Các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử laplace

BỘ G IÁO D Ụ C VÀ ĐÀ O TẠO
TR Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư PH Ạ M H À NỘ I 2

LÊ T H Ị H Ồ N G P H Ấ N

CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG
CỦA TOÁN TỬ LAPLACE
Chuyên ngành: Toán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N HỌC

N gười hướng dẫn khoa học: T S. B ù i K iên Cường

H À N Ộ I - 2016


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS.
Bùi Kiên Cường, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong tổ bộ môn giải tích,
khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn, truyền
đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận
văn, cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thời
gian làm luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tấ t cả sự nhiệt tình
và năng lực của mình, tuy nhiên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Lê Thị Hồng Phấn


LỜI CAM ĐO AN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả
Lê Thị Hồng Phấn


M ục lục
M ỏ đầu

1

1

K iến thứ c chuẳn bị

4

1.1

Không gian tích vồ h ư ổ n g ..................................

4

1.2

Khống gian H ilb e rt................................................

6

1.3

Toán tử tuyến tính trong khống gian Hilbert .

9

1.4

Lý thuyết phố của toán tử compact tự liên hợp

12

1.5

Không gian Sobolev H 1,p( ũ ) ...............................

14

2

G iá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace

20

2.1

Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace trẽn một khoảng 20

2.2

Nghe sợi dây đàn ghi ta

24

2.3

Giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên phi tuyến

26

2.4

Giá trị riêng mở rộng

39

K ết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giả sử íỉ c

ĩlN là một

miền và xét toán tử A tác động trên

c°° (íĩ)

xác

định bởi

Toán tử này được gọi là toán tử Laplace trên Q. Toán tử Laplace xuất hiện
trong nhiều hiện tượng vật lý, chẳng hạn trong hiện tượng dòng chất lỏng
có trạng thái ổn định, hay trường tĩnh điện, hay hiện tượng khuếch tán
nhiệt và hiện tượng lan truyền sóng,... Toán tử Laplace giao hoán với phép
tịnh tiến và phép quay, tức là nếu T là phép tịnh tiến hoặc phép quay thì
A ( i p o T ) = A (T o ípỴ Thực ra, nếu

s

là một toán tử tùy ý giao hoán

với phép tịnh tiến và phép quay thi tồn tại các hằng số

s

=

Xìj=i aj A j . Do đó,

sao cho

không ngạc nhiên khi toán tử Laplace là trọng tâm

trong bất kỳ quá trình nào mà bản chất vật lý cơ bản độc lập với vị trí và
hướng, chẳng hạn như khuếch tán nhiệt và lan truyền sóng trong
Có rất nhiều bài toán chứa toán tử Laplace, nhưng chúng ta sẽ chỉ tập
trung những bài toán qua đó để nhấn mạnh sự quan trọng của bài toán giá
trị riêng (còn gọi là phương trình Helmholtz)
A íp = Xíp.
Rõ ràng rằng, nếu chúng ta muốn nghiên cứu các hàm điều hòa thì thứ cần
thiết là giải phương trình
A

với A = 0.

Vậy, sự cần thiết phải hiểu nghiệm của phương trình Helmholtz cho các bài
toán chẳng hạn như trường tĩnh điện hay dòng chất lỏng có trạng thái ổn
định là thực tế. Để nghiên cứu khuếch tán nhiệt, lan truyền sóng và bài
toán Schrödinger được mô tả bên trên, phương pháp tiêu chuẩn là tìm kiếm
nghiệm u ( x : t ) có dạng tách biến u ( x : t ) =

Việc làm đó sẽ dẫn đến

tìm các giá trị riêng và các véc tơ riêng của phương trình Laplace 1 chiều.

1


v ề lý thuyết phổ của toán tử Laplace, đã có nhiều công trình nghiên cứu
của các nhà toán học trên toàn thế giới, chẳng hạn xem [1], [4-7]. Được sự
quan tâm giúp đỡ của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: “Các giá trị
riêng và hàm riêng của toán tử Laplace” để thực hiện luận văn tốt nghiệp.
2. M ục đích nghiên cứu
+ Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của lý thuyết phổ của toán
tử compact tự liên hợp, toán tử chuẩn, toán tử Unita.
+ Hệ thống hóa về các hàm riêng của toán tử Laplace với một số điều kiện
khác nhau về biên của miền xác định: hai điểm biên, biên phi tuyến
tổng q u á t,...
3. N h iệm vụ ngh iên cứu
Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, báo
cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về giá
trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace.
4. Đ ối tượng và phạm v i ngh iên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tự liên hợp compact, toán tử Laplace, lý
thuyết về bài toán trị riêng, hàm riêng của toán tử Laplace.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên
quan đến các đối tượng nghiên cứu đã được trích dẫn trong Tài liệu tham
khảo của luận văn.
5. P hương pháp ngh iên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp
nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo
mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Cấu trú c luận văn
Luận văn gồm hai chương, cụ thể:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
2


• Chương 2: Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace.
7. N h ữ ng đóng góp của đề tài
Luận văn sẽ là một báo cáo tổng quan có hệ thống về giá trị riêng và hàm
riêng của toán tử Laplace trong một số miền khác nhau. Các kết quả được
trình bày trong luận văn được trích từ các bài báo được công bố trong những
năm gần đây trên tạp chí có uy tín.

3


Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1

K hông gian tích vô hướng

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 (Không gian tích vô hướng). Cho E là một không gian
véctơ phức. Một ánh xạ (•, •) : E X E —> c được gọi là một tích vô hướng
trong E nếu với bất kỳ X, y ,z G E vầ a , ậ G c, các điều kiện sau được thỏa
mãn
(a) ( x ,y ) = ( y ,x ) (ký hiệu của số phức liên hợp).
(b) ( a x + Py, z) = a ( x , z) + P{y, z).
(c) (X, X) > 0.
(d) (X, x) = 0 khi và chỉ khi X = 0.
Một không gian véctơ với tích vô hướng được gọi là không gian tích vô hướng.
Theo định nghĩa, tích vô hướng của hai véctơ là một số phức. Bởi theo

(a), (x , x ) = { x ,x ) có nghĩa rằng (x , x ) là một số thực với mỗi

X

E E . Mà

theo (b) ta có
(x, a y + Ị3z) = (a y + Pz, X) = a{y, X) + P(z, X) = ã ( y , X} + P (z, X)
Đặc biệt, (a x , y } = a ( x , y ) và ( x ,a y ) = ã ( x , y ) . Từ đó, nếu a = 0, ta có
<0,y) = <x,0> = 0.

4


V í dụ 1.1. Không gian C[a, b] của tấ t cả các hàm giá trị phức liên tục trên
đoạn [a, b], với tích vô hướng

a

là một không gian tích vô hướng.
V í dụ 1.2. Giả sử fỉ c K" là một tập đo được. Không gian L 2(íì) gồm các
hàm / đo được trên Q với lũy thừa bậc 2 của môđun | / | 2 khả tích trên
làm thành một không gian tích vô hướng với tích vô hướng xác định bởi

Í2
Đ ịn h lý 1.1.1 (Bất đẳng thức Schwarz). Cho hai phần tử bất kì

X và

y của

không gian tích vô hướng, ta có

Đẳng thức |(x ,y )| = \\x\\\\y\\ đúng khi và chỉ khi X và y là phụ thuộc tuyến
tính.
H ệ q u ả 1.1.1

(Bất đẳng thức tam giác). Cho

không gian tích vô hướng ta có \\x + y II < ||x||

hai phần tử bất kì X vày của
+ IIyII.

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2 (Chuẩn trong không gian tích vô hướng). Chuẩn trong
không gian tích vô hướng E ta hiểu là hàm II • II : E —> M xác định bởi
||:r|| =

(X, x), X e E .

Nhờ bất đẳng thức Schwarz và định nghĩa tích vô hướng ỊỊ • II là một chuẩn
thực sự trên không gian véctơ E , nghĩa là mọi không gian tích vô hướng đều
là không gian định chuẩn và chuẩn khi đó được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô
hướng.
Đ ịn h lý 1.1.2 (Luật hình bình hành). Cho hai phần tử bất
không gian tích vô hướng E . Khi đó ta có
\\x + y r + \ \ x - y r = 2(\\x\\2 + \\y \\2).
5

kì X và y của

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3 (Quan hệ trực giao). Cho A , B là các tập con trong không
gian tích vô hướng E .
i) Hai véc tơ X và y trong không gian tích vô hướng E được gọi là trực
giao, kí hiệu X _L y nếu (x : y ) = 0.
ii) Véc tơ X được gọi là trực giao với tập A, nếu X trực giao với mọi véc tơ
y của A. Ký hiệu X 1. A. Tập hợp tấ t cả các véc tơ trực giao với tập A
được ký hiệu là A L .
iii) Hai tập A , B được gọi là trực giao với nhau, nếu mọi phần tử X của Ả
đều trực giao với B . Ký hiệu A _L B .
Nếu tập A khác rỗng thì A 1 là một không gian con đóng của E .
Đ ịn h lý 1.1.3 (Định lý Pythago). Cho các cặp véc tơ trực giao bất kì, ta có
\\x + y\\l = \\x\\l + \\y\\l.

1.2 K hông gian H ilbert
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 (Không gian Hilbert). Một không gian tích vô hướng đầy
đủ được gọi là một không gian Hilbert. Thường ký hiệu không gian Hilbert
bởi E , H, K ,...
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2 (Hội tụ m ạnh). Một dãy (x„) các véctơ trong một không
gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ mạnh tới một véctơ X trong E nếu
I I — a;|| —> 0 khi n —> oo. Từ “m ạnh” được thêm vào để phân biệt hội tụ
mạnh với hội tụ yếu.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3 (Hội tụ yếu). Một dãy (£„) các véctơ trong không gian
tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một véctơ X trong E nếu (x n,y ) —>
(X, y ) khi n -ỳ- oo với mọi y e E .
Điều kiện trong định nghĩa trên có thể thay bằng (x n — X, y) —¥ 0 khi
n —> oo, với mỗi y e E .
Để thuận tiện hơn kí hiệu ux n —>• x” đối với hội tụ mạnh và dùng “x n —ì X”
để kí hiệu hội tụ yếu.

6


Đ ịn h lý 1.2.1. Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, nghĩa là x n —> X suy ra
xn ^ x .
Đ ịn h lý 1.2.2. Trong không gian tích vô hướng E ,
(i) Nếu x n -)■ X và yn -» y thì (x n, y n) -> ( x ,y ) .
(ii) Nếu x n —¥ X và ||a;„|| —¥ ||a;|| thì x n

X.

Đ ịn h lý 1.2.3. Các dãy hội tụ yếu trong không gian Hilbert là bị chặn, nghĩa
là nếu (x n) là một dẫy hội tụ yếu thì tồn tại một số M sao cho ||xn|| < M
với mọi n e N*.
Đ ịn h lý 1.2.4. Cho s là một tập con trong không gian tích vô hướng E
sao cho spanS là trù mật trong E . Nếu (x n) là một dãy bị chặn trong E và
{xn,y ) —»■ {x, y) với mỗi y € s thì x n

X.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4 (Tính trực giao và hệ trực chuẩn). Một họ s các véctơ
khác 0 trong không gian tích vô hướng E được gọi là một hệ trực giao hai
phần tử riêng biệt bất kỳ của s đều trực giao với nhau.
Nếu thêm vào đó điều kiện ||x|| = 1 với mọi X E s thì s được gọi là một
hệ trực chuẩn.
Chú ý rằng các hệ trực chuẩn là độc lập tuyến tính.
V í d ụ 1.3. Xét không gian ỉ 2 các dãy số phức X = (xn) thỏa mãn X^neN* l^nỊ2
< 4 -0 0 . Với tích vô hướng cho bởi ( x ,y ) = X]„eN* Xnũni
gian Hilbert phức. Khi đó tập hợp các véc tơ

s

là một không

= {ei, e2, ■■., en, . . .

với

en = ( 0 , . . . , 0,1, 0 , . . . ) với 1 nằm ở vị trí thứ n, là một cơ sở trực chuẩn
của £2.
Đ ịn h lý 1.2.5 (Công thức Pythago). Nếu x 1, . . . , x n là các véctơ trực giao
trong không gian tích vô hướng thì
n

2

n

7


Đ ịn h lý 1.2.6 (Bất đẳng thức và đẳng thức Besel). Cho { x l ì x 2, . . . , £„} là
một hệ trực chuẩn của các véc tơ trong không gian tích vô hướng E . Khi đó,
với mỗi X ẽ E , ta có
n
^
n
x - ^ 2 ( x , x k) x k = ||z ||2 - ^ 2 ||( z ,z fc) ||2 ,
Jfe=l
k=l

n
||(x,a:fc) ||2 < ||a:||2.
k=1

Đ ịn h lý 1.2.7. Cho (x n) ỉà một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H
00

và cho (cc„) là dãy các số phức. Khi đó, chuỗi ^2 a nx n hội tụ khi và chỉ khi
71=1
00

chuỗi X) \oín\2 < oo và trong trường hợp này
71—1
00

Ẽ

= £11

71=1

71= 1

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.5 (Dãy trực chuẩn đầy đủ). Một dãy trực chuẩn (xn) trong
không gian Hilbert H được gọi là đầy đủ nếu với mỗi

X

G H ta có

00

x = J 2 ( x :x n)xn.
71=1

Một dãy trực chuẩn đầy đủ còn được gọi là một cơ sở trực chuẩn.
Đ ịn h lý 1.2.8. Một dãy trực chuẩn (xn) trong không gian Hilbert H là đầy
đủ khi và ch ỉ khi n ếu (X , x n) =

0 với m ọ i

n

£

w

th ì X =

0.

Đ ịn h lý 1.2.9 (Công thức Parseval). Một dẫy trực chuẩn (x n) trong không
gian Hilbert H là đầy đủ nếu và chỉ nếu
00

M I2 =

IK*»*"}!!2 ,
71—1

với mỗi

X

G H.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.6 (Không gian tách). Một không gian Hilbert được gọi là
tách nếu nó chứa một dãy trực chuẩn đầy đủ.
Chú ý rằng mỗi tập trực giao trong không gian Hilbert tách là đếm được.


Đ ịn h n g h ĩa 1.2.7 (Đẳng cấu không gian Hilbert). Một không gian Hilbert
Hi được nói là đẳng cấu với không gian Hilbert H 2 nếu tồn tại một song ánh
tuyến tính T từ H 1 lên H 2 sao cho ( T ( x ) ,T ( y ) ) = (X, y ) với mọi

y ẽ Hị.

Chú ý rằng, ( T ( x ) ,T ( y ) } = {x,y} dẫn đến ||T || = 1 vì ||T(a;)|| = \\x\\,
với mọi X e Hị.
Đ ịn h lý 1.2.10. Cho H là một không gian Hilbert tách. Khi đó
(a) Nếu H là vô hạn chiều, thì nó là đẳng cấu với l2.
(b) Nếu dim H = N , thì nó đẳng cấu với CN.

1.3

Toán tử tu yến tín h trong không gian H ilbert

Sau đây, để đơn giản ta luôn giả thiết toán tử là tuyến tính. Một toán tử
Ả xác định trên không gian định chuẩn E được gọi là bị chặn, nếu nó ánh

xạ mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn, nói cách khác, nếu tồn tại hằng
số M sao cho ||^4a;|| < M ||x||,V a: e E .
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. Cho Ả là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert
H . Khi đó tồn tại duy nhất một toán tử A* : H —> H xác định bởi
(.A x , y ) = {x, A*y),

V x ,y e H,

Toán tử A* được gọi là toán tử liên hợp của A. Khi A* = A thì ta nói A là
toán tử tự liên hợp.
Đ ịn h lý 1.3.1. Toán tử liên hợp A* của toán tử bị chặn Ả là bị chặn. Hơn
nữa, ta có
P || = P 1 I
V í d ụ 1.4. Cho H =

«à

P V L || = P I | 2-

và cho { e i , . . . , ejv} là cơ sở trực chuẩn trong H.

Cho A là toán tử biểu diễn bởi ma trận (ữjj). Trong đó, ũịj = (A ej: eị). Khi
đó toán tử liên hợp A* được biểu diễn bởi ma trận bk j =
b).j

(6j 5 Acj'j

(A ek, ũj)
9

fljfc•

ek). Khi đó


Do vậy, toán tử Ả là tự liên hợp khi và chỉ khi ữj j = ũjị. Một ma trận thỏa
mãn điều này gọi là Hermitian.
Đ ịn h lý 1.3.2. Cho (p là một hàm song tuyến tính phức bị chặn và cho A
là một toán tử bị chặn trên H sao cho ip(x,y) = (x , A y ) với mọi x , y G H .
Khi đó Ả là tự liên hợp khi và chỉ khi

e H.

Đ ịn h lý 1.3.3. Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert. Toán tử
Ti = A*A và T2 = A + A* là tự liên hợp.
Chú ý rằng, tích của hai toán tử tự liên hợp là tự liên hợp khi và chỉ khi
các toán tử giao hoán.
H ệ q u ả 1.3.1. Nếu A là tự liên hợp thì một đa thức bất kỳ của A với hệ số
thực a n, . . . , a 0:
ữ nA

• • • -ị- cũịẦ. -ị- a 0I

cũng là toán tử tự liên hợp.
Đ ịn h lý

1.3.4. Với mỗi toán tử bị chặn T trên một khônggianHilbert H ,

có tồn tại duy nhất các toán tử tự liên hợp A , B sao cho

T = A + iB
Đ ịn h lý

và

T* = A — iB .

1.3.5. Nếu T là toán tử tự liên hợp trên không gianHilbert H

thì

||T || = sup \ ( T x ,x ) \.
11*11=1
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2 (Toán tử khả nghịch). Cho A là một toán tử xác định
trên một không gian vectơ con của E . Một toán tử B xác định trên R ( A )
được gọi là nghịch đảo của A nếu A B X = X với mọi X e R ( A ) và B A X = X
với mọi X e D (A ). Một toán tử mà có nghịch đảo được gọi là khả nghịch.
Nghịch đảo của A ký hiệu là A _1 .
Đ ịn h lý 1.3.6.
(a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính.
10


(b) Một toán tử Ả là khả nghịch nếu và chỉ nếu A x = 0 dẫn tới X = 0.
(c) Nếu toán tử A là khả nghịch và vectơ X í , . . . , x n là độc lập tuyến tính
thì A x i , . . . , A x „ là độc lập tuyến tính.
(d) Nếu toán tử A và B là khả nghịch, thì toán tử A B là khả nghịch và ta
có
{ A B ) - 1 = B ~ 1A ~ 1.
Đ ịn h lý 1.3.7. Cho Ả là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho

R ( A ) = H . Nếu có nghịch đảo bị chặn thì toán tử liên hợp A* là khả nghịch
và (A * )-1 = (A -1)*.
Như vậy, nếu toán tự tử liên hợp bị chặn A có nghịch đảo bị chặn A ~ x thì
A _1 là tự liên hợp.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.3 (Toán tử chuẩn). Một toán tử bị chặn T được gọi là toán
tử chuẩn nếu nó giao hoán với liên hợp, tức là TT* — T*T.
Đ ịn h lý 1.3.8. Một toán tử T là chuẩn khi và chỉ hi ||T x|| = ||T*x|| với
m ọi X G H .

Tiếp theo ta sẽ trình bày một số khái niệm liên quan đến toán tử dương,
toán tử compact.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.4 (Toán tử dương). Một toán tử A được gọi là dương nếu
nó là tự liên hợp và (A x, x) > 0 với mọi X E H.
Đ ịn h lý 1.3.9.
(i) Nếu toán tử Ả bị chặn trên H , thì các toán tử A*A và A*A là dương.
(ii) Nếu A là toán tử khả nghịch dương thì nghịch đảo của nó là A ~ l cũng
dương.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.5 (Toán tử compact). Một toán tử A trên không gian
Hilbert H được gọi là toán tử compact nếu với mỗi dãy bị chặn (xn) trong
H , dãy (A x n) chứa một dãy con hội tụ.
11


Đ ịn h lý 1.3.10. Giới hạn của một dẫy hội tụ đều các toán tử compact là
một toán tử compact, nghĩa là nếu Ti, T2, ... là một dẫy toán tử compact trong
không gian Hilbert H và IIT„ — T\\

0 khi n —> oo với một toán tử T nào

đó trên H thì T là toán tử compact.

Đ ịn h lý 1.3.11. Tập tất cả các toán tử compact trên không gian Hilbert H
là một không gian véc tơ con đóng của không gian B (H ).
Đ ịn h nghĩa 1.3.6 (Toán tử hữu hạn chiều). Một toán tử được gọi là hữu
hạn chiều nếu miền giá trị của nó hữu hạn chiều.

1.4

Lý th u yết phổ của toán tử com pact tự liên hợp

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1 (Giá trị riêng). Cho A là toán tử trên không gian véc tơ
phức E . Một số phức A được gọi là giá trị riêng của Ả nếu có véc tơ u E E
khác véctơ 0 sao cho A u — Xu. Mỗi véc tơ u thỏa mãn A u — Xu được gọi là
một véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng À. Nếu E là không gian
hàm, các véc tơ riêng thường được gọi là các hàm riêng.
Tập các véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng của một toán tử là một
không gian véc tơ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2 (Không gian riêng). Tập các véc tơ riêng tương ứng với
một giá trị riêng À được gọi là không gian riêng của A. Số chiều của không
gian đó được gọi là bội số của À. Một giá trị riêng có bội một được gọi là là
đơn hay không suy biến. Một giá trị riêng bội lớn hơn một được gọi là bội
hay suy biến. Trong trường hợp này số chiều của không gian riêng được gọi
là là bậc của suy biến.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.3 (Giải thức và phổ). Cho A là một toán tử trong không
gian định chuẩn E . Toán tử
AX= ( A - XI)-1
được gọi là giải thức của A. Các giá trị của A sao cho A x được xác định và bị
chặn trên không gian E được gọi là giá trị chính quy của A. Tập tấ t cả các
giá trị chính quy của A được gọi là tập giải được và ký hiệu là p(j4). Phần
12

bù của p ( A ) trong c được gọi là phổ của A và ký hiệu là ơ(A ). Bán kính
phổ của A ký hiệu bởi r ( A ), được định nghĩa bởi
r ( A ) = sup{ỊAỊ : À G ơ (Á )} .
Đ ịn h lý 1.4.1. Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Banach E và ||i4|| < IAI thì Ax = (A — X/ ) _1 là toán tử bị chặn

và

1

Từ đây dễ thấy, nếu A là toán tử bị chặn trong không gian Banach thì
r (A ) < ||A||.
Đ ịn h lý 1.4.2. Cho T là toán tử khả nghịch trên không gian véc tơ E và cho
Ả là toán tử trên E . Khi đó các toán tử A và T A T ~ X có cùng giá trị riêng.
Đ ịn h lý 1.4.3. Tất cả các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp trên không
gian Hilbert đều là thực.
Đ ịn h lý 1.4.4. Nếu A là toán tử tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert
thì r ( A ) = ||j4|| .
Dưới đây là một số tính chất của các giá trị riêng
Đ ịn h lý 1.4.5.
(a) Tất cả các giá trị riêng của toán tử dương là không âm. Tất cả các giá
trị riêng của toán tử dương thực sự là dương.
(b) Mọi các giá trị riêng của toán tử unita trên không gian Hilbert là các số
phức có môđun bằng 1.
Đ ịn h lý 1.4.6. Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt của
toán tử tự liên hợp hoặc unita trên không gian Hilbert là trực giao.
Đ ịn h lý 1.4.7. Nếu A là compact, toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert,
thì có ít nhất một trong các số ||i4|| hoặc —\\A\\ là một giá trị riêng của A.
13

H ệ q u ả 1.4.1. Nếu Ả là compact, toán tử tự liênhợp trênkhông gian Hilbert
H thì có một véc tơ Lủ G H sao cho ||cj|| = 1 và
|(A ư ,u;)| = sup \{ A x ,x )\.
IMIĐ ịn h lý 1.4.8. Không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng khác 0 của
toán tử compact tự liên hợp là hữu hạn chiều.
Tập các giá trị riêng khác 0 phân biệt (An) của toán

tử compact tự liên hợp

là hữu hạn hoặc đếm được với lim A„ = 0.
n—
^00
Đ ịn h lý 1.4.9. Cho (Pn) là dãy các toán tử chiếu đôi một trực giao trên
không gian Hilbert H và cho (A„) là một dãy các số sao cho A„ —¥ 0 khi
n —ì 0 0 . Khi đó,
00

(a) X) K P n hội tụ trong Ỉ3(H) và xác định một toán tử bị chặn.
71= 1
00

(b) Với mỗi n ẽ N, Ằ„ là một giá trị riêng của toán tử A = Ỵ2 XnPn và
n= 1

các g iá tr ị r iê n g kh ác củ a A

c h ỉ có t h ể b ằ n g 0 .

(c) Nếu tất cả các Xn là thực thì A tự liên hợp.
(d) Nếu phép chiếu (Pn) là hữu hạn chiều thì A là compact.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.4 (Giá trị riêng gần đúng). Cho T là toán tử trên không
gian Hilbert H . Một giá trị A vô hướng được gọi là giá trị riêng gần đúng của
T nếu tồn tại một dãy cá véctơ x n G H sao cho ||xn|| = 1 với mọi 77, G N và
IIT x n — Ax„|| —> 0 khi n —> 0 0 .
Đ ịn h lý 1.4.10. Nếu T là toán tử compact thì mỗi giá trị riêng xấp xỉ khác
0

của T là một giá trị riêng.

1.5

K hông gian Sob olev H l,p(Ó)

Cho Í2 c

là một tập mở và cho p G M với 1 < p < 0 0 .

14


Đ ịn h n g h ĩa 1.5.1. Cho íì là một tập mở trong

và p là số thực thỏa mãn

1 < p < oo. Không gian Sobolev w 1,p(fỉ) được định nghĩa bởi
W'lj’(fì) = < u G L p(íì) I 3 gu g2ì.. • ,g N sao cho

e L p(íì),

trong đó C™ (Í2) là không gian các hàm thử gồm các hàm khả vi vô hạn có
giá compact trong íỉ.
Không gian VF1,P(ÍỈ) có chuẩn được trang bị bởi

Ta đặt H 1^ ) = w 1,2(n ). Khi đó trên H 1^ ) có tích vô hướng trang bị
bởi

và chuẩn tương ứng là

M ệ n h đ ề 1.5.1. Cho w 1,p(fi) là một không gian Banach với mỗi 1 < p <
oo, Ị y 1,p(fĩ) là phản xạ với 1 < p < oo và nó là tách với 1 < p < 00, H 1(íĩ)
là không gian Hilbert tách.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5.2. Cho íĩ c Ĩ&N là tập mở. Ta nói rằng tập mở U) trong MN
là bao hàm thực sự trong Í2 và ta viết ÜJ c c rỉ nếu ÕJ c rỉ và ŨJ là compact.
Đ ịn h lý 1.5.1 (Friedrichs). Cho u €
tại một dãy (u n) từ C™(№N) sao cho
(1) u n|n ->• u trong L p(ũ )
15

với 1 < p < oo. Khi đó tồn


(2) V m„|w—> 'Vuịu trong L p(uj)n với mọi Lú c c íỉ.
Trong trường hợp D =

và u & VK1,ĩ’(]RiV) IIỚĨ 1 < p < oo, tồn tại một

dẫy (un) từ c™ (R N) sao cho

un —^ u trong Ư { R n )
và
V u n -> V u trong L P(R ) .
B ổ đ ề 1.5.1. Cho p e L 1(ĩSíN)

và V £

W 1,p(RiV)

với

1

<

p

<

00.

Khi

đó,

p * v e W 1’P(MJV) và — (p * v) = p *
Vỉ = 1 , 2 , N .
dx
dx
M ệnh đề 1.5.2. Cho u € ư { íỉ)

1 < p < 00. Các tính chất sau ỉà tương

đương nhau.
(i) u G w 1'pự ì ) f
(iỉ) Tồn tại hằng số

c

sao cho

dtp
u
p
> < c IM U n ),
, ƠXị
ÍI
(Ui) Tồn tại hằng số

c

e c ? ( n ) , \ t i = 1,2

sao cho với mọi LO c c Í2, và mọi h ẽ

với

\h\ < dist(U},dũ), ta có
\\rhu - u\\LP{u) <
Hơn nữa, ta có thể lấy

Nếu Í2 =

c

c\h\.

— ỊỊVw||i p(f2) trong (ii) và (Ui).

ta có
\\rhu - u\ LP(RN)

LP(RN)-

ở đây, Thu{x) = u ( x + h).
M ệ n h đ ề 1.5.3 (Đạo hàm của một tích). Cho u, V e w 1,p(£l) n L°°(Q) với
1 < p < 0 0 . Khi đó, uv £

n L°°(ri)

và


M ệ n h đ ề 1.5.4 (Đạo hàm hàm hợp). Cho G G Ơ 1(M) sao cho ơ (0 ) = 0
và |G '(s)| < M , Vs Ẽ R rà với hằng số M nào đó. Cho u G w 1,p(fỉ) với
1 < p < oo. Khi đó G o u ẽ VF1,P(ÍỈ) và
i = 1 ,2 ,...,

£ (G

M ệ n h đ ề 1.5.5 (Công thức đổi biến). Giả sử Í2 và ÍỈ' là hai tập mở trong

WtN và cho H

íì' —¥ Q là một song ánh, X = H ( y ) sao cho H € ơ 1(íỉ/),

H -1 E ơ 1(íỉ) và m a trận Jacobi

G L ° ° { ũ ') , m a trận nghịch đảo của

ma trận Jacobi thuộc L°°(fỉ). Cho u G VF1,p(ii) với 1 < p < oo. Khi đó,
uo H G
và
íỉ

/9 H

rí?/

'J K2.....

=Ẹ

Cho số nguyên m > 2 và p là số

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.3 (Không gian
thực với 1 < p < 00, ta định nghĩa
w m’p{n) = ị u e w m~hp{il) :

G w m~hp{il),

ì

= 1 ,2 ,...,n Ỵ

Sau đây, ta trình bày vài nét về không gian Wo1,p(f2).
Đ ịn h n g h ĩa 1.5.4. Cho 1 < p < 0 0 . Không gian

được định nghĩa

là bao đầy của không gian ơ g (íỉ) trong W lj,(f2).
Đặt

Hì{íl) = wỉ*{íì).
Không gian w ỵ trang bị chuẩn của w 1,p, là không gian Banach tách,
phản xạ nếu 1 < p < 00. H ị được trang bị tích vô hướng của H 1 và là
không gian Hilbert.
B ổ đ ề 1.5.2. Cho u e

với 1 < p < oo và giả sử rằng supp u là

một tập con compact của Q. Khi đó, u ẽ VF01,p(f2).
Đ ịn h lý 1.5.2. Giả sử rằng íỉ là một lớp c l , cho u £ VF1,P(ÍỈ) n ơ ( í ỉ ) với
1 < p < 0 0 . Khi đó, tác tính chất sau là tương đương
(i) u =

0 trê n d ũ .

17


( i i ỳ u e w ỉ ’pựì).

M ệ n h đ ề 1.5.6. Giả sử

là lớp

c 1.

Cho u G L P(Q) với 1 < p < oo. Các

tính chất sau là tương đương
(i) u 6

wỵ(ũ),

(ii) Tồn tại hằng số

/

c

sao cho

ddx,

(iii) Hàm
u (x ) nếu X &

ũ

nếu X G

\ íỉ

Í

0

th u ôc v à o

w

N\

,ỉ5 (IR ) v à t r o n g t r ư ờ n g h ơ p n à y ——

=

ƠXị

dũ

du

—— .

ƠXị

H ệ q u ả 1.5.1 (Bất đẳng thức Poincaré). Giả sử rằng 1 < p < oo và Í2 là
một tập mở bị chặn. Khi đó, tồn tại hằng số
IM U n ) < ơ ||V » |U p (n),

c

(phụ thuộc Í2 và p) sao cho

Vu e < • ' ( « ) .

Dặc biệt, biểu thức Ị|V u||iP(ÍJ) là một chuẩn trên Wo1,p(í2) và nó tương đương
N
Qiị Qiịj
với chuẩn
trênH q( í ì ) biểu thức Ỵ2 f
~ là tích vô hướng sinh
i —1 fiỞ X ị Ở X ị

ra chuẩn Ị|Vm ||L2

và nó tươngđương với chuẩn

K h ô n g g ia n đối

ngẫu của

||w||jji.

Ta ký hiệu VF_1,Ỉ,(ÍỈ) là không gian đối ngẫu của không gian W01,p(^ )j
1 < p < oo và i7 _1(íỉ) là không gian đối ngẫu H q( í ì ). Đối ngẫu của L 2(íì)
đồng nhất với L 2(íì). Ta có bao hàm thức
H ị ( n ) c L 2( n) c
với các phép nhúng liên tục và trù mật.

18


Nếu íỉ là một tập bị chặn thì với 2 N / ( N + 2) < p < oo ta có
w ^ p(n ) С L 2(ft) С w

i y (ft).

Trong trường hợp miền íỉ không bị chặn thì bao hàm thức bên trên vẫn đúng,
nhưng chỉ với những p thỏa mãn điều kiện 2N / ( N + 2) < p < 2.
Các phần tử của không gian

w~1,p được mô tả

đầy đủ trong kết quả sau

đây
M ệnh đề 1.5.7. Cho F €E w~1,p(ri). Khi đó, tồn tại các hàm số / o , / i , / 2 , . . . , /jv ẽ
L p (Í2) sao cho
(F, v) = Ị í , v + £
Jç i

f tp ~ ,

w 6 И 'Л П )

ƠXị

j=1

và

ll^ll = 0m
ax Ш Р,
Nếu

íỉ

bị chặn thì ta có thể lấy /0

= 0.

19


Chương 2
Giá trị riêng và hàm riêng của toán
tử Laplace
2.1

G iá trị riềng và hàm riêng của toán tử Laplace
trên m ột khoảng

B à i to á n 2.1.1. Tìm các hàm riêng và giá trị riêng của Bài toán Dirichlet
cho toán tử Laplace trên khoảng íì = [0, /]:

Í

—u"(x) = Au(x),

0 < X< l
( 2 . 1)

u{ 0) = u ( l) = 0.

Lời giải:
Xét phương trình đầu tiên của (Ị2.1.1Ị), tức là phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1. u + Xu = 0. Phương trình đặc trưng có dạng
t2 + \ = 0 & t2 = - \ .
Có 3 trường hợp đối với các giá trị của À:
Trường hợp 1: À < 0. Khi đó —À > 0 và
t 2 — —A <=>• t = ± V = Ã .
20


Vậy phương trình vi phân của hệ (2.1.1) có 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính
là
u Áx) =

u 2(x) = e —V —Xx

Do đó, phương trình vi phân có nghiệm tổng quát là
y/ —Xx
u{x) = C l .è / - Xx + C2.e_v_Ax,
c u c2 € R.

Để thỏa mãn điều kiện biên w(0) = u ( l) = 0 thì
Ơ! = ơ 2 = 0.
Lúc đó, chỉ có hàm u = 0 được thỏa mãn, tức là A < 0 không là giá trị riêng

của bài toán đã cho.
Trường hợp 2: À = 0. Khi đó phương trình vi phân trong (2.1.1) có nghiệm
tổng quát là
u ( x ) = CiX + C2.
với các hằng số Ci, C 2 tùy ý. Để thỏa mãn điều kiện biên trong (2.1) thì

Ơ! = c2= 0.
Lúc đó, chỉ có hàm u = 0 được thỏa mãn, tức là À < 0 không là giá trị riêng
của bài toán đã cho.
Trường hợp 3: A > 0. Khi đó (2.1.1) có nghiệm tống quát là
u (x) = Ci cos y/Xx + C2 sin y / \ x .
Để thỏa mãn điều kiện biên trong (2.1) thì
ƠI = 0
và
sin y /x i = 0,
hay tương đương

21