300 bài TÍCH PHÂN ôn THI đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (343.9 KB, 12 trang )
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Đạo hàm
Mở rộng
Nguyên hàm
(c ) ' = 0
∫ dx = x + C
(c.x ) ' = c
(x ) ' = n .x
n
∫ k .dx = k .x + C
n −1
'
(u ) = n .u '.u
n '
'
'
1
'
c −c.u '
u = u2
'
u'
u =
2 u
(e ) = e
(e ) = u '.e
( )
x
(a ) = a .ln a
x
=
1
x
( loga x )
=
( ln x )
'
( sin x )
'
( cos x )
( cot x )
'
1
x .ln a
= cos x
'
( t an x )
'
= − sin x
'
( )
u '
=
1
cos2 x
=−
u
( ln u )
=
u'
u
( loga u )
=
u '
'
( sin u )
'
'
u'
u .ln a
= u '.cos u
( cos u ) ' = −u '.sin u
u'
cos u
1
sin 2 x
( cot u ) ' = −
k
∫ x .dx = k .ln x
∫e
x
+C
.dx = e x + C
n +1
k
k
ax +b
1
.dx = .e ax +b + C
a
∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
∫e
x
.u '.ln a
( t an u ) ' =
+C
1 (ax + b )
+
=
+C
ax
b
dx
.
(
)
∫
a
n +1
1
1
∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
n
ax
∫ a .dx = ln a + C
u
(a ) = a
x n +1
=
+C
x
.
dx
∫
n +1
n
∫ x .dx = ln x
c
c
x = −x2
'
1
x =
2 x
x '
n −1
1 −u '
u = u2
1
1
x = −x2
x '
Mở rộng
u'
sin 2 u
1
sin
ax
+
b
.
dx
=
−
cos (ax + b ) + C
(
)
∫
a
1
∫ cos x .dx = sin x + C
∫ cos (ax + b ) .dx = a sin (ax + b ) + C
Một số công thức LG thường sử
1
dụng
để tính nguyên hàm.
∫ cos2 x .dx = t an x + C
1
cos a .cosb = cos (a − b ) + cos (a + b )
2
1
∫ sin x 2x .dx = − cot x + C
1
sin a .sin b = cos (a − b ) − cos (a + b )
2
∫ t an x .dx = − ln cos x + C sin a.cosb = 1 sin (a − b ) + sin (a + b )
2
1 − cos2a
1 + cos2a
sin 2 a =
; cos2 a =
2
∫ cot x .dx = ln sin x + C sin 2a = 2sin2a .cosa
cos2 a − sin 2 a
cos2a = 2cos2 a − 1
1 − 2sin 2 a
∫ sin x .dx = − cos x + C
cos2 a = 1 − sin 2 a
2
2
sin a = 1 − cos a
Qui tắc đạo hàm.
'
1. (u .v ) = u '.v + u .v '
'
u u '.v − u .v '
2. =
v2
v
Trang 1
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
B. TÍCH PHÂN.
1.
b
b
∫ f (x ) .dx = F (x ) a = F (b ) − F (a )
a
2. Tính chất.
a
b
b
a
a) − ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx
b
b
a
a
a
b) ∫ k . f ( x ) .dx = k .∫ f ( x ) .dx
b
b
b
a
a
a
c) ∫ f ( x ) ± g ( x ) .dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b
b
b
a
a
a
d) ∫ f ( x )dx = 0
e) m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒ ∫ m .dx ≤ ∫ f ( x ) .dx ≤ ∫ M .f ( x )dx
a
c
b
c
a
a
b
f) ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN
3.1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
b
f (x )
3.2. Tích phân hàm hữu tỷ: ∫
dx
g
x
(
)
a
- Nếu bậc f ( x ) ≥ bậc g ( x ) → Chia đa thức.
- Nếu bậc f ( x ) < bậc g ( x ) : Ta sử dụng hệ số bất định.
ax + b
A
B
=
+
( x − x 1 )(x − x 2 ) (x − x 1 ) (x − x 2 )
ax + b
(x − x 0 )
2
=
A
B
+
( x − x 0 ) ( x − x 0 )2
b
3.3. Phương pháp đổi biến số: A = ∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx .
a
Dạng 1:
Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) .dx ; đổi cận:
Ta được: A =
u (b )
∫ f (t ) .dt = F (t )
u (a )
u (b )
x
t
a
u (a )
u (a )
* Một số thủ thuật đặt t .
b
Dạng b
u (x )
f
u
x
dx
(
)
∫a
∫a v n (x ) dx
t
t = v (x )
u (x )
(
b
Dạng
)
m
n
∫ sin x .cos x dx
b
u (b )
m lẻ
a
n chẳn
b
sin x .dx
∫a f ( cos x )
t = f ( cos x )
t = cos x m chẳn
t = sin x
n chẳn
b
∫e
u (x )
.v ( x )dx
a
b
∫
a
f ( ln x )
x
b
dx
t = u (x )
t = f ( ln x )
Hạ bậc
m=0
1 − cos 2a
sin 2 a =
2
1 + cos2a
2
cos a =
2
n chẳn âm
n=0
∫
f ( t an x )
cos2 x
a
t = t an x
dx
t = t an x
t = cot x
m chẳn âm
Dạng 2:
Dạng
a2 + x 2
Đặt
π π
t = a t an t , t ∈ − ;
2 2
a2 − x 2
π π
x = a sin t , t ∈ − ;
2 2
x 2 −a2
a
π π
x=
, t ∈ − ; \ {0}
sin t
2 2
Trang 2
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
b
b
3.4. Phương pháp từng phần : B = ∫ u .dv = u .v a − ∫ v .du
b
a
a
Cách đặt u và dv :
b
sin x
∫a f (x ) . cos x .dx
∫ f (x ) .e dx
u
f (x )
f (x )
dv
sin x
cos x .dx
b
Dạng
C. BÀI TẬP
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản.
2
(
)
1. ∫ x 3 + 2x 2 + 3 dx
b
x
a
e xdx
12.
∫ (e
0
1
f ( x ) .dx
1
dx
sin 2 x
2
cos x
x
)
1
2
+ 1 dx
0
ln 3
14.
∫
0
(
)
2
16. ∫ x 2 ( 3 − x ) dx
1
2
0
2
17.
2
∫ ( 3sin x − 3 cos x + 2 )dx
0
2
3
+ x dx
7. ∫
2x − 1
1
π
π
2
∫ ( 2 − sin 3x )dx
0
1
∫ ( 2e
x
)
+ 1 dx
0
ln 2
11.
3
∫ (e
2x
)
+ 1 dx
2
25.
2
2
dx
x
4
π
4
∫
26. e x 1 −
e −x
cos2 x
dx
e −x
27. ∫ e x 2 + x dx
e
0
2
2
28. ∫ 2x + dx
x
1
0
ln 2
∫ (3
x
)
+ 1 dx
29. x 2 ( x − 1) dx
∫
π
4
2
19. ∫
− 1 dx
2
cos x
0
30.
1
31.
2x − 1
21. ∫
dx
x +1
0
32.
3x 3 + x + 2
22. ∫
dx
3x + 1
0
33.
1
2 x + 5 − 7x
dx
x
1
∫
( 2x − 1)
2
x
1
dx
π
4
∫ cos 3x .cos x dx
0
4
∫x
2
3
1
2
2
∫
1
∫ x . (x + 1) dx
2
x 3 + 2x + x 2
dx
20. ∫
2
x
1
1
2
0
2
0
23.
∫ 1 − sin
π
1
2
2
π
8. ∫ cos − 2x dx
4
0
10.
∫ ( 2x − 1) dx
1
1
18.
π
e 2x + e x
dx
ex
2
∫
∫
24. ( x − 1)(x + x + 1)dx
0
13. ∫ e x 2e x − 1 dx
π
9.
x
x + x. x + x
.dx
2
x
1
3
2
4. ∫ + x 3 dx
x
1
2
1
5. ∫ x 2 + 2x dx
x
1
6.
ln x
log x
a
2
15. ∫ e x + dx
x
1
4
3.
x
∫a cos2 x dx
2
sin x
ln 2
1
4
1
1
2. ∫ 3 + 2 + x . x dx
x
x
1
ln x
∫a f (x ) . loga x .dx
b
34.
∫x
0
2
1
dx
−4
1
dx
− 3x + 2
0
Trang 3
Thuvientailieu.net.vn
3x + x x + x
dx
x
1
4
35.
∫
ln 2
36.
∫(
)
2
51. ∫ cos4 x .dx
0
2
0
ln 2
4
∫ sin 3x .sin x dx
0
1
38.
∫
(e
−1
x
)
dx
∫
π sin
2
1
dx
x .cos2 x
2
56.
dx
0
4
x 2 − 6x + 9.dx
2
4
43.
∫x
2
− 3x + 2 dx
−1
π
44.
45.
46.
∫
1 + cos 2x dx
1
57. ∫ x + dx
x
2
1 2
x − 3x + 3
58. ∫
dx
x +1
0
61. ∫
2
∫
−1 ( 3 − 5x )
− x dx
74.
3
∫
63.
π
2
0
64.
π
1
∫ (
dx
65.
1
∫ (x − 2 )(x + 1)
2
50. ∫ sin x .dx
4
78.
∫
dx
1 − x 2 .x 3dx
4x − 1
dx
2x + 1 + 2
∫
0
6
79.
1
∫2 2x + 1 + 4x + 1 dx
2 3
80.
∫
x +4
5
81.
2
1
2
x4
67. ∫ 2 dx
x −1
0
∫
1
ln 3
82.
∫e
ln 2
ln 2
83.
∫
0
x
2
64
dx
5x − 13
dx
−
+
x
5
x
6
0
66. ∫
4
0
4
3
1
0
π
3
1
77.
1
dx
x +1 − x + 6
∫
)
( 2x − 1)
76. ∫
6
0 ( x + 1)
3x + 1 dx
0
5
2
49. ∫ cos2 x .dx
3
0
3
2
48. ∫ sin x .dx
∫
dx
0
2x + 1 dx
7
3
3
75. x 5 x 2 + 1 dx
1
0
1 − cos 2x dx
x
∫ ( x + 1)
0
4
62.
0
0
4
x +2
dx
+ 4x + 7
2
1
1
0
0
∫x
3
x3
73. ∫
dx
1+x2
0
2
x
x
59. ∫ 1 + sin cos .dx
2
2
0
0
2
x
∫ 2 − 4 dx
3
4
0
1
π
60. ∫ ( −2x + 1) dx
3π
2
72.
2
4
∫ (1 + x ) x dx
0
1
7
0
47.
2 cos2 x + 1
∫0 1 − sin 2 x dx
0
3
∫x
71.
4
∫ 1 − x dx
∫
a
1
0
0
3
42.
A = ∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx
2
∫ cos 2x dx
π
∫ 2x − x
2x + 1
dx
x
+
3
x
−
4
−1
2
b
8
55.
)
Bài 2: Tích các tích phân sau:
(Đổi biến số)
DẠNG 1:
2x − 1
54. ∫
dx
x
1
+
0
6
2
41.
)
+ 2x dx
π
4
40.
x
(
0
70. ∫
0
1
π
39.
∫ (e
53.
2
ex
0
69.
52. ∫ sin 3x .cos x .dx
π
x 2 − 3x + 2
∫1 x x 2 + 2x + 1 dx
2
π
x
0
37.
1
2
e − 1 e dx
x
GV: Nguyễn Chín Em
3x − 1
68. ∫ 2
dx
x
+
x
+
6
9
0
π
2
dx
1
dx
x +3x
x
1
dx
−1
1
dx
1 + e −x
Trang 4
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
ln 5
84.
e
∫
π
2x
2
dx
ex − 1
x + e x + 2x 2e x
85. ∫
dx
x
+
e
1
2
0
100.
ln 2
1 2
ln 5
86.
∫
0
1
101.
(10 − e )
e −1
x
103.
1 + ln x
dx
88. ∫
x
1
89.
90.
1 + 3ln x .ln x
dx
x
)
π
91.
104.
∫ sin
dx
1 + ln x .x
∫
3
sin x .cos x
dx
2
+
1
cos
x
0
∫
cos x
105. ∫
dx
2
sin x − 5sin x + 6
0
4
∫x
1
107.
2
∫ (1 + sin x )
0
π
109.
2
3
∫ cos x .dx
0
1 + 3sin x .cos xdx
96.
∫
1 + 7 cos x .sin xdx
0
112.
π
2
97.
∫
1 + 3sin x .sin 2x .dx
0
98.
sin x .dx
∫ ( 2 + cos x )
3
113.
114.
0
π
2
99.
∫
0
cos x
dx
1 + 3 sin x
∫
4
1+x3
3
x 3dx
x2 +9
xdx
7
2x + 1
0
∫
1
π
2
1+2sin x
.cosxdx
6
123.
∫ sin 2x .cos x .dx
ln 8
∫
2
dx
124.
4
x .cos3 x .dx
0
2x
e dx
π
∫
3
2
125. I = sin x .cos x .dx
ex + 1
ln 3
∫ sin
0
π
4
2
∫
3
∫
1
126.
x
.dx
π
x +1 +1
4
x 3 (1 − x 2 )3dx
0
4
6
x .dx
0
1
∫
π sin
1
127. ∫ cos4 x .dx
0
π
2
π
2
∫
4
3
x 5 .dx
2
121. I = x x + 3dx
sin 2xdx
0
111.
3
∫
2
dx
π
2
e sin x sin 2xdx
110. ∫
0
π
2
x +1
3
0
π
x
2
∫
∫
x5
3
2
π
π
95.
e
4
∫
x dx
120.
x
108. 1
2
2
3
0
π
∫ sin
0
2
0
2
2
0
0
94.
(1 + x )
5
∫ cos x .sin xdx
5
∫
e −x xdx
e
122. ∫
dx
π
0
93.
119.
6
x .cos x dx
π
92.
118.
π
106.
2
4
4 sin x
∫0 1 + cos x dx
2
e
1
117.
dx
π
∫(
∫
2
3
1
1
dx
2
ln x − 3ln x + 2 .x
1
∫1+x
e3
3
e
5
2
102.
ln x
∫1 ( 2 + ln x ).x dx
e
x
116.
π
dx
e
87.
∫
1
0
ex
x
ln 2
sin x .cos x
dx
1 + 3 sin x
115.
3
∫
0
∫
x + 1 dx
2
sin 2x
128. ∫ cos2 x + 3 .dx
0
π
π
2
0
∫
x
5
0
e sin x cos xdx
x3
7
3
1+x
2
dx
2
sin 2x
129. ∫ 3 − sin 2 x .dx
0
2
130.
∫1+
1
x
x −1
.dx
Trang 5
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
π
ln 2
2
2 + sin x
.sin 2x .dx
131. ∫ e
2
0
∫
133.
(
)
ex + 3 ex
ln 2
149.
sin 2x + sin x
152. ∫
dx
1 + 3cos x
0
sin 2x cos x
153. ∫
dx
1
+
cos
x
0
1
137. ∫ e x + 5 .dx
ln 3
∫
)
154. ∫ (e
∫
x
ln x . 2 + ln 2 x
.dx
141. ∫
x
1
e
π
sin x
142. ∫ 4 cos x − 3 .dx
π
π
sin 2x
143. ∫ cos 2x + 3 .dx
0
144.
∫
x
)
+ 3 ex
e −1
x
ln 3
dx
π
4
1
145. ∫ sin 2 x .cot x .dx
π
6
π
2
146.
∫
π
cos3 x .dx
3
sin x
6
147.
∫
0
t an x .dx
cos2 x
2
168.
1 − 2sin 2 x
∫0 1 + sin 2x dx
ln 2
∫
156.
0
1
157.
∫
0
2
∫
sin x
∫ 1 + 3cos x dx
0
169.
e
∫x
1
x
2
dx
1
π
sin x
dx
8cos x + 1
170. ∫
0
e3
e
x
ex + 2
x5 +x3
(x
+1
)
8
x +x
5
3
)
(x
2
+2
2
dx
171.
1
∫2 x (1 − ln x ) dx
e
π
2
172. ∫ sin 3 x .cos x dx
π
6
1
dx
173. ∫ x ( x − 1) dx
7
0
π
2
dx
π
6
sin 2x
159. ∫
dx
2 sin 2 x + cos2x
0
π
174.
cosxsin 3x
dx
2
1
+
sin
x
0
dx
x −1
∫1 x − 2x − 3 dx
2
π
2
177.
cos x .dx
∫π (1 + sin x )
−
π
sin 2x
162. ∫
dx
2
+
(2
sin
x
)
0
178.
e 2 ln x +1
dx
163. ∫
x
1
179.
∫
3xdx
3
0
e3
∫x
1
2
6
19
2
x
0
2
2
1 + ln 2 x
dx
161. ∫
x
1
2
175. ∫ 3 x ( x − 2 )dx
160. ∫
e
sin 2x
∫
π 1 + cos
2
1
176.
e
π
4
155.
0
2
(e
+ cos x )cos xdx
π
158.
2
ln 5
sin x
4
(1 + e ) .e
.dx
ex − 1
ln 3
x 2
π
0
dx
1 + sin 2x
dx
2
cos
x
0
∫
2
2
ex + 2
0
140.
π
+ 4 e 2x
ln 4
167.
2
2
ln 4
sin(ln x )
dx
x
1
∫
π
π
1
136. ∫ x .ln 4 x .dx
e
138.
166.
4
2
2
1 + 3ln x ln x
dx
x
∫
1
e
π
1
135. ∫ e x + 3 .dx
ln 3
x
dx
sin 2x
151. ∫
dx
2
(2
+
sin
)
x
0
ln 4
(e
cos2 x + 4 sin 2 x
dx
150. ∫ x
e + 2e −x − 3
ln 3
2
e 2x
134. ∫ e x + 1 .dx
ln 2
ln 5
∫
165.
π
ln 5
e
sin 2x
0
ln 5
dx
e −1
x
1 + ln 2 x
dx
164. ∫
x ln x
e
e
2
−x
e
132. ∫ 2e −x + 1 .dx
ln 2
ln 5
e −e
dx
e x + e −x
e2
π
0
ln 3
∫
148.
−x
x
x2 +8
dx
4 − ln x
Trang 6
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
1
1
180. ∫ x x 2 + 1 dx
∫π e
−
182. ∫
(
0
sin 2 x
.cos2xdx
4x
dx
2x 2 + 1
)
1
183. ∫ xe
1−x 2
198.
−1 (1 − x )
dx
4
ln x .dx
1 x ( ln x + 3 )
201.
e
7
187. ∫ x x + 1 dx
3
1−x2
0
∫x
−5
ln 3
∫
0
2
∫
4 − xdx
4 − x dx
2
1
215. ∫ x cos2 x dx
1
2 − x 2dx
0
2
2
∫
+ 1)dx
0
2
218.
1
)ln xdx
x
∫
202. (x +
1
x
dx
1
2x − x dx
2
∫
217. ∫ x (2cos2 x − 1)dx
ln(1 + x )
∫1 x 2 dx
1
219. ∫ x ln(1 + x 2 )dx
π
0
2
1
∫ (x + cosx)s inxdx
220. ∫ (x − 2)e 2xdx
0
e
221.
1
π
205. ∫ x cos x dx
0
1
206. ∫ xe xdx
0
1
207. ∫ x .e dx
ln x
∫ (x + 1)
2
222. ∫ (2x + 7)ln(x + 1)dx
0
e
223.
ln x
∫1 x dx
224.
∫ (3x + 2) ln xdx
225.
∫
e
∫
e2
∫
e2
e
1
3x
0
π
2
208. ∫ (x − 1)cos xdx
226.
0
227.
209. ∫ (2 − x )sin 3xdx
0
π
dx
1
e
2
6
2
1−x2
1
1
194. ∫ 2
dx
x +x +1
0
0
2
π
0
∫
216.
4
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
(Đổi biến số)
Dạng 2:
a2 + x 2
a2 − x 2
x = a t an t
x = a sin t
1
1
191. ∫
dx
3+x2
0
∫
∫ x ln(x
x + sin x
dx
cos2 x
0
3
π
204. ∫ ln(x + x )dx
0
π
∫ x ln xdx
2
4x + 1 dx
dx
0
0
2
dx
1 + e −x
5
2
2
0
e
203.
ln x
∫x
π
1
1
0
0
195.
∫
e
186. ∫
193.
213. ∫ x .ln(3 + x 2 ).dx
dx
Bài 4: Tính các tích phân sau
(Tích phân từng phần)
200.
1
e
192.
1
1
214.
x2
0
2
1 + ln 2 x
dx
x
e
185. ∫
190.
212. ∫ 4x .ln x .dx
2
2
2
199. ∫ x
dx
x2
184. ∫
189.
dx
4 −x
1
197. ∫ 2
dx
1
x
−
x
+
0
2
1
0
0
188.
∫
4
1
1
0
1
0
0
181.
196.
3
1
ln x
dx
x3
1
1
1
x ln xdx
ln xdx
x
(
)
228. ∫ x ln 1 + x 2 dx
0
2
210. ∫ x .sin 2x dx
0
e
229.
∫
1
e
211. ∫ (1 − x ).ln x .dx
2
1
2
∫
x log 2 xdx
3
x
230. (2x − )ln xdx
1
Trang 7
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
231.
1
∫ x ln(x
+ x + 1)dx
ln ( x + 1)
1
232.
2
0
∫ (x + 2 )
3
dx
3
3 + ln x
∫ (x + 1) dx
1
235. ∫ (x − 2)e 2xdx
0
1
236. ∫ ( x + 1)e xdx
0
1
(
)
237. ∫ 2x e − 1 dx
x
0
π
2
)
251. ∫ x sin 2x .dx
2
0
π
∫ (1 − x ) cos xdx
−π
e
π
4
239. ∫ ( 2x − 1) cos xdx
0
e
240. ∫ ( 2x + 1) ln xdx
1
3
(
)
241. ∫ x 2 + 1 e 2xdx
0
1
242. ∫ ( 2x − 1)e dx
1 −ex
xe x + 1
0
1
1
3
254. ∫ 2x ln ( x − 1)dx
−x
∫ (x − 1)e dx
0
π
255. ∫ e x dx
2
(
)
256. ∫ e x 3.e −x − 5x dx
0
2
x + ln x
dx
257. ∫
x
1
261. ∫ x ( x + cos x )dx
π
4
π
1
2
247. ∫ ( ln x − 2 ) x dx
1
π
248. I = ∫ e x sin xdx
0
π
(
2
)
274. ∫ cos2 x 1 − sin 3 x dx
0
1
275.
∫
0
1
3xe x + e x + 2
dx
xe x + 1
π
∫
π
279.
2x cos x + ( x − 2 ) sin x
∫x
1
) dx
x cos x − sin x
dx
ln 3 xdx
1 + 3ln 2 x
e2
0
π
1 − sin x
dx
1 + cos x
0
2
264. ∫
1 + x ln x
dx
x
1
265. ∫
x +1
0
4
e
∫ (x + cos x ) sin xdx
dx
(
∫
dx
4
x +1 −x
2
0
278.
x
x
∫
2
4
e
dx
277.
1
x 2 + 2x + ( x + 1) ln 1 + x 2
∫
2 x
π
263.
x2 −x +1
x e +1
dx
x
1
2
260.
∫
2x 3 − 3x 2 + x
276.
0
246. ∫ 2x ( ln x − 1)dx
273.
xe + 1 + x
dx
x
e
+
1
0
∫
x +e
262. ∫
x
1
0
e
0
2
x
0
245. ∫ ( x + 1) sin 2xdx
272. ∫ ln (1 + cos x ) .sin 2xdx
e
258. ∫ ( x ln x + 1)dx
259.
1
2
x .dx
3
2x + 2
π
Bài 5: Tính các tích phân sau:
(TỔNG HỢP)
1
1
∫
−
2
244. ∫ 2x .sin xdx
3
271.
2
4
x
0
ln 2
1 − sin 3 x
dx
2
1
−
sin
x
0
4
269. ∫
270. ∫
253. ∫ ln x .dx
1
)
1
0
0
252.
(
268. ∫ 1 + 2xe x dx
1
238. ∫ 2x cos x dx
243.
0
π
(
e
267. ∫
4
1
)
0
1 + x ln x
dx
2
x
1
2
2
(
266. ∫ x x 2 + e x dx
250. ∫ 1 + e x xdx
x
0
234.
249. ∫ xe 2x −1dx
2
∫ e cos xdx
233.
2
0
0
π
1
2
1 + x 2 ln 3 x
dx
280. ∫
x .ln x
e
π
2
sin 3 x
−
x
dx
2
x
sin
+
x
3cos
1
0
2
281. ∫
0
Trang 8
Thuvientailieu.net.vn
x + ln ( x + 1)
2
282. ∫
x
1
2
2
299. ∫ x e x +
sx
x
+
1
0
300.
dx
π
1 − 2x + t an
283. ∫
cos2 x
0
2014
4
π
t an x ln ( cos x )
3
284.
∫
cos x
0
x
dx
dx
π
t an 2 x + 3 t an x + 2
285. ∫
dx
2 + sin 2x
0
Cđ
cos2x
2012
∫0 sin x sin x + 1 + 3cos x dx
D. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI TỐT NGHIỆP.
NĂM
ĐỀ THI
2
2014
x cos2x + 1
dx
cos
x
+
sin
x
0
287.
∫
)
+ 2x + 1 e x
2 x
xe x + 1
0
4
288. ∫ e
2013
2. ∫ ( x + 1) cos x .dx
2012
dx
2011
4.
π
3cot x + 1 + x
dx
sin 2 x
289. ∫
π
4
1
ln 8
∫
2e − e
2x
e +1
ln 3
dx
cos x
∫0 4 − sin 2 x dx
π
293. ∫ e 2x sin 2 xdx
0
∫ ( 4x + 1)e dx
x
298.
∫x
1
(
)
x + ln x dx
A
x 2 + e x + 2x 2e x
∫0 1 + 2e x dx
Cđ
e
B
ln x
∫ x ( 2 + ln x )
2
dx
1
e
D
3
∫ 2x − x ln xdx
1
π
∫ ( cos
2
A
3
)
x − 1 cos2 xdx
0
3
2009
B
x −1
ln xdx
2
x
1
∫1+
∫x
1
D
2x − 1
∫ x + 1 dx
0
2010
3
D
dx
2x − 1
2 − x 2dx
∫
0
∫e
( x + 1)
x2 +1
1
A
2008
D
dx
2
dx
dx
−1
x
π
t an 4 x
∫0 cos2x dx
6
2
2
3 + ln x
∫ ( x + 1)
1
0
ln xdx
4x − 1
dx
2x + 1 + 2
∫
2
∫
1
1
3
1 + 3ln 2 x
∫ (x + 1) sin 2x .dx
5
B
∫
4
2
2013
1 + x sin x
dx
cos2 x
0
3
1
0
Cđ
2x + 1
∫ x (x + 1) dx
0
E. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG.
Năm
ĐỀ THI
Kh
B 2 x 2 + 3x + 1
∫1 x 2 + x dx
2014
A
dx
D
π
2 1−x2
295. ∫ x +
dx
x +x3
1
1
3x + 2ln ( 3x + 1)
dx
296. ∫
2
(x + 1)
0
x sin x + cos x
1
0
D
x sin x + ( x + 1) cos x
4
6. ∫ x (1 + cos x )dx
2
1
e
4 + 5ln x
dx
x
π
dx
∫3 x ln x 1 + ln x
e
297. ∫ x
B
2
e8
∫
π
2011
0
2008
6
4
− 1 e dx
x
5. ∫ x 2 ( x − 1) dx
7.
4
1
2
1
π
294.
Cđ
0
x
x
2010
2009
x 3 − 2x
290. ∫ 4
dx
x +1
0
292.
∫
1
1
2
)
∫ x (1 + sin 2x )dx
2
0
0
291.
∫ (e
3.
x
4
0
2
e
2x +1 −2
D
0
0
dx
π
A
ln 2
x3
∫0 x 4 + 3x 2 + 2 dx
π
π
286. ∫
B
x
0
2
∫
0
∫ (1 − xe )dx
1.
x
dx
x +1
1
1
π
(x e
3
π
4
1
GV: Nguyễn Chín Em
3
1 + ln ( x + 1)
dx
A ∫
x2
1
1
ln x
∫x
3
dx
1
Trang 9
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
F. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.
1. ỨNG DỤNG 1:
Diện tích hình phẳng.
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :
b
V Ox = π ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
2
2
a
y = f ( x )
x = a
x = b
Truïc Ox
Diện tích hình ( H )
BÀI TẬP
Bài 1: Tính diện tích của hình ( H ) được giới hạn
bởi:
1. y = x 3 − 3x + 2 ; x = −1; x = 3 và trục Ox
2. y = −4 − x 2 và y = 2x 2 − x 4
3. y = x 3 − 2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có
b
hoành độ bằng −1
S (H ) = ∫ f ( x ) dx
a
4. y = x 3 − x và y = x − x 2
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
1
2
5. y = − x 3 + x 2 − ;x = 0; x = 2 và trục Ox
3
3
y = f ( x )
3
2
6. y = 2x − 3x ; x = 0;x = 2 và trục Ox
y = g ( x )
7. y = x 4 − 2x 2 − 3;y = x 2 + 1; x = 0; x = 2
x = a
2x − 1
8. y =
; tiệm cận ngang; x = 0;x = 2
=
x
b
x +1
9. y = x 3 − 12x ; y = x 2
Diện tích hình ( H )
b
10. y = x 3 − 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành
S (H ) = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
độ bằng −2
a
11. y = x 3 − 3x + 2 và trục hoành
2. ỨNG DỤNG 2:
1
3
Thể tích vật thể tròn xoay.
12. y = 1 + ; tiếp tuyến tại A 2; và x = 5
x
2
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
3
13. y = x − 3x ;y = x
y = f ( x )
2x − 4
x
y
;
y
14.
=
=
−
+ 1 và trục Ox
x = a
x
4
4
−
1
x = b
15. y = x 3 − x 2; y = ( x − 1)
Truïc Ox
9
−1
Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :16. y = ln x ; x = e ; x = e và trục Ox
ln x
b
;y = x ; x = e
17. y = x +
2
V Ox = π ∫ f ( x ) dx
x
a
18. y = 2x ; x + y = 4 và trục hoành.
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
19. y = x 2 − 2x ; x = −1; x = 2 và trục Ox
y = f ( x )
20. y = −x 3 − 3x 2 và trục hoành.
21. y = (e + 1) x ; y = 1 + e x x
y = g ( x )
−3x − 1
x = a
22. y =
; x = 0 và trục Ox
1
x
−
x = b
23. y = x 2 − 2x ; y = −x 2 + 4x
(
24. y = 4 −
)
x2
x2
;y=
4
4 2
Trang 10
Thuvientailieu.net.vn
25. y = x ; x = −2; x = 2 và trục Ox
26. y = x 3 ; y = −x 2
x (1 − x )
;y =0
27. y = 2
x +1
28. y = −x 2 + 6x và trục hoành
3
10. 2e − 1 11.
13. e (e − 1 )
16.
29. y = − 4 − x 2 ; x 2 + 3y = 0
21.
30. y = x ; y = 2 − x và trục Ox
Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi24.
hình ( H ) khi quay quanh trục Ox .
29.
1
1. y = x 3 − x 2; x = 0; x = 3 và trục Ox
3
2. y = x ln x ; x = e; y = 0
3. y = xe x ; x = e; y = 0
4. y = 4 − x 2; y = x 2 + 2
5. y = ln x ; x = 2; y = 0
6. y = e x ; y = e 2−x ; x = 0; x = 2
7. y = sin x ; x = 0; x =
33.
và trục Ox
2
8. y = −3x + 10; y = 2; y = x 2 ( x > 0 )
9. y = x 3 − 3x ; x = 0; x = 2; Ox
π
4
; Ox
2
; x = 0; x = 1; Ox
2−x
= 2x − x 2;y = x
= x 3 − 3x 2 ; y = x − 3
2x − 4
4 −x
=
;y =
; Ox
x −4
4
= 2x ; x + y = 4; Oy
= cos x ; x = 0; x = π ; Ox
= 1 − e x ; x = 1; Ox
11. y =
12. y
13. y
14. y
15. y
16. y
17. y
12.
2
2
14. 2 + ln 3 15. 2ln ( 2 ) + e 2 − e
π
17
2 + ln 3
5
+ 2ln 2
17. 10 18.
19. 2 −
20.
10
ln 3
4
2
11 28
2 − 3ln 2 22.
+ ln 2 23. −11 + 4 2 + 5ln 2
8 27
π
5
1
π
3
)
− 25. − 2 26. e 4 − 2 27. 28. 2(ln 2 +
2
ln 2
4
5
1
1
30. 2ln ( 2 ) − ln 3 31. 2 + 2ln 2
32.
30
4
1 5
3
181
1
ln
34. ln
35.
36.
4 3
2
6
3
1
2 3
8
−e 2 + 2e + 1
37.
38.
39.
40. 1 41.
42. 1
4
3
3
e
17
1 + 4 ln 2
π
43.
44. 2 2 45.
46. 1 47. 3 2 48.
2
ln 2
4
3π
3π
1
π
49.
50.
51.
52.
53. 1 + ln 2 2
4
16
16
2
1 π
275
π
54. 2 − 3ln 2 55. +
56. 1 +
57.
8 16
2
12
7
1
11
26
58. − + 7 ln 2 59. + 2 60. 0 61.
62.
2
2
288
3
15
68 4
1
6 65. ln 2 66. − ln 18
+
63.
64. −
4
15 5
3
13 1
64 5
8
− ln 3 68. ln
− 69. ln − 1
67.
24 2
27 6
3
11
7
70. ln 2 − ln 3
5
5
π
10. y = t an x ; x = 0; x =
2ln ( 2 ) + 3
GV: Nguyễn Chín Em
2ln ( 2 ) + 7
15
1 3
1 1
1
37
72. ln + ln 2 73. − ln 2
74.
75.
2 2
2 2
4
16
8
11
2
34
3
3 1
76.
77.
78. + 10 ln
79. ln −
80. 1
2 12
160
15
3
5
2
4
3
8 10
2
81. 11 + 6 ln 82. ln 83. ln 84. − +
2
3
3
3 3
1 1 + 2e 1
1 5
4
5
3
116
+ 86. ln 87. ln + 1 88. 89. 90.
85. ln
4
2
2
3
3
3 3
9
135
3π
8
8
2
14
45
232
5
91.
92.
93.
94. 95.
96.
97.
98.
16
15
15
3
9
28
135
72
2
8
1
1
1 1
99. 100.
101. ln 2 − 102. 2 103. 2 104. − ln 2
2
4
2 2
3
27
10
16
7
32
106. ln
107. 108. 2e 2 − 2e 109.
110. e − 1
105. ln
9
9
3
3
5
1
848
141
1 1
111. 112.
113.
114. e − 1 115.
116. −
3
40
105
20
2 2e
71.
18. y = e x x ; x = 1; Ox
19. y = 2 − x 2 ; y = 1
20. y = x ; y = x − 2; Ox
ĐÁP SỐ
2179
137
19
15
1.
2.
3.
4.
+ ln 4
+ 2ln 2
160
12
2
4
1
2
3 3
9. − + π
5. 9 6. π 7. + ln 3 8.
2 2
2
3
Trang 11
Thuvientailieu.net.vn
GV: Nguyễn Chín Em
8
32
134
10
8 7
1
1
7 122. e 3 − e
117. 118. 119.
120.
121. +
2
2
9
9
3
3
3 3
2 1
2
4
4
4
4
3 124.
123. −
125. 126. 2 3 − 127. 128. ln
3 4
3
3
35
15
3
3
11
1
6
129. ln 130. − 4 ln 2 131. e 3 − e 2 132. ln 133. 1 + ln 16
2
3
2 5
1
7
3
134. 3 − ln 2 135. ln 2 − ln 7 136.
137. ln 2 − ln 3
24
3
5
3
13
3
2
1 3
2 + 3 142. ln
138. 20 + 4 ln 140. + 4 ln 141. −
2
2
7
3
4 7
1
1
9 45 3
2
2 147.
143. ln 2 144. 2 + 4 ln 2 145. ln 3 146. −
2
2
8 64
3
5
2
3
9 2
34
148. ln 149. 150. ln 151. ln − 152.
153. −1 + ln 4
4
2
3
4 3
27
π
1
1 1
44
154. + e − 1 155. ln 2 156. 4 − 2 3 157. − ln 2 158. − ln 5
4
2
2 2
15
3
e −e
5
1 1
4
9 2
159. ln 160. − ln 2 161. 162. ln − 163.
4
2 2
2
3
4 3
3
116
2
164. + ln 2 165.
166. 1 − cos1 167. ln 2 + 1 168. ln 2
2
3
135
1
15
1
15
169. e − e 170. 171. − ln 2 172.
173. − 1 74. ln 2 175. −
2
4
64
72
3
1
45
1 2
2
176. − ln 2 + ln 3 177. 178. 179. 2 180. − +
4
4
6
3 3
1 1
1
1
1
13
181. −
182. ln 3 183. e − 184.
185.
186. 2 − 3 ln 2
2
2
24
24
2 2e
187.
1 1
1
7
+ e 250. 3 + e 2 251. 252. −2 253. 1 254. − + 8ln 2
249.
4
2
4e 4
1
3
1
255. 2e 2 256. −2 257. 1 + ln 2 2 258. − + e 2 + e
2
4 4
3
14
π3
− 2e + 2e 2
259. ln 2 − ln (e + 1) + 260. e 2 + ln 2 261. −2 +
262.
2
3
3
1
2π 1
5 1
3 1
−
+
2 264. 1 − ln 2 265. + e 2 266. 5 + e 2 267. −
4 4
2 e
4
8
2
12
1
4
3
2 270. 1 − ln (e + 1) 271. 272. 273.
268. 1 + 2e 2 269. 3 −
2
2
5
3
263.
2 π
2 2
π 1
274. − + 275. 2 + ln (e + 1) 276.
277. −
2 2
5 4
3
2 π
4
1 2
1 4
10
+ ln
− 1 279. 280. − 2 e + ln 2 + 2 e 281.
2
27
3
2 4
3
2016
π
1 1
+ ln 2 − 284. 1 − 2 ln 2 285. + ln 3
282. 4 ln 2 −
283.
2 2
2 ln 3
2015
2
278.
π
π
(
)
2
ln 3 + 2 2 287. 1 + ln (e + 1) 288. 2e
2
π 1
π
4
2
1
58
1 5
2 + + ln 2 − 290. ln 2 − 291.
289.
292. ln
4
4
3
4 2
3
3
4 3
1 1 2π
3
7
4
3
293. − + e 294. ln 295. + ln 296. − + 4 ln 2
2
2
5 5
3
5
173
4
118 π
+ 16 ln 2 298.
+
297.
299. 3 − 2 ln 2 300.
20
27
405 4
286. −1 +
2
+
1209
506
13
3π
1 π
188. −
189. ln 2 190.
191.
192. +
2 4
28
15
3
18
π 1
π
π
π 1
3π
2 3π
− 194.
195. 196. 197.
198. −
4
8 4
9
6
9
8 4
3 2π
1 1
1
3 1
3
+
199.
200. + e 2 201. − + ln 2 202. + e 2 203.
4 4
2
4 4
2
4
3
π
π
1 2 3
5
204. −2 + 3 ln 3 205. − 1 206. 1 207. + e 208. − 2 209.
2
2
9 9
9
π
8 2 3
3
1
210. 211. − e 212. −8 + 18 ln 3 213. − ln 3 − + 4 ln 2
4
2
2
9 9
193.
15
1
1 π2
3π
1 π
− ln 2 215. − +
− ln 2 217. − +
216. 1 +
256 64
4 16
3
4 8
3
1
5 3
218. 3 ln 2 − ln 3 219. − + ln 2 220. − e 2 221. 0
2
2
4 4
11 3 2
1 3
222. −14 + 24 ln 3 223. 4 − 2 e 224. + e 225. − 2
4 4
4 4e
−3 + 8 ln 2
4 8 3
1
1
226. + e 227. 4 228. − + ln 2 229.
230. −1 + e 2
2
4 ln 2
2
9 9
214.
3π 3
1 17
1
1 1 π
+ ln 3 232. − + ln 2 − ln 3 233. − + e 2
12 4
2 2
12 18
2
4
2 1
5 3
234. ln 3 + − ln 5 235 . − e 2 236.e 237. 1 238. π − 2
4 4
5
5 2
3 1
3 15
1
239. π − 3 240. + e 2 241. − + e 6 242. 3 − e 243. − ln 2
2 2
4 4
2
3
3 1
15
1 1
+ 2 ln 2 248. + e π
244. 2 245. 246. − e 2 247.
4
2 2
4
2 2
231. −
Trang 12
Thuvientailieu.net.vn
