Tải bản đầy đủ (.) (7 trang)

Tài liệu Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.78 KB, 7 trang )

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 05 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 05-04
Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton.
Bài 1 : Tìm n nguyên dương thõa mãn:

1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2
2 1
2 2 .3.2 3 .3 .2 2 3 .2
(2 1) 3 2011
n n n n n
n n n n
n n
n
C C C nC
n C
− − −
+ + + +
+
+
− + − −
+ + =

Bài 2 : Tính tổng:

0 1 2
1 1 1 1
1 2 3 1


1. 2. 3. ( 1).

n
n n n n
n
C C C n C
S
A A A A
+
+
= + + + +
Với:
0 1 2
211
n n n
C C C
+ + =
Bài 3 : Chứng minh hệ thức:

2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n

+ + + + − = −
Bài 4 : Tính tổng:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2

1 2 3
2 3
n
n n n n
S C C C n C
= + + + +
Bài 5 : Tính tổng:

2 2 2 2
1 2 3

2 3 4 1
n
n n n n
C C C C
S
n
       
= + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
+
       
………………….Hết………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 02-04
Bài 1 : Tìm hệ số của x
3
trong khai triển:

2
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
. Biết n thõa mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C

+ + + =
Giải:

( )
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1
2 2
2
1 2 1 2 1 23
2 2
(1 ) . . . .
(1 ) . . . .
ó :
(1 ) (1 ) 2
2
1 2 2 2
2
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n
n
n n
n n
x C C x C x C x C x
x C C x C x C x C x
Ta c
x x xC x C
Cho x C C
− −
− −
− −

− −

+ = + + + + +



− = − + − − +


+ − − = + +
= ⇒ + + = = = ⇒
12 12
12 12
2 2 12 3 12
12 12
0 0
3 5 7
12
1 23 12
2 2
. . .2 .
3 12 3 5 à : .2 101376
k
k k k k k
k k
n n
x C x C x
x x
k k HS x l C


− −
= =
− = ⇒ =
   
⇒ + = =
 ÷  ÷
   
⇒ − = ⇒ = ⇒ =
∑ ∑
Bài 2 : Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
n n
n n n n
C C C C
+ + + =
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển:

2
3
n
x
x
 

 ÷
 


Giải:
Page 2 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

( )
0 1 2 2 1 1
0 1 2 2
8
8 8
8
2 2 8 8 3 8
8 8
0 0
7 3 5
8
8
8
0
ó : (1 ) . . . .
2 6561 2 2 2 3 8
3
3 . ( 1) 3
3 8 7 5 à : 3 1512
ác ( 3)
n n n n n
n n n n n
n n n

n n n n
k
k k k k k k k
k k
k k
k
Ta c x C C x C x C x C x
khi x C C C C n
x C x x C x
x
k k HS x l C
c HS C
− −

− − −
= =

=
+ = + + + + +
= ⇒ = + + + = ⇒ =
 
⇒ − = − = −
 ÷
 
⇒ − = ⇒ = ⇒ − = −
= −
∑ ∑
8
8 8
((1 3) ( 2) 256= − = − =

∑ ∑

Bài 3 : Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:

28
3
y
x
x
 

 ÷
 
Giải:

28
28 28
3 28 3 28 28 4 28 28
28 28
0 0
ó : ( ) .( 1) . .( 1) . .
( ) 2 ( ) 4 28 2(28 ) 14
k
k k k k k k k
k k
y y
Ta c x C x C x y
x x
Do SM x SM y k k k


− − − −
= =
 
− = − = −
 ÷
 
= ⇒ − = − ⇔ =
∑ ∑
=> Số hạn cần tìm là:

14
28
C
Bài 4 : Tìm hệ số của x
2008
trong khai triển Newton của đa thức:

( )
( )
670
670
2
( ) 2 1f x x x
= − +
Giải:

670 2008 3 3 ó ài án :Coi n n ta c b to
= ⇒ = −
Tìm hệ số a
3n-3

của x
3n-3
trong khai triển đa thức:
( )
( )
2
( ) 2 1
n
n
f x x x
= − +
Page 3 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Ta có:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 0 1 1 2 3 2 4 2
0 1 2 2
3 1 1 3 2 667 2
3 3 670
( ) 2 1
2 2 ( 2) ( 2) ( 2) .
1

( 2) . 2 2.670 49005140
n
n
n n
n n n n n
n n n n
n
n n
n n n n
n n n n n
n n n n n n
f x x x
x x C C x C x C x
x C C x C x C x
a C C C C C n C
− −
− − − −

= − +
− = − + = − + − + − + +
+ = + + + +
⇒ = + − = − = − =
Bài 5 : Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển:
( )
2
( ) 1 2 3
n
f x x x

= + +

Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức:

2 2 2 3 3 3
. 2 . . 100(*)
n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
+ + =
Giải:


( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 3 3 2 3
2 3 3
4
4 2
2 2
4
0
4
4 8 2
4
0 0
(*) 2 . 100 100

( 1) ( 1)( 2)
10 10 60 0 4
2 6
( ) 1 2 3 3 . 1 2
.3 . . (2 ) .
n n n n n n
n n
k
k
k
k
k k k m m
k
k m
C C C C C C
n n n n n
C C n n n
f x x x C x x
C x x C
=
− −
= =
⇔ + + = ⇔ + =
− − −
⇒ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇒ =
⇒ = + + = +
=

∑ ∑



Page 4 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( )
4
4 2 8
4
0 0
2 0 2 3 2 4 4 0 4
4 2 4 3 4 4
2 8 4 2 4
. .3 .2 . 0 4 0 4
0 0
2 4 2; 0
2 4
0 4 3; 2
2 4
0 4; 4
. .3 3 . .4 . .3 .2 54 144 16 214
k
k m k m m k
k
k m
m k k m
C C x k k
m k m k
m k k m
m k

k k m
k
m k k m
HS C C C C C C
− − +
= =
− + = − =
 
 
= ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
 
 
≤ ≤ ≤ ≤
 
= − = =
 
= −



⇒ ≤ ≤ ⇔ ⇒ = =
 

≤ ≤



≤ ≤ = =
 
⇒ = + + = + + =

∑∑

• BTVN NGÀY 05-04
Bài 1 : Tìm n nguyên dương thõa mãn:

1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2
2 1
2 2 .3.2 3 .3 .2 2 3 .2
(2 1) 3 2011
n n n n n
n n n n
n n
n
C C C nC
n C
− − −
+ + + +
+
+
− + − −
+ + =

Giải:
Xét khai triển:
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1

2 .2 .2 . .2. .
n
n n n n n n
n n n n
x C C x C x C x
+
+ + +
+ + + +
− = − + + −
Đạo hàm 2 vế:

( )
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2
1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 .2 .2 . .2. .
(2 1) 2 .2 2 .2 . 2 .2. (2 1) .
3 2 1 .2 2 .2 .3 2
n
n n n n n n
n n n n
n
n n n n n n
n n n n

n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x nC x n C x
Cho x n C C nC
+
+ + +
+ + + +
− − +
+ + + +

+ + +
− = − + + −
⇒ − + − = − + + + − +
= ⇒ + = − − −
2 2 1 2 1 2
2 1
.2.3 (2 1) .3 2011
1005
n n n n
n
n C
n
− +
+
+ + =
⇒ =
Page 5 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408

Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 2 : Tính tổng:

0 1 2
1 1 1 1
1 2 3 1
1. 2. 3. ( 1).

n
n n n n
n
C C C n C
S
A A A A
+
+
= + + + +
Với:
0 1 2
211
n n n
C C C
+ + =
Giải:
1 1
0
1 1
0 1 2
0 1 2 2
20

( 1) ( 1) ( 1)
ì :
( 1)!
!
(1 1) 2
( 1)
à : 211 1 211 420 0
2
20 2
k k k
n
k
n n n
n
k
k k
n n n
n n n n
n n n
k C k C k C
S v C
k
A A
k
S C C C C
n n
M C C C n n n
n S
=
+ +

+ + +
= = =
+
⇒ = + + + + = + =

= + + ⇔ + + = ⇔ + − =
⇔ = ⇒ =

Bài 3 : Chứng minh hệ thức:

2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n

+ + + + − = −
Giải:
0 1 2 2 1 1
ó : (1 ) . . . .
n n n n n
n n n n n
Ta c x C C x C x C x C x
− −
+ = + + + + +
Đạo hàm 2 vế ta có:

1 1 2 1 2 1
(1 ) 2 . ( 1) . .
n n n n n

n n n n
n x C C x n C x nC x
− − − −
+ = + + + − +
Đạo hàm lần nữa ta có:

2 2 3 1 3 2
( 1)(1 ) 2.1 3.2 ( 1)( 2) ( 1) .
n n n n n
n n n n
n n x C C x n n C x n n C x
− − − −
− + = + + + − − + −
Cho x=1 ta có:

2
( 1)2
n
VT n n VP dpcm

= − = ⇒
Bài 4 : Tính tổng:
Page 6 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3

2 3
n
n n n n
S C C C n C
= + + + +
Giải:

2
ó :(1 ) .(1 ) (1 )
n n n
Ta c x x x
+ + = +
Đạo hàm 2 vế ta có:

2
2 (1 ) '.(1 ) (1 ) '
n n n
x x x
   
+ + = +
   
1 2 1 2 1
0 1 2 2 1 1
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1
2 2 2 2
1
(1 ) ' 2 . ( 1) . . (1)
à : (1 ) . . . . (2)
(1 ) ' 2 . (2 1) . 2 .
(1) à (2) à:

n n n n n
n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n
x C C x n C x nC x
M x C C x C x C x C x
x C C x n C x nC x
Qua v HS x l C
− − −
− −
− − −


 
+ = + + + − +
 


+ = + + + + +


 
+ = + + + − +

 

⇒ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
1
2
2 2 2 2
1 2 3
2
2 3
à (3) : à:
2 3
n
n n n n
n n
n
n n
n n n n n
C C n C
M qua HS x l nC
S C C C n C nC

+ + + +
⇒ = + + + + =
Bài 5 : Tính tổng:

2 2 2 2
1 2 3

2 3 4 1

n
n n n n
C C C C
S
n
       
= + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
+
       
Cách làm bài này tương tự bài trên nhưng các bạn dung phương pháp đạo hàm 2 vế.
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 7 of 7

×