Kinh Lup Table 24_Ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức

Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940

Page 1


Ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức
I . Kiến thức cơ bản

1 . Định nghĩa giới hạn : Dãy số un  dần tiến tới vô cực nếu với mọi số
dương M cho trước tồn tại một số tự nhiên N sao cho n  N thì un  M .
Ký hiệu : lim un   hay un   .
Ngoài cách phát biểu trên , ta còn có thể phát biểu định nghĩa giới hạn như
sau : ta nói dãy un  dần tới vô cực nếu un có thể làm lớn bao nhiêu tùy ý
miễn sao chọn n đủ lớn .
2. Định nghĩa đạo hàm : Cho hàm số f x  xác định trên a,b  , ta nói f x  có
đạo hàm tại x 0  a,b  nếu tồn tại giới hạn hữu hạn xlim
x
0



  . Giới hạn

f x  f x0
x  x0

đó được gọi là đạo hàm của f x  tại x 0 .
3 . Định lý Lagrange : Nếu hàm số f x  liên tục trên đoạn a,b  và có đạo
hàm trên khoảng a,b  thì tồn tại c  a,b  sao cho f b   f a   f ' c b  a  .
II. Một số bài toán bất đẳng thức
Bài toán 1 : Chứng minh bất đẳng thức : sin x 

 
x , x   0, 

 2

2

Lời giải
2

 

Xét hàm số f x   sin x  x trên đoạn 0,  .
2



Ta có : f ' x   cos x 

2



 

liên tục trên đoạn 0, 

 2

 
  
2 
2 
2  2
f ' 0 .f '     1   .  0     1   .     0 , nên x 0   0,  sao cho f ' x 0  0
    
 2
2   



Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940

 

Page 2


Hay cos x 0 

2



 0  cos x 0 

2



.
 

Mặt khác, f '' x    sin x  0, x   0,  nên đạo hàm f ' x  nghịch biến trên
2




 
 0,  . Từ đó suy ra ,
 2

+ Với 0  x  x 0  cos x 
+ Với x 0  x 


2

2



 cos x 

2



 cos x 0 

2



 cos x 0 

2





 0  f x đồng biến



 0  f x nghịch biến

Bảng biến thiên :

2

x0

0

x


f x 



f' x



0

2

2





Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x   sin x  x  0  sin x 

x.

Bài toán 2 : Cho các số thực a,b, c  0,1 . Chứng minh rằng :
a
b
c


 1 a 1 b 1 c  1.

b c 1 a c 1 a b 1









Lời giải
x
b
c


 1  x 1  b 1  c , x  0,1
b c 1 x c 1 x b 1
1
b
c


 1  b 1  c , x  0,1
Ta có : f ' x 
2
2
b c 1 x c 1
x b 1

Xét hàm số f x  





 f '' x 



2b



 

2c

x  c  1 x  b  1
3

3



















 

 0, x  0,1 . Do đó f ' x đồng biến trên 0,1 .

Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940

Page 3








 
+ Nếu f '  0  0 thì hàm số f x  đồng biến trên khoảng  0,1 , x   0,1
 f ' 0  f ' x  f ' 1 , x  0,1 .

  b  c1  1  c b 2  b c 2  b  c1  1  b  bc  1  b  cc  1  1 .
+ Nếu f ' 1  0 thì hàm số f x  nghịch biến trên khoảng  0,1 , x   0,1


f x f 1 

b c 1
 1.
  c b 1  b c 1  1  b 1  c   babc bbcc11  bc
bc  b  c  1
+ Nếu f ' 1  0 và f '  0   0 thì x   0,1 sao cho f ' x   0 .
2 2



f x f 0 

0

0

Bảng biến thiên :
x0

0

x

 
f x 



f ' x0

1



0





Dựa vào bảng biến thiên ta có : f x   Max f x   Max f  0 , f 1  1
0,1



 f a 1

a
b
c


 1  a 1  b 1  c  1.
b c 1 a c 1 a b 1









Bài toán 3 : Cho tam giác ABC bất kỳ với các cạnh a,b, c thỏa a  b  c
a . Chứng minh rằng : a 3 b 2  c 2   b 3 c 2  a 2   c 3 a 2  b 2   0 .
b. Chứng minh rằng không thể thay số 0 ở vế phải bất đẳng thức trên bằng
bất kỳ số nào nhỏ hơn .
Lời giải
a . Ta có : a 3 b 2  c 2   b 3 c 2  a 2   c 3 a 2  b 2   0















 a 3 b  c b  c  a 2 b 3  c 3  b 2c 2 b  c  0

 
0
 b  c  a b a  c   a c a  c   b a  c   0




 b  c  a  c  a b  a c  b a  b c   0



 b  c a b  a c  a b  a bc  a c  b c
3

3

2 2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940

Page 4








   
 






 b  c a  c ab a  b  c a  b a  b   0
 a  b b  c a  c ab  bc  ca  0

Điều trên luôn đúng với mọi a  b  c .

b . Giả sử  là số bất kỳ nhỏ hơn 0 thỏa a 3 b 2  c 2   b 3 b 2  c 2   c 3 c 2  a 2   
3
n

4
b

5
rõ ràng a  b  c, n  N * .
n

Xét tam giác ABC với các cạnh a  ,b  ,c 

 1   2   1   12 15 20 
94
 2  2 5.
2
n
n 
n




n

Khi đó : a 3 b2  c2   b 3 b2  c2   c 3 c2  a 2            
n
n
n

 94 
94
 0 nên theo định nghĩa  5 có thể làm nhỏ tùy ý miễn sao
5 
n
 n 

Vì lim  

chọn n đủ lớn . Thật vậy, giả sử

94
94
94
94
*
    5   
   n  
5
n

n
n



( bước trên ta đã sử dụng một bất đẳng thức cơ bản

94 94

)
n
n5

Bất đẳng thức  *  mẫu thuẫn với điều ta giả sử , vậy không tồn tại số   0
thỏa bất đẳng thức ở câu a .
Bài toán 4 : Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn a  b  c  1 .
 a
b
c  3


 .
2
2
2
b  b c  c a  a  4

Chứng minh rằng : ab  bc  ca  

Lời giải
1
a

b
c
a
 2
 2
 
Ta có : 2

b b c c a a 0  x b







dx .

2 
x  a 

b

c

 x  c  
2

2



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có :
a



b



2

c

x  b  x  c  x  a 
2

2

2

 a
b
c 




x b x c x a 

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có :

Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940

Page 5






2

a b c
a
b
c
1




x b x c x a
a  b  c x  ab  bc  ca x  ab  bc  ca





a

b





c

x  b  x  c  x  a 
2


a
 

0
 x b
1



2

b





1

x  ab  bc  ca 

2


1
dx
dx 


2 
0 x  ab  bc  ca
x  a 
c

 x  c  
2

2



2







1
ab  bc  ca ab  bc  ca  1

 
2





 a
b
c 
1
3
 ab  bc  ca  2
 2
 2


 b  b c  c a  a  ab  bc  ca  1 4





( Bước cuối sử dụng bất đẳng thức cơ bản 3 ab  bc  ca   a  b  c  )

2

The end

Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940

Page 6