Chứng minh công thức tổ hợp bằng đạo hàm

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
/>NHỊ THỨC NEWTON VỚI ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
PHẦN 1: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
1/ Các khai triển cơ bản:
n

(a  b)n  Cn0 a n  Cn1a n1b  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn b n   Cnk ank b k
k 0

n

k 0

f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  (1)n Cnn x n

m

(a  b)n  (a  ( b))n  Cn0 a n  Cn1 a n 1 (b)  ...  Cnk a n  k (b)k  ...  C nn (b)n   (1)k Cnk a n k b k

co

2/ Tính chất của công thức Nhò thức Newton:
a/ Số số hạng là n + 1 (số). Các hệ số của khai triển (a + b)n là dãy n + 1 số: Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn1, Cnn

d/ Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: Tk 1  Cnk .a n k .b k

a  b  1  Cn0  C1n  Cn2  ...  Cnn  2n
a  b  1  Cn0  C1n  Cn2  ...  (1)n Cnn  0

oc

uo

- Đặc biệt:

c.

b/ Tổng số mũ của a và b là: (n - k) + k = n, (ta quy ước số mũ của a giảm dần và của b tăng dần)
c/ Các cặp hệ số cách đều biên thì bằng nhau: Cnk  Cnn  k

e/ Công thức nhò thức Newton: (a  b)n 

n

Cnk a nk b k

k 0

là công thức khai triển nhò thức (a + b)n

theo lũy thừa giảm của a và tăng của b. Nếu muốn viết khai triển nhò thức (a + b)n theo lũy thừa
tăng của a và giảm của b thì công thức sẽ có dạng: (a  b)n  (b  a)n 

n

Cnk b nk a k

k 0

3/ Lưu ý: Khi sử dụng đạo hàm
Mỗi cấp đạo hàm của 2 vế và chọn giá trò của x cho ta một hệ thức tổ hợp:

n

gb

(1  x )n  Cn0  C1n x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n   Cnk .x k
k 0

n(1  x )n1  C1n  2Cn2 x  ...kCnk .x k 1  ...  nCnn x n1
Đạo hàm cấp 2: n(n 1)(1  x )n 2  1.2.Cn2  2.3.Cn3 x  ...(k  1).k .Cnk .x k 2  ...  (n 1)n.Cnn x n 2
Đạo hàm cấp 3: n(n 1)(n  2).(1  x )n3 
 1.2.3.Cn3  2.3.4.Cn4  ...(k  2)(k  1).k.Cnk .x k 3  ...  (n  2)(n  1)n.Cnn x n3

on

Đạo hàm cấp 1:

kh

...
Chú ý:
- Số số hạng sẽ giảm dần theo cấp đạo hàm. Đạo hàm cấp k sẽ còn (n + 1 - k) số hạng
- Có khi cần nhân biến x; x2 , x3, ... vào 2 vế trước khi đạo hàm để tạo hệ thức mới.
II/ Bài tập:
Bài 1: Chứng minh:
a / Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4  ...  nCnn  n.2n 1

b / 2.1. Cn2  3.2.Cn3  4.3.Cn4  ...  n(n  1)Cnn  n.(n  1).2n  2
HD :  Xét (1  x )n  Cn0  Cn1 .x  Cn2 . x 2  Cn3 . x 3  ...  Cnn .x n
 Đạo hàm 2 lần, và xét với x  1  Kết quả.

GV: HQH - TN

Trang: 1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
/>Bài 2: Chứng minh: Cn0  2Cn1  3Cn2  4Cn3  ...  (n  1)Cnn  (n  2).2n 1
HD :

 Có : (1  x )n  Cn0  Cn1 . x  Cn2 .x 2  Cn3 .x 3  ...  Cnn .x n
 Do cần lũy thừa của x ở C1n là 2, Cn2 là 3...  Nhân 2 vế với x
 x .(1  x )n  Cn0 x  Cn1 . x 2  Cn2 .x 3  Cn3 .x 4  ...  Cnn .x n 1

m

 Đạo hàm cấp1, chọn x  1  Kết quả

 Xét f ( x )  (1  x )n  Cn0  C1n .x  Cn2 .x 2  Cn3 . x 3  ...  Cnn .x n
g( x )  x.(1  x )n  Cn0 x  Cn1 .x 2  Cn2 .x 3  Cn3 .x 4  ...  Cnn .x n 1

 f '( x )  Cn1  2.Cn2 .x  3.Cn3 .x 2  4.Cn4 .x 3  ...  n.Cnn .x n 1  n(1  x )n 1
Và : g '( x )  ...

(1)

c.

f '(1)  Cn1  2.Cn2  3.Cn3  4.Cn4  ...  n.Cnn  n(2)n 1

co

Bài 3: Chứng minh: 12.Cn1  2 2.Cn2  32.Cn3  ...  p 2 .Cnp  ...  n 2 .Cnn  n.(n  1).2n  2  n.2n 1

g ''( x )  2Cn1  3.2.x.Cn2  4.3.x 2 .Cn3  5.4.x 3Cn4  ...  (n  1).n.x n 1Cnn  2n(1  x )n 1  n.(n  1).x.(1  x )n  2

 Lấy (2)  (1)  Kết quả.

oc
uo

g ''(1)  2Cn1  3.2.Cn2  4.3.Cn3  5.4.Cn4  ...  (n  1).n.Cnn  2n(2)n 1  n.(n  1).(2)n  2 (2)

Bài 4: Tính n.Cn0  (n  1)C1n  ...  Cnn 1

 Xét : [(1  x )n ]'  (Cn0 x n  Cn1 .x n 1  Cn2 .x n  2  ...)'  nCn0 x n 1  (n  1)Cn1 .x n  2  (n  2)Cn2 .x n 3  ...
 n(1  x )n 1  nCn0 x n 1  (n  1)Cn1 . x n  2  (n  2)Cn2 .x n 3  ...

gb

 Chọn x  1, có đáp số .
Bài 5: (Khối A - 05)
Tìm số nguyên dương n sao cho: C21 n 1  2.2.C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1  ...  (2n  1).22 n C22nn11  2005
Ta có : (1  x )2 n 1  C20n 1  C21 n 1 x  C22n 1 x 2  C23n 1 x 3  ...  C22nn11 x 2 n 1 , x  
Đạo hàm 2 vế ta có :

on

(2n  1)(1  x )2 n  C21n 1  2.C22n 1 .x  3.C23n 1 .x 2  ...  (2n  1).C22nn11 .x 2 n , x  
Thay x  2, ta có :

C21 n 1  2.2.C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1  ...  (2n  1).2 2 n C22nn11  2n  1
Theo giả thiết ta có 2n  1  2005  n  1002

kh

Bài 6:
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh: Cn2  2Cn3  3.Cn4  ...  (n  1)Cnn  (n  2)2n 1  1
Xét hàm số : f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n

 f (1)  2n  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn (1)

Ta có : f '( x )  n(1  x )n 1  C1n  2Cn2 x  ...  nCnn x n 1

 f '(1)  n.2n 1  Cn1  2Cn2  ...  nCnn (2)
Trừ từng vế (2) với (1), ta có : n.2n 1  2n  Cn2  2Cn3  ...  (n  1)Cnn  1

 Cn2  2Cn3  3Cn4  ...  (n  1)Cnn  (n  2)2n 1  1  đfcm
GV: HQH - TN

Trang: 2