đề thi huyện môn toán huyện bình giang hải dương

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015 - 2016
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề bài gồm 1 trang)

Câu 1 (2.0 điểm). Rút gọn biểu thức:
2

1) A = 16

( −0,125)

(

2) B = 1 − a − 1

)

2

2

1 2 3
1
3
+  +
÷ +  −

÷
2
3
2
3





a + 2 a − 1 với a ≥ 1

Câu 2 (2.0 điểm). Tìm x, biết:
1)

2x
3x
+ 6x −
<5
3
2

2
2) 6x = x + 2

Câu 3 (2.0 điểm).
1) Cho x thỏa mãn:
Chứng tỏ rằng

2x + 3x + 4x = 2 + 3 + 6 + 8 + 16 .

2x − x là số tự nhiên.

2
2) Với x ≠ 0 , tìm số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn: ( m − 2016 ) x = 2x + 1

Câu 4 (3.0 điểm).
µ = 300 , AB = 2a (a > 0), kẻ đường cao BH
1) Cho tam giác ABC cân tại A, A
( H ∈ AC ) . Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính:
a) Độ dài HC theo a (không làm tròn số).
b) Sin 750 (thu gọn kết quả, không làm tròn số).
0
0
2) Cho α , ( α + 1 ) là các góc nhọn, hãy so sánh sin α và tan ( α + 1 ) ; cos
( α + 10 ) và cot α .
Câu 5 (1.0 điểm).
Tìm số cạnh của một đa giác, biết số cạnh cần tìm lớn hơn 10 và đa giác đó
có ít hơn 60 đường chéo.
––––––––––––––––
(Học sinh không được dùng máy tính cầm tay khi làm bài thi)
Họ tên học sinh:……………………………………Số báo danh:………………
Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:………………………


PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN: TOÁN - LỚP 9

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu

Đáp án

Điểm
2

1) A = 16

( −0,125)

2

= 16. −0.125

=2
Câu 1
(2,0 đ)

+

2

1 2 3
1
3
+  +
÷ +  −

÷
3 
2
2 3 
1 2 3
+ +
2
3

1 2 3
3 1
+
−
+
2
3
3 2

= 2+ 3

(
= (1−
= (1−
= (1−

) a + 2 a − 1 với a ≥ 1
a − 1 ) (1 + a − 1)
a − 1) 1 + a −1
a − 1) ( 1 + a − 1)
( vì 1 + a − 1 >0 )

0,25
0,25
0,25

Điều kiện x ≥ 0

0,25

⇔ 6x < 6

0,25

⇔ x<6

0,25
0,25

Kết hợp với điều kiện ta được 0 ≤ x < 6
2
2) 6x = x + 2
Câu 2
(2,0 đ)

0,25

2

=2-a
2x

3x
+ 6x −
<5
3
2

0,25
0,25

2) B = 1 − a − 1

1)

0,5

1
3
+ −
2 3

⇔ 6( x ) − x − 2 = 0
2

⇔ (2 x + 1)(3 x − 2) = 0
⇔ 3 x − 2 = 0 (vì 2 x + 1 > 0 )
2 ;
2
x=−
3
3

2
2
Vậy x = ; x = − ( Nếu chỉ ra 1 nghiệm cho 0,25 điểm )
3
3

0,25
0,25

⇔ x=

0,5


1) Cho x thỏa mãn:
2x + 3x + 4x = 2 + 3 + 6 + 8 + 16 .
2x − x là số tự nhiên.

Chứng tỏ rằng

2x + 3x + 4x = 2 + 3 + 6 + 8 + 16 .

Câu 3
(2,0 đ)

⇔ x ( 2 + 3 + 4) = ( 2 + 3 + 4)( 2 + 1)
⇔ x = 2 +1

0,5

2x − x = x ( 2 − 1)
= ( 2 + 1) ( 2 − 1)
= 1 ( là số tự nhiên )
2) Với x ≠ 0 , tìm số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn:
( m − 2016 ) x 2 = 2x + 1

0,5

2
2
2
Với x ≠ 0 ta có: ( m − 2016 ) x + x = x + 2x + 1

0,25

2

 x +1
⇔ m − 2015 = 
÷
 x 

0,25

2

 x +1
⇔ m=
÷ + 2015
 x 

2
 x +1
Vì 
÷ + 2015 ≥ 2015 , dấu “=” xảy ra khi x = −1
 x 

Câu 4
(3,0 đ)

0,25

Nên số nguyên m nhỏ nhất tìm được là m = 2015
1.a) ΔABH vuông tại H, ta có:
BH = AB.sinA = 2a.

0,25

1
=a
2

( Nếu nói cạnh góc vuông đối diện góc 30
bằng nửa cạnh huyền vẫn cho điểm )

0,5
0

AH = AB2 - BH 2 = (2a) 2 - a 2 = a 3

0,25

HC = AC - AH = 2a - a 3
1.b) ΔABC cân tại A ta có :
0
0
0
µ
µ = 180 − A = 180 − 30 = 750
C
2
2
∆BHC vuông tại H ta có:

0,25

BC = BH 2 + HC2 = a 2 + a 2 (2 - 3) 2

0,25

= 2a 2 - 3

0,25


sinC=

BH
a
2+ 3
=

=
BC 2a 2 - 3
2

Với 0 < α < β < 900 ta có: sin α < sin β , cosβ < cosα

cosα
cos(α+10 )
cos(α+10 )
>
>
= cos(α+1 0) (vì 0 < sinα < 1 )
sin α
sin α
1
Vậy cotα > cos(α+1 0)
Gọi số cạnh của đa giác cần tìm là n ( n ∈ ¥ , n > 10 )
Số đường chéo xuất phát từ một đỉnh của đa giác n cạnh là n − 3
n( n − 3)
Số đường chéo của đa giác n cạnh là
2
cotα =

Câu 5
(1,0 đ)

0,25

0

sin(α+1 )
sinα
sinα
>
>
= sinα (vì 0 < cos(α+10 ) < 1 )
0
0
cos(α+1 ) cos(α+1 )
1
0
Vậy tan (α+1 ) > sinα
tan (α+10 )=

0,5

0,25

0,5
0,25
0,25

Vì đa giác có ít hơn 60 đường chéo nên ta có :
n( n − 3)
< 60 ⇔ n(n − 3) < 120
2
Vì n > 10 nên n − 3 < 12 ⇔ n < 15
Suy ra n ∈ { 11;12;13;14}

Thử lại ta thấy n ∈ { 11;12} thỏa mãn

Ghi chú:
- Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm
- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25

0,25