Một số phương pháp giải bài toán rẽ nhánh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ MAI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

HÀ NỘI- 2015


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

3
6

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Không gian các ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Không gian các ánh xạ khả vi liên tục . . . . . . . . .

8

1.1.4

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng . . . . . . . . . . .

9

1.3

Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng . . . . . . . . . .

10

1.5

Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Lý thuyết bậc ánh xạ

12

2.1

Một vài ký hiệu và bổ đề

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục khả vi . . . . . . . . . . .

13

2.3

Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4

Ứng dụng của bậc ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3 Giải bài toán rẽ nhánh
3.1

26

Lý thuyết rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

26


3.2

Giải bài toán rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.1

Một vài kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.2

Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2


MỞ ĐẦU
Nhiều hiện tượng tự nhiên và khoa học có thể được mô tượng mô tả bằng
ngôn ngữ toán học thông qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số:
(λ, v) ∈ Λ × D,

F (λ, v) = 0,

trong đó, F là một hàm số trên tích của không gian metric (Λ, d) với D, (D
là lân cận của điểm 0 trong không gian định chuẩn X) vào không gian định
chuẩn Y . Nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình trên là việc nghiên cứu
sự thay đổi nghiệm của nó theo tham số.
Trong thời gian gần đây, lý thuyết rẽ nhánh được sử dụng nhiều để nghiên
cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó tìm những giá trị
của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi.
Giả thiết rằng với λ ta có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta
có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường
của phương trình
(λ, v) ∈ Λ × D.

F (λ, v) = 0,

(1)

Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ, 0) mà tại những lân cận của nó
có tính chất với δ > 0, ǫ > 0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường
(λ, u) ∈ Λ × D của (1) thỏa mãn d(λ, λ) < δ và 0 < ||u|| < ǫ. Nghiệm tầm

thường (λ, 0) này được gọi là nghiệm rẽ nhánh của (1), λ được gọi là điểm rẽ

nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của (1) được gọi là bài
toán rẽ nhánh. Có nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán rẽ nhánh,
mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau. Dựa vào
định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng
3

của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên, không phải giá trị riêng
nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh.
Rất nhiều các công trình của các tác giả khác nhau cho ba bài toán: sự
tồn tại nghiệm rẽ nhánh, tồn tại những nhánh nghiệm, tìm những giá trị
tham số tại đó tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ, với phương pháp biến phân,
tôpô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt, tham số là số thực dạng
T (v) − λc(v) = 0,

(λ, v) ∈ Λ × D.

Trong luận văn này ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp LyapunovSchmidt trong [1] sử dụng phép chiếu và đưa phương trình nghiên cứu thành
hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều, phần còn lại nằm
trong không gian vô hạn chiều trực giao. Sau đó sử dụng bậc ánh xạ để chỉ
ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh. Từ đó, ta
có phương pháp kết hợp giữa phương pháp tôpô và giải tích cho bài toán rẽ
nhánh.
Bố cục luận văn gồm ba chương, phần mở đầu, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản làm cơ sở cho việc trình
bày lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng
trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh.
Chương hai trình bày lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục. Tiếp theo ta chỉ
ra các tính chất cơ bản của bậc ánh xạ. Cuối cùng là một số ứng dụng của
bậc ánh xạ.
Chương ba trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian
Banach và lược đồ Lyapunov-Schmidt để chuyển phương trình toán tử về hệ
phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô
hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian hữu hạn chiều. Nhờ lược

đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số. Từ
đó ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh của phương
4


trình (1).
Khi viết bản luận văn này tác giả đã tham khảo các tài liệu [2], [3], [4]
và [5], trong đó đã nêu ra được điều kiện đủ để giá trị riêng của phần tuyến
tính là điểm rẽ nhánh và công thức biểu diễn nghiệm của phương trình theo
véctơ riêng.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân
Tấn, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ tác giả
trong suốt quá trình làm luận văn này.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô giáo chuyên ngành Giải tích, khoa
Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia
Hà Nội, các thầy cô phòng Sau Đại học đã tận tình giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành khóa luận.
Cuối cùng tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình, bạn
bè đã luôn động viên và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học
tập và hoàn thành luận văn của mình.

Hà Nội, tháng 4 năm 2015
Nguyễn Thị Mai

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số không gian thường dùng trong
luận văn và một số định nghĩa, định lý làm cơ sở cho chương 2 và chương 3.

1.1

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian véctơ thực. Một ánh xạ ||·|| : X → R

gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
(i) ||x|| ≥ 0,

∀x ∈ X,

(ii) ||λx|| = |λ|.||x||,

||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0,

∀x ∈ X,

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,

∀λ ∈ R,
∀x, y ∈ X.

Khi đó, cặp (X, || · ||) được gọi là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là một dãy cơ bản (dãy Cauchy)
trong không gian định chuẩn (X, || · ||) nếu

lim ||xn − xm || = 0.

m,n→∞

6


Định nghĩa 1.1.3. Nếu trong không gian định chuẩn (X, || · ||), mọi dãy cơ

bản đều hội tụ tới giới hạn thuộc không gian X thì X được gọi là không gian

đủ hay không gian Banach, tức là với mỗi dãy cơ bản {xn } ⊂ X thì luôn tồn

tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 khi n → ∞.

Sau đây, ta xét một số trường hợp cụ thể của không gian Banach.

1.1.1

Không gian Rn

Cho 1 ≤ p ≤ ∞, ta xác định chuẩn || · ||p trên Rn như sau:

với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ta định nghĩa
n

||x||p =

i=1

|xi |p

1
p

nếu

p < ∞.

Trường hợp p = ∞, ta định nghĩa ||x||p = max{|x1 |, . . . , |xn |}. Khi đó, Rn

với chuẩn || · ||p là không gian Banach. Hai chuẩn ρ1 , ρ2 trên không gian định
chuẩn X gọi là tương đương nếu tồn tại hai số thực dương C1 , C2 sao cho
C1 ρ1 (x) ≤ ρ2 (x) ≤ C2 ρ1 (x),

∀x ∈ X.

Hai chuẩn tương đương thì một dãy điểm {xn } ⊆ X là hội tụ theo chuẩn ρ1

về x0 ∈ X khi và chỉ khi {xn } hội tụ về x0 theo chuẩn ρ2 . Chú ý rằng, mọi
chuẩn trên Rn đều tương đương.

1.1.2

Không gian các ánh xạ liên tục

Cho X ⊆ Rn , định nghĩa
C(X, Rm ) = {f : X → Rm |f là ánh xạ liên tục}.
Cho f ∈ C(X, Rm ), đặt
||f ||◦ = sup ||f (x)||,

x∈X

7


trong đó, || · || là một chuẩn trong Rn .

Vì giới hạn của một dãy các ánh xạ liên tục hội tụ đều cũng là một ánh xạ
liên tục nên C(X, Rm ) là không gian Banach.

1.1.3

Không gian các ánh xạ khả vi liên tục

Cho D ⊂ Rn là một tập mở bị chặn của Rn . Cho β = (i1 , . . . , in ) ∈ Nn ,

đặt |β| = i1 + . . . + in .

Cho Dβ f : D → Rm là đạo hàm riêng của hàm f : D → Rn bậc β
Dβ f (x) =

∂ β f (x)
,
∂ i1 x1 . . . ∂ in xn

trong đó x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D. Định nghĩa
C k (D, Rm ) = {f : D → Rm |Dβ f (x) liên tục trên D, ∀β : |β| ≤ k}.
Khi đó C k (D, Rm ) là không gian Banach với chuẩn của f ∈ C k (D, Rm ) được

xác định bởi

||f ||k =

1.1.4

max {||Dβ f ||0 }.

|β|≤k

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.4. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có một
hàm song tuyến tính, đối xứng ·, · : X × X → R thỏa mãn
x, x ≥ 0,

∀x ∈ X

và

x, x = 0

thì x = 0.

Ta gọi X là không gian tiền Hilbert.
Hơn nữa, nếu ta định nghĩa
||x|| =

x, x ,

thì (X, || · ||) là không gian định chuẩn. Nếu không gian này đủ thì (X, ·, · )

được gọi là không gian Hilbert.

8


1.2

Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng

Cho hai không gian véctơ bất kỳ X, Y . Một ánh xạ
A:X →Y
được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu
(i) A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ).
(ii) A(αx) = αA(x) với mọi x ∈ X và với mọi α ∈ R.
Để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x).
Toán tử A được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo theo Axn → Ax0 với

mọi dãy {xn } ⊂ X, x0 ∈ X.

Toán tử A được gọi là bị chặn nếu có một hằng số K > 0 để cho
||Ax||Y ≤ K||x||X ,

∀x ∈ X.

Định lý 1.2.1. Một toán tử tuyến tính A : X → Y liên tục khi và chỉ khi

nó bị chặn.

Cho X, Y là hai không gian Banach với

X ∗ = {f |f : X → R, f tuyến tính liên tục};
Y ∗ = {g|g : Y → R, g tuyến tính liên tục},
tương ứng là các không gian đối ngẫu của X và Y .
Cho A : X → Y là một toán tử liên tục.

Khi đó, toán tử A∗ : Y ∗ → X ∗ của A là toán tử tuyến tính được xác định
bởi

A∗ y, x = y, Ax ,

x ∈ X, y ∈ Y ∗ ,

với ·, · là cặp đối ngẫu giữa X và X ∗ , Y và Y ∗ .

Cho X là không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y gọi là
9


Tài liệu tham khảo
[1] E. Schmidt (1910), "Zur Theorie der linearen und nicht linearen Integralgleichungen", III. Teil (65), Math, Ann, 370-399.
[2] J. T. Schwartz (1969), Nonlinear functional analysis, Gordon and Breach
Science Publishers New York - London - Paris.
[3] N. X. Tan (1998), "An analytical approach to bifurcation problems with
applications involving Fredholm mappings", Proc. Roy. Soc. Edinburgh
Sect, (A 110), 199-225.
[4] N. X. Tan (1991), "Bifurcation problems for equations involving Lipschitz
continuous mappings", J. Math. Anal. Appl (154,no.1), 22-42.
[5] N. X. Tan (1992), "Local bifurcation from characteristic values with finite
multiplicity and its applications to axisymmetric buckled states of a thin
shell", Appl. Anal, (46), 259-286.

[6] P. Rabinowitz (1975), "A note on topological degree for potential operators", J. Math. Anal. Appl, (51), 483-492.
[7] W. Van Roosbroeck (1950), "Theory of the flow of electrons and holes in
germanium and other sem iconductors", Bell. Syst. Tech. J, (29), p.560.

62