Chứng minh công thức tổ hợp bằng tích phân

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
SUY NGHĨ CÁCH CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC Cnk BẰNG TÍCH PHÂN
Bài viết này phù hợp HS trung bình - khá. HS giỏi thì không cần thiết
Chứng minh một đẳng thức về số Cnk có nhiều cách (tất nhiên là phụ thuộc vào dạng biểu
thức đó): Sử dụng các công thức Pascal; sử dụng đònh nghóa của số Cnk ; sử dụng đạo hàm; sử dụng

m

tích phân . . .
Bài viết này xin nói lên vài nhận xét để chứng minh một đẳng thức Cnk bằng tích phân
* Phương pháp dùng tích phân để chứng minh đẳng thức Cnk có thể gồm các bước:

co

+ Bước 1: Đánh giá rằng bài toán có thể giải được bằng phương pháp tích phân
+ Bước 2: Dựa vào đặc thù của đẳng thức để tìm và xét 1 (hoặc các) nhò thức phù hợp
+ Bước 3: Khai triển nhò thức nêu trên
+ Bước 4: Lấy tích phân 2 vế với cận hợp lý

oc
uo

c.

Hầu hết các bạn HS giỏi đều làm tốt các bước này, chỉ có một ít các bạn HS TB - Khá còn
gặp khó khăn. Theo tôi, bài toán dạng này giải ra hay không là khâu các bạn có cách giải quyết
tốt bước thứ 2 hay không.
Sau đây xin trình bày vài kinh nghiệm nhận xét để tìm ra biểu thức nhò thức phù hợp.
Trước hết xin ghi lại vài công thức lý thuyết cơ bản:
n  , n  0

1 / (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  Cnn x n
n

0
n

1
n

2
n

2

n

3 3
n

(1)

n
n

2 / (1  x )  C  C x  C x  C x  ...  (1) C x
3 /  x k Cnk dx 

1
C k x k 1  const
k 1 n

n

(0  k  n)

(2)

(3)

(4)

gb

1
1
1
1
2n 1  1
Cnn 
( n  , n  0 )
Ví dụ 1: Chứng minh: 1  C1n  Cn2  Cn3  ... 
2
3
4
n 1
n 1

1
Cnk (k  0, k  ) . Số đi chung với Cnk là phân số
k 1

1
=> có thể sử sụng được phương pháp tích phân (vì phù hợp với:  x k Cnk dx 
Cnk x k 1  const )
k 1

on

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

1
1
Cnk có mẫu của phân số
là (k + 1) lớn hơn
k 1
k 1
chỉ số chập là k, đúng 1 đơn vò => có khả năng ban đầu Cnk đi chung với x k , tức là: x k . Cnk

kh

NX2: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

NX3: Dấu của các số hạng luôn là cộng (+)
- Chính vì thế mà ta căn cứ vào lý thuyết CT 1/, ta sẽ khai triển nhò thức: (1  x )n
(1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  Cnn x n (1)

- Lấy tích phân hai vế của (1), cận từ 0 tới 1. (ta chọn cận từ 0 tới 1 là vì đi chúng với Cnk chỉ là

1
, không có số nào khác)
k 1

1

1
n

 (1  x ) .dx   (C
0

0
n

 Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  Cnn x n ).dx

0

GV: HQH - TN

/>
Trang: 1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
1

1

(1  x )n1
1
1
1

1
Cnn x n 1

 Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x 3  Cn3 x 4  ... 
2
3
4
n 1 0
n 1
0


2 n1  1
1
1
1
1
Cnn (đccm)
 1  Cn1  Cn2  Cn3  ... 
2
3
4
n 1
n 1

(1)n1 n
n
1 1 1 2 1 3 1 4
Cn 
( n  , n  0 )

Ví dụ 2: Chứng minh: Cn  Cn  Cn  Cn  ... 
2
3
4
5
n 1
n 1

m

(5)

(1)k 1 k
C (k  0, k   ) . Số đi chung với Cnk là phân
k 1 n
1
số => có thể sử sụng được phương pháp tích phân (vì phù hợp với:  x k Cnk dx 
Cnk x k 1  const )
k 1

co

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

c.

(1)k 1 k
1
Cn có mẫu của phân số
là (k + 1) lớn

NX2: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:
k 1
k 1
hơn chỉ số chập là k, đúng 1 đơn vò ==> có khả năng ban đầu Cnk đi chung với x k , tức là: x k . Cnk

oc
uo

NX3: Dấu của các số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-)
- Chính vì thế mà ta căn cứ vào lý thuyết CT 2/, ta sẽ khai triển nhò thức: (1  x )n
(1  x )n  Cn0  C1n x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  (1)n Cnn x n

--> Vậy chưa khớp dấu của đề, ta sẽ nhân 2 vế cho (-1), vậy:
(1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  (1)n 1 Cnn x n (6)

- Lấy tích phân hai vế của (6), cận từ 0 tới 1. (ta chọn cận từ 0 tới 1 là vì đi chúng với Cnk chỉ là

1
, không có số nào khác)
k 1
1

1

  (1  x )n .dx   (Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  (1)n 1 Cnn x n ).dx
0

1

gb

0

1

(1  x )n 1
1
1
1
(1)n 1 n n 1

 (Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x 3  Cn3 x 4  ... 
C x )
n 1 0
n 1 n
2
3
4
0
(1)n 1 n
1
1
1
1
 1  Cn1  Cn2  Cn3  ... 
C
n 1
n 1 n
2
3

4
(1)n 1 n
n
1
1
1
1
 Cn1  Cn2  Cn3  Cn4  ... 
Cn 
(đccm )
2
3
4
5
n 1
n 1

on



kh

Ví dụ 3: (Đại học Khối B - 2003)
22  1 1 23  1 2 24  1 3
2 n1  1 n
Cho n nguyên dương, tính: Cn0 
Cn 
Cn 
Cn  ... 

C
2
3
4
n 1 n

(7)

2 k 1  1 k
C (k  0, k   ) . => có thể sử sụng được
k 1 n
phương pháp tích phân, đồng thời số hạng tổng quát này còn gợi ý: nó là hiệu của 2 số! Ta đoán
chắc đó là giá trò cận trên trừ đi giá trò cận dưới.

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

GV: HQH - TN

/>
Trang: 2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

2k 1  1 k
2 k 1  1
có
mẫ
u
củ

a
phâ
n
số
NX2: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:
C
là (k + 1) lớn
k 1
k 1 n
hơn chỉ số chập là k, đúng 1 đơn vò ==> có khả năng ban đầu Cnk đi chung với x k , tức là: x k . Cnk
NX3: Dấu của các số hạng luôn là cộng (+)
- Chính vì thế mà ta căn cứ vào lý thuyết CT 1/, ta sẽ khai triển nhò thức: (1  x )n

- Lấy tích phân 2 vế của (1), vì Số hạng tổng quát có dạng

2k 1  1 k
C , nên ta chọn cận từ 1 tới 2.
k 1 n

2

0
1
2 2
3 3
n
n n
 (1  x ) .dx   (Cn  Cn x  Cn x  Cn x  ...  Cn x ).dx
1

1

2

2

(1  x )n 1
1
1
1
1
Cnn x n 1

 Cn0 x  C1n x 2  Cn2 x 3  Cn3 x 4  ... 
n 1 1
n 1
2
3
4
1

co

2

m

(1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  Cnn x n (1)

c.

3n 1  2n 1
2 2  1 1 23  1 2 2 4  1 3
2 n 1  1 n
Cn 
Cn 
Cn  ... 
C
 1
n 1
2
3
4
n 1 n
22  1 1 23  1 2 24  1 3
2n1  1 n 3n1  2n1
Vậy ta có: 1 
Cn 
Cn 
Cn  ... 
C 
2
3
4
n 1 n
n 1
Ví dụ 4: Chứng minh:

oc
uo



(1)n n
1 0 1 1 1 2 1 3
1
Cn  Cn  Cn  Cn  ... 
Cn 
( n  , n  0 )
n2
2
3
4
5
(n  1)(n  2)

(8)

(1)k k
Cn (k  0, k   ) . Số đi chung với Cnk là phân số
k2
=> có thể sử sụng được phương pháp tích phân
(1)k k
(1)k
NX2: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:
Cn có mẫu của phân số
là (k + 2) lớn hơn
k 2
k2

gb

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

chỉ số chập là k, đúng 2 đơn vò ==> có khả năng ban đầu Cnk đi chung với x k 1 , tức là: x k 1 .Cnk (*)
NX3: Dấu của các số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-)
- Chính vì thế mà ta căn cứ vào lý thuyết CT 2/, ta sẽ khai triển nhò thức: (1  x )n

on

(1  x )n  Cn0  C1n x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  (1)n Cnn x n

Tới đây, nhận thấy số hạng vế phải chưa giống như ta đoán ở (*), vậy ta sẽ nhân hai vế cho x.
Ta được: x (1  x )n  Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x 3  Cn3 x 4  ...  (1)n Cnn x n 1 (9)

kh

- Trong số hạng tổng quát của đề, đi chung với Cnk chỉ là

(1)k
, không có số nào khác, nên lấy
k2

tích phân 2 vế của (9), cận từ 0 tới 1.
1

1

0
1 2

2 3
3 4
n
n n n 1
 x(1  x ) .dx   (Cn x  Cn x  Cn x  Cn x  ...  (1) Cn x ).dx
0

0

1

(1)n n n  2
1
1
1
1
* VP  ( Cn0 x 2  Cn1 x 3  Cn2 x 4  Cn3 x 5  ... 
C x )
2
3
4
5
n2 n
0
1
1
1
1
(1)n n
 Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ... 

C
n2 n
2
3
4
5
GV: HQH - TN
/>
Trang: 3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
* Xét VT:
x  0  t 1

Đặt t  1  x  dt   dx
1

x 1 t  0

0

1

1

  x (1  x )n .dx    (1  t ).t n .dt   (1  t ).t n .dt   (t n  t n 1 ).dt 
0

1

0

0

1

Vậy :

1 0 1 1 1 2 1 3
1
(1)n n
Cn  Cn  Cn  Cn  ... 
Cn 
n2
2
3
4
5
(n  1)(n  2)

m

1 n 1
1 n2
1
1
1
t 
t




n 1
n2
n  1 n  2 (n  1)(n  2)
0

( n  , n  0 )

co



Ví dụ 5:

( n  , n  0 ) (10)

c.

1
1
1
(1)n n1 n 1  (1)n
Chứng minh: 2Cn0  .2 2.C1n  .23.Cn2  .24 Cn3  ... 
. 2 Cn 
n 1
n 1
2
3

4

(1)k k 1 k
.2 .Cn (k  0, k  ) . Số đi chung với Cnk là
k 1
phân số => có thể sử sụng được phương pháp tích phân
NX2: Dấu của các số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-)
(1)k k 1 k
(1)k
NX3: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:
.2 .Cn có mẫu của phân số
là (k + 1) lớn
k 1
k 1

oc
uo

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

hơn chỉ số chập là k, đúng 1 đơn vò ==> có khả năng ban đầu Cnk đi chung với x k , tức là: x k .Cnk ,
vậy thì còn lại thừa số 2k 1 ở đâu ra??? Ta suy nghó rằng: chắc là không phải khai triển (1  x )n mà
là có thể là: (1  2 x )n . Khá hợp lý!, nhưng mà khi đó lũy thừa của số 2 là (k+1), trong khi nó đang
đi cùng với Cnk . Vậy thì chắc rằng ta cần nhân thêm số 2 nữa thì mới đủ.

gb

Tóm lại , chúng ta khai triển: 2(1  2 x )n

2(1  2 x )n  2.(Cn0  Cn1 2 x  Cn2 .22.x 2  Cn3 .23.x 3  ...  (1)n Cnn .2n.x n )

 2(1  2 x )n  2Cn0  C1n 22 x  Cn2 .23.x 2  Cn3 .24.x 3  ...  (1)n Cnn .2n 1.x n )

(11)

- Lấy tích phân 2 vế của (11), cận từ 0 tới 1.
1

on

1

0
1 2
2 3 2
3 4 3
n
n n
n 1 n
 2(1  2 x ) .dx   (2Cn  Cn 2 x  Cn .2 .x  Cn .2 .x  ...  (1) Cn .2 .x ).dx
0

0

1

1

1
1
1

1
  (1  2 x ) .d (1  2 x )  (2C x  Cn1 2 2 x 2  Cn2 .23.x 3  Cn3 .24.x 4  ...  (1)n
Cnn .2n 1.x n 1 )
2
3
4
n 1
0
0

kh

n

0
n

1

(1  2 x )n1
1
1
1
1
Cnn .2n 1

 2Cn0  Cn1 22  Cn2 .23  Cn3 .2 4  ...  (1)n
n 1 0
n 1
2

3
4

(1)n1
1
1
1
1
1
Cnn .2n 1

 2Cn0  Cn1 22  Cn2 .23  Cn3 .24  ...  (1)n
n 1 n 1
n 1
2
3
4
n
1 2 1 1 3 2 1 4 3
(1) n1 n 1  (1)n
0
. 2 Cn 
( n  , n  0 )
Vậy : 2Cn  .2 .Cn  .2 .Cn  .2 Cn  ... 
2
3
4
n 1
n 1
* Cách khác: Có thể khai triển: (1  x )n , lấy tích phân hai vế với cận từ 0 tới 2.



GV: HQH - TN

/>
Trang: 4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

1 0 1 1 1 2 1 3
1
2n 1  1
n
.C 
Ví dụ 6: Chứng minh: Cn  Cn  Cn  Cn  ... 
3
6
9
12
3n  3 n 3(n  1)

( n  , n  0 ) (12)

1
Cnk (k  0, k   ) . Số đi chung với Cnk là phân
3k  3
số => có thể sử sụng được phương pháp tích phân
1
NX2: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

Cnk ta đoán trước khi lấy nguyên hàm thì số này
3k  3
k
k
3k  2
có dạng: x .Cn . Mà đi chung với Cn thì lũy thừa của biến phải là k. Vậy cần phải viết là:

m

NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:

NX3: Dấu của các số hạng luôn là cộng (+).
- Chính vì thế mà ta sẽ khai triển nhò thức: x 2 .(1  x 3 )n

x 2 .(1  x 3 )n  x 2 [Cn0  Cn1 ( x 3 )  Cn2 ( x 3 )2  Cn3 ( x 3 )3  ...  Cnn ( x 3 )n ]

- Trong số hạng tổng quát của đề, đi chung với Cnk chỉ là
1

1
, không có số nào khác, nên lấy
3k  3

oc
uo

tích phân hai vế của (13), cận từ 0 tới 1.

(13)

c.

 x 2 .(1  x 3 )n  Cn0 x 2  Cn1 ( x 5 )  Cn2 ( x 8 )  Cn3 ( x11 )  ...  Cnn ( x 3n  2 )

co

x 3 k  2 .Cnk  x 2 ( x 3 )k .Cnk

1

2
3 n
0 2
1
5
2
8
3
11
3n2
n
 x (1  x ) .dx   (Cn x  Cn ( x )  Cn ( x )  Cn ( x )  ...  Cn ( x )).dx
0

0

1
1
1
1

1
1
* VP  ( Cn0 x 3  Cn1 x 6  Cn2 x 9  Cn3 x12  ... 
Cnn x 3 n 3 )
0
3
6
9
12
3n  3
1
1
1
1
1
Cnn
 Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ... 
3
6
9
12
3n  3
* Xét VT:
Đặt t  1  x 3  dt  3 x 2 dx

x  1 t  2

1

2

2

1
1 t n 1
1 2n 1  1
  x (1  x ) .dx   t n .dt  .
 .
31
3 n 1 1 3 n 1
0

gb

x  0  t 1

2

3 n

1
1
1
1
1
2n 1  1
( n  , n  0 )
Vậy : Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ... 
Cnn 
3

6
9
12
3n  3
3(n  1)

on

Ví dụ 7:

1
1
1
1
1
1 1
1
Chứng minh: Cn1  Cn2  Cn3  Cn4  ...  (1)n 1Cnn  1    ... 
1
2
3
4
n
2 3
n

( n  , n  0 )

(14)

kh

(1)k 1 k
NX1: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:
.Cn (k  0, k  ) . Số đi chung với Cnk là phân
k
số => có thể sử sụng được phương pháp tích phân
NX2: Dấu của các số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-)
(1)k 1
(1)k 1 k
là (k ), nó
NX3: Số hạng tổng quát của tổng vế trái là:
.Cn có mẫu của phân số
k
k
bằng chỉ số chập là k => điều này không thể có trong (1  x )n , vì trong khai triển (1  x )n sau khi
lấy nguyên hàm thì mẫu của phân số phải lớn hơn chỉ số chập 1 đơn vò. Điều này gợi ý ta là khai
GV: HQH - TN

/>
Trang: 5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

(1)k 1
triển (1  x ) rồi chia lại cho x thì sau khi lấy nguyên hàm ta sẽ có mẫu của phân số
là (k),
k
1

nó bằng chỉ số chập là k. Tóm lại, chúng ta khai triển: (1  x )n
x
1
1
(1  x )n  .(Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x 3  ...  (1)n Cnn x n )
x
x
1
1
 (1  x )n  Cn0  Cn1  Cn2 .x  Cn3 .x 2  ...  (1)n Cnn .x n 1 )
x
x
(1)k 1 k
- Theo số hạng tổng quát
.Cn thì ta cần lấy tích phân hai vế từ 0 tới 1.
k
1
tại 0. Do đó ta biến đổi tiếp một chút:
- Nhưng nếu lấy ngay lúc này thì bò vướng
x
1
(1  x )n  1  Cn1  Cn2 .x  Cn3 .x 2  ...  (1)n Cnn .x n 1 )

x
1
 ( x ) 1  (1  x )1  (1  x )2  (1  x )3  ...  (1  x )n 1   Cn1  Cn2 . x  Cn3 . x 2  ...  (1)n Cnn .x n 1 )
x
  1  (1  x )1  (1  x )2  (1  x )3  ...  (1  x )n 1   Cn1  Cn2 .x  Cn3 .x 2  ...  (1)n Cnn .x n 1

c.

co

m

n

oc
uo

 1  (1  x )1  (1  x )2  (1  x )3  ...  (1  x )n 1   Cn1  Cn2 .x  Cn3 .x 2  ...  (1)n Cnn .x n 1

(15)

- Lấy tích phân hai vế của (15), cận từ 0 tới 1.
1

1

1

 [1  (1  x )
0

 (1  x )  (1  x )  ...  (1  x ) ].dx   (Cn1  Cn2 .x  Cn3 .x 2  ...  (1)n Cnn .x n 1 ).dx
2

3

n 1

0

1

1

1
1
1
1
1
1
1
 x  (1  x )2  (1  x )3  (1  x )4  ...  (1  x )n  Cn1 x  Cn2 .x 2  Cn3 .x 3  ...  (1)n Cnn .x n
2
3
4
2
3
n
n
0
0

( n  , n  0 )

on

gb

1 1 1
1
1
1
1
1
1  (    ...  )  Cn1  Cn2  Cn3  Cn4  ...  (1)n Cnn
n
2 3 4
2
3
4
n
1
1
1
1
1 1 1
1
Cn1  Cn2  Cn3  Cn4  ...  (1)n Cnn  1     ... 
2
3
4
n
2 3 4
n
1
1
1

1
1 1 1
1
Vậy : Cn1  Cn2  Cn3  Cn4  ...  (1)n Cnn  1     ... 
2
3
4
n
2 3 4
n

kh

CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ:
1
1
1
1
(1)n1 n
1/ Tính: Cn1 
.Cn2 
.Cn3 
.Cn4  ... 
.Cn
( n  , n  1 )
n
n 1
n2
n 3
1

1
1
1
1
3n1  1
2/ Chứng minh: 2Cn0  .22.Cn1  .23.Cn2  .24 Cn3  ... 
.2n1 Cnn 
( n  , n  0 )
n 1
n 1
2
3
4
1 1 1 3 1 5
1 2 n1 2 2 n1
( n  , n  1 ) (Khối A - 07)
3/ Chứng minh: C2 n  C2 n  C2 n  ...  C2 n 
2
4
6
2n
2n  1
HD: Vì VT không có chỉ số chập chẵn, nên ta khai triển đan dấu và cộng lại
Khai triển (1  x )2 n  ...
(1  x )2 n  ...
Cộng vế theo vế ....

1 0 1 1 1 2 1 3
(1)n
1

.Cnn 
Cn  .Cn  .Cn  .Cn  ... 
4
8
12
16
4(n  1)
4(n  1)
GV: HQH - TN
/>
4/ Chứng minh:

Trang: 6


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
==================
Hướng dẫn:
Cn1 Cn2
Cn3
(1)n1Cnn
Bài 1: Tính B= 

 ... 
n n 1 n  2
1
n
n 1
n 2
0 n

1
2
 Xét : ( x  1)  Cn x  Cn . x  Cn .x  Cn3 .x n 3  ...  (1)n Cnn
1

1

 Lấy :  ( x  1)n dx   (Cn0 x n  Cn1 .x n 1  Cn2 .x n  2  Cn3 .x n 3  ...  (1)n Cnn )dx
0

1
C
Cn1 n Cn2 n 1 Cn3 n 2
(1)n Cnn
( x  1)
n 1






x
x
x
x
.
.
.
.

...
.x
0
n 1
n 1
n
n 1
n2
1
0
1
2
Cn3
(1)n Cnn
(1)n 1 Cn Cn Cn





 ... 
n 1
n 1 n n 1 n  2
1
0
1
2
3
n 1 n
n 1

C
C
C
C
(1) Cn
(1)
 n 
 n  n  n  ... 
n 1 n 1
n n 1 n  2
1
 n chẵn  B  0

 n lẻ  B  2
n 1

22
23
24
2n 1 n 3n1  1
Bài 2: Chứng minh: 2.Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ... 
C 
n 1 n
n 1
2
3
4
HD :
0
n

n 1

1
0

oc
uo

c.

co



m

0

 Đặt f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 .x  Cn2 .x 2  Cn3 .x 3  ...  Cnn .x n
2

2

  (1  x )n .dx   Cn0  Cn1 .x  Cn2 . x 2  Cn3 . x 3  ...  Cnn .x n dx
0
0
2

(1  x )n 1

x2
x3
x4
x n 1 n

 xCn0  Cn1  Cn2  Cn3  ... 
C
2
3
4
n 1 0
n 1 n
n 1

2

3

4

2

0

n 1

3 1
2
2
2

2
 2.Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ... 
Cn
2
3
n 1
4
n 1 n
C 0 C1 C 2
Cn
Bài 8: Tính A= n  n  n  ...  n
n 1 n n 1
1
HD:
 Xét ngược : (1  x )n  Cn0 x n  Cn1 .x n 1  Cn2 .x n  2  ...  Cnn 1 .x  Cnn
1

gb



1

on

 Lấy :  (1  x )n dx   (Cn0 x n  Cn1 .x n 1  Cn2 .x n  2  ...  Cnn 1 .x  Cnn )dx
0

kh

0

GV: HQH - TN

/>
Trang: 7