Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Khả Hòa

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA
VỎ BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH
BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Khả Hòa

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA
VỎ BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH
BIẾN THIÊN
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã Số:

62440107

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐÀO VĂN DŨNG

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi là Lê Khả Hòa, hiện đang là nghiên cứu sinh của khoa Toán - Cơ - Tin học,
trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.

Tác giả

Lê Khả Hòa


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn là PGS.TS Đào
Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường
xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS. TSKH Đào Huy Bích đã
quan tâm, giúp đỡ trong quá trình tác giả thực hiện luận án này.
Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể các thầy cô giáo Bộ môn Cơ học, Khoa Toán
- Cơ - Tin học và Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn
quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập
và nghiên cứu tại nhà trường.
Tác giả trân trọng cảm ơn các Phòng, Ban lãnh đạo Học viện Hậu cần, các
đồng nghiệp trong Bộ môn Lý - Kỹ thuật Cơ sở và Khoa Khoa học Cơ bản trường
Học viện Hậu cần đã luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên để tác giả hoàn thành
luận án.

Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo và các nhà khoa học trong seminar Cơ
học Vật rắn Biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận án.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người thân
trong gia đình đã luôn ở bên cạnh động viên và chia sẻ những khó khăn với tác giả
trong suốt thời gian làm luận án.


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục

1

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

5

Danh mục các bảng

6

Danh mục các hình vẽ

10

MỞ ĐẦU

15

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

18

1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên và ứng dụng

18

1.2. Phân loại và tiêu chuẩn ổn định tĩnh

21

1.3. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về ổn định của các kết cấu

23

FGM
1.3.1. Các nghiên cứu về vỏ trụ

23

1.3.2. Các nghiên cứu về vỏ nón

27

1.4. Các kết quả đạt được từ các công trình đã công bố trong nước và

29

quốc tế
1.5. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu của luận án

1

30


CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA VỎ

31

FGM KHÔNG HOÀN HẢO KHÔNG GÂN GIA CƯỜNG
2.1. Ổn định phi tuyến của panel trụ mỏng FGM không hoàn hảo chịu

31

nén dọc trục với hệ số Poisson thay đổi ν=ν(z)
2.1.1. Đặt vấn đề

31

2.1.2. Panel trụ FGM và các phương trình cơ bản

31

2.1.2.1. Panel trụ FGM

31

2.1.2.2. Các phương trình cơ bản

32

2.1.3. Điều kiện biên và nghiệm của bài toán

35

2.1.3.1. Các điều kiện biên

35

2.1.3.2. Giải bài toán panel trụ FGM với điều kiện biên bốn cạnh tựa đơn

36

2.1.3.3. Giải bài toán panel trụ FGM với hai cạnh cong tựa đơn và hai

40

cạnh thẳng là ngàm trượt
2.1.4. Các kết quả số và thảo luận

42

2.2. Ổn định phi tuyến tĩnh của vỏ trụ tròn mỏng FGM không hoàn hảo

48

2.2.1. Đặt vấn đề

48

2.2.2. Đặt bài toán

48

2.2.3. Phương pháp giải

49

2.2.4. Vỏ trụ hoàn hảo

53

2.2.5. Kết quả số và thảo luận

55

2.3. Kết luận chương 2

62

2


CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TRỤ

63

TRÒN MỎNG FGM CÓ GÂN FGM GIA CƯỜNG LỆCH TÂM (ESFGM)
3.1. Đặt vấn đề

63

3.2. Các hệ thức cơ bản của vỏ trụ tròn ES - FGM

64

3.3. Ổn định phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu áp lực ngoài

69

3.3.1. Đặt bài toán và phương pháp giải

69

3.3.2. Các kết quả số và thảo luận

73

3.4. Ổn định phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu tải xoắn

79

3.4.1. Đặt bài toán và phương pháp giải

79

3.4.2. Các kết quả số và thảo luận

85

3.5. Ổn định phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi

93

3.5.1. Đặt vấn đề

93

3.5.2. Hệ phương trình ổn định của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi

94

3.5.3. Vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bên trong và chịu áp lực ngoài

94

3.5.3.1. Đặt bài toán và phương pháp giải

94

3.5.3.2. Kết quả số và thảo luận

97

3.5.4. Vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi chịu tải xoắn

103

3.5.4.1. Đặt bài toán và phương pháp giải

103

3.5.4.2. Kết quả số và thảo luận

105

3.6. Kết luận chương 3

109

3


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ NÓN
CỤT FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG

110

4.1. Đặt vấn đề

110

4.2. Ổn định tuyến tính vỏ nón cụt FGM có gân gia cường thuần nhất

111

4.2.1. Đặt bài toán

111

4.2.2. Các phương trình cơ bản

112

4.2.3. Phương pháp giải

118

4.2.4. Kết quả số và thảo luận

119

4.3. Ổn định vỏ nón FGM có gân gia cường FGM có nền đàn hồi

126

4.3.1. Các phương trình cơ bản

126

4.3.2. Phương pháp giải

130

4.3.3. Kết quả số và thảo luận

131

4.4. Kết luận chương 4

142

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN ÁN

143

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN

145

TÀI LIỆU THAM KHẢO

146

PHỤ LỤC

157

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

FGM

Functionally Graded Material - Vật liệu có cơ tính biến thiên.

ES-FGM

Gân gia cường lệch tâm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên.

E(z)

Mô đun đàn hồi của vật liệu FGM, là hàm của tọa độ z.

Em

Mô đun Young của kim loại.

Ec

Mô đun Young của gốm.

ν(z)

Hệ số Poisson của vật liệu FGM, là hàm của tọa độ z.

ρ

Mật độ

k

Chỉ số tỉ phần thể tích của vỏ.

k2, k3

Chỉ số tỉ phần thể tích của gân.

K1 , K2

Hệ số nền đàn hồi Winkler và Pasternak.

h

Chiều dày của vỏ.

hs, hr

Chiều cao của gân dọc, gân vòng.

bs, br

Chiều rộng của gân dọc, gân vòng.

u, v, w

Các thành phần chuyển vị theo phương x, y và z.

Nx, Ny, Nxy

Các thành phần lực dãn, nén, thành phần lực tiếp.

Mx, My, Mxy

Các thành phần mômen tương ứng.

r0

Cường độ lực nén tác dụng nên panel trên cạnh x=0, x= a

p0

Cường độ lực nén tác dụng nên panel trên cạnh y=0, y= b.

q0

Áp lực đều tác dụng lên mặt panel.

p, p

Cường độ lực nén dọc trục tác dụng lên vỏ trụ và vỏ nón.

q

Cường độ áp lực phân bố đều tác dụng lên vỏ trụ hoặc vỏ nón.



Cường độ tải xoắn tác dụng vào hai đầu vỏ trụ.

pcr, qcr, τcr

Tải nén, áp lực ngoài và tải xoắn tới hạn.

T

Nhiệt độ

5


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM

19

[68, 110]
Bảng 2.1: So sánh tải tới hạn N x /( ER) của panel trụ thuần nhất chịu nén

42

dọc trục.
của panel trụ FGM hoàn hảo tựa bản lề

43

Bảng 2.3: Ảnh hưởng của diều kiện biên, chỉ số tỉ phần thể tích k và

47

Bảng 2.2: So sánh tải tới hạn

Pcr

bốn cạnh chịu nén dọc trục.

mode vồng (m,n) đến tải tới hạn r0cr của panel trụ không hoàn hảo
(ξ=0.1) chịu nén dọc trục.
Bảng 2.4: Các hệ số nhiệt của tính chất vật liệu Zirconia và Ti-6Al-4V

55

Bảng 2.5: Ảnh hưởng của tỉ số R/h đến tải tới hạn (MPa) của vỏ trụ chịu

57

nén dọc trục
Bảng 2.6: Quan hệ giữa tải tới hạn và mode vồng (m, n) khi tính chất vật

57

liệu tuân theo quy luật mũ của vỏ trụ chịu nén dọc trục
Bảng 2.7: So sánh tải tới hạn pcr (MPa) khi ν=ν(z) và ν=const của vỏ trụ

58

chịu nén dọc trục (L/R=1)
Bảng 3.1: So sánh lực tới hạn q (Psi) của vỏ trụ thuần nhất có gân gia

73

cường chịu áp lực ngoài

Bảng 3.2: Ảnh hưởng của mode vồng đến tải tới hạn q cr (KPa) của vỏ trụ

74

FGM có gân FGM gia cường chịu áp lực ngoài
Bảng 3.3: So sánh tải tới hạn của vỏ trụ FGM có gân FGM gia cường và

77

không gân khi k thay đổi của vỏ trụ FGM chịu áp lực ngoài.
Bảng 3.4: So sánh tải tới hạn của vỏ trụ FGM có gân FGM gia cường và
không gân khi h thay đổi của vỏ trụ FGM chịu áp lực ngoài.

6

77


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
[1].

Đào Huy Bích (2000), Lý thuyết đàn hồi, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
Hà nội, Hà nội.

[2].

Đào Văn Dũng, Đặng Thùy Đông (2013), “Ổn định phi tuyến của panel trụ
cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm nằm trên nền đàn hồi với điều
kiện biên tựa bản lề và ngàm”, Hội nghị khoa học toàn quốc - Cơ học VRBD

lần thứ XI, Thành phố Hồ Chí Minh 7-9/11/2013, Tập 1, tr. 335-344.

[3].

Hoàng Xuân Lượng, Phan Anh Tuấn, Nguyễn Lê Sinh (1999), “Nghiên
cứu ổn định đàn hồi của vỏ tròn xoay làm bằng vật liệu composite nhiều
lớp”, Tuyển tập công trình khoa học Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng
toàn quốc lần thứ sáu, tr. 345-351.

[4].

Hoàng Xuân Lượng, Nguyễn Lê Sinh, Phan Anh Tuấn (2001), “Xây dựng
phương pháp phần tử hữu hạn tính vỏ có gân tăng cường chịu áp lực cao”,
Tuyển tập Công trình Khoa học Hội nghị Khoa học toàn quốc về Cơ học
Kỹ thuật, tr. 122-128.

[5].

Nguyễn Thị Phương (2014), Nghiên cứu ổn định tĩnh của tấm và vỏ composite
cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm, Luận án tiến sĩ Kỹ thuật, Học
viện Kỹ thuật Quân sự.

[6].

Hoàng Văn Tùng (2011), Ổn định nhiệt đàn hồi của tấm và vỏ Composite
biến đổi chức năng, Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiênĐHQGHN.

Tài liệu tiếng Anh
[7].

Alinia M.M., Ghanadpour S.A.M. (2009), “Nonlinear analysis of pressure
loaded FGM plates”, Compos. Struct. 88, pp. 354-359.

[8].

Argento A. (1993), “Dynamic stability of a composite circular cylindrical
shell subjected to combined axial and torsional loading”, J. Compos.
Materials 27 (18), pp. 1722-1738.

146


[9].

Bagherizadeh E., Kiani Y., Eslami M.R. (2011), “Mechanical buckling of
functionally graded material cylindrical shells surrounded by Pasternak
elastic foundation”, Compos. Struct. 93, pp. 3063-3071.

[10].

Baruch M., Singer J. (1963), “Effect of eccentricity of stiffeners on the general
instability of stiffened cylindrical shells under hydro-static pressure”, J. Mech.
Eng. Sci. 5, pp. 23-27.

[11].

Baruch M., Harari O., Singer J. (1970), “Low buckling loads of axially
compressed conical shells”, J. Appl. Mech. 37, pp. 384-392.

[12].

Batra R.C. (2006), “Torsion of a functionally graded cylinder”, AIAA J. 44,
pp. 1363–1365.

[13].

Bich D.H. (2009), “Nonlinear buckling analysis of FGM shallow spherical
shells”, Vietnam J. Mech. 31, pp. 17-30.

[14].

Bich D.H., Tung H.V. (2011), “Nonlinear axisymmetric response of
functionally graded shallow spherical shells under uniform external
pressure including temperature effects”, Int. J. Nonlinear Mech. 46, pp.
1195-1204.

[15].

Bich D.H., Nam V.H., Phuong N.T. (2011), “Nonlinear post-buckling of
eccentrically stiffened functionally graded plates and shallow shells”.
Vietnam J. Mech. 3, pp.131-147.

[16].

Bich D.H., Phuong N.T., Tung H.V. (2012), “Buckling of functionally
graded conical panels under mechanical loads”, Compos. Struct. 94, pp.
1379-1384.

[17].

Bich D.H., Nguyen N.X. (2012), “Nonlinear vibration of functionally
graded circular cylindrical shells based on improved Donnell equations”. J.
Sound and Vib. 331(25), pp. 5488-5501.

[18].

Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H. (2012), “Nonlinear dynamical analysis
of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical panels”, Compos.
Struct. 94 (8), pp. 2465-2473.

147


[19].

Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H. (2013), “Nonlinear dynamic analysis of
eccentrically stiffened imperfect functionally graded doubly curved thin
shallow shells”, Compos. Struct. 96, pp. 384-395.

[20].

Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H., Phuong N.T. (2013), “Nonlinear static
and dynamic buckling analysis of imperfect eccentrically stiffened
functionally graded circular cylindrical thin shells under axial
compression”, Int. J. Mech. Sci. 74, pp. 190–200.

[21].

Bich D.H, Dung D.V., Nam V.H. (2013), “Nonlinear Axisymmetric
Dynamic Buckling and Vibration of Functionally Graded Shallow

Spherical Shells under External Pressure Including Temperature Effects
Resting on Elastic Foundation”, Proceedings of the 11th National
Conference on Deformable Solid Mechanics, Ho Chi Minh city 2013, pp.
101-110.

[22].

Bich D.H, Dung D.V., Nga N.T. (2013), “Nonlinear buckling and postbuckling of imperfect eccentrically stiffened functionally graded plates
based on the first order shear deformation plate theory”, Proceedings of the
11th National Conference on Deformable Solid Mechanics, Ho Chi Minh
city 2013, pp. 111-121.

[23].

Bich D.H., Duc N.D., Quan T.Q. (2014), “Nonlinear vibration of imperfect
eccentrically stiffened functionally graded double curved shallow shells
resting on elastic foundation using the first order shear deformation
theory”, Int. J. Mech. Sci. 80, pp. 16–28.

[24].

Birman V. (1997), “Theory and comparison of the effect of composite and
shape memory allong stiffeness on stability of composite shells and
plates”, Int. J. Mech. Sci. 39(10), pp. 1139-1149.

[25].

Brush D.O., Almroth B.O. (1975), Buckling of bars, plates and shells, New
York: Mc Graw-Hill.

[26].

Chang L.K., Lu S.Y. (1968), “Nonlinear thermal elastic buckling of
conical shells”, Nucl. Eng. Des. 7, pp. 159-169.

[27].

Civalek O. (2006), “An efficient method for free vibration analysis of
rotating truncated conical shells”, Int. J. Pressure Vessels Piping 83, pp.
1-12.

148


[28].

Crenwelge O.E., Muster D. (1969), “Free vibration of ring and stringer
stiffened conical shells”. J. Acoust. Soc. Am.46, pp. 176-185.

[29].

Cuong N.M., Thinh T.I., Hien T.T. (2012), “Vibration analysis of thick
laminated composite conical shells by continuous element method”,
Proceedings of the Nineth National Conference on Mechanics, Hanoi 8-9
December, pp. 183-193.

[30].

Cuong N.M., Thinh T.I., Nam L.T.B. (2013), “Vibration analysis of thick
rotating laminated composite cylindrical shells by Continuous element

method”, Proceedings of the 11th National Conference on Deformable
Solid Mechanics, Ho Chi Minh city 2013, pp. 304-314.

[31].

Dasgupta A. (1982), “Free torsional vibration of thick isotropic
incompressible circular cylindrical shell subjected to uniform external
pressure”, Int. J. Eng. Sci. 20 (10), pp. 1071-1076.

[32].

Duc N.D., Tung H.V. (2010), “Nonlinear analysis of stability for
functionally graded cylindrical panels under axial compression”, Comput.
Mater. Sci. 49, pp. 313-316.

[33].

Duc N.D., Thang P.T. (2014), “Nonlinear buckling of imperfect
eccentrically stiffened metal–ceramic–metal S-FGM thin circular
cylindrical shells with temperature-dependent properties in thermal
environments”, Int. J. Mech. Sci. 81, pp. 17–25.

[34].

Duc N.D., Thang P.T. (2014), “Nonlinear response of imperfect
eccentrically stiffened ceramic–metal–ceramic FGM thin circular
cylindrical shells surrounded on elastic foundations and subjected to axial
compression”, Compos. Struct. 110, pp. 200–206.

[35].

Duc N.D., Anh V.T.T., Cong P.H. (2014), “Nonlinear axisymmetric
response of FGM shallow spherical shells on elastic foundations under
uniform external pressure and temperature”, European J. Mech. A/Solids
45, pp. 80-89.

[36].

Duc N.D., Quan T.Q. (2014), “Nonlinear response of imperfect
eccentrically stiffened FGM cylindrical panels on elastic foundation
subjected to mechanical loads”, European J. Mech. A/Solids 46, pp. 60-71.

149


[37].

Dung D.V., Nam H.V. (2010), “Nonliner dynamic analysis of imperfect
FGM shallow shells with simply supported and clamped boundary
conditions”, Proceedings of the tenth National Conference on Deformable
Solid Mechanics, Thai Nguyen, pp. 130-141.

[38].

Dung D.V., Nga N.T. (2010), “Nonliner stability analysis of imperfect
functionally graded plates, with the Poisson’s ratio ν=ν(z), subjected to
mechanical and thermal loads”, Proceedings of the tenth National
Conference on Deformable Solid Mechanics, Thai Nguyen, pp. 142-154.

[39].

Dung D.V., Thiem H.T. (2012), “On the nonliner stability of eccentrically
graded imperfect stiffened functionally plates resting on elastic
foundations”, Proceedings of the second International Conference on
Engineering Mechanics and Automation (ICEMA2), Hanoi, August 16-17,
pp. 216-225.

[40].

Dung D.V., Nam V.H. (2012), “Nonliner dynamic buckling of
eccentrically stiffened functionally graded cylindrical shells subjected to
axial compression”, Proceedings of the second International Conference
on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA2), Hanoi, August 1617, pp. 226-235.

[41].

Dung D.V., Nga N.T. (2012), “On the nonliner post-buckling behavior of
imperfect functionally graded cylindrical panels taking into account the
thickness dependent Poisson ratio”, Proceedings of the Nineth National
Conference on Mechanics, Hanoi 8-9 December, pp. 197-207.

[42].

Dung D.V., Nga N.T. (2013), “Nonliner buckling and postbuckling of
eccentrically stiffened functionally graded cylindrical shells surrounded by
an elastic medium based on the first order shear deformation theory”,
Vietnam J. Mech. 35(4), pp.285-298.

[43].

Dung D.V., Nam V.H. (2014), “Nonlinear dynamic analysis of
eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical thin shells
under external pressure and surrounded by an elastic medium”, European
J. Mech. A/Solids 46, pp. 42-53.

150


[44].

Ekstrom R.E. (1963), “Buckling of cylindrical shells under combined
torsion and hydrostatic pressure”, Experimental Mechanics 3, pp. 192-197.

[45].

Han S.C., Lee W.H., Park W.T. (2009), “Non-linear analysis of laminated
composite and sigmoid functionally graded anisotropic structures using a
higher-order shear deformable natural Lagrangian shell element”,
Composite Structures 89, pp. 8–19

[46].

Huang H., Han Q. (2008), “Buckling of imperfect functionally graded
cylindrical shells under axial compression”, European J. Mech. A/Solids
27, pp. 1026-1036.

[47].

Huang H., Han Q. (2009), “Nonlinear elastic buckling and postbuckling of
axially compressed functionally graded cylindrical shells”, Int. J. Mech.

Sci. 51, pp. 500-507.

[48].

Huang H., Han Q. (2010), “Research on nonlinear postbuckling of
functionally graded cylindrical shells under radial loads”, Compos. Struct.
92, pp. 1352-1357.

[49].

Huang H., Han Q. (2010), “Nonlinear buckling of torsion-loaded functionally
graded cylindrical shells in thermal environment”, Eur J. Mech. A/Solids 29,
pp. 42-48.

[50].

Hui D., Du I.H.Y. (1987), “Initial postbuckling behavior of imperfect,
antisymmetric cross-ply cylindrical shells under torsion”, J. Appl. Mech.
ASME 54, 174-180.

[51].

Koizumi M. (1997), “FGM activities in Japan”, Composites Part B 28, pp.
1-4.

[52].

Lam K.Y., Li H., Ng T.Y., Chua C.F. (2002), “Generalized differential
quadrature method for the free vibration of truncated conical panels”. J.
Sound Vib. 251(2), pp. 329-348.

[53].

Liew K.M., Ng T.Y., Zhao X. (2005), “Free vibration analysis of conical
shells via the element-free kp-Ritz method”. J. Sound Vib. 281, pp. 627–645.

[54].

Lu S.Y., Chang L.K. (1967), “Thermal buckling of conical shells”. AIAA J.
5, pp. 1877-1882.

151


[55].

Malekzadeh P., Heydarpour Y. (2013), “Free vibration analysis of
rotating functionally graded truncated conical shells”, Compos. Struct. 97,
pp. 176-188.

[56].

Mecitoglu Z. (1996), “Vibration characteristics of a stiffened conical
shell”. J. Sound Vib. 197(2), pp. 191-206.

[57].

Mushtari X.M., Galimov K.Z. (1957), Nonlinear theory of elastic shells.
Kazan.

[58].

Mustaffa B.A.J., Ali R. (1987), “Free vibration analysis of multisymmetric
stiffened shells”. Comput. Struct. 27, pp. 803-810.

[59].

Naj R., Boroujerdy M.S., Eslami M.R. (2008), “Thermal and mechanical
instability of functionally graded truncated conical shells”, Thin-Walled
Struct. 46, pp. 65–78.

[60].

Najafizadeh M.M., Hasani A., Khazaeinejad P. (2009), “Mechanical
stability of functionally graded stiffened cylindrical shells”, Appl. Math.
Modelling 33, pp. 1151-1157.

[61].

Najafov A.M., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2013), “Torsional vibration and
stability of functionally graded orthotropic cylindrical shells on elastic
foundations”, Meccanica 48, pp. 829-840.

[62].

Nash W.A. (1959), “An experimental analysis of the buckling of thin
initially imperfect cylindrical shells subject to torsion”, Proceedings of the
Society for Experimental stress Analysis 16(2), pp. 55-68.

[63].

Rao S.S., Reddy E.S. (1981), “Optimum design of stiffened conical shells
with natural frequency constraints”. Comput. Struct. 14(1-2), pp. 103-110.

[64].

Rasheedat M. Mahamood, Esther T. Akinlabi (2012), “Functionally graded
material: An overview”, Proceedings of the World Congress on
Engineering 2012 vol 3.

[65].

Reddy J.N., Starnes J.H. (1993), “General buckling of stiffened circular
cylindrical shells according to a Layerwise theory”, Comput. Struct. 49, pp.
605-616.

152


[66].

Seide P. (1956), “Axisymmetrical buckling of circular cones under axial
compression”, J. Appl. Mech. 23, pp. 625-628.

[67].

Seide P. (1961), “Buckling of circular cones under axial compression”, J.
Appl. Mech. 28, pp. 315-326.

[68].

Shariyat M. (2008), “Dynamic thermal buckling of suddenly heated
temperature-dependent FGM cylindrical shells under combined axial
compression and external pressure”, Int. J. Solids Struct. 45, pp. 25982612.

[69].

Shahsiah R., Eslami M.R. (2003), “Functionally graded cylindrical shell
thermal instability base on improved Donnell equations”, AIAA J. 41:18191826.

[70].

Shen H.S. (1998), “Post-buckling analysis of imperfect stiffened laminated
cylindrical shells under combined external pressure and thermal loading”,
Int. J. Mech. 40(4), pp. 339-355.

[71].

Shen H.S. (2002), “Postbuckling analysis of axially loaded functionally
graded cylindrical panels in thermal environments”, Int. J. Solids and Struct.
39, 5991-6010.

[72].

Shen H.S. (2002), “Postbuckling analysis of axially-loaded functionally
graded cylindrical shells in thermal environments”, Compos. Sci. and Tech.
62, pp. 977-987.

[73].

Shen H.S., Noda N. (2005), “Postbuckling of FGM cylindrical shells under
combined axial and radial mechanical loads in thermal environments”, Int
J. Solids and Struct. 42, pp. 4641-4662.

[74].

Shen H.S. (2009), Functionally graded materials – Nonlinear analysis of
plates and Shells, CRC Press.

[75].

Shen H.S. (2009), “Torsional buckling and postbuckling of FGM
cylindrical shells in thermal environments”, Int. J. Non-Linear Mech. 44,
pp. 644-657.

[76].

Shen H.S. (2009), “Post-buckling of shear deformable FGM cylindrical
shells surrounded by an elastic medium”, Int J. Mech. Sci. 51, pp. 372-383.

153


[77].

Shen H.S., Yang J., Kitipornchai S. (2010), “Post-buckling of internal
pressure loaded FGM cylindrical shells surrounded by an elastic medium”,
Eur. J. Mech. A/Solids 29, pp. 448-460.

[78].

Sheng G.G., Wang X. (2008), “Thermal vibration, buckling and dynamic
stability of functionally graded cylindrical shells embedded in an elastic
medium”, J. Reinforced plastic and compos. 27, pp. 117-134.

[79].

Singer J. (1961), “Buckling of circular conical shells under axisymmetrical
external pressure”, J. Mech. Engi. Sci. 3, pp. 330-339.

[80].

Sofiyev A.H. (2003), “Torsional buckling of cross-ply laminated
orthotropic composite cylindrical shells subject to dynamic loading”, Eur.
J. Mech. A/Solids 22, pp. 943-951.

[81].

Sofiyev A.H., Schnack E. (2004), “The stability of functionally graded
cylindrical shells under linearly increasing dynamic torsional loading”,
Eng. Struct. 26, pp. 1321–1331.

[82].

Sofiyev A.H. (2007), “Thermoelastic stability of functionally graded
truncated conical shells”. Compos. Struct. 77, pp. 56–65.

[83].

Sofiyev A.H. (2009), “The vibration and stability behavior of freely

supported FGM conical shells subjected to external pressure”, Compos.
Struct. 89, pp. 356–366.

[84].

Sofiyev A.H. (2010), “The buckling of FGM truncated conical shells
subjected to axial compressive load and resting on Winkler-Pasternak
fourdations”, Int. J. Press. Piping 87, pp. 753-761.

[85].

Sofiyev A.H. (2010), “The buckling of FGM truncated conical shells
subjected to combined axial tension and hydrostatic pressure” Compos.
Struct. 92, pp. 488–498.

[86].

Sofiyev A.H., Avcar M. (2010), “The stability of cylindrical shells
containing a FGM layer subjected to axial load on the Pasternak
foundation”, Engineering 2, 228-236.

[87].

Sofiyev A.H. (2011), “Non-linear buckling behavior of FGM truncated
conical shells subjected to axial load”, Int. J. Non-Linear Mech. 46, pp.
711–719.

154

[88].

Sofiyev A.H. (2012), “The non-linear vibration of FGM truncated conical
shells”, Compos. Struct. 94, pp. 2237–2245.

[89].

Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2013), “Torsional vibration and buckling of
the cylindrical shell with functionally graded coatings surrounded by an
elastic medium”, Compos. Part B: Eng. 45, pp. 1133–1142.

[90].

Srinivasan R.S., Krisnan P.A. (1989), “Dynamic analysis of stiffened
conical shell panels”, Comput. Struct. 33(3), pp. 831-837.

[91].

Takano A. (2011), “Buckling of thin and moderately thick anisotropic
cylinders under combined torsion and axial compression”, Thin-Walled
Struct. 49, pp. 304-316.

[92].

Tani J., Yamaki Y. (1970), “Buckling of truncated conical shell under axial
compression”, AIAA J. 8, pp. 568-570.

[93].

Tani J., Doki H. (1978), “Vibration and buckling of fluid-filled cylindrical

shells under torsion”, Nuclear Eng. Design 48, pp. 359-365.

[94].

Thinh T.I., Cuong N.M. (2013), “Dynamic stiffness matrix of continuous
element for vibration of thick cross-ply laminated composite cylindrical
shells”, Compos. Struct. 98, pp. 93-102.

[95].

Thinh T.I., Cuong N.M., Ninh D.G. (2014), “Dynamic stiffness
formulation for vibration analysis of thick composite plates resting on nonhomogenous foundations”, Compos. Struct. 108, pp. 684-695.

[96].

Tong L., Wang T.K. (1992), “Simple solutions for buckling of laminated
conical shells”. Int. J. Mech. Sci. 34(2), pp. 93-111.

[97].

Tong L., Wang T.K. (1993), “Buckling analysis of laminated composite
conical shells”. Compos. Sci. and Tech. 47, pp. 57-63.

[98].

Tornabene F. (2009), “Free Vibration analysis of functionally graded
conical, cylindrical and annular shell structures with a four-parameter
power-law distribution”, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 198, pp. 29112935.

[99].

Tornabene F., Viola E., Inman D.J. (2009), “2-D differential quadrature
solution for vibration analysis of functionally graded conical, cylindrical
and annular shell structures”, J. Sound Vib. 328, pp. 259-290.

155


[100]. Volmir A.S. (1963), Stability of elastic systems, Science Edition Moscow.
[101]. Wang H.M., Liu C.B., Ding H.J. (2009), “Exact solution and transient
behavior for torsional vibration of functionally graded finite hollow
cylinders”, Acta Mech. Sinica 25, pp. 555–563.
[102]. Weingarten V.I. (1965), “Free vibration of ring stiffened conical shells”.
AIAA J. 3, pp. 1475-1481.
[103]. Wilde R., Zawodny P., Magnucki K. (2007), “Critical state of an axially
compressed cylindrical panel with three edges simply supported and one
edge free”, Thin-Walled Struct. 45, pp. 955-959.
[104]. Wu C.P., Chiu S.J. (2001), “Thermoelastic buckling of laminated
composite conical shells”, J. Therm. Stresses. 24(9), pp. 881-901.
[105]. Xu C.S., Xia Z.Q., Chia C.Y. (1996), “Nonlinear theory and vibration
analysis of laminated truncated thick conical shells”, Int. Nonlinear Mech.
31(2), pp.139-154.
[106]. Xu X., Ma J., Lim C.W., Zhang G. (2010), “Dynamic torsional buckling of
cylindrical shells”, Comput. Struct. 88, pp. 322–330.
[107]. Xu X., Sun J., Lim C.W. (2013), “Dynamic torsional buckling of
cylindrical shells in Hamiltonian system”, Thin Wall. Struct. 64, pp. 23-30.
[108]. Zhang P., Fu Y. (2011), “Torsional buckling of elastic cylinders with hard
coatings”, Acta Mech. 220, pp. 275–287.
[109]. Zhang X., Han Q. (2007), “Buckling and post-buckling behaviors of
imperfect cylindrical shells subjected to torsion”, Thin Wall. Struct. 45,

pp. 1035-1043.
[110]. Zhao X., Liew K.M. (2009), “Geometrically nonlinear analysis of
functionally graded shells”, Int. J. Mech. Sci. 51, pp. 131-144.

156