Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HÀ

BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC
VÀO GIẢI TOÁN LƢỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HÀ

BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC
VÀO GIẢI TOÁN LƢỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Cung Thế Anh

HÀ NỘI – 2015

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn

i

Danh mục các chữ viết tắt

ii

Mục lục

iii

MỞ ĐẦU

1

1.Lí do chọn đề tài

1

2. Mục đích nghiên cứu

2

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

2

4. Đối tượng nghiên cứu

2

5. Phạm vi nghiên cứu

2

6. Giả thuyết khoa học

3

7. Phương pháp nghiên cứu

3

8. Những đóng góp của luận văn

3

9. Cấu trúc luận văn

4

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5

1.1.

5

Lý luận về dạy học giải bài tập toán

1.1.1. Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

5

1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán

6

1.1.3. Dạy học phương pháp giải bài toán

8

1.2. Lý luận về năng lực giải toán của học sinh

12

1.2.1. Nguồn gốc của năng lực

12

1.2.2. Khái niệm về năng lực, năng lực Toán học

13

1.2.3. Năng lực giải toán

15

1.2.4. Bồi dưỡng năng lực giải toán

17

1.3. Tình hình dạy học số phức và vấn đề bồi dưỡng năng lực ứng dụng
số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp trong trường phổ thông

1

20


1.3.1. Các nội dung Số phức trong chương trình Giải tích lớp 12 THPT

21

1.3.2. Thực trạng dạy học nội dung số phức ở trường THPT hiện nay

24

1.3.3. Sự cần thiết của việc dạy học ứng dụng số phức vào giải toán lượng
giác và tổ hợp ở trường THPT

25

1.4. Kết luận Chương 1

26

CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ NHẰM BỒI DƢỠNG NĂNG
LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƢỢNG
GIÁC VÀ TỔ HỢP

27

2.1. Định hướng sư phạm

27

2.2. Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác và tổ
hợp

27

2.2.1. Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác

27

2.2.2. Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để tính tổng các số Cnk

41

2.3. Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng số phức vào giải một số dạng toán
lượng giác và tổ hợp

46

2.3.1. Định hướng xây dựng hệ thống bài tập

46

2.3.2. Hệ thống bài tập

48

2.4. Đề xuất hướng sử dụng chuyên đề

67

2.5. Kết luận chương 2

68

CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

69

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm

69

3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm

69

3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm

69

3.2. Phương pháp thực nghiệm

69

3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm

70

3.3.1. Nội dung thực nghiệm

70

3.3.2. Tổ chức thực nghiệm

70

3.3.3. Nội dung giảng dạy chuyên đề và đề kiểm tra

72

2


3.4. Kết quả của thực nghiệm sư phạm

79

3.4.1. Nhận xét, đánh giá qua thực nghiệm

79

3.4.2. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra

81

3.5. Kết luận chương 3

83

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

84

TÀI LIỆU THAM KHẢO

85

PHỤ LỤC

86

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, nội dung Số phức được đưa vào chương trình Toán THPT ở

lớp 12 nhằm hoàn thiện việc xây dựng hệ thống số ở chương trình toán phổ
thông và để phù hợp với thông lệ quốc tế. Tuy nhiên, vì là chương cuối cùng
trong chương trình Giải tích 12 và việc giảng dạy vẫn theo lối cũ, chủ yếu là
các khái niệm và các dạng toán cơ bản liên quan đến nội tại số phức, chưa
quan tâm nhiều đến việc liên hệ với các nội dung khác trong chương trình,
nên học sinh và có lẽ là cả phần lớn giáo viên không hiểu tại sao lại đưa nội
dung số phức vào chương trình toán phổ thông. Sự tồn tại của số phức trong
đời sống cũng khó hình dung hơn so với các loại số khác như số tự nhiên, số
nguyên, số hữu tỉ, số thực. Có lẽ rằng nếu nội dung số phức không phải là một
câu hỏi thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi vào đại học thì nó đã
không được chú trọng giảng dạy trên lớp.
Chúng ta biết rằng số phức ra đời từ nhu cầu giải các phương trình
đại số bậc cao và sau đó đã phát triển mạnh mẽ trở thành một chuyên
ngành độc lập trong toán học gọi là Giải tích phức, nhờ đóng góp của
những nhà toán học kiệt xuất như Euler, Gauss, Cauchy,... và ngày nay
Giải tích phức đã trở thành một ngành có rất nhiều ứng dụng, trong cả toán
học và trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác. Tất nhiên với trình độ
của học sinh phổ thông, và có lẽ kể cả giáo viên toán ở phổ thông, khó có
thể trình bày được hết ý nghĩa và tầm quan trọng của số phức. Tuy nhiên,
với trình độ đó, ta có thể làm cho họ thấy ý nghĩa và ứng dụng của số phức
như là một công cụ hữu hiệu để giải và sáng tác những bài toán phổ thông,
từ những bài toán cơ bản đến những bài toán khó. Từ đó sẽ góp phần giúp
việc giảng dạy và học tập nội dung số phức ở trường phổ thông hiệu quả
hơn. Điều này cũng thể hiện tư tưởng dạy học tích hợp, một xu hướng tiên
tiến trong dạy học hiện nay.
4


Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng
lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác và Tổ hợp cho học sinh

Trung học phổ thông” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp.
Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán
lượng giác và tổ hợp cho học sinh THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán: năng lực và năng lực giải toán.
- Điều tra, tìm hiểu thực tiễn tiễn việc sử dụng số phức như một công
cụ để giải toán lượng giác và tổ hợp ở THPT.
- Nghiên cứu ứng dụng của số phức trong việc giải các dạng toán về
lượng giác và tổ hợp (còn gọi là “phương pháp số phức trong lượng giác và
tổ hợp”).
- Xây dựng hệ thống bài tập chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực giải
toán lượng giác và tổ hợp cho học sinh bằng phương pháp số phức góp phần
bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
-Trên cơ sở thực tế giảng dạy và thực nghiệm, rút ra các kết luận sư
phạm và khuyến nghị về việc giảng dạy nội dung số phức trong chương trình
Toán THPT và quan hệ của nó với các nội dung khác, nói riêng là với lượng
giác và tổ hợp.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Trên cơ sở lý luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy ứng dụng số
phức trong giải toán lượng giác và tổ hợp. Từ đó phân loại và phát triển hệ
thống bài tập nhằm rèn luyện và bồi dưỡng năng lực giải toán, phát triển tư
duy sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu việc phát triển năng lực ứng dụng của số phức trong
lượng giác và tổ hợp.
5

6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được một số chuyên đề ứng dụng của số phức để giải các
bài toán lượng giác và tổ hợp, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm phù
hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán cho học sinh, nâng cao chất
lượng dạy và học ở trường phổ thông.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý
luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan dến đề tài luận văn.
- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và
nước ngoài có liên quan đến bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải
toán lượng giác và tổ hợp.
7.2. Phương pháp điều tra, quan sát
- Phỏng vấn, điều tra thu thập ý kiến giáo viên về thực trạng việc dạy
nội dung số phức và ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp.
- Mẫu khảo sát: Học sinh lớp 12A1 trường THPT Trung Văn, Hà Nội;
Giáo viên tổ toán trường THPT Trung Văn.
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Dạy thực nghiệm và kiểm tra kết quả sau khi thi thực nghiệm.
- Xử lý số liệu thu được từ bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm nhằm
bước đầu kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu.
8. Những đóng góp của Luận văn
- Trình bày cơ sở lý luận về dạy học bài tập toán, năng lực giải toán của
học sinh.
- Thực trạng về việc dạy học ứng dụng số phức trong giải toán lượng
giác và tổ hợp ở THPT.
- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh bằng số phức góp phần rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh THPT.
6

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh
và giáo viên Toán ở các trường THPT, sinh viên toán ở các trường ĐHSP.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo và phụ
lục, luận văn được trình bày theo 3 chương:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Xây dựng chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng
số phức vào giải một số dạng toán lượng giác và tổ hợp.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm.

7


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán
1.1.1. Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông
G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng
hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một
cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong
các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến
thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ
nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết
giải toán!” [8, tr. 82]. Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, vai
trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT như sau.
1.1.1.1. Mục đích
Để đào tạo được những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội
ngày nay, những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có

trí tuệ, có khả năng lao động kĩ thuật cao,... trong các nhà trường THPT đã đặt
ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo. Vì vậy, trong dạy toán
nói chung, giải bài tập toán nói riêng cần xác định những mục đích cụ thể, sát
thực. Có thể thấy rõ một số mục đích bài tập toán ở trường phổ thông là:
- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, học sinh
biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của
bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh
vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.
- Làm cho học sinh từng bước nắm được một cách chính xác, vững
chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản,
hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào

8


những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học
tập các bộ môn khoa học khác.
- Thông qua việc giải bài tập, học sinh khắc sâu các kiến thức đã học,
biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thức
mới đối với học sinh. Qua đó học sinh rèn luyện tư duy lôgic, sáng tạo, tính
kiên trì, cần cù, chịu khó... .
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
1.1.1.2. Vai trò của bài tập toán
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, khoa học và công nghệ hiện đại,
kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học
sinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói: “Một khoa học chỉ
thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp của toán học” [3,tr. 5].
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí
tuệ như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa... Mặt khác,

môn toán cũng rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới
như tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo,…
1.1.1.3. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố,
hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng
những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề
mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm
tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát
triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về rất nhiều mặt.
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán
1.1.2.1. Vị trí
“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với
học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
9


TÀI LIỆU THAM KHẢO
A. Tiếng Việt
1.Bộ Giáo dục và Đào tạo (2008), Giải tích 12. Nxb Giáo dục.
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2008), Giải tích 12- Sách giáo viên. Nxb Giáo dục.
3. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học môn toán ở trường THP. Nxb
Giáo dục.
4. V.A.Cruchetxki: Những cơ sở của tâm lý học sư phạm, tập 2. Nxb Giáo
dục, Hà Nội,1981.
5. Cao Thị Hà - Phạm Xuân Thám: Một số năng lực vận dụng số phức vào
giải toán Hình học phẳng và lượng giác của HS trường THPT. Tạp chí giáo
dục tr.33-35; số 198, kì 2 - 9/08).
6. Nguyễn Phụ Hy – Nguyễn Quốc Bảo (1996), Ứng dụng số phức để giải
toán sơ cấp. Nxb Giáo dục.

7. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học sư
phạm.
8. G. Polya (1997), Sáng tạo toán học (người dịch: Nguyễn Sỹ Tuyển, Phạm
Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản). Nxb Giáo dục, Hà Nội.
9. G. Polya (1997), Giải một bài toán như thế nào? (người dịch Hồ Thuần,
Bùi Tường). NXB Giáo dục, Hà Nội.
10. Nguyễn Thị Hƣơng Trang, “ Một số vấn đề về rèn luyện năng lực giải
toán cho học sinhTHPT”. Tạp chí nghiên cứu giáo dục, số 1 năm 2000.
11. Võ Thanh Văn (chủ biên)- Lê Hiển Dƣơng- Nguyễn Ngọc Giang
(2009), Chuyên đề ứng dụng số phức trong giải toán THPT. Nxb Đại học Sư
phạm.
B. Tiếng Anh
12. Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complex Numbers from A to...Z.
Birkhauser Boston, Basel, Berlin.

10