chuyên đề hàm số hay

Ths. Lê Văn Tiến-0916213537

facebook.com/hoctoanonline24h, youtube.com/ Toán Lê Văn Tiến

Chủ đề hàm số
A- Bài toán về tính đồng biến nghịch biến của hàm số
1. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + (m + 1) x + 4m đồng biến trên [-1;1] .
m −1 3
x + mx 2 + (3m − 2) đồng biến trên R.
2. Tìm m để hàm số y =
3
m+2 3
x + x 2 + (m + 2) nghịch biến trên R.
3. Tìm m để hàm số y =
3
4. Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên (0; +∞) [A-13]
5. Tìm m để hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − m 2 nghịch biến trên (1; +∞) .
6. Tìm m để hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − m 2 nghịch biến trên (−1;0), (2;3) .
B-Bài toán về cực trị
4
2
11. Tìm m để hàm số y = mx + (m − 9) x 2 + 10 có ba cực trị.[B-02]
12. Tìm m để hàm số y = mx 3 − 3x 2 + 3m + 6 có hai cực trị.
13. Tìm m để hàm số y = ( x − m)3 − 3 x đạt cực tiểu tại điểm x = 0 .
1 3
2
2
2
14.Tìm m để hàm số y = x + (m − m + 2) x + (3m + 1) x đạt điểm cực tiểu tại x = −2 .
3
15. Tìm m để đổ thị hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường

thẳng x + 8 y − 74 = 0 .
16. Tìm m để đồ thị hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 có hai điểm cự trị A,B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng 4.
17. Tìm m để đồ thị hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 có hai
điểm cực trị nằm về cùng một phía so với đường thẳng x + y + 1 = 0.
18. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3m3 có hai điểm cự trị A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng 48.[B-12]
19. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx có hai điểm cự trị A, B sao cho đường thẳng
AB vuông góc với đường thảng y = x + 2 .[B-13]
20. Cho điểm A(2;3) . Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx + 1 có hai điểm cự trị B, C sao cho tam
giác ABC cân tai A .[B-14]
21. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC
với A là điểm thuộc trục tung và O là gốc tọa độ.[B11]
22. Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1) x 4 − 2(9 − m 2 ) x 2 + m
a) Có cực đại mà không có cực tiêu
b) có cực tiểu mà không có cực đại.
4
2
m
23. Tìm
để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m có ba điểm cực trị lập thành:
a) tam giác vuông
b) tam giác đều
c) tam giác có diện tích bằng 16.
2 3
2
2
2
24. Tìm m để hàm số y = x − mx − 2(3m − 1) x + có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho
3

3
x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 [D-12].
25. Tìm m để hàm số y = x 3 + 2(m − 1) x 2 + ( m 2 − 4m + 1) x + m + 3 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho
1 1 1
+ = ( x1 + x2 ).
x1 x2 2


Ths. Lê Văn Tiến-0916213537

facebook.com/hoctoanonline24h, youtube.com/ Toán Lê Văn Tiến

26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m 2 − 4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện
tích bằng 1.
27. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ
làm trực tâm.
C Bài toán về tiếp tuyến
28. Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 trong các trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1.
b) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có tung độ bằng 0
c) tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d) tiếp tuyến song song với đường thẳng 9 x − y + 2015 = 0
e) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 45 y + 215 = 0
f) tiếp tuyến đi qua điểm A(−1; 2) .
1
g) tiếp tuyến tạo với đường thẳng x − y + 100 = 0 một góc ϕ , biết cos ϕ =
.
5
x −3
29. Viết pttt của đồ thị hàm số y =

trong các trường hợp sau:
2x −1
a) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1
b) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có tung độ bằng -2
c) Tiếp tuyến tại tiếp điểm là các tọa độ nguyên của đồ thị hàm số.
5
d) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng .
4
e) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 5 x − y + 67 = 0
f) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 20 x + y + 15 = 0
1
30. Viết pttt của đồ thị hàm số y = − x 4 − x 2 + 6 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − 1 .[D-10]
6
3
31. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số: y = x − 3 x − 2 sao cho tiếp tuyến tại M của (C) có hệ
số góc bằng 9. [D-14]
2x
32. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số : y =
biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại
x−2
A, B sao cho :
a) AB = 2OA .
b) OA = 4OB
x+3
33. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số : y =
biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại
2x + 2
A, B sao cho đường trung trực của đoạn AB đi qua gốc tọa O .
x+2
34. Viết pttt của đồ thị hàm số (C) y =

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam
2x + 3
giác OAB cân tại O .[A-09]
2x
35. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số : y =
biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy
x +1
1
lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .[D-07]
4


Ths. Lê Văn Tiến-0916213537

facebook.com/hoctoanonline24h, youtube.com/ Toán Lê Văn Tiến

36. Tìm tọa độ điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y =

−x −1
sao cho tiếp tuyến của (C) tại A song
x+2

song tiếp tuyến của (C) tại B và AB = 2 2 .
2x −1
37. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Gọi M thuộc (C) và I là giao điểm của hai đường tiêm
x −1
cận.Tiếp tuyến tại M cắt 2 đường tiệm cận lần lượt tại A, B .
a) Chứng minh M là trung điểm của AB .
b) Diện tích tam giác IAB không đổi

c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
d) Viết pttt sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là lớn nhất.
−x +1
38. Chứng minh đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hàm số y =
tại hai điểm phân biệt A, B .
2x −1
Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A, B . Tìm m để k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.[A11]
D. Bài toán về sự tương giao
39. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
3
3
b) Dựa vào đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:, y =| x | −3 | x | +2 (C1 ) , y = x − 3x + 2 (C2 )
−x +1
2x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
− x +1
b) Dựa vào đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị các hàm số sau: . y =
2 x −1

40. Cho hàm số y =

(C1 ) , y =

−x +1
(C 2 )
2x −1

41. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4
b) Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 2 | x |3 −9 x 2 + 12 | x |= m [A-06]

42. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 .
b) Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt x 2 | x 2 − 2 |= m [B-09]
1 4
5
2
43. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 x + .
4
2
4
b) Tìm m để phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt | x − 6 x 2 + 5 |= 2m2 − 4m
44. Tìm m để đường thẳng y = − x + 1 cắt đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 tại ba điểm phân biệt[D13]
45. Chứng minh mọi đường thẳng đi qua điểm I (1; 2) với hệ số góc k (k > −3) đều cắt đồ thị hàm số
y = x 3 − 3 x 2 + 4 tại ba điểm phân biệt I , A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB. [D-08]
x +1
46. Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt.
x −1
47. Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành
độ nhỏ hơn 2.[D-09]
48. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + (m − 2) x + 1 cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt.
49. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + (m − 2) x + 1 cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
50. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt có hoành độ


Ths. Lê Văn Tiến-0916213537

facebook.com/hoctoanonline24h, youtube.com/ Toán Lê Văn Tiến

x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4 . [A-10]
51. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt có hoành độ

1
x1 , x2 , x3 đều lớn hơn
2
52. Tìm m để đồ thị hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
−x +1
53. Cho hàm số y =
(C)
2x −1
a) Chứng minh với mọi m đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Chứng minh với mọi m đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh phân
biệt của (C).
c) Tìm mọi giá trị của k để đường thẳng y = −2 x + k cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
AB= 2 .
4
2
54. Cho hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 có đồ thị ( Cm ) .
Tìm tất cả các giá trị của m để:
a) ( Cm ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.
b) ( Cm ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt mà các hoành độ đều nhỏ hơn 2.
c) ( Cm ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt mà hoành độ đều bé hơn 3.

d) ( Cm ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
55. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 3 x + 2 tại 3 điểm phân biệt
M , N , P sao cho xM = 2 và NP = 2 2 .
x+2
56. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k . Tìm k để d cắt dồ thị hàm số (C): y =
tại hai
x −1
điểm phân biệt M , N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM = 2 AN .
2x −1

57. Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị hàm số (C): y =
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x +1
AB = 2 2 .
2x +1
58. Tìm m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam
x +1
giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ).
x+3
59. Tìm m để đường thẳng d : y = 2 x + 3m cắt đồ thị hàm số (C): y =
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x+2
uuur uuur
OA.OB = 4 (với O là gốc tọa độ).

60. Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số (C): y =

x+3
tại hai điểm phân biệt A, B sao
x+2

cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.[D-11]
61. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2m 2 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 1.
62. Tìm m để đồ thị hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn -1.


Ths. Lê Văn Tiến-0916213537

facebook.com/hoctoanonline24h, youtube.com/ Toán Lê Văn Tiến

63. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − (m 2 − 1) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ
dương.
E Các bài toán tổng hợp
3
2
64. Cho hàm số y = x − 3 x + 4 có đồ thị (C).
a) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b)Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc k. tìm k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
A,M,N sao cho tiếp tuyến của (C) tại M,N vuông góc với nhau.
2x +1
65. Cho hàm số y =
(C)
x −1
a) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
b) Tìm trục đối xứng của đồ thị (C)
c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
d) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm
cận tại A và B với chu vi của tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
x2 − x + 1
66. Cho đồ thị hàm số y =
(C)
x −1
a) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
b) Tìm trục đối xứng của đồ thị (C)
c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
d) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm
cận tại A và B với chu vi của tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
x+2
67. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =

sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = − x
x −1
bằng 2 .[A-14]
68. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m 3 + m (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= 0 .
b) Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có cự đại,cực tiểu với mọi m.Tìm m để các điểm cự trị của hàm
số (1) cùng với điểm I(1;1), tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5 .
69. Cho hàm số y = mx 3 − 6 x 2 + 9mx − 3 (1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
9
b) Xác định m để đường thẳng d: y = x − 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt A(0,– 3), B,
4
C thỏa điều kiện B nằm giữa A và C đồng thời AC = 3AB.
2x
70. Cho hàm số y =
.
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A
với A(2; 0).
3
3
2
71. Cho hàm số y = x − (m − 2) x − 3(m − 1) x + 1 (1), m là tham số.
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −2 .
b) Tìm m > 0 để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là yCĐ , yCT thỏa mãn


Ths. Lê Văn Tiến-0916213537

facebook.com/hoctoanonline24h, youtube.com/ Toán Lê Văn Tiến

2 yCĐ + yCT = 4 .
x +1
.
x−2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi (d) là đường thẳng qua M ( 2;0 ) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho
M nằm giữa A, B và MA = 2MB .
x −1
73. Cho hàm số y =
(C)
x−2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận của (C) lần lượt
tại A và B sao cho tam giác ABI có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 − 2 , với I là giao điểm của
hai đường tiệm cận.
2x −1
( C) .
74. Cho hàm số y =
x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = − x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B
72. Cho hàm số y =

sao cho tam giác ABM là tam giác đều, biết rằng M = (2; 5).
2x −1
.

x +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm I (0;1) và cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 (O là gốc tọa độ).

75. Cho hàm số y =

76. Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.
77. Cho hàm số y = x 4 −

3 2 1
x +
2
2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm trên trục tung điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số trên và hai tiếp
tuyến đó đối xứng nhau qua trục tung và vuông góc với nhau.