Các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử laplace (LV01856)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG PHẤN

CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG
CỦA TOÁN TỬ LAPLACE
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI - 2016


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS.
Bùi Kiên Cường, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong tổ bộ môn giải tích,
khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn, truyền
đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận
văn, cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thời
gian làm luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình
và năng lực của mình, tuy nhiên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Lê Thị Hồng Phấn

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả
Lê Thị Hồng Phấn

ii


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian tích vô hướng . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert .
1.4 Lý thuyết phổ của toán tử compact tự liên hợp
1.5 Không gian Sobolev H 1,p (Ω) . . . . . . . . . .
2 Giá
2.1

2.2
2.3
2.4

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace
Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace trên một khoảng
Nghe sợi dây đàn ghi ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên phi tuyến
Giá trị riêng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4

6
9
12
14
20
20
24
26
39

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

iii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giả sử Ω ⊂ RN là một miền và xét toán tử ∆ tác động trên C ∞ (Ω) xác
định bởi
N

∆ϕ =
i=1

∂ 2ϕ
.
∂x2i

Toán tử này được gọi là toán tử Laplace trên Ω. Toán tử Laplace xuất hiện
trong nhiều hiện tượng vật lý, chẳng hạn trong hiện tượng dòng chất lỏng
có trạng thái ổn định, hay trường tĩnh điện, hay hiện tượng khuếch tán
nhiệt và hiện tượng lan truyền sóng,... Toán tử Laplace giao hoán với phép
tịnh tiến và phép quay, tức là nếu T là phép tịnh tiến hoặc phép quay thì
∆(ϕ ◦ T ) = ∆(T ◦ ϕ). Thực ra, nếu S là một toán tử tùy ý giao hoán
với phép tịnh tiến và phép quay thi tồn tại các hằng số a1 , ...., am sao cho
j
S= m
j=1 aj ∆ . Do đó, không ngạc nhiên khi toán tử Laplace là trọng tâm
trong bất kỳ quá trình nào mà bản chất vật lý cơ bản độc lập với vị trí và
hướng, chẳng hạn như khuếch tán nhiệt và lan truyền sóng trong RN .
Có rất nhiều bài toán chứa toán tử Laplace, nhưng chúng ta sẽ chỉ tập
trung những bài toán qua đó để nhấn mạnh sự quan trọng của bài toán giá
trị riêng (còn gọi là phương trình Helmholtz)

∆ϕ = λϕ.
Rõ ràng rằng, nếu chúng ta muốn nghiên cứu các hàm điều hòa thì thứ cần
thiết là giải phương trình

∆ϕ = λϕ

với λ = 0.

Vậy, sự cần thiết phải hiểu nghiệm của phương trình Helmholtz cho các bài

toán chẳng hạn như trường tĩnh điện hay dòng chất lỏng có trạng thái ổn
định là thực tế. Để nghiên cứu khuếch tán nhiệt, lan truyền sóng và bài
toán Schr¨odinger được mô tả bên trên, phương pháp tiêu chuẩn là tìm kiếm
nghiệm u(x, t) có dạng tách biến u(x, t) = α(t)ϕ(x). Việc làm đó sẽ dẫn đến
tìm các giá trị riêng và các véc tơ riêng của phương trình Laplace 1 chiều.
1


Về lý thuyết phổ của toán tử Laplace, đã có nhiều công trình nghiên cứu
của các nhà toán học trên toàn thế giới, chẳng hạn xem [1], [4-7]. Được sự
quan tâm giúp đỡ của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: “Các giá trị
riêng và hàm riêng của toán tử Laplace” để thực hiện luận văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của lý thuyết phổ của toán
tử compact tự liên hợp, toán tử chuẩn, toán tử Unita.
+ Hệ thống hóa về các hàm riêng của toán tử Laplace với một số điều kiện
khác nhau về biên của miền xác định: hai điểm biên, biên phi tuyến
tổng quát,. . .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, báo
cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về giá
trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tự liên hợp compact, toán tử Laplace, lý
thuyết về bài toán trị riêng, hàm riêng của toán tử Laplace.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên
quan đến các đối tượng nghiên cứu đã được trích dẫn trong Tài liệu tham
khảo của luận văn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp

nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo
mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương, cụ thể:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
2


• Chương 2: Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace.
7. Những đóng góp của đề tài
Luận văn sẽ là một báo cáo tổng quan có hệ thống về giá trị riêng và hàm
riêng của toán tử Laplace trong một số miền khác nhau. Các kết quả được
trình bày trong luận văn được trích từ các bài báo được công bố trong những
năm gần đây trên tạp chí có uy tín.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tích vô hướng). Cho E là một không gian
véctơ phức. Một ánh xạ ·, · : E × E → C được gọi là một tích vô hướng
trong E nếu với bất kỳ x, y, z ∈ E và α, β ∈ C, các điều kiện sau được thỏa
mãn

(a) x, y = y, x (ký hiệu của số phức liên hợp).
(b) αx + βy, z = α x, z + β y, z .
(c) x, x ≥ 0.
(d) x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Một không gian véctơ với tích vô hướng được gọi là không gian tích vô hướng.
Theo định nghĩa, tích vô hướng của hai véctơ là một số phức. Bởi theo
(a), x, x = x, x có nghĩa rằng x, x là một số thực với mỗi x ∈ E . Mà
theo (b) ta có

x, αy + βz = αy + βz, x = α y, x + β z, x = α y, x + β z, x
Đặc biệt, αx, y = α x, y và x, αy = α x, y . Từ đó, nếu α = 0, ta có
0, y = x, 0 = 0.
4


Ví dụ 1.1. Không gian C[a, b] của tất cả các hàm giá trị phức liên tục trên
đoạn [a, b], với tích vô hướng
b

f, g =

f (x)g(x)dx
a

là một không gian tích vô hướng.
Ví dụ 1.2. Giả sử Ω ⊂ Rn là một tập đo được. Không gian L2 (Ω) gồm các
hàm f đo được trên Ω với lũy thừa bậc 2 của môđun |f |2 khả tích trên Ω
làm thành một không gian tích vô hướng với tích vô hướng xác định bởi

f (x)g(x)dx.

Ω

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức Schwarz). Cho hai phần tử bất kì x và y của
không gian tích vô hướng, ta có

| x, y | ≤ x
Đẳng thức | x, y | = x
tính.

y .

y đúng khi và chỉ khi x và y là phụ thuộc tuyến

Hệ quả 1.1.1 (Bất đẳng thức tam giác). Cho hai phần tử bất kì x và y của
không gian tích vô hướng ta có x + y ≤ x + y .
Định nghĩa 1.1.2 (Chuẩn trong không gian tích vô hướng). Chuẩn trong
không gian tích vô hướng E ta hiểu là hàm · : E → R xác định bởi
x =
x, x , x ∈ E .
Nhờ bất đẳng thức Schwarz và định nghĩa tích vô hướng · là một chuẩn
thực sự trên không gian véctơ E , nghĩa là mọi không gian tích vô hướng đều
là không gian định chuẩn và chuẩn khi đó được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô
hướng.
Định lý 1.1.2 (Luật hình bình hành). Cho hai phần tử bất kì x và y của
không gian tích vô hướng E . Khi đó ta có

x+y

2

+ x−y

2

5

= 2( x

2

+ y 2 ).


Định nghĩa 1.1.3 (Quan hệ trực giao). Cho A, B là các tập con trong không
gian tích vô hướng E .
i) Hai véc tơ x và y trong không gian tích vô hướng E được gọi là trực
giao, kí hiệu x ⊥ y nếu x, y = 0.
ii) Véc tơ x được gọi là trực giao với tập A, nếu x trực giao với mọi véc tơ
y của A. Ký hiệu x ⊥ A. Tập hợp tất cả các véc tơ trực giao với tập A
được ký hiệu là A⊥ .
iii) Hai tập A, B được gọi là trực giao với nhau, nếu mọi phần tử x của A
đều trực giao với B . Ký hiệu A ⊥ B .
Nếu tập A khác rỗng thì A⊥ là một không gian con đóng của E .
Định lý 1.1.3 (Định lý Pythago). Cho các cặp véc tơ trực giao bất kì, ta có
x + y 2 = x 2 + y 2.

1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 (Không gian Hilbert). Một không gian tích vô hướng đầy
đủ được gọi là một không gian Hilbert. Thường ký hiệu không gian Hilbert
bởi E, H, K, ...
Định nghĩa 1.2.2 (Hội tụ mạnh). Một dãy (xn ) các véctơ trong một không
gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ mạnh tới một véctơ x trong E nếu
xn − x → 0 khi n → ∞. Từ “mạnh” được thêm vào để phân biệt hội tụ
mạnh với hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.2.3 (Hội tụ yếu). Một dãy (xn ) các véctơ trong không gian
tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một véctơ x trong E nếu xn , y →
x, y khi n → ∞ với mọi y ∈ E .
Điều kiện trong định nghĩa trên có thể thay bằng xn − x, y → 0 khi
n → ∞, với mỗi y ∈ E .
w
Để thuận tiện hơn kí hiệu “ xn → x” đối với hội tụ mạnh và dùng “ xn →
− x”
để kí hiệu hội tụ yếu.
6


Định lý 1.2.1. Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, nghĩa là xn → x suy ra
w
xn →
− x.
Định lý 1.2.2. Trong không gian tích vô hướng E ,
(i) Nếu xn → x và yn → y thì xn , yn → x, y .
w

(ii) Nếu xn →
− x và xn → x thì xn → x.
Định lý 1.2.3. Các dãy hội tụ yếu trong không gian Hilbert là bị chặn, nghĩa

là nếu (xn ) là một dãy hội tụ yếu thì tồn tại một số M sao cho xn ≤ M
với mọi n ∈ N∗ .
Định lý 1.2.4. Cho S là một tập con trong không gian tích vô hướng E
sao cho spanS là trù mật trong E . Nếu (xn ) là một dãy bị chặn trong E và
w
− x.
xn , y → x, y với mỗi y ∈ S thì xn →
Định nghĩa 1.2.4 (Tính trực giao và hệ trực chuẩn). Một họ S các véctơ
khác 0 trong không gian tích vô hướng E được gọi là một hệ trực giao hai
phần tử riêng biệt bất kỳ của S đều trực giao với nhau.
Nếu thêm vào đó điều kiện x = 1 với mọi x ∈ S thì S được gọi là một
hệ trực chuẩn.
Chú ý rằng các hệ trực chuẩn là độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.3. Xét không gian 2 các dãy số phức x = (xn ) thỏa mãn n∈N∗ |xn |2
< +∞. Với tích vô hướng cho bởi x, y = n∈N∗ xn yn , 2 là một không
gian Hilbert phức. Khi đó tập hợp các véc tơ S = {e1 , e2 , . . . , en , . . . }, với
en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) với 1 nằm ở vị trí thứ n, là một cơ sở trực chuẩn
của 2 .
Định lý 1.2.5 (Công thức Pythago). Nếu x1 , . . . , xn là các véctơ trực giao
trong không gian tích vô hướng thì
2

n

xn
k=1

n

xn xn 2 .

=
k=1

7


Định lý 1.2.6 (Bất đẳng thức và đẳng thức Besel). Cho {x1 , x2 , . . . , xn } là
một hệ trực chuẩn của các véc tơ trong không gian tích vô hướng E . Khi đó,
với mỗi x ∈ E , ta có
2

n

x−

x, xk xk

n
2

= x

n

−

k=1

2

x, xk

,

x, xk

k=1

2

≤ x 2.

k=1

Định lý 1.2.7. Cho (xn ) là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H
∞

và cho (αn ) là dãy các số phức. Khi đó, chuỗi
∞

chuỗi

αn xn hội tụ khi và chỉ khi
n=1

|αn |2 < ∞ và trong trường hợp này

n=1
2

∞

∞

αn x n

αn 2 .

=

n=1

n=1

Định nghĩa 1.2.5 (Dãy trực chuẩn đầy đủ). Một dãy trực chuẩn (xn ) trong
không gian Hilbert H được gọi là đầy đủ nếu với mỗi x ∈ H ta có
∞

x=

x, xn xn .
n=1

Một dãy trực chuẩn đầy đủ còn được gọi là một cơ sở trực chuẩn.
Định lý 1.2.8. Một dãy trực chuẩn (xn ) trong không gian Hilbert H là đầy
đủ khi và chỉ khi nếu x, xn = 0 với mọi n ∈ N∗ thì x = 0.
Định lý 1.2.9 (Công thức Parseval). Một dãy trực chuẩn (xn ) trong không
gian Hilbert H là đầy đủ nếu và chỉ nếu
∞

x

2

x, xn

=

2

,

n=1

với mỗi x ∈ H .
Định nghĩa 1.2.6 (Không gian tách). Một không gian Hilbert được gọi là
tách nếu nó chứa một dãy trực chuẩn đầy đủ.
Chú ý rằng mỗi tập trực giao trong không gian Hilbert tách là đếm được.

8


Định nghĩa 1.2.7 (Đẳng cấu không gian Hilbert). Một không gian Hilbert
H1 được nói là đẳng cấu với không gian Hilbert H2 nếu tồn tại một song ánh
tuyến tính T từ H1 lên H2 sao cho T (x), T (y) = x, y với mọi x, y ∈ H1 .
Chú ý rằng, T (x), T (y) = x, y dẫn đến T
với mọi x ∈ H1 .

= 1 vì T (x) = x ,

Định lý 1.2.10. Cho H là một không gian Hilbert tách. Khi đó
(a) Nếu H là vô hạn chiều, thì nó là đẳng cấu với l2 .
(b) Nếu dim H = N , thì nó đẳng cấu với CN .

1.3

Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Sau đây, để đơn giản ta luôn giả thiết toán tử là tuyến tính. Một toán tử
A xác định trên không gian định chuẩn E được gọi là bị chặn, nếu nó ánh
xạ mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn, nói cách khác, nếu tồn tại hằng
số M sao cho Ax ≤ M x , ∀x ∈ E .
Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert
H . Khi đó tồn tại duy nhất một toán tử A∗ : H → H xác định bởi

Ax, y = x, A∗ y ,

∀x, y ∈ H,

Toán tử A∗ được gọi là toán tử liên hợp của A. Khi A∗ = A thì ta nói A là
toán tử tự liên hợp.
Định lý 1.3.1. Toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A là bị chặn. Hơn
nữa, ta có

A = A∗

A∗ A = A 2 .

và

Ví dụ 1.4. Cho H = CN và cho {e1 , . . . , eN } là cơ sở trực chuẩn trong H .
Cho A là toán tử biểu diễn bởi ma trận (aij ). Trong đó, aij = Aej , ei . Khi
đó toán tử liên hợp A∗ được biểu diễn bởi ma trận bk,j = A∗ ej , ek . Khi đó

bkj = ej , Aej = Aek , ej = ajk .
9


Do vậy, toán tử A là tự liên hợp khi và chỉ khi ai,j = aji . Một ma trận thỏa
mãn điều này gọi là Hermitian.
Định lý 1.3.2. Cho ϕ là một hàm song tuyến tính phức bị chặn và cho A
là một toán tử bị chặn trên H sao cho ϕ(x, y) = x, Ay với mọi x, y ∈ H .
Khi đó A là tự liên hợp khi và chỉ khi ϕ là đối xứng, nghĩa là ϕ(x, y) =

ϕ(y, x), ∀x, y ∈ H.
Định lý 1.3.3. Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert. Toán tử
T1 = A∗ A và T2 = A + A∗ là tự liên hợp.
Chú ý rằng, tích của hai toán tử tự liên hợp là tự liên hợp khi và chỉ khi
các toán tử giao hoán.
Hệ quả 1.3.1. Nếu A là tự liên hợp thì một đa thức bất kỳ của A với hệ số
thực αn , . . . , α0 :

αn An + · · · + α1 A + α0 I
cũng là toán tử tự liên hợp.
Định lý 1.3.4. Với mỗi toán tử bị chặn T trên một không gian Hilbert H ,
có tồn tại duy nhất các toán tử tự liên hợp A, B sao cho

T = A + iB và T ∗ = A − iB.
Định lý 1.3.5. Nếu T là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H thì

T = sup | T x, x |.
x =1

Định nghĩa 1.3.2 (Toán tử khả nghịch). Cho A là một toán tử xác định
trên một không gian vectơ con của E . Một toán tử B xác định trên R(A)
được gọi là nghịch đảo của A nếu ABx = x với mọi x ∈ R(A) và BAx = x
với mọi x ∈ D(A). Một toán tử mà có nghịch đảo được gọi là khả nghịch.
Nghịch đảo của A ký hiệu là A−1 .
Định lý 1.3.6.
(a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính.
10


(b) Một toán tử A là khả nghịch nếu và chỉ nếu Ax = 0 dẫn tới x = 0.
(c) Nếu toán tử A là khả nghịch và vectơ x1 , . . . , xn là độc lập tuyến tính
thì Ax1 , . . . , Axn là độc lập tuyến tính.
(d) Nếu toán tử A và B là khả nghịch, thì toán tử AB là khả nghịch và ta
có

(AB)−1 = B −1 A−1 .
Định lý 1.3.7. Cho A là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho
R(A) = H . Nếu có nghịch đảo bị chặn thì toán tử liên hợp A∗ là khả nghịch
và (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Như vậy, nếu toán tự tử liên hợp bị chặn A có nghịch đảo bị chặn A−1 thì
A−1 là tự liên hợp.
Định nghĩa 1.3.3 (Toán tử chuẩn). Một toán tử bị chặn T được gọi là toán
tử chuẩn nếu nó giao hoán với liên hợp, tức là T T ∗ = T ∗ T .
Định lý 1.3.8. Một toán tử T là chuẩn khi và chỉ hi T x = T ∗ x với
mọi x ∈ H .

Tiếp theo ta sẽ trình bày một số khái niệm liên quan đến toán tử dương,
toán tử compact.
Định nghĩa 1.3.4 (Toán tử dương). Một toán tử A được gọi là dương nếu
nó là tự liên hợp và Ax, x ≥ 0 với mọi x ∈ H .
Định lý 1.3.9.
(i) Nếu toán tử A bị chặn trên H , thì các toán tử A∗ A và A∗ A là dương.
(ii) Nếu A là toán tử khả nghịch dương thì nghịch đảo của nó là A−1 cũng
dương.
Định nghĩa 1.3.5 (Toán tử compact). Một toán tử A trên không gian
Hilbert H được gọi là toán tử compact nếu với mỗi dãy bị chặn (xn ) trong
H , dãy (Axn ) chứa một dãy con hội tụ.
11


Định lý 1.3.10. Giới hạn của một dãy hội tụ đều các toán tử compact là
một toán tử compact, nghĩa là nếu T1 , T2 , ... là một dãy toán tử compact trong
không gian Hilbert H và Tn − T → 0 khi n → ∞ với một toán tử T nào
đó trên H thì T là toán tử compact.
Định lý 1.3.11. Tập tất cả các toán tử compact trên không gian Hilbert H
là một không gian véc tơ con đóng của không gian B(H).
Định nghĩa 1.3.6 (Toán tử hữu hạn chiều). Một toán tử được gọi là hữu
hạn chiều nếu miền giá trị của nó hữu hạn chiều.

1.4

Lý thuyết phổ của toán tử compact tự liên hợp

Định nghĩa 1.4.1 (Giá trị riêng). Cho A là toán tử trên không gian véc tơ
phức E . Một số phức λ được gọi là giá trị riêng của A nếu có véc tơ u ∈ E
khác véctơ 0 sao cho Au = λu. Mỗi véc tơ u thỏa mãn Au = λu được gọi là

một véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ. Nếu E là không gian
hàm, các véc tơ riêng thường được gọi là các hàm riêng.
Tập các véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng của một toán tử là một
không gian véc tơ.
Định nghĩa 1.4.2 (Không gian riêng). Tập các véc tơ riêng tương ứng với
một giá trị riêng λ được gọi là không gian riêng của λ. Số chiều của không
gian đó được gọi là bội số của λ. Một giá trị riêng có bội một được gọi là là
đơn hay không suy biến. Một giá trị riêng bội lớn hơn một được gọi là bội
hay suy biến. Trong trường hợp này số chiều của không gian riêng được gọi
là là bậc của suy biến.
Định nghĩa 1.4.3 (Giải thức và phổ). Cho A là một toán tử trong không
gian định chuẩn E . Toán tử

Aλ = (A − λI)−1
được gọi là giải thức của A. Các giá trị của λ sao cho Aλ được xác định và bị
chặn trên không gian E được gọi là giá trị chính quy của A. Tập tất cả các
giá trị chính quy của A được gọi là tập giải được và ký hiệu là ρ(A). Phần
12


bù của ρ(A) trong C được gọi là phổ của A và ký hiệu là σ(A). Bán kính
phổ của A ký hiệu bởi r(A), được định nghĩa bởi

r(A) = sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}.
Định lý 1.4.1. Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Banach E và A < |λ| thì Aλ = (A − λI)−1 là toán tử bị chặn
∞

Aλ = −
n=0

và

A ≤

An
,
λn+1

1
.
|λ| − A

Từ đây dễ thấy, nếu A là toán tử bị chặn trong không gian Banach thì
r(A) ≤ A .
Định lý 1.4.2. Cho T là toán tử khả nghịch trên không gian véc tơ E và cho
A là toán tử trên E . Khi đó các toán tử A và T AT −1 có cùng giá trị riêng.
Định lý 1.4.3. Tất cả các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp trên không
gian Hilbert đều là thực.
Định lý 1.4.4. Nếu A là toán tử tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert
thì r(A) = A .
Dưới đây là một số tính chất của các giá trị riêng
Định lý 1.4.5.
(a) Tất cả các giá trị riêng của toán tử dương là không âm. Tất cả các giá
trị riêng của toán tử dương thực sự là dương.
(b) Mọi các giá trị riêng của toán tử unita trên không gian Hilbert là các số
phức có môđun bằng 1.
Định lý 1.4.6. Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt của
toán tử tự liên hợp hoặc unita trên không gian Hilbert là trực giao.
Định lý 1.4.7. Nếu A là compact, toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert,

thì có ít nhất một trong các số A hoặc − A là một giá trị riêng của A.
13


Hệ quả 1.4.1. Nếu A là compact, toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert
H thì có một véc tơ ω ∈ H sao cho ω = 1 và

| Aω, ω | = sup | Ax, x |.
x ≤1

Định lý 1.4.8. Không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng khác 0 của
toán tử compact tự liên hợp là hữu hạn chiều.
Tập các giá trị riêng khác 0 phân biệt (λn ) của toán tử compact tự liên hợp
là hữu hạn hoặc đếm được với lim λn = 0.
n→∞

Định lý 1.4.9. Cho (Pn ) là dãy các toán tử chiếu đôi một trực giao trên
không gian Hilbert H và cho (λn ) là một dãy các số sao cho λn → 0 khi
n → ∞. Khi đó,
∞

λn Pn hội tụ trong B(H) và xác định một toán tử bị chặn.

(a)
n=1

∞

(b) Với mỗi n ∈ N, λn là một giá trị riêng của toán tử A =

λn Pn và
n=1

các giá trị riêng khác của A chỉ có thể bằng 0.
(c) Nếu tất cả các λn là thực thì A tự liên hợp.
(d) Nếu phép chiếu (Pn ) là hữu hạn chiều thì A là compact.
Định nghĩa 1.4.4 (Giá trị riêng gần đúng). Cho T là toán tử trên không
gian Hilbert H . Một giá trị λ vô hướng được gọi là giá trị riêng gần đúng của
T nếu tồn tại một dãy cá véctơ xn ∈ H sao cho xn = 1 với mọi n ∈ N và
T xn − λxn → 0 khi n → ∞.
Định lý 1.4.10. Nếu T là toán tử compact thì mỗi giá trị riêng xấp xỉ khác
0 của T là một giá trị riêng.

1.5

Không gian Sobolev H 1,p(Ω)

Cho Ω ⊂ RN là một tập mở và cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞.

14


Định nghĩa 1.5.1. Cho Ω là một tập mở trong RN và p là số thực thỏa mãn
1 ≤ p ≤ ∞. Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa bởi

W 1,p (Ω) =

u ∈ Lp (Ω) ∃ g1 , g2 , . . . , gN sao cho gj ∈ Lp (Ω),
u
Ω

∂ϕ
=−
∂xi

gi ϕ, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), ∀i = 1, 2, . . . , N ,
Ω

trong đó C0∞ (Ω) là không gian các hàm thử gồm các hàm khả vi vô hạn có
giá compact trong Ω.
Không gian W 1,p (Ω) có chuẩn được trang bị bởi
N

u

W 1,p

= u

p

+
i=1

∂u
∂xi

.
p

Ta đặt H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω). Khi đó trên H 1 (Ω) có tích vô hướng trang bị
bởi
N

u, v

H1

= u, v

L2

+
i=1

N

∂u ∂v
,
∂xi ∂xi

=

uv +
Ω

L2

i=1

∂u ∂v
,
∂xi ∂xi

và chuẩn tương ứng là
N

u

H1

=

u

2
L2

+
i=1

∂u
∂xi

2

1/2

.
L2

Mệnh đề 1.5.1. Cho W 1,p (Ω) là một không gian Banach với mỗi 1 ≤ p ≤
∞, W 1,p (Ω) là phản xạ với 1 < p < ∞ và nó là tách với 1 ≤ p ≤ ∞, H 1 (Ω)
là không gian Hilbert tách.
Định nghĩa 1.5.2. Cho Ω ⊂ RN là tập mở. Ta nói rằng tập mở ω trong RN
là bao hàm thực sự trong Ω và ta viết ω ⊂⊂ Ω nếu ω ⊂ Ω và ω là compact.
Định lý 1.5.1 (Friedrichs). Cho u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p < ∞. Khi đó tồn
tại một dãy (un ) từ C0∞ (RN ) sao cho
(1) un|Ω → u trong Lp (Ω)
15


(2) ∇un|ω → ∇u|ω trong Lp (ω)N với mọi ω ⊂⊂ Ω.
Trong trường hợp ω = RN và u ∈ W 1,p (RN ) với 1 ≤ p < ∞, tồn tại một
dãy (un ) từ C0∞ (RN ) sao cho

un → u trong Lp (RN )
và

∇un → ∇u trong Lp (RN )N .
Bổ đề 1.5.1. Cho ρ ∈ L1 (RN ) và v ∈ W 1,p (RN ) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó,

ρ ∗ v ∈ W 1,p (RN ) và

∂
∂v
(ρ ∗ v) = ρ ∗
, ∀i = 1, 2, . . . , N .
∂x
∂x

Mệnh đề 1.5.2. Cho u ∈ Lp (Ω) với 1 < p ≤ ∞. Các tính chất sau là tương
đương nhau.
(i) u ∈ W 1,p (Ω),
(ii) Tồn tại hằng số C sao cho

u
Ω

∂ϕ
≤C ϕ
∂xi

∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω), ∀i = 1, 2, . . . , N,

Lp (Ω) ,

(iii) Tồn tại hằng số C sao cho với mọi ω ⊂⊂ Ω, và mọi h ∈ RN với
|h| < dist(ω, ∂Ω), ta có

τh u − u

Lp (ω)

≤ C|h|.

Lp (Ω)

trong (ii) và (iii).

Hơn nữa, ta có thể lấy C = ∇u
Nếu Ω = RN , ta có

τh u − u

Lp (RN )

≤ |h| ∇u

Lp (RN ) .

Ở đây, τh u(x) = u(x + h).
Mệnh đề 1.5.3 (Đạo hàm của một tích). Cho u, v ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) với
1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó, uv ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) và

∂u
∂v
∂
(uv) =
v+u
,
∂xi
∂xi
∂xi
16

i = 1, 2, . . . , N.


Mệnh đề 1.5.4 (Đạo hàm hàm hợp). Cho G ∈ C 1 (R) sao cho G(0) = 0

và |G (s)| ≤ M, ∀s ∈ R và với hằng số M nào đó. Cho u ∈ W 1,p (Ω) với
1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó G ◦ u ∈ W 1,p (Ω) và

∂
∂
(G ◦ u) = (G ◦ u)
,
∂xi
∂xi

i = 1, 2, . . . , N.

Mệnh đề 1.5.5 (Công thức đổi biến). Giả sử Ω và Ω là hai tập mở trong
RN và cho H : Ω → Ω là một song ánh, x = H(y) sao cho H ∈ C 1 (Ω ),
∂H
∈ L∞ (Ω ), ma trận nghịch đảo của
H −1 ∈ C 1 (Ω) và ma trận Jacobi ∂y
j
ma trận Jacobi thuộc L∞ (Ω). Cho u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó,
u ◦ H ∈ W 1,p (Ω ) và

∂
u(H(y)) =
∂yj

i

∂u
∂Hi
(H(y))

(y),
∂xi
∂yj

∀j = 1, 2, . . . , N.

Định nghĩa 1.5.3 (Không gian W m,p (Ω)). Cho số nguyên m ≥ 2 và p là số
thực với 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa

W m,p (Ω) = u ∈ W m−1,p (Ω) :

∂u
∈ W m−1,p (Ω),
∂xi

i = 1, 2, . . . , N .

Sau đây, ta trình bày vài nét về không gian W01,p (Ω).
Định nghĩa 1.5.4. Cho 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian W01,p (Ω) được định nghĩa
là bao đầy của không gian C01 (Ω) trong W 1,p (Ω).
Đặt

H01 (Ω) = W01,2 (Ω).
Không gian W01,p trang bị chuẩn của W 1,p , là không gian Banach tách,
phản xạ nếu 1 < p < ∞. H01 được trang bị tích vô hướng của H 1 và là
không gian Hilbert.
Bổ đề 1.5.2. Cho u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ và giả sử rằng supp u là
một tập con compact của Ω. Khi đó, u ∈ W01,p (Ω).
Định lý 1.5.2. Giả sử rằng Ω là một lớp C 1 , cho u ∈ W 1,p (Ω) ∩ C(Ω) với
1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó, tác tính chất sau là tương đương

(i) u = 0 trên ∂Ω.
17


(ii) u ∈ W01,p (Ω).
Mệnh đề 1.5.6. Giả sử Ω là lớp C 1 . Cho u ∈ Lp (Ω) với 1 < p < ∞. Các
tính chất sau là tương đương
(i) u ∈ W01,p (Ω),
(ii) Tồn tại hằng số C sao cho

u

∂ϕ
≤C ϕ
∂xi

Lp (Ω) ,

∀ϕ ∈ C01 (RN ), ∀i = 1, 2, . . . , N,

(iii) Hàm

u(x) =




u(x) nếu x ∈ Ω
nếu x ∈ RN \ Ω



0

thuộc vào W 1,p (RN ) và trong trường hợp này

∂u
∂u
=
.
∂xi
∂xi

Hệ quả 1.5.1 (Bất đẳng thức Poincaré). Giả sử rằng 1 ≤ p < ∞ và Ω là
một tập mở bị chặn. Khi đó, tồn tại hằng số C (phụ thuộc Ω và p) sao cho

u

Lp (Ω)

Đặc biệt, biểu thức ∇u
với chuẩn u
ra chuẩn ∇u

W 1,p
L2

≤ C ∇u
Lp (Ω)

∀u ∈ W01,p (Ω).

Lp (Ω) ,

là một chuẩn trên W01,p (Ω) và nó tương đương

∂u ∂v
là tích vô hướng sinh
i=1 Ω ∂xi ∂xi
và nó tương đương với chuẩn u H 1 .

; trên

H01 (Ω)

N

biểu thức

Không gian đối ngẫu của W01,p (Ω)
Ta ký hiệu W −1,p (Ω) là không gian đối ngẫu của không gian W01,p (Ω),
1 ≤ p < ∞ và H −1 (Ω) là không gian đối ngẫu H01 (Ω). Đối ngẫu của L2 (Ω)
đồng nhất với L2 (Ω). Ta có bao hàm thức

H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω),
với các phép nhúng liên tục và trù mật.
18


Nếu Ω là một tập bị chặn thì với 2N/(N + 2) ≤ p < ∞ ta có

W01,p (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ W −1,p (Ω).
Trong trường hợp miền Ω không bị chặn thì bao hàm thức bên trên vẫn đúng,
nhưng chỉ với những p thỏa mãn điều kiện 2N/(N + 2) ≤ p ≤ 2.
Các phần tử của không gian W −1,p được mô tả đầy đủ trong kết quả sau
đây
Mệnh đề 1.5.7. Cho F ∈ W −1,p (Ω). Khi đó, tồn tại các hàm số f0 , f1 , f2 , . . . , fN ∈
Lp (Ω) sao cho
N

F, v =

f0 v +
Ω

fi
i=1

∂v
,
∂xi

∀v ∈ W01,p (Ω)

và

F = max fi
0≤i≤N

Nếu Ω bị chặn thì ta có thể lấy f0 = 0.

19

p


Chương 2
Giá trị riêng và hàm riêng của toán
tử Laplace
2.1

Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace
trên một khoảng

Bài toán 2.1.1. Tìm các hàm riêng và giá trị riêng của Bài toán Dirichlet
cho toán tử Laplace trên khoảng Ω = [0, l]:



 −u (x) = λu(x),
0≤x≤l
(2.1)


 u(0) = u(l) = 0.

Lời giải:
Xét phương trình đầu tiên của (2.1.1), tức là phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1. u + λu = 0. Phương trình đặc trưng có dạng

t2 + λ = 0 ⇔ t2 = −λ.
Có 3 trường hợp đối với các giá trị của λ:
Trường hợp 1: λ < 0. Khi đó −λ > 0 và

√
t2 = −λ ⇔ t = ± −λ.
20


Vậy phương trình vi phân của hệ (2.1.1) có 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính
là
√
√

u1 (x) = e

−λx

, u2 (x) = e−

−λx

.

Do đó, phương trình vi phân có nghiệm tổng quát là
√

u(x) = C1 .e

−λx

+ C2 .e

√
− −λx

, C1 , C2 ∈ R.

Để thỏa mãn điều kiện biên u(0) = u(l) = 0 thì

C1 = C2 = 0.
Lúc đó, chỉ có hàm u = 0 được thỏa mãn, tức là λ < 0 không là giá trị riêng
của bài toán đã cho.
Trường hợp 2: λ = 0. Khi đó phương trình vi phân trong (2.1.1) có nghiệm
tổng quát là

u(x) = C1 x + C2 .
với các hằng số C1 , C2 tùy ý. Để thỏa mãn điều kiện biên trong (2.1) thì

C1 = C2 = 0.
Lúc đó, chỉ có hàm u = 0 được thỏa mãn, tức là λ < 0 không là giá trị riêng
của bài toán đã cho.
Trường hợp 3: λ > 0. Khi đó (2.1.1) có nghiệm tổng quát là

√
√
u(x) = C1 cos λx + C2 sin λx.
Để thỏa mãn điều kiện biên trong (2.1) thì

C1 = 0

và

√
sin λl = 0,

hay tương đương

kπ
λ=
l

2

, k ∈ N∗ .

21