  SA  AM  a 3 

a 3 2 31

3
3

SM SN 2

 .
SA SA 3
Dễ thấy: VS.ABCD  VS.ABC  VS.ADC  2VS.ABC  2VS.ADC
Và VS.BCNM  VS.BCM  VS.CNM
B
C
V
V
 VS.CNM
V
V
Do đó: S.BCNM  S.BCM

 S.BCM  S.CNM
VS.ABCD
VS.ABCD
2VS.ABC 2VS.ADC
1 SM SB SC 1 SM SN SC 1 2 5
 .
. .
 .
.
.
   .
2 SA SB SC 2 SA SD SC 3 9 9
A

D




Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bạn Download tài liệu tại www.k2pi.net

2012

D'

C'

B'

A'

D

E

uo

M

c.
co

m

1
2 3a 3
10 3a 3
Mà VS.ABCD  SA.dt(ABCD) 
(đvtt)
 VS.BCNM 
3
3
27
Chú ý rằng công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác, nhiều hs do nhầm lẫn
đã áp dụng nó cho các khối chóp không phải là chóp tam giác đã dẫn đến kết quả sai!!!
Loại 3: Các bài toán sử dụng phép phân chia khối đa diện.
Ta biết rằng: Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành các khối đa diện (H1) và (H2) thì
thể tich của (H) bằng tổng thể tích của (H1) và (H2). Và trong nhiều trường hợp việc sử dụng các

phép phân chia các khối đa diện sẽ giúp cho chúng ta phương pháp tính thể tích của các khối đa
diện, đặc biệt là các khối đa diện không phải khối cơ bản.
Ví dụ 4 (TSĐH 2003A). Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a,
chiều cao AA’=b. Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Tính thể tích tứ diện BDA’M.
Giải:

C

O
B

gb
oc

A

kh

on

Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi E là giao điểm của AC và A’M. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
3a 2
Ta có: Vì M là trung điểm của CC’ nên ta có: CE  AC  a 2  OE 
2
1
1
3a 2 3a 2

Do ABCD là hình vuông nên OE  BD . Do đó: dt(BDE)  BD.OE  a 2.
2

2
2
2
1
1
Ta có: VA '.BMD  VA '.BED  VM.BED  AA '.dt(BDE)  MC.dt(BDE)
3
3
2
1
b
a b
  b   .dt(BDE) 
(đvtt)
3
2
4
Loại 4: Sử dụng thể tích để giải các bài toán khoảng cách.
Trong nhiều trường hợp các bài toán khoảng cách có thể giải quyết được bằng cách quy về
bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách sẽ dựa vào công thức hiển nhiên sau :
3V
h
(Với V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của khối chóp nào đó) hoặc
S
V
h
(đối với khối lăng trụ). Như vậy bài toán tìm khoảng cách được quy về bài toán tìm chiều
S
cao của hình chóp hoặc lăng trụ nào đó.
Ví dụ 5 (TSĐH 2009D). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông tại B.

Giả sử AB=a, AA’=2a; AC  a 3 . Gọi M là trung điểm của AC’ và I là giao điểm của AM và
A’C.
1) Tính thể tích tứ diện IABC.
2) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC).


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bạn Download tài liệu tại www.k2pi.net

2012

Giải: (Do khuôn khổ bài báo chúng tôi không trình bày trọn vẹn lời giải mà chỉ trình bày lời giải
cho ý 2))
4a 3
Theo phần 1) ta có VIABC 
9

I

Có BC  AC2  AB2  2a
Kẻ IH  AC(H  AC)  IH  (ABC)
Kẻ HE  BC(E  BC)  IE  BC (Định lí 3 đường
vuông góc)
HE CH CB' 2
2
2a


  HE  AB 

Ta có
AB CA CA ' 3
3
3

c.
co

B'

C'

m

M

A'

16a 2
2a 5
 4a 2 9 
K
9
3
C
A
1
1 2a 5
2a 5
H

.2a 
Nên dt(IBC)  IE.BC 
2
2 3
3
E
Gọi h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) thì:
B
4a 3
3.
2
3.VIABC
9  2a
h

dt(IBC) 2a 5
5
3
Trên đây là một số trao đổi của chúng tôi xung quanh vấn đề giải các bài toán liên quan đến
thể tích trong các đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ. Hy vọng rằng sẽ giúp được các em học sinh phần nào
trong việc ôn tập, chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng sắp tới. Rất mong nhận được góp ý của quý
đồng nghiệp và bạn đọc.

kh

on

gb
oc

uo

Do đó IE  IH 2  HE 2 