tóm tắt luận án tiến sĩ PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





Vũ Hoài Nam




PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ
LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN


Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 62 44 01 07


DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC





Hà Nội – 2014

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đào Văn Dũng



Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia
chấm luận án tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vào hồi giờ ngày tháng năm 20



Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

1

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) là một loại composite thế hệ mới
với đặc tính chịu tải cơ và nhiệt rất tốt, khối lượng riêng nhẹ, siêu bền đã
được lựa chọn phổ biến cho các kết cấu có dạng thanh, tấm và vỏ chịu
tải phức tạp và môi trường nhiệt độ cao. Vì vậy nghiên cứu ổn định động
và dao động của các kết cấu này là những vấn đề được quan tâm hàng
đầu. Hơn nữa để tăng khả năng làm việc cho kết cấu ta thường gia cố
bằng gân gia cường. Tuy vậy, bài toán phi tuyến động lực của các kết
cấu FGM có gân gia cường (ES-FGM) vẫn là bài toán mở.
Với lý do nêu trên, luận án đã chọn đề tài: “Phân tích phi tuyến động
lực của vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên” có tính đến gân gia
cường lệch tâm làm nội dung nghiên cứu.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án
i) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải tích để tìm
đáp ứng động lực và các đặc trưng của dao động hiển của vỏ thoải hai
độ cong ES-FGM, vỏ trụ, vỏ trống ES-FGM và vỏ cầu thoải FGM.
ii) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp bán giải tích
để tìm tải tới hạn động cho các kết cấu đã nêu ở mục tiêu i) ở trên.
iii) Lập trình khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số vật liệu,
hình học, các dạng lực đến đáp ứng động phi tuyến của vỏ.
Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu của luận án
Đối tượng nghiên cứu: panel trụ, vỏ thoải hai độ cong, vỏ trụ tròn, vỏ
trống và vỏ cầu thoải FGM có và không có gân gia cường.
Phạm vi nghiên cứu: dao động và ổn định động phi tuyến vỏ ES-FGM.
Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu bán giải tích dựa trên lý thuyết vỏ Donnell,
tính phi tuyến hình học von Kármán, phương pháp san đều tác dụng gân
của Lekhnitskii để thiết lập các phương trình chủ đạo. Áp dụng phương
pháp Galerkin, Runge-Kutta và tiêu chuẩn Budiansky-Roth để giải bài
toán phi tuyến động lực. Xác định các đặc trưng dao động hiển của vỏ.

Cấu trúc của luận án: Bao gồm mở đầu, 4 chương, kết luận, danh
mục các công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục.

2

Chƣơng 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally graded material)
Loại FGM đang được quan tâm nhiều nhất là loại vật liệu hai thành
phần được tạo thành từ gốm (ceramic) và kim loại (metal) trong đó quy
luật hay được dùng để thể hiện cơ tính biến thiên là
   
2
1
2
;.


    


k
c c m m c
zh
V V z V V z V
h

(1.1)
Tính chất hiệu dụng (ký hiệu
eff
P

) của FGM với quy luật (1.1) giả
thiết được xác định theo quy tắc hỗn hợp
 
 
2
2
.


   


k
eff eff c m m
zh
P P z Pr Pr Pr
h

(1.2)

(a) Vật liệu phủ 2 mặt FGM

(b) Vật liệu phủ 1 mặt FGM

(c) FGM đối xứng

(d) FGM thông thường
Hình 1.2. Các cách kết hợp FGM trong kết cấu tấm, vỏ
Ngoài quy luật lũy thừa (1.1),
trong các nghiên cứu hiện nay còn

sử dụng quy luật mũ, quy luật đối
xứng, quy luật phủ mặt… như
trong hình 1.2.
Về mặt công nghệ chế tạo, FGM
có một số phương pháp: Công
nghệ luyện kim bột, lắng đọng hơi,
ly tâm và công nghệ in 3D.

Hình 1.1. Sự biến đổi tỷ phần thể
tích ceramic qua chiều dày thành
kết cấu
FGM được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: Y học, quốc
phòng, quang điện tử, năng lượng và không gian vũ trụ.

3

1.2. Các nghiên cứu về dao động và ổn định phi tuyến của kết cấu FGM
1.2.1. Tấm và vỏ FGM không gia cƣờng
Nhóm tác giả do GS. Hui Shen Shen đứng đầu [49,69-73,94-96] đã
phân tích về ổn định của vỏ trụ FGM chịu tải cơ – nhiệt, dao động của
tấm FGM dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, tính phi tuyến hình
học von Kármán, phương pháp Galerkin và phương pháp nhiễu.
Huaiwei Huang và Qiang Han [42-48] phân tích ổn định vỏ trụ FGM.
Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học von Kármán
chọn dạng nghiệm một hoặc ba số hạng và giải theo phương pháp năng
lượng. Bài toán đáng chú ý về ổn định động phi tuyến vỏ trụ FGM chịu
nén dọc trục [47], tuy vậy công trình này chỉ chọn nghiệm một số hạng.
Nhóm tác giả đứng đầu là GS. Abdullah H. Sofiyev [24,47,74-82]
nghiên cứu ổn định vỏ trụ và vỏ nón FGM sử dụng lý thuyết vỏ Donnell,
Donnell cải tiến, giải bằng phương pháp Galerkin và nguyên lý

Lagrange–Hamilton trong đó chỉ sử dụng dạng nghiệm một số hạng.
Gần đây, Sofiyev và Kuruoglu [82] nghiên cứu kết cấu phủ mặt FGM.
Alijani và Amabili [9-11] phân tích dao động phi tuyến tấm, vỏ thoải
hai độ cong FGM chịu tải cơ - nhiệt. Dựa trên lý thuyết vỏ Donnell, lý
thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc cao và tính phi tuyến hình học
von Kármán, giả thiết của Volmir và phương pháp Galerkin, phương
pháp nhiễu, trong đó nghiệm được chọn dưới dạng chuỗi.
Các nhóm tác giả Việt Nam [14-18, 25-28, 30-34,91] đã nghiên cứu
dao động, ổn định tĩnh và động phi tuyến của tấm, panel trụ, vỏ thoải hai
độ cong, vỏ trụ, vỏ nón và vỏ cầu thoải FGM chịu tải cơ-nhiệt. Sử dụng
lý thuyết vỏ Donnell, Donnell cải tiến, biến dạng trượt, tính phi tuyến
hình học von Kármán, áp dụng phương pháp Galerkin, Runge-Kutta và
các tiêu chuẩn ổn định tĩnh, tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth.
1.2.2. Tấm và vỏ FGM có gia cƣờng (ES-FGM)
Công bố quốc tế năm 2009 của nhóm tác giả GS. Najafizadeh và các
cộng sự [59] với giả thiết gân gia cường làm bằng vật liệu FGM. Năm
2011, tác giả luận án đã tham gia nhóm nghiên cứu đứng đầu là GS. Đào
Huy Bích đề xuất gân gia cường được làm bằng vật liệu thuần nhất và
đẳng hướng cùng loại vật liệu với bề mặt gia cường cho kết cấu FGM.

4

Sử dụng tiếp cận này, nhóm tác giả Đào Văn Dũng và các cộng sự
[38], Nguyễn Đình Đức và các cộng sự [27,29] đã nghiên cứu về ổn
định, dao động của vỏ nón, vỏ thoải hai độ cong và tấm ES-FGM. Một
số nghiên cứu trường hợp tổng quát hơn (theo Najafizadeh và các cộng
sự [59]) Đào Văn Dũng và các cộng sự [36,37,40] đã nghiên cứu về ổn
định tĩnh của vỏ trụ, vỏ nón cụt FGM có gân gia cường FGM.
Sử dụng các lý thuyết bậc nhất [19,35,39] và bậc cao cho các kết cấu
tấm, vỏ ES-FGM cũng là một hướng nghiên cứu có triển vọng.

1.3. Những kết quả đã đạt đƣợc trong nƣớc và quốc tế
1) Đã tiến hành phân tích ổn định tĩnh tuyến tính và phi tuyến các kết
cấu FGM. Bước đầu nghiên cứu ổn định tĩnh của kết cấu ES-FGM.
2) Đã khảo sát dao động tuyến tính và phi tuyến một số kết cấu FGM.
Bước đầu phân tích dao động phi tuyến kết cấu ES-FGM.
3) Đã nghiên cứu bài toán ổn định động phi tuyến của một số kết cấu
FGM. Chưa có các nghiên cứu ổn định động các kết cấu ES-FGM.
4) Về vật liệu, các tác giả đã nghiên cứu nhiều quy luật phân bố của
FGM, tuy vậy các nghiên cứu về FGM phủ mặt vẫn còn rất hạn chế.
5) Về kết cấu, chưa có các nghiên cứu về động lực với các kết cấu đặc
biệt như vỏ cầu thoải, vỏ trống FGM.
6) Các nghiên cứu về động lực vỏ trụ FGM với dạng nghiệm ba số
hạng kết hợp với điều kiện chu vi kín của vỏ trụ còn rất hạn chế.
1.4. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu
1) Phân tích động lực phi tuyến panel trụ, vỏ thoải hai độ cong ES-
FGM chịu nén dọc trục và áp lực ngoài.
2) Phân tích động lực phi tuyến vỏ trụ tròn và vỏ trống ES-FGM có và
không có nền đàn hồi chịu lực dọc trục và áp lực ngoài.
3) Phân tích động lực phi tuyến vỏ cầu thoải FGM đối xứng trục chịu
áp lực ngoài với điều kiện biên ngàm có nền đàn hồi.
4) Về phương pháp tiếp cận, sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi
tuyến hình học von Kármán, kỹ thuật san đều tác dụng gân của
Lekhnitskii, phương pháp Galerkin và Runge-Kutta.
5) Về vật liệu, khảo sát với các cách kết hợp FGM khác nhau trong kết
cấu vỏ như FGM thường, FGM đối xứng, FGM phủ mặt.

5

Chƣơng 2: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ
THOẢI HAI ĐỘ CONG FGM CÓ GÂN GIA CƢỜNG LỆCH TÂM

Chương này nghiên cứu bằng tiếp cận bán giải tích hai bài toán mới:
+) Phân tích phi tuyến động lực của panel trụ ES-FGM.
+) Phân tích phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM.
Điểm khác biệt của luận án so với các kết quả đã có trước đây là các
kết cấu được gia cường bởi các gân gia cường lệch tâm
2.1. Đặt vấn đề.
Xét vỏ thoải hai độ cong FGM có hình chiếu bằng của vỏ là hình chữ
nhật hoặc hình vuông và độ nâng của vỏ
n
h
là nhỏ so với chiều dài hai
cạnh
a
và
b
và thỏa mãn điều kiện [2]
5min( , ) 
n
a b h
và
5
min
Rh
.
Vỏ thoải hai độ cong đặt trên bốn tựa đơn được gia cường bằng gân
thuần nhất đẳng hướng chịu lực nén dọc trục và áp lực ngoài. Khi gân
được gia cường về mặt ceramic thì gân được làm hoàn toàn bằng
ceramic và ngược lại khi gia cường tại mặt kim loại thì gân được làm
hoàn toàn bằng kim loại. Gân được giả thiết là mảnh, mau, đặt trực giao,
cách đều nhau, có mặt cắt ngang không đổi có thể bố trí ở mặt trên hoặc

dưới. Chi tiết kích thước của vỏ, gân và tải trọng như trong hình 2.1.
Mô đun đàn hồi và mật độ khối lượng có thể được biểu diễn bởi
   
     
 
2
2
k
m m c c m m
zh
E z z E E E
h


      




, , , , .

(2.1)
Hệ số Poisson được giả thiết là hằng số.

(a) Panel trụ (b) Panel cầu (c) Vỏ hình yên ngựa

Hình 2.1. Hệ trục tọa độ và các trường hợp của vỏ thoải hai độ cong
có gân gia cường lệch tâm

6

2.2. Các phƣơng trình cơ bản
Dựa trên lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học von Kármán
[20] kết hợp với lý thuyết vỏ thoải của Vlasov [2], thành phần biến dạng
tại một điểm cách mặt trung bình một khoảng z được viết
2
0
2
2
0
2
2
0
2
x
x
yy
xy
xy
w
z
x
w
z
y
w
z
xy












   
   
   

   










.

(2.2)
Quan hệ biến dạng tại mặt trung bình và chuyển được biểu diễn bởi
2
0

0
2
0
0
0
00
1
2
1
2
x
x
y
y
xy
w
u w w w
x R x x x
w
v w w w
y R y y y
ww
u v w w w w
y x x y y x x y


  

  



   








  
   
    
   

   

   

   


     

   
       


.

(2.3)
Định luật Hooke áp dụng cho gân như sau
st
x x x
st
yy
y
E
E



   

   






.

(2.6)
Nội lực của vỏ ES-FGM được áp dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân
của Lekhnitskii [54] trong đó có bỏ qua thành phần xoắn của gân do giả
thiết gân mảnh [20].
Phương trình chuyển động của vỏ với giả thiết Volmir [93]
uw
và

vw
,
2
1
2
0



u
t
,
2
1
2
0



v
t
, là
0,




xy
x
N

N
xy

0,



xy y
NN
xy

(2.10)

7

22
22
2
0
0
2 2 2 2
2




      




   

xy y y
xx
x
xy
M M N
M N w
w
Nq
x y R R
x y x x

22
2 2 2
00
11
2 2 2
22
xy y
ww
w w w w
NN
x y x y t
y y t
   

   
       
   

   
    
  
   
.

Hai phương trình đầu của (2.10) được thỏa mãn đồng nhất nếu đưa
vào hàm ứng suất φ thỏa mãn điều kiện
2 2 2
22
, , .
     
   


x y xy
N N N
xy
yx

(2.12)
Hệ phương trình chuyển động và tương thích của vỏ thoải ES-FGM
 
 
4 4 4 4
11 66 12 22 21
4 2 2 4 4
4 4 2 2
11 22 66 12
2 2 4 2 2

2
2
2 2 2 2
0
22
22
22
00
2 2 2 2
2
11
2
2
0
* * * * *
* * * *
,
      
    
    
   
      
    



   

   



     






  
   
yx
w
A A A A B
x x y y x
w w w w
B B B B
RR
x y y x y
w
w w w w
x y x y x y
xy
ww
ww
x x y y

(2.13)
 
 
2 4 4

1 1 11 12 21 66
2 4 2 2
4 4 4 4
22 21 11 22 66 12
4 4 2 2 4
22
2 2 2 2
00
2 2 2
2
22
0
2 2 2
24
2
2
* * * *
* * * * * *
   
       

   
      
      
    
   

     
    
   

   
     
  
   


  


  

w w w w
D D D D
t
t x x y
w
D B B B B B
y x x y y
ww
ww
x y x y x y
y x x
w
w
x y y
22
0
22
11
.


   
  




xy
q
RR
yx

(2.14)
Phương trình (2.13) và (2.14) là hệ phương trình vi phân phi tuyến chủ
đạo để khảo sát phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM với
hai ẩn hàm
w
và

.

8

2.3. Điều kiện biên và phƣơng pháp giải
Xét vỏ thoải có các cạnh được đặt trên tựa đơn, chịu áp lực ngoài
phân bố đều
0
q
và lực nén phẳng theo phương
x

và
y
phân bố đều trên
hai mặt ngang
0
r
và
0
p
. Điều kiện biên tương ứng là
0
0 0 0, , , ,    
x x xy
w M N r h N
tại
0;,xa

0
0 0 0, , , ,    
y y xy
w M N p h N
tại
0;.yb

(2.15)
Ta lựa chọn dạng nghiệm như sau
   
00
, , sin sin ,



m x n y
w w f f
ab

(2.16)
trong đó
0
f
là biên độ không hoàn hảo hình dạng ban đầu,
 
f f t
là
biên độ võng thêm phụ thuộc vào thời gian và
,mn
là số nửa song theo
hai phương
x
và
y
tương ứng. Ở đây luận án giả thiết độ không hoàn
hảo
0
w
có dạng tương tự độ võng
w
.
Thế dạng nghiệm (2.16) vào phương trình tương thích (2.13) và giải
phương trình nhận được để tìm hàm ứng suất


như sau
12
22
3 0 0
22
22
m x n y
ab
yx
m x n y
r h p h
ab

     

  
cos cos
sin sin .

(2.17)
Thế các biểu thức (2.16) và (2.17) vào vế trái của phương trình chuyển
động (2.14) sau đó áp dụng phương pháp Galerkin cho phương trình
nhận được
 
    
 
 
 
2
22

1 2 0
22
4
12
0 0 0 0 0
6
24
2 2 2
0 0 0 0 1 2
26
8
2
3
4
22
4
0
xy
B
d f df mn B
M M D f f f f
dt A A
dt
ah
Hf f f Kf f f f f k r k p
mn
a h a
r m p n f f q
mn



        





      

       

.

(2.20)
Phương trình vi phân cấp hai phi tuyến (2.20) là phương trình chủ đạo
để phân tích động lực của vỏ thoải hai độ cong FGM có gân gia cường
lệch tâm hoàn hảo và không hoàn hảo.

9

2.3.1. Phân tích dao động phi tuyến
Giả sử vỏ chịu áp lực ngoài biến đổi điều hòa
0
sinq Q t
và các lực
nén
00
,rp
cho trước không đổi. Phương trình (2.20) trở thành
 

    
 
 
 
 
2
22
1 2 0
22
4
0 0 0 1 2 0 0
6
24
2 2 2
0 0 0 1 2
26
8
2
3
4
22
4
sin .


        





        

       

xy
B
d f df mn B
M M D f f f f
dt A A
dt
ah
Hf f f Kf f f f f k r k p
mn
a h a
r m p n f f Q t
mn

(2.22)
Bỏ qua các thành phần cản, không hoàn hảo, phi tuyến của
f
. Suy ra
biểu thức hiển của tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ hoàn hảo
2
1
.

  




mn
B
D
MA

(2.24)
Xét vỏ dao động cưỡng bức phi tuyến không lực nén trước, tìm
nghiệm
 
( ) sin  f t t
và áp dụng phương pháp tương tự Galerkin,
thu được quan hệ tần số và biên độ của dao động cưỡng bức phi tuyến.
Đưa vào hệ số không thứ nguyên
,   
mn
trở thành
22
12
2
83
4
1
34
.


       

 



mn
mn
HH
F

(2.28)
trong đó

là biên độ của dao động cưỡng bức phi tuyến.
2.3.2. Phân tích ổn định động phi tuyến
2.3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth
Tiêu chuẩn này được phát biểu: Dưới tác động của tải trọng động, độ
võng của kết cấu theo thời gian với biên độ tăng dần. Nếu biên độ tăng đột
ngột thì kết cấu mất ổn định. Thời điểm tương ứng với sự tăng đột ngột
này là thời điểm tới hạn

dcr
tt
, tải tương ứng là tải tới hạn động. Về
phương diện hình học, đường cong độ võng - thời gian tăng độ dốc đột
ngột và đạt cực đại qua điểm đổi dốc đầu tiên. Luận án sử dụng đề xuất
của Huang và Han [47], lấy thời điểm mất ổn định
22
0.


dcr
tt
d f dt

10

2.3.2.2. Ổn định động của vỏ thoải ES-FGM chịu áp lực ngoài và lực
nén trƣớc dọc trục
Trong phần này ta tiến hành khảo sát ổn định động lực của vỏ thoải
hai độ cong ES-FGM chịu áp lực ngoài tăng tuyến tính theo thời gian
0
q ct
và lực nén trước
0
r const
,
0
p const
. Ta có
 
    
 
 
 
2
22
1 2 0
22
4
0 0 0 1 2 0 0
6
24

2 2 2
0 0 0 1 2
26
8
2
3
4
22
4
.


        




        

      

xy
B
d f df mn B
M M D f f f f
dt A A
dt
ah
Hf f f Kf f f f f k r k p
mn

a h a
r m p n f f ct
mn

(2.31)
Giải phương trình (2.31) trong trường hợp tổng quát gặp khó khăn về
toán học. Do đó, ta giải bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn [7].
Thời gian tới hạn động lực
dcr
t
nhận được bằng cách áp dụng tiêu
chuẩn Budiansky-Roth và tải trọng tới hạn động tương ứng

dcr dcr
q ct
.
Tải trọng vồng tĩnh được xác định bằng cách bỏ qua thành phần quán
tính, cản và cho
0
0f
và áp dụng tiêu chuẩn mất ổn định cực trị
6
42
12
3
2
22
22
108
2 3 9 2

upper
mn
q
aK
BB
H K D H K D H
AA




   
   

     
   
   

   
   

   
   

,

(2.39)
và tải vồng cận dưới
6
42

12
3
2
22
22
108
2 3 9 2 .




   
   

     
   
   

   
   

   
   

lower
mn
q
aK
BB
H K D H K D H

AA

(2.40)
Tải tới hạn tĩnh được xác định
min ,
scr upper
qq

,.

mn

Kết quả này trùng với kết quả trong công trình [6].

11

2.3.2.3. Ổn định động của panel trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục
Xét panel trụ ES-FGM chỉ chịu lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo
thời gian
0
r ct
, phương trình (2.20) trở thành
 
      
2
22
1 2 0
22
2
2

0 0 0 0
2
8
2
3
2 2 0.
B
d f df mn B
M M D f f f f
dt A A
dt
ah
Hf f f Kf f f f f m f f ct


        




       


(2.42)
Tương tự, giải phương trình (2.42) và áp dụng tiêu chuẩn Budiansky-
Roth để xác định tải trọng tới hạn động. Tải vồng cận trên nhận được
2
2
22
upper

B
rD
A
m a h






,

(2.45)
và tải vồng cận dưới được xác định theo tiêu chuẩn mất ổn định cực trị,
2
22
22
4
.


  



lower
B
H
rD
AK

m a h

(2.46)
Tải tới hạn tĩnh được xác định
min , , .

  
scr upper
r r m n

Kết quả này trùng với kết quả trong công trình [6].
2.4. Kết quả số và thảo luận
Trong chương này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do
tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động… và ảnh hưởng của vật liệu,
kích thước hình học, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của
panel trụ, vỏ thoải hai độ cong FGM. Một số kết quả tiêu biểu như sau:

Hình 2.3. Ảnh hưởng của biên độ
lực cưỡng bức Q tới đường cong
tần số - biên độ của panel cầu có
gân gia cường lệch tâm
(
5 ,
xy
R R R m

1k 
).

Hình 2.13. Ảnh hưởng của gân tới

đường cong thời gian - độ võng của
panel cầu không gân
(q
0
(t)=10
5
sin100t, R=5m,
k
=1)


12

Như quan sát được trong hình 2.3, biên độ của lực cưỡng bức giảm thì
đường cong tần số - biên độ của dao động cưỡng bức tiến sát tới dao
động tự do phi tuyến. Đường cong thời gian – biên độ độ võng thể hiện
trong hình 2.13 khi tần số của lực cưỡng bức nhỏ hơn nhiều tần số dao
động tự do tuyến tính thì biên độ của đường cong thời gian – biên độ độ
võng vỏ có gân nhỏ hơn rất nhiều vỏ không gân.
Hình 2.23 thể hiện đường cong tải - độ võng của panel trụ FGM hoàn
hảo không gân chịu nén dọc trục. Như chỉ ra trong hình 2.25, đối với
panel trụ không hoàn hảo thì đoạn mất ổn định rất thoải. Trong trường
hợp này không thể sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth.

Hình 2.23. Ảnh hưởng của mode
vồng tới đường cong tải - độ võng
của panel trụ FGM không có gân
gia cường.

Hình 2.25. Ảnh hưởng của độ

không hoàn hảo tới đường cong tải
- độ võng của panel trụ FGM có
gân gia cường.
2.5. Kết luận chƣơng 2
Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau:
1. Hiệu quả gia cường của gân là rõ ràng trong mọi kết quả khảo sát.
2. Hiện tượng phách điều hòa xuất hiện khi tần số dao động cưỡng
bức tiến sát với tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ.
3. Độ không hoàn hảo ảnh hưởng lớn với ổn định phi tuyến của panel
trụ chịu lực nén dọc trục khi làm độ dốc của đoạn mất ổn định giảm và
không thể áp dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth trong trường hợp này.
4. Đối với vỏ FGM không gia cường, tần số dao động tự do tuyến tính
phụ thuộc vào hai thông số: độ cong Gauss
xy
kk
và

xy
kk
. Tuy vậy
đối với vỏ FGM có gân gia cường thì lại có sự khác biệt.
5. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích, độ cong của vỏ tới ứng xử động
lực của vỏ cũng thể hiện một cách rõ rệt.

13

Chƣơng 3: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ TRỤ
TRÕN VÀ VỎ TRỐNG FGM CÓ GÂN GIA CƢỜNG LỆCH TÂM
Điểm mới của chương này là:
+) Đề xuất quy luật mở rộng quy luật phân bố Sigmoid của FGM.

+) Xây dựng các phương trình chủ đạo và trình bày phương pháp giải
bài toán phi tuyến động lực của vỏ trống ES-FGMC.
+) Mở rộng kết quả của Huang và Han [47] năm 2010, với kết cấu gia
cường. Độ võng được chọn là biểu thức một số hạng và ba số hạng.
+) Phân tích phi tuyến động lực của vỏ trụ FGM chịu nén dọc trục và
áp lực ngoài với một số loại gân gia cường hay gặp trong kỹ thuật.
3.1. Đặt vấn đề
Bài toán vỏ trống phủ mặt FGM có điều kiện biên tựa đơn tại hai đầu
vỏ và được gia cường bởi hệ thống gân đai và gân dọc thuần nhất.



Hình 3.1. Vỏ trống có gân gia cường lệch tâm
Độ cong dọc
1 a
mang giá trị dương với vỏ trống lồi và giá trị âm đối
với vỏ trống lõm. Vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Chi tiết

14

kích thước và vật liệu được thể hiện trong hình 3.1 và 3.2.

(a) (b)
Hình 3.2. Các loại vật liệu phủ mặt FGM
Các tính chất hiệu dụng của vỏ
Pr
eff
như mô đun đàn hồi
E
, và

mật độ thể tích

có thể được xác định bởi
 
2
22
2
22
in
ou
eff
eff
ou in
io
in
eff
eff
ou in
in
eff
eff
ou ou
io
ou
k
z h h
hz
hh
z h z h
k

z h h
zh
hh




  





   





    





Pr Pr , ,
Pr Pr , ,
Pr Pr , ,

(3.1)

ở đây ký hiệu chỉ số dưới
,ou in
chỉ các đặc trưng của hai lớp FGM ở
phía ngoài và phía trong vỏ. Đây là quy luật tổng quát dành cho kết cấu
thuần nhất, FGM phủ mặt, FGM đối xứng và FGM theo quy luật lũy
thừa. Hệ số Poisson

được giả thiết là hằng số.
Phương trình tương thích biến dạng và phương trình chuyển động của
vỏ trống nhận được
 
 
4 4 4 4
11 66 12 22 21
4 2 2 4 4
4 4 2 2
11 22 66 12
2 2 4 2 2
2
11
2
* * * * *
* * * *
      
    
    
   
      
    
w

A A A A B
x x y y x
w w w w
B B B B
Ra
x y y x y

2
2 2 2
22
0,


  

  







w w w
xy
xy

(3.6)

15

 
 
2 4 4
1 1 11 12 21 66
2 4 2 2
4 4 4 4
22 21 11 22 66 12
4 4 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22
12
22
4
2
11
2
* * * *
* * * * * *
   
       

   
      
      
    
            
     
   

     


  




w w w w
D D D D
t
t x x y
w
D B B B B B
y x x y y
w w w
R a x y x y
x y y x x y
ww
K w K
xy
0
0.

q

(3.7)
Phương trình (3.6) và (3.7) là hệ phương trình vi phân phi tuyến chủ
đạo để khảo sát đáp ứng phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong với
hai ẩn độc lập

w

và

. Đây là hai phương trình tổng quát phân tích ứng
xử động lực của một số loại vỏ như vỏ trống lồi, vỏ trống lõm và vỏ trụ.
Khi độ cong
1 a

mang giá trị dương và âm đối với vỏ trống lồi và vỏ
trống lõm,
a
đối với vỏ trụ tròn tương ứng.
3.2. Ổn định động phi tuyến vỏ trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục:
Độ võng chọn một số hạng
Vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh được đặt trên tựa đơn và
chịu lực nén dọc trục
00
r r h
(N/m). Điều kiện biên trong mục này là
0
0 0 0 0, , , , ; .     
x x xy
w M N r h N tai x L

(3.8)
Độ võng và độ không hoàn hảo được lựa chọn như biểu thức 2.16. Áp
dụng phương pháp tương tự ta thu được phương trình chuyển động
  
 

 
2
4
1 0 0
2 2 2
00
2
2
4 2 2 2 2 2
12
2
0
d f B
L D f Gf f f f f
A
L m hr f f
dt
L K f L m n K f
     
   



     .

(3.13)
3.2.1. Ổn định tĩnh
Bỏ qua thành phần quán tính và độ không hoàn hảo, tải vồng tĩnh của
vỏ trụ hoàn hảo có thể xác định theo tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh
 

2
2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
12
1
sbu
B
rD
A
L m h L m h
L K L m n K


   




.

(3.16)
Tải tới hạn tĩnh được xác định
min
scr sbu
rr
vs.
 
,mn
.

16

3.2.2. Ổn định động phi tuyến
Phân tích ổn định động phi tuyến được khảo sát với hai loại tải trọng:
i) Lực nén dọc trục thay đổi tuyến tính theo thời gian
0
r = ct
.
ii) Vỏ chịu tải trọng bậc thang với bước thời gian vô hạn
0
r = const, t
.
Bằng cách sử dụng phương pháp Runge-Kutta và sử dụng tiêu chuẩn
Budiansky-Roth để xác định tải tới hạn động của vỏ.
3.3. Ổn định động phi tuyến vỏ trống ES-FGMC chịu tải dọc trục và
áp lực ngoài: Độ võng chọn ba số hạng
Xét trường hợp vỏ trống ES-FGMC với hình dạng gân khác nhau hoàn
hảo chịu tải kéo và nén dọc trục và áp lực ngoài. Nghiệm xấp xỉ của
w

thỏa mãn điều kiện biên (3.8) theo nghĩa trung bình có dạng
2
0 1 2
sin sin sin ,

  
m x ny m x
w f f f
L R L

(3.17)
trong đó
00
()f f t
là độ võng đều phụ thuộc vào thời gian của trạng
thái trước vồng,

11
()f f t
là độ võng tuyến tính phụ thuộc vào thời gian
của trạng thái sau vồng,
22
()f f t
là độ võng phi tuyến phụ thuộc vào
thời gian của trạng thái sau vồng.
Thực hiện các bước tương tự chương 2, áp dụng phương pháp
Galerkin và kết hợp với điều kiện chu vi kín [43]
22
2
0
0 0 0 0
1
0
2
R L R L
y
v w w
dxdy dxdy
y R y






    





   
,

(3.22)
ta thu được hệ 3 phương trình vi phân cấp hai chuyển động của vỏ.
3.3.1. Phân tích ổn định tĩnh
Tương tự chương 2, tải dọc trục vồng cận trên của vỏ trống ES-FGMC
được xác định theo tiêu chuẩn rẽ nhánh
1
34
11 16 12
31
2
upper
H
r H H H
H






,

(3.28)
và áp lực ngoài vồng cận trên cũng nhận được theo tiêu chuẩn rẽ nhánh
11
12 33
17
31
2
.

upper
H
q
HH
H
H

(3.30)

17

3.3.2. Phân tích động phi tuyến
Sau khi biến đổi ta thu được
2
22
00
11 0 12 1 13 1 2 14 2 15 0 2

2
13 0 14 0 16 1 0 17 1 2 18 2 2
2
0,

       



      
d f df
f f f f f r f
dt
dt
q r K f K f K f

(3.34)
2
2
11
22 1 21 1 0 22 1 2 25 1 2
2
3
23 1 24 1 0 25 1 0 26 1 1 0 27 1 1 2
28 2 1 2 28 1 1 29 2 1
2
0,

      




     
    
d f df
f f f f f f f
dt
dt
f f q f r K f f K f f
K f f K f K f

(3.35)
2
22
22
31 1 32 1 2 33 2
2
34 0 2 35 1 2 0 36 2 2
2
3
0
4
d f df
f f f f
dt
dt
r f K f f K f

        





      


.

(3.36)
Đặt
max
fW
, trong đó lưu ý rằng
 
00
f f t
,
 
11
f f t
,
 
22
f f t

và
 
f f t
, từ phương trình (3.17), độ võng lớn nhất nhận được
0 1 2

,  f f f f

(3.37)
tại
2

iL
x
m
,
2


jR
y
n
trong đó
,ij
là các số nguyên dương lẻ.
3.3.2.1. Ổn định động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC
i) Trƣờng hợp 1: Vỏ trống chỉ chịu áp lực ngoài tăng tuyến tính theo
thời gian
0

q
q c t
. Ta bỏ qua thành phần cản nhớt và lực dọc trục.
ii) Trƣờng hợp 2: Vỏ trống chỉ chịu lực dọc trục tăng tuyến tính theo
thời gian
0


r
r c t
. Ta bỏ qua thành phần cản nhớt và áp lực ngoài.
iii) Trƣờng hợp 3: Vỏ trống chịu lực dọc trục tăng tuyến tính theo
thời gian
0

r
r c t
và áp lực ngoài tĩnh
0
q const
hoặc ngược lại áp lực
ngoài tăng tuyến tính theo thời gian
0

q
q c t
và lực dọc tĩnh
0
r const
.
Phương trình (3.34-3.36) là hệ ba phương trình vi phân phi tuyến cấp
hai liên quan và phức tạp. Trong luận án này, hệ phương trình này được
giải bằng phương pháp Runge-Kutta. Tải tới hạn động được xác định
bằng tiêu chuẩn Budiansky-Roth với độ võng lớn nhất theo (3.37).

18

3.3.2.2. Dao động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC
Vỏ trống ES-FGMC chịu áp lực ngoài theo quy luật điều hòa, giải hệ
phương trình nhận được bằng phương pháp Runge-Kutta.
Bỏ qua thành phần độ võng đều và độ võng phi tuyến, tần số dao động
tự do tuyến tính không cản của vỏ trống ES-FGMC được xác định bởi
22 1 28 2 29mn
KK       .

(3.49)
Tương tự chương 2 quan hệ biên độ - tần số nhận được
22
23
24
22
4 3 8
1
43
.



      
 

mn
mn mn
Q

(3.51)
3.4. Kết quả số và thảo luận

Trong nội dung này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do
tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động… và ảnh hưởng của vật liệu,
kích thước hình học, nền, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của
vỏ trụ tròn, vỏ trống FGM và FGMC. Một số kết quả tiêu biểu như sau:

Hình 3.5. Đường cong tải - độ
võng của vỏ không gân chịu tải
trọng bậc thang kéo dài vô hạn

Hình 3.10. Ảnh hưởng của tỷ số
đặc trưng tỷ phần thể tích
k
tới
đường cong tải - độ võng chịu tải
nén tăng tuyến tính theo thời gian
của vỏ trụ gân ngoài.

Hình 3.43. Ảnh hưởng của chỉ số
k

tới đường cong tải - độ võng của vỏ
trống lồi phủ mặt FGM chịu kéo.

Hình 3.49. Ảnh hưởng của hệ số
nền
1
K
tới đường cong tải - độ
võng của vỏ trống lồi phủ mặt
FGM chịu nén dọc trục.

19

Như quan sát được trên hình 3.5, có một bước nhảy đột ngột của giá
trị độ võng trung bình khi giá trị tải trọng đạt tới giá trị tải tới hạn bậc
thang của vỏ.
Hình 3.10 chỉ ra ảnh hưởng của tỷ số đặc trưng tỷ phần thể tích
k
tới
đường cong tải - độ võng của vỏ không gân và có gân chịu tải nén dọc
trục tăng tuyến tính theo thời gian. Cũng tương tự trường hợp panel trụ
chịu nén dọc trục khi độ dốc của khoảng mất ổn định của vỏ không hoàn
hảo rất nhỏ. Vì vậy rất khó để sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth để
xác định được tải tới hạn động.
Hình 3.43 chỉ ra ảnh hưởng của hệ số đặc trưng tỷ phần thể tích tới
đường cong tải - độ võng của vỏ trống không gân chịu kéo dọc trục. Có
thể nhận thấy đường cong tải - độ võng ở giai đoạn trước mất ổn định
gần như một đường thẳng nằm phía trên trục tọa độ.
Hình 3.49 cho thấy ảnh hưởng của
1
K
tới đường cong tải – biên độ độ
võng vỏ trống lồi chịu nén. Đường cong tải – biên độ độ võng của trạng
thái trước mất ổn định gần như đường thẳng nằm dưới trục hoành. Độ
dốc của đường cong trước mất ổn định thay đổi lớn khi
1
K
thay đổi.
3.5. Kết luận chƣơng 3
Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau:

1. Hiệu quả gia cường của gân vẫn thể hiện một cách rõ ràng.
2. Đối với vỏ trụ và vỏ trống lõm, chỉ tồn tại tải tới hạn nén dọc trục,
ngược lại đối với vỏ trống lồi tồn tại cả tải tới hạn kéo và nén dọc trục.
3. Đối với dạng nghiệm độ võng một số hạng, đường cong tải - độ
võng của giai đoạn trước mất ổn định của vỏ trụ gần như là một đường
thẳng bám sát trục hoành, ngược lại với dạng nghiệm ba số hạng đường
cong này gần như một đường thẳng nằm phía trên hoặc dưới trục hoành.
4. Trong trường hợp vỏ trống chịu kéo, độ dốc của đường cong trước
mất ổn định của vỏ không thay đổi khi
1
K
và
2
K
thay đổi.
5. Đối với vỏ trụ chịu áp lực ngoài, gân dọc ảnh hưởng nhỏ còn gân
đai ảnh hưởng lớn tới tải tới hạn động, ngược lại với tải nén dọc trục.
6. Gân đai ảnh hưởng rất lớn và gân dọc ảnh hưởng nhỏ tới tải tới hạn
kéo dọc trục của vỏ trống, ngược lại, với vỏ trống chịu nén dọc trục.

20

Chƣơng 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ CẦU
THOẢI ĐỐI XỨNG TRỤC FGM
Mục tiêu chương này là nghiên cứu về dao động và ổn định động đàn
hồi phi tuyến của vỏ cầu thoải FGM và FGMC trong đó có xem xét tới
ảnh hưởng của nhiệt độ. Hàm ứng suất được xác định một cách chính
xác từ phương trình tương thích và sử dụng phương pháp Galerkin tính
trên toàn miền biên của vỏ.
4.1. Đặt vấn đề

Xét vỏ cầu thoải với bán kính cong
R
, bán kính đáy
a
, bề dày
h
như
thể hiện trên hình 4.1. Vỏ được đặt trên nền đàn hồi theo mô hình hai hệ
số Pasternak. Chu tuyến đáy bị ngàm cứng hoặc ngàm trượt, áp lực
ngoài phân bố đều
0
q
và nhiệt độ tăng đều trong toàn kết cấu.


Hình 4.1. Hình dạng và hệ trục tọa độ của vỏ cầu thoải
4.2. Phƣơng trình chủ đạo
Áp dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học của von
Kármán trong đó có xem xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ và độ không
hoàn hảo ta nhận được hệ phương trình tương thích và chuyển động
2
22
2
00
2 2 2
2
0 1 2 1 1
2
1 1 1
20,



    

         



  
  



        


ss
s
ww
ww
D
R r r r r r
r r r
ww
q K w K w
t
t

(4.12)

21

2
22
2
00
2 2 2
1
1 1 1 1
s
s
w w w
w w w w
E R r r r r r r
r r r
  
   
      
  
  
.

(4.13)
Hai phương trình (4.12) và (4.13) là hệ phương trình chủ đạo vi phân
phi tuyến theo hai ẩn hàm
w
và

.
4.3. Phân tích phi tuyến động lực

Xét vỏ cầu chịu ngàm trên biên và chịu áp lực ngoài phân bố đều trên
bề mặt ngoài và nhiệt độ tăng đều. Điều kiện biên được xác định
0r 
,
wf
,
0
w
r



,
ra
,
0
w
w
r



,
0rr
NN
,
(4.14)
trong đó
 
f f t

là biên độ độ võng. Trong trường hợp ngàm trượt thì
0
0
r
N 
, trong khi nếu ngàm cứng
0r
N
là phản lực trên cạnh biên.
Nghiệm xấp xỉ được chọn để thoả mãn các điều kiện biên (4.14) là
   
 
2
22
00
4
ar
w w f f
a

, , ,

(4.15)
trong đó độ không hoàn hảo
0
w
được giả thiết cùng dạng với độ võng.
Thay (4.15) vào (4.12) và lấy tích phân, xác định các hằng số tích
phân theo điều kiện về tính hữu hạn và điều kiện ràng buộc trên biên
 

 
5 2 3 7 2 5
43
10
1
48
10
1
0
2
2
2
6 2 6 3
2
3
2
r
E f f f
Ef
r a r r a r
ar
r
a R a
E f f f
Ef
r r N r
R
a
   



      
   
   

   

   ,

(4.16)
trong đó
0
0
r
N 
đối với trường hợp cạnh biên của vỏ ngàm trượt.
Thay các phương trình (4.15), (4.16) vào (4.14) và áp dụng phương
pháp Galerkin, nhận được
   
    
2
1 2 0 3 0
2
4 0 0 5 0 0
0
0 1 2
2
22
2
34

2
5
r
r
d f df
M M H f H f f f H f f f
dt
dt
H f f f f f H f f N
N
q K f K f
R
a
       
     
    .

(4.17)

22

Xét vỏ cầu ngàm cứng chịu áp lực ngoài và nhiệt độ tăng đều. Điều
kiện ngàm cứng là
0u 
tại
ra
, được thỏa mãn theo nghĩa trung bình
2
00
0

a
u
rdrd
r





.

(4.18)
Sau đó, thế kết quả vào phương trình (4.17), dẫn tới
     
 
    
 
2
1
1 1 2
22
5 0 1 5 3 0
2
20
4 2 5 0 0 0
2
34
2
5
1

2
2
2
+2
1
m
m
G
d f df
M M H K K f
dt R
dt a
H f f G H H f f f
G
H f f f
R
H G H f f f f f q
R

      



     


   




    

.

(4.22)
Tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ ngàm trượt và ngàm cứng
không cản tương ứng được xác định bởi
1 1 2
2
1 3 4
+
5
H K K
M
a

  


,

(4.25)
1
1 1 2 5
2
2
1 3 4
+
51
m

G
H K K H
MR
a


    



.

(4.26)
Xét vỏ cầu thoải chịu áp lực ngoài biến đổi theo thời gian có dạng
điều hòa
0
q Q tsin
. Thế dạng tải trọng này vào phương trình (4.17)
và (4.22) và sử dụng phương pháp Runge-Kutta để giải.
Đối với trường hợp ổn định động phi tuyến của vỏ chịu tải tăng tuyến
tính theo thời gian
0
q ct
, tương tự ta cũng thay dạng tải trọng này vào
phương trình (4.17) và (4.22), bỏ qua hệ số cản nhớt tuyến tính, sau đó
áp dụng phương pháp Runge-Kutta và cuối cùng sử dụng tiêu chuẩn ổn
định động Budiansky-Roth để xác định tải tới hạn động của kết cấu.
4.4. Kết quả số và thảo luận
Trong nội dung này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do
tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động và ảnh hưởng của vật liệu,

kích thước hình học, nền, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của
vỏ. Đơn cử một số kết quả tiêu biểu như sau:

23


Hình 4.8. Ảnh hưởng của loại vỏ
tới đường cong thời gian – biên độ
độ võng của vỏ cầu thoải ngàm
trượt (
a
=1m,
Ra
=3,
0
q
=10
5
sin(500t) N/m
2
)

Hình 4.10. Ảnh hưởng của
2
K
tới
đường cong tải – biên độ độ võng
của vỏ cầu thoải phủ mặt FGM
ngàm trượt (
a

=1m,
Ra
=3,
c
=10
9

N/m
2
s)
Ảnh hưởng của loại vỏ tới đường cong thời gian – biên độ độ võng
của vỏ cầu thoải được thể hiện trên hình 4.8. Rõ ràng rằng, biên độ đáp
ứng của của vỏ kim loại là lớn nhất tương ứng với vỏ có tỷ lệ ceramic
thấp nhất. Ảnh hưởng của hệ số nền
1
K
được khảo sát trong hình 4.10.
Trường hợp khảo sát này chỉ ra rằng độ dốc của khoảng mất ổn định
trong đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ cầu thoải FGMC đều
giảm khi ta tăng hệ số nền, độ dốc này giảm nhanh khi tăng
1
K
.
4.5. Kết luận chƣơng 4
Một số nhận xét đáng chú ý như sau:
1. Ảnh hưởng của điều kiện biên ngàm cứng hay ngàm trượt ảnh
hưởng đặc biệt lớn tới ứng xử của vỏ cầu thoải FGM và phủ mặt FGM.
2. Ảnh hưởng của nhiệt độ tăng đều là nhỏ với vỏ cầu ngàm cứng.
3. Đối với vỏ cầu thoải không hoàn hảo, độ dốc của khoảng mất ổn
định không thay đổi nhiều so với trường hợp vỏ hoàn hảo.

4. Khi độ thoải của vỏ tăng lên, đường cong tải – biên độ độ võng trở
nên rất thoải ở khoảng mất ổn định.
5. Độ dốc của đường cong tải – biên độ độ võng ở khoảng mất ổn định
giảm nhanh khi
1
K
tăng lên nhưng giảm chậm khi tăng
2
K
.
6. Ảnh hưởng của các thông số hình học, vật liệu, thông số tải cũng
được xem xét chi tiết và cũng nhận thấy các hiện tượng tương tự với các
loại vỏ trong các chương trước và nghiên cứu của các tác giả khác.