Sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức

Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Facebook: LyHung95
SỬ DỤNG BĐT PHỤ TRONG CHỨNG MINH BĐT
Thầy Đặng Việt Hùng

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn
2 2 2 2 2 2
2013
a b b c c a+ + + + + =
.
Chứng minh rằng
2 2 2
1 2013
2 2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +

Bài 2. Chứng minh rằng
2 2 2
2 5 12 136 13,
x x x x x R
− + + − + ≥ ∀ ∈

Bài 3. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1.
Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82

x y z
x y z
+ + + + + ≥

Bài 4. Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc.
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥
.
Bài 5. Cho các số thực x, y, z thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P x yz y zx z xy
= + − + + − + + −

Bài 6. Cho các số thực x, y thay đổi.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2
P x y x y y
= − + + + + + −

Bài 7. Cho các số thực x, y thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
4 4 4 4 4
P x y y x y y x
= + − + + + + + + −

Bài 8. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
3
2
x y z
+ + ≤

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2

x y z
x y z
+ + + + + ≥

Bài 9.
Cho x, y, z là 3 s
ố
d
ươ
ng th
ỏ
a mãn
4
3
xy yz zx
+ + ≥

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 181
5
1 1 1
x y z
x y z

+ + + + + ≥
+ + +

Bài 10.
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b, c th
ỏ
a mãn a + 3b + 5c

≤ 3.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
4 4 4
3 625 4 15 4 5 81 4 45 5
ab c bc a ca b abc
+ + + + + ≥

Bài 11.
Cho các s
ố
th
ự
c x, y thay
đổ

i. Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 4 4
P x y x y x y x y x y x y
= + − + + + + + − + + + + + +