skkn tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức

Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1 Lý do chọn đề tài:
Ban chấp hành Trung ương 8, khóa XI ban hành nghị quyết “đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo”. Nâng cao chất lượng toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối
sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát
triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.
Hưởng ứng tinh thần đó, trong những năm gần đây Bộ giáo dục và đào tạo tổ chức cuộc thi giải
toán qua mạng hay còn gọi là violympic toán cho học sinh phổ thông. Tham gia cuộc thi, các em
học sinh có cơ hội trải nghiệm với những bài toán hấp dẫn, thú vị, sát với chương trình đào tạo, phù
hợp với kiến thức từng khối lớp.
Nội dung cuộc thi gồm có 9 dạng bài thi cơ bản: Bài thi sắp xếp, Bài thi Tìm cặp bằng nhau, Bài thi
Hoàn thành phép tính, Bài thi Khỉ con thông thái, Bài thi Vượt chướng ngại vật, Bài thi Đi tìm kho
báu, Bài thi Cóc vàng tài ba, Bài thi Đỉnh núi trí tuệ, Bài thi Điền vào chỗ trống. Đặc biệt bài toán
tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức luôn hiện hữu trong các bài thi.
Trong chương trình Toán cấp 2 tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức là một dạng toán
khó hơn nữa toán violympic hạn chế về mặt thời gian nên khi gặp các bài toán tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của một biểu thức học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi
giải.
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh, giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến
thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách
kịp thời. Với mỗi bài toán cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải
phù hợp nhất, nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán
tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình
thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ
lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục.
Với những lí do trên nên bản thân tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài “TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –
NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC”.

I.2 Mục đích nghiên cứu:
Phương pháp giải các bài toán “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” với mục

đích định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với các dạng có chứa
dấu giá trị tuyệt đối; phân thức đại số; căn bậc hai; biểu thức đại số thỏa mãn các điều kiện cho
trước. Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc
ra quy luật giải nhanh nhất, hợp lí nhất.
Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính
toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài,
từng đối tượng học sinh.
Chia sẻ đồng nghiệp về các dạng toán có tính quy luật. Bản thân tự rèn luyện và bồi dưỡng chuyên
môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
Trang bị cho học sinh đường hướng “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” từ dạng
tổng quát đến bài toán cụ thể, từ bài toán cơ bản sang bài toán ở dạng tương tự.
I.3 Đối tượng nghiên cứu:
Là học sinh lớp 6,7,8,9 trung bình khá, khá, giỏi trường THCS Phú Xuân.
I.4 Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình môn toán cấp THCS.
I.5 Phương pháp nghiên cứu:
1


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số năm giảng dạy, kiểm tra,
đánh giá và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán văn hóa, thi toán trên máy tính cầm tay, thi toán qua
mạng internet.
II. PHẦN NỘI DUNG
II.1. Cơ sở lý luận để thực hiện đề tài:
Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay thì không phải bất cứ người học nào cũng có thể đáp
ứng được những yêu cầu đưa ra, nhất là đối với những đối tượng là học sinh ở vùng sâu vùng xa, ở
địa phương có điều kiện kinh tế còn khó khăn nói chung cũng như học sinh trường THCS Phú Xuân
nói riêng và thêm vào đó học sinh phải học nhiều bộ môn và phải đáp ứng được yêu cầu kiến thức

cho các môn học đó. Môn toán là môn khoa học đòi hỏi học sinh phải có khả năng hệ thống kiến
thức, tư duy sáng tạo. Với từng đơn vị kiến thức cụ thể các em không thể giải quyết vấn đề khó một
cách nhanh chóng và hiệu quả được mà đòi hỏi học sinh phải liên hệ, phối hợp nhiều mảng kiến
thức khác nhau mới giải được một bài toán. Bên cạnh đó giáo viên là người đóng vai trò định
hướng giúp các em xây dựng bài toán tổng quát, từ đó tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh
hội tốt những kiến thức liên quan sau này.
II.2 Thực trạng:
a. Thuận lợi, khó khăn:
* Thuận lợi:
Trong những năm gần đây, được sự quan tâm của Đảng, Nhà nước và ngành Giáo dục. Đội ngũ
giảng viên nói chung, giáo viên bộ môn Toán nói riêng đã được chuẩn hóa về chuyên môn, nghiệp
vụ, đáp ứng nhu cầu giảng dạy môn toán trong nhà trường phổ thông.
Ban giám hiệu nhà trường luôn quan tâm, động viên và tạo điều kiện để bản thân có cơ hội tham gia
các chuyên đề, tham gia bồi dưỡng nhằm tích lũy kinh nghiệm trong giảng dạy và giáo dục.
*Khó khăn:
Tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh còn nhiều hạn chế. Chưa đảm bảo chất lượng về mặt
nội dung.
Học sinh bị dàn trải ở nhiều môn, nên thời gian đầu tư cho môn Toán còn hạn chế. Dẫn đến số học
sinh đam mê môn Toán rất ít.
Với nhiều học sinh có tư tưởng xem môn Toán vẫn là một môn học nặng nề và khó, độc lập không
liên kết với nhiều môn học khác.
b. Thành công, hạn chế:
* Thành công:
Với nội dung đề tài được áp dụng vào thực tiễn, tôi thấy học sinh đã giải bài toán nhanh hơn và hiệu
quả hơn. Thông qua đó đã phát hiện ra được nhiều em có tư duy tốt trong lĩnh vực toán học, các em
tự tổng quát hóa bài toán và xử lí được nhiều bài toán có dạng tương tự.
Đề tài này áp dụng được cho cả 4 khối lớp ở THCS.
* Hạn chế:
Mỗi bài toán chỉ đưa ra một cách giải phù hợp để xây dựng bài toán tổng quát, chưa xây dựng nhiều
cách giải.

c. Mặt mạnh – mặt yếu của đề tài:
* Mặt mạnh:
Đề tài xây dựng trong bối cảnh toàn ngành đang hưởng ứng thực hiện đổi mới căn bản toàn diện
giáo dục nên việc thay đổi phương pháp dạy học, cải tiến phương pháp giảng dạy để đạt kết quả về
nâng cao chất lượng giáo dục. Đặc biệt đề tài này là xây dựng phương pháp “Tính giá trị lớn nhất
2


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
và nhỏ nhất của một biểu thức”để các em chủ động lĩnh hội kiến thức theo năng lực của mình dưới
sự hướng dẫn của giáo viên mà hiện nay sự phân cấp trình độ nhận thức của học sinh là rất đa dạng.
* Mặt yếu:
Đối với giáo viên còn ít kinh nghiệm, xử lý tình huống sư phạm trong giảng dạy chưa thật linh hoạt
thì việc áp dụng đề tài có thể gặp khó khăn.
d. Nguyên nhân, các yếu tố tác động:
Do bản thân của hầu hết các em học sinh còn nhiều hạn chế trong thực hành “Tính giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của một biểu thức”, còn thụ động trong việc tiếp thu kiến thức mới, không tự tìm tòi,
kiến thức, dựa trên gợi ý, ví dụ, dẫn đến việc các em làm một bài toán gần như là mò mẫm, không
có cơ sở không biết cách giải, điều này dẫn đến kết quả học tâp còn thấp.
Sau khi các em được định hướng giải quyết thì bài toán trở nên đơn giản, dễ dàng và mang lại hiệu
quả giáo dục cao. Nên đã tạo cho các em một thái độ và hứng thú nhất định.Bài toán có liên quan
đến nhiều đơn vị kiến thức số học và đại số, nên đã giúp các em liên thông được nhiều đơn vị kiến
thức khác nhau. Tạo cho các em hệ thống kiến thức vững vàng.
e. Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Ở trường THCS “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” chỉ là một trong những nội
dung kiến thức mà học sinh được học với thời lượng không nhiều trong chương trình đại số, nhưng
nó lại được ứng dụng rộng rãi và xuyên suốt chương trình học tập của các em, học sinh thường
xuyên phải sử dụng đến kĩ năng này trong việc xây dựng một số các nội dung kiến thức sau này
trong việc giải toán.
Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và

phát triển có hệ thống các kĩ xảo “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức”. Qua đó giúp
học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán,
tổng hợp kiến thức.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức”
phù hợp với từng dạng bài toán là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường
xuyên, không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương
pháp học tập cho bản thân, rèn luyện cho các em khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc
chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
II. 3 Giải pháp – biện pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp – biện pháp:
Việc thực hiện với một kiến thức toán học nói chung và dạng toán “Tính nhanh giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của một biểu thức” nói riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố như:
Hệ thống hóa chương trình giảng dạy phù hợp với trình độ thực tiễn của học sinh. Chọn lọc một số
phưng pháp giảng dạy về “Tính nhanh giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức”. Công tác
soạn bài, thiết kế bài giảng, tìm hiểu và nắm vững nội dung kiến thức theo mục tiêu, phương pháp
dạy học, phương tiện dạy học, nắm vững các đối tượng học sinh… Do đó, để tổ chức dạy có hiệu
quả cho nhiều đối tượng học sinh nhưng vẫn đáp ứng đủ yêu cầu về nội dung kiến thức thì giáo
viên với vai trò là người chủ đạo hướng dẫn cần thực hiện có hiệu quả một số kiến thức về căn bậc
hai.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp:
Dạng I:Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1) Phương pháp:
-Sử dụng bất đẳng thức k  A  x   k hoặc k  A  x   k
Dấu “=” xảy ra  A(x)  0
3


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
-Sử dụng bất đẳng thức : a  b  a  b  a  b
CM:

2
2
Ta có: a  b  a  b   a  b    a  b 
 a2  2 ab  b2  a2  2ab  b2   ab  ab (*)
(*) luôn đúng nên ta có đpcm
Dấu “=” xảy ra  ab  0
Chứng minh tương tự ta được a  b  a  b

Dấu “=” xảy ra  ab  0
2) Ví dụ:
Bài 1: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Giải:
1
a) Amin  1  1  3x  0  x 
3
b) Qmax  7  3  0,25.x  0  x  12
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1
x2 4

Giải:
1
1
 Pmax   x  2  0  x  2
4
4
Bài 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức y  6  2x  2 4  x
Giải:

y  6  2x  2 4  x  6  2x  8  2x  6  2x  8  2x  14

Ta có: x  2  4  4  P 

 ymax  14
Bài 4: Cho y = x  2008  x  2009 .Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Giải:
y = x  2008  x  2009  x  2008  2009  x  x  2008  2009  x  1
Dấu “=” xảy ra  (x  2008)(2009  x)  0  2008  x  2009
 ymin  1  2008  x  2009
3) Bài tập:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Pmin  5
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Mmin  86
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 Qmax  19,5
4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2  2,5.x  3  Amax  2

5)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2  x  3
 Pmin  1  2  x  3
6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  25x2  20x  4  25x2  30x  9 (Bài 3 vòng 16 lớp 9 năm
2014)
Giải:
4


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức

5x  22  5x  32  5x  2  5x  3  5x  2  3  5x  5x  2  3  5x  1

A

2
3
Dấu “=” xảy ra  (5x  2)(3  5x)  0   x 
5
5
 Amin  1
7) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
5
 ymin  8   x  1
3
Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là đa thức
1.Dạng đa thức 1 biến:
a) Phương pháp:
-Sử dụng bất đẳng thức A2m  0 hoặc A2m  k  k ( với m * ,k là hằng số)
-Biến đổi đưa dần về hằng đẳng thức (a  b)2 hoặc (a  b)2
-Nếu đa thức có dạng f ( x)  ax2  bx  c ta có thể biến đổi như sau:
 2
c
b
b2 c b2 
 2 b
2
f ( x)  ax  bx  c  a  x  x    a  x  2. x  2   2 
a
a
2a
4a a 4a 




b  4ac  b2

 a x   
4a
 2a 
4ac  b2
4ac  b2
Nếu a  0 thì f  x  
 GTNN của f  x  
4a
4a
2
4ac  b
4ac  b2
Nếu a  0 thì f  x  
 GTLN của f  x  
4a
4a
b
b
Dấu “=” xảy ra  x   0  x  
2a
2a
b) Ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2  x 3 1
Giải:
3

1
1
A  x2  x 3  1  ( x  )2   Amin   0, 25
2
4
4
Bài 2:Giá trị lớn nhất của hàm số y = x2  4x  3
Giải:
2
y   x2  4x  3  1   x  2  ymax  1
2

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A   x2  2 x   x  2 x  4 (Bài 2 vòng 18 lớp 8 năm 2013)
Giải:
A   x2  2x   x  2 x  4   x2  2x  x 2  2x  8





2









2

 x2  2x  8 x2  2x 16 16  x2  2x  4 16  16

 Amin  16
c) Bài tập:
1)Hàm số y = 2x2 12x  21đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3
2)Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x2  6mx 1 là 3m2 1
5


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
3)Tìm x để biểu thức B   x 1 x  2 x  3 x  6 đạt giá trị nhỏ nhất . (Bài 2 vòng 16 lớp 8 năm
2012)
Giải:





2

B  ( x 1)( x  6)( x  2)( x  3)  ( x2  5x  6)( x2  5x  6)  x2  5x  36  36

 Bmin  36  x  0 hoặc x  5
2.Dạng đa thức nhiều biến:
a) Phương pháp:
-Sử dụng bất đẳng thức A2m  B2n ...  0 hoặc A2m  B2n  ...  k  k ( với m, n,... *, k là hằng số)
-Biến đổi đưa dần về hằng đẳng thức (a  b)2 hoặc (a  b)2
b)Ví dụ:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  xy  y2  3(x  y)  2001 (Bài 2 vòng 16 lớp 9 năm
2014)
Giải:
Ta có: 2P  2x2  2xy  2 y2  6( x  y)  4002 =
 ( x2  y2  4  2xy  4x  4 y)  ( x2  2x 1)  ( y2  2 y 1)  3996
 ( x  y  2)2  (x 1)2  ( y 1)2  3996  3996
3996
P
 1998
2
Vậy: Pmin  1998  x  y  1
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  2 y2  2xy  6x  4 y  25 (Bài 2 vòng 16 lớp 9 năm
2014)
Giải:
Ta có: P  x2  2 y2  2xy  6x  4 y  25
 ( x2  y2  9  2xy  6x  6 y)  ( y2  2 y 1) 15
 (x  y  3)2  ( y 1)2 15  15
x  y  3  0 x  4
Vậy: Pmin  15  

 y 1  0
 y  1
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2  x (Bài 2 vòng 19 lớp 9 năm 2014)
Giải:
Đặt t  2  x (t  0)  t 2  2  x  x  2  t 2
 1 2 9  9  1 2 9
1 9

Khi đó: P  2  t 2  t    t 2  t       t        t   
4 4


 2  4  4  2  4
9
1
7
Vậy: Pmax   t   x 
4
2
4
c) Bài tập:
1)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  2 y2  2xy  6x  4 y 13 (Bài 1 vòng 17 lớp 8 năm
2013)
Giải: Pmin  3
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  4a2  4b2  4ab 12a 12b 12 (Bài 2 vòng 15 lớp 8 năm
2012)
6


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Giải: Pmin  0  a  b  1
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x2  3y2  2xy 10x 14 y 18 (Bài 3 vòng 15 lớp 8 năm
2012)
Giải:
P  9  ( x  y  5)2  2( y 1)2  9
 Pmax  9  x  4 và y  1
4) Tìm x để biểu thức A  x  2013  x đạt giá trị lớn nhất (Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2013)
Giải: Amax  2013,25  x  2012,75
5)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  3  a  a (a  3) (Bài 3 vòng 16 lớp 9 năm 2014)
13
11

Giải: Amax   a 
4
4
Dạng III : Các bài toán mà biểu thức là phân thức
1) Phương pháp:
k
a) Nếu đa thức có dạng f  x 
(với k là hằng số) thì: (Điều kiện: k và A(x) > 0)
A x 
f  x min  A x max và f  x max  A x min
A x 
b) Nếu đa thức có dạng f  x  
với  B( x)  0 thì ta đưa f  x  về một trong các dạng sau:
B  x
P  x   0
 P  x 
- f  x  k  
 ( k là hằng số)  f  x min  k hoặc f  x max  k  
Q  x   0
 Q  x  
P  x   0
[P( x)]2
- f  x  k 
( k là hằng số)  f  x min  k hoặc f  x max  k  
Q x
Q  x   0
ax2  bx  c
c) Nếu đa thức có dạng f  x  2
thì ta đưa về dạng:
dx  ex  f

 a  d. f ( x) x2  b  e. f (x) x  c  f  x   0 (1)
2

Sau đó ta sử dụng điều kiện để (1) có nghiệm    0 để suy ra GTNN hoặc GTLN của f  x 
2) Ví dụ:
1
2 x 9
x  3 2 x 1
Bài 1: Cho P =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của .


P
x 5 x  6
x  2 3 x
Giải:
2 x 9
x  3 2 x 1
x 1
P=
=


x 5 x  6
x  2 3 x
x 3
1
x 3
4
4

1
 
 1
  
max  x min  x  0
P
x 1
x 1  P min
x 1
1
   min  1  4  3
 P
12  x  x
Bài 2:Tìm giá trị lớn nhất của Q =
(với x  0 )
x 4
7


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
12  x  x
Q=
 3  x  Qmax  3  x  0
x 4
x4
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
(với x  0; x  4 )
x 2
Giải:

x  4 ( x  2)( x  2)
P=

 x  2  Pmin  2  x  0
x 2
x 2
3x( x  4)
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2
(Bài 3 vòng 18 lớp 8 năm 2013)
x 9
Giải:
2
2
2
3x( x  4) 3x2 12x (4x 12x  9)   x  9  2x  3
P 2
 2

 2
1  1
x 9
x 9
x2  9
x 9
3
 Pmin  1  2x  3  0  x 
2
x2  x  1
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức y  2
x  x 1

Giải:
x2  x  1
Gọi y0 là một giá trị bất kì của y . Khi đó tồn tại giá trị x để y0  2
x  x 1
2
 ( y0 1) x  ( y0 1) x  y0 1  0 (*)
 y0 1  0  y0  1  x  0
1
 Nếu y0  1 thì để tồn tại y0 (*) phải có   0  3 y02 10 y0  3  0   y0  3
3
1
Vậy: ymin   x  1 và ymax  3  x  1
3
3) Bài tập:
x
3
6 x 4
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 


x 1
x 1
x 1
(Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2014)
Giải:
ĐKXĐ: x  0 và x  1
x
3
6 x 4
x 1

2
Q



 1
 1 2  1 (do x 1  1)
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
 Qmin  1  x  0
2x2  7 x  23
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A  2
x  2x  10
5
3
 Amax   x  2 và Amin   x  4
2
2
x2  4 2 x  3
3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B 
x2  1
8


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
2
và Bmin  1  x   2

2
Dạng IV: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
1) Phương pháp: Khi đa thức có dạng f  x  A x
 Bmax  5  x 

 A  x   0 thì :

Nếu A x   [B(x)]2  k thì f  x min  k  B( x)  0 (k  0)

Nếu A x   k  [B(x)]2 thì f  x max  k  B( x)  0 (k  0)
2)Ví dụ:
Bài 1: Cho P = 3  2x  x2 . Tìm giá trị lớn nhất của P.
Giải:
P = 3  2x  x2 = ( x2  2 x  3)  4  ( x  1)2
 Pmax  4  2  x 1  0  x  1

Bài 2:Cho Q = x2  4x 13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.
Giải:
Q = x2  4x 13 = ( x  2)2  9
 Qmin  9  3  x  2  0  x  2
3) Bài tập:

1)Tìm giá trị lớn nhất của y =
 ymax  6  x  1

5  2x  x2

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y  x2  6x  13
 ymin  2  x  3
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y   x2  2x  8

 ymax  3  x  1
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y  4 x2  4 x  17
1
 ymin  4  x 
2
5) Tìm x để P  4x2  2x  2014 đạt giá trị nhỏ nhất (Bài 2 vòng 18 lớp 9 năm 2014)
1
x
4
Dạng V: Bất đẳng thức Cô-si:
1) Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
a b
Với mọi a  0, b  0 ta có
 ab
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b
CM:
Ta có:



a b



2

 0 a, b  0

a b

 ab (đpcm)
2
Dấu “=” xảy ra  a  b  0  a  b
 a  2 ab  b  0  a  b  2 ab 

9


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
*Tổng quát: Với n số không âm a1, a2 ,..., an ta có:

a1  a2  ...  an n
 a1a2 ....an
n

Dấu “=” xảy ra  a1  a2  ...  an
Hệ quả:
-Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai
số đó bằng nhau.
- Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai
số đó bằng nhau.
2) Ví dụ:
180
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  5x 
(với x  1 )
x 1
Giải:
180
36
36

= 5( x 
A  5x 
)  5( x 1
1)
x 1
x 1
x 1
36 
36

 Amin  (x 1)  (
)  x 1 
 x2  2x  35  0
x 1 min
x 1

 x1  7; x2  5 (loại)
36
 Amin  5(7 1
1)  5.13  65
7 1
Cách 2:

180
36
36
 36  
= 5( x 
A  5x 
)  5( x 1

1)  5 2 ( x 1).
  1  5(2.6 1)  65
x 1
x 1
x 1
x

1

 

 Amin  65
8x4  19 x2  2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
( với x  0 ) (Bài 2 vòng 18 lớp 8 năm
x2
2012)
Giải:
8x4  19x2  2
2
2
A
 8x2  19  2  8x2  2  19
2
x
x
x
2
2
1


 Amin   8x2  2   8x2  2  x2 
x min
x
2

1
1
 Amin  8.  2: 19  27
2
2
Bài 3: Với 2  x  4 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2  4  x
Giải:
P2  x  2  4  x  2 ( x  2).(4  x)  2  2 ( x  2).(4  x)
 P2max  ( x  2).(4  x)max  x  2  4  x  x  3
 P2max  4  Pmax  4  2

Bài 4: Cho a là một số thực bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

a2  2
a2  1

(Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2014)
10


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 1 và a2 1 ta được:
a2  2  1  (a2  1)  2 1.(a2  1)  2 a2  1

Do đó: P 

a2  2

2 a2  1


2
a2  1
a2  1
Vậy: Pmin  2  a2 1  1  a  0

Bài5: Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
2 vòng 16 lớp 9 năm 2014)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương

bc ca ab
  (Bài
a b c

bc
ca
và
ta được:
a
b

bc ca
bc ca

 2
.  2c (1)
a b
a b
ca ab
ab bc
Tương tự:
  2a (2) và
  2b (2)
b c
c a
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được:
 bc ca ab 
2      2(a  b  c)
a b c 
bc ca ab
 A     a  b  c 1
a b c
1
Vậy: Amin  1  a  b  c 
3
x2
y2
z2
Bài6: Cho biểu thức A 
với x, y, z  0 thỏa mãn xy  yz  zx  2 . Tìm giá


x y z y zx
trị nhỏ nhất của biểu thức A .(Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2014)

Giải:
x y
x2
Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương
và
ta được:
4
x y
x2
x y
x2 x  y
x2

2
.
2
x
x y
4
x y 4
4
x2
x  y 3x  y
 x

x y
4
4
z2
z  x 3z  x

y2
y  z 3y  z
 z

Tương tự:
và
 y

zx
4
4
yz
4
4
2
2
2
x
y
z
3x  y 3y  z 3z  x x  y  z
Do đó: A 
(1)






x y yz zx

4
4
4
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:


11


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
2  xy  yz  zx 
 x y z  2

Từ (1) và (2)  A 
Vậy: Amin  1
Cách 2:

x y yz zx


 x yz
2
2
2

2
1
2

Bài toán phụ: Cho 4 số dương a,b,x,y.Chứng minh rằng:

a2 b2 (a  b)2
(1)
 
x y
x y

a2 y  b2 x (a  b)2
(1) 

xy
x y
2
  a2 y  b2 x  ( x  y)  xy  a  b 
 a2 xy  a2 y2  b2 x2  b2 xy  a2 xy  2abxy  b2 xy
2
 a2 y 2  2abxy  b2 x2  0   ay  bx   0 (Bất đẳng thức đúng)
a b
Dấu “=” xảy ra  ay  bx  
x y
2
2
a b c2 (a  b)2 c2 (a  b  c)2
Áp dụng (1) ta được:
(2)
  
 
x y z
x y

z
x yz
a b c
Dấu “=” xảy ra   
x y z
x2
y2
z2
( x  y  z)2 x  y  z
Áp dụng (2) ta được: A 




x  y z  y z  x 2(x  y  z)
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
x y yz zx
2  xy  yz  zx 


 x yz
2
2
2
 x y z  2
 Amin  1
Bài 7:Cho x, y, z  0 thỏa x  y  z  xy  yz  xz  6 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2  z2 (Bài 1 vòng 16 lớp 9 năm 2014)
Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
x2  1 y 2  1 z 2  1 x2  y 2 y 2  z 2 x2  z 2
6  x  y  z  xy  yz  xz 





2
2
2
2
2
2
3
 6   x2  y2  z 2  1  4  x2  y 2  z 2  1
2
2
 x  y2  z 2  3  A  3
Vậy: Amin  3  x  y  z  1

Bài 8: Cho a, b  0 thỏa a  b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

3a2 3b2

a 1 b 1

(Bài 1 vòng 16 lớp 9 năm 2014)
12

Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
a2
a 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương
và
ta được:
a 1
9
a2 a  1
a2 a  1 2a

2
.

a 1 9
a 1 9
3
2
a
2a a  1 5a 1

 

a 1 3
9
9
2
b

5b 1

Tương tự:
b 1
9
2
 a2
3a
3b2
b2   5a 1 5b 1   5(a  b)  2 

 3


3
1
Do đó: A 
3
a 1 b 1  a 1 b  1   9
9  
9

1
Vậy: Amin  1  a  b 
2
1
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  9x2  3x  1420 với x  0
x
(Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2014)
Giải:

1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số dương 9x2 ;3x; ; ;
ta được:
3x 3x 3x

1
1 1 1
1 1 1
9x2  3x   9x2  3x     55 9x2.3x. . .  5
x
3x 3x 3x
3x 3x 3x
1
M  9x2  3x  1420  5 1420  1425
x
1
Vậy: M min  1425  x 
3
Bài10: Cho 2 số a,b thỏa mãn a  3 và b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a2
b2
A

(Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2013)
b 3 a 3
Giải:
a2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương
và 4(b 3) ta được:
b3

a2
a2
 4(b  3)  2
.4(b  3)  4a
b 3
b 3
a2

 4a  4b  12 (1)
b 3
b2
 4b  4a  12 (2)
Tương tự:
a 3
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
a2
b2
A

 24
b 3 a 3
13


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Vậy: Amin  24
Bài11:Cho 3 số x, y, z  0 thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 

1 1
 (Bài

yz xz

2 vòng 19 lớp 9 năm 2015)
Giải:
1  1 1  1 x  y 1 3 z
Ta có: C      .
(1) (do x  y  z  3)
 .
z  y x  z xy
z xy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương x và y ta được:
2
1
4
 x  y  (3  z)2
(2)
xy  

 

4
xy (3  z)2
 2 
1
4
4

Từ (1) và (2)  C  .(3  z).
2
z

(3  z)
z(3  z)
3
 Cmin  z(3  z)max  z  3  z  z 
2
16
3
3
Vậy: Cmin   x  y  và z 
9
4
2
x
1
Bài 12:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q   1 x  2x2 (với 1  x  )
2
2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và 1 x  2x2 ta được:
2  x  2 x2
1  x  2x2  1.(1  x  2x2 ) 
2
2
x 2  x  2x
Q  
 1  x2  1
2
2
 Qmax  1  x  0
Bài 13: Cho 2 số x, y thỏa mãn x  0, y  0 và x  y  4 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6 10
A  2x  3 y  
x y
Giải:
6 10 1
3x 6 5 y 10
3x 6 5 y 10
A  2x  3 y     x  y       2    
(do x  y  4 )
x y 2
2 x 2 y
2 x 2 y
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
5 y 10
5 y 10
3x 6
3x 6
 2
.  10
 2
.  6 và
2 y
2 y
2 x
2 x
 A  2  6  10  18
 Amin  18  x  y  2
3) Bài tập:
Bài 1: a)Với 5  x  13 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  5  13  x
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x  2  6  x (Bài 2 vòng 15 lớp 9 năm 2015)

Giải: a) Pmax  4  x  9
b) Amax  8  x  4
14


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2: Cho Q =

x x 3
2( x  3)
x 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.


x  2 x 3
x 1 3  x

Giải:
Q  x 1

9
 2 =  2 9 2  4
x 1

 Qmin  4

Bài 3: Cho P =

1 x  x
. Tìm giá trị lớn nhất của a để P  a .

x

Giải:
1
1 x  x
P=
=
 x 1  2
x
x
`  P 1 a 1

1
. x 1  2 1  1
x

x
2
Bài 4:a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  
(với x  2 )
2 x2
8x 2  2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
với x  0
x
4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 
(x  0) (Bài 2 vòng 18 lớp 8 năm 2012)
9x
Giải:

x2
2
x2 2

1  2
.
1  2.11  3
2
x2
2 x2
 Pmin  3
1
b) Pmin  8  x 
2
4
2
c) Pmin   x 
3
3

a) P 

Bài5:a) Cho số thực x thỏa mãn: 4  x  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

1
1

9 x x4

(Bài 2 vòng 16 lớp 9 năm 2014)
1
1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  
(0  x 12)
x 12  x
Giải:
1
1
13


a) P 
9  x x  4 (9  x)( x  4)
4
5
 Pmin   x 
13
2
1
b) Mmin   x  6
3

15


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
x6
y6
z6

với x, y, z  0 thỏa mãn


x3  y3 z3  y3 z3  x3
xy xy  yz yz  zx zx  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Giải:
Đặt X  x3 ,Y  y3 , Z  z3
X2
Y2
Z2


Bài toán trở thành: Cho biểu thức B 
với X ,Y, Z  0 thỏa mãn
X Y Z Y Z  X
XY  YZ  ZX  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
1
 Bmin 
2
1
1
1
 3
 3
Bài 7:Cho biểu thức C  3
với x, y, z  0 thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá trị
x ( y  z) y ( x  z ) z ( x  y)
nhỏ nhất của biểu thức C (Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2015)

Bài6: Cho biểu thức B 

Giải:
1
1
1
Đặt X  , Y  , Z 
x
y
z
X 3YZ Y 3 XZ Z 3 XY
1


1
Khi đó: C 
và XYZ 
Y  Z X  Z X Y
xyz
X2
Y2
Z2
C 


Y  Z X  Z X Y
X  Y  Z 3 3 XYZ 3
C 


2

2
2
3
 Cmin   x  y  z  1
2
Bài 8:Cho 2 số a, b  0 thỏa 3a  5b  12 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab (Bài 3 vòng 16
lớp 9 năm 2014)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 12  3a  5b  2 15ab
12
 15ab  6  P 
5
12
6
 Pmax   a  2 và b 
5
5
 1  1 
Bài 9:Cho 2 số dương a,b thỏa a  b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  1  1   (Bài 1
 a  b 
vòng 18 lớp 9 năm 2015)
Giải:
2
 1  1 
S  1  1    1 
(do a  b  1)
ab
 a  b 
1
 Smin  9  a  b 

2
16


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Bài10:Cho 2 số a, b  0 thỏa mãn:

a
2b

 1 (1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a2b3
1 a 1 b

(Bài 2 vòng 19 lớp 9 năm 2012)
Giải:
Từ (1)  b  2ab  1
 1  b  ab  ab  33 a2b3
1
1
 Pmax 
 a  1 và b 
27
3
1
 1 
Bài11: Cho hai số x  0, y  0 và x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  1 2  1 2 
 x  y 
Giải:
1 2
 1 

M  1 2  1 2  
 x   y  xy
1
 Mmin  9  x  y 
2
Bài12:Cho 2 số dương x, y thỏa x  y  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x3  y3
Giải:
P  x3  y3  1 3xy (do x  y  1 )
1
1
 Pmin   x  y 
4
2
Dạng VI: Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
1) Phương pháp:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Với 2 cặp số thực a,b và x,y ta có: (ax  by)2   a2  b2  x2  y 2  (1)

CM:
2
(1)  a2 x2  2abxy  b2 y2  a2 x2  a2 y2  b2 x2  b2 y2  a2 y2  2abxy  b2 x2  0   ay  bx   0 (2)
Vì (2) luôn đúng a, b, x, y  nên (1) luôn đúng
a b
Dấu “=” xảy ra  ay  bx  0  ay  bx  
x y
*Tổng quát: Cho 2 dãy số bất kì a1, a2 ,..., an và b1, b2 ,..., bn .Khi đó ta có:

 a1b1  a2b2  ...  anbn 2  a12  a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2 

Dấu “=” xảy ra 

a
a1 a2
  ...  n
b1 b2
bn

2) Ví dụ:
Bài 1:Giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 1  y  2 với x  y  4
Giải:
(1. x 1 1. y  2)2  (12 12 )( x 1  y  2)  2(x  y  3)  2(4  3)  2
 Amax  2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z , biết
năm 2014)
Giải:

x  y  z  1 (Bài 3 vòng 17 lớp 9

17


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số 1;1;1; x ; y ; z ta được:
(1. x  1. y  1. z )2  (12  12  12 )( x  y  z)
 ( x  y  z )2  3( x  y  z)
 12  3( x  y  z)
1
 P  x y z 
3


1 x  y  z
1
x yz
Vậy: Pmin   
3 
9
 x  y  z 1
Bài 3:Cho hai số thực x,y thỏa mãn 36x2 16 y2  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A  y  2x  2
Giải:
1 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số ;  ;4 y;6x ta được:
4 3
2
2
2
 1
1
1
1 
25
25
 y  2x2   .4 y  .6x          16 y2  36x2  .9 
3   4   3  
144
16
4
5
5
5

 y  2x     y  2x 
4
4
4
5
3
 A  y  2x  2    2 
4
4
3
Vậy: Amin 
4
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  3  2x  5  x2  4x (với 1  x  5 )
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số 2;1; x  2; 5  x2  4x ta được:



2







2( x  2) 1. 5  x2  4x    22 12  x2  4x  4  5  x2  4x  5.9  45


 

 2x  4  5  x2  4x  3 5
 P  2x  4  5  x2  4x 1  3 5 1

10  6 5
2 5  x2  4x  x  2
Vậy: Pmax  3 5 1  
x
5

1  x  5
Bài 5: Cho 2 số a, b  0 thỏa mãn: 2a  3b  6ab  168 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  4a2  9b2 (Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2013)
Giải:
Ta có: 2a  3b  6ab  168  (2a 1)(3b 1)  169
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 2a  1 và 3b  1 ta được:
2
 2a  3b  2 
169  (2a 1)(3b 1)  

2


 2a  3b  24
18


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số 1;1;2a;3b ta được:
(1.2a  1.3b)2  12  12  4a2  9b2   2  4a2  9b2 
 P  4a  9b

2

2

2
2a  3b 242



 288

2
2
b

4
Vậy: Pmin  288  a  6 và
Bài 6: Cho 2 số a,b thỏa mãn phương trình x4  ax3  bx2  ax+1=0 (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A  a2  b2 (Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2015)
Giải:
Ta thấy x  0 không là nghiệm của (1) nên :
a 1
(1)  x2  ax  b   2  0
x x
1
1

 x2  2  a  x    b  0 (2)
x
x


1
1
Đặt t  x  ( t  2)  x2  2  t 2  2
x
x
2
(2)  t  2  at  b  0  at  b  2  t 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số a; b; t;1 ta được:



 a.t  b.12  a2  b2 t 2 1

 2  t2

  a
2


2  t 

2



 b2 t 2  1
2 2

 A  a 2  b2

t 2 1

Ta lại có: t  2  t 2  4  A 
Vậy: Amin 

(2  4)2 4

4 1
5

4
5

3) Bài tập:
Bài1:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  x  2  y  4 biết x  y  56 .
 Smax  10
Bài2:Cho 2 số a,b thỏa a2  b2 16  8a  6b (1).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  4a  3b (Bài 1
vòng 15 lớp 9 năm 2015)
Giải:
2
Từ (1)  (a  4)2   b  3  9
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
4(a  4)  3(b  3)2  (42  32 ) (a  4)2  (b  3)2   25.9  225
 4(a  4)  3(b  3) 15  S  4a  3b  40
 Smax  40
Bài 3:Cho 2 số a,b thỏa a2  b2  4a  2b  540 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  23a  4b  2013 (Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2013)
 Pmax  2608
19

Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Dạng VII: Một số dạng toán khác
1) Phương pháp: Vận dụng một hoặc nhiều phương pháp đã học
2) Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = sinx.cosx
Giải:
1
sin2 x  cos2 x  2 sin2 x.cos2 x  1  2sin x.cosx  sin x.cosx 
2
1
 ymax 
2
Bài 2:Với 00  x  900 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  sin4 x  cos4 x
Giải:
Ta có: A  sin4 x  cos4 x  (sin2 x  cos2 x)2  2sin2 xcos2 x  1 2sin2 xcos2 x
2

 s in 2 x  cos2 x  1
Ta lại có: sin xcos x  
 
2

 4
1 1
1
 A  1  2.   Amin 
4 2
2

0
0
Bài 3: Với 0  x  90 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = tanx +cotx
Giải:
sin x cos x sin 2 x  cos2 x
1



A = tanx +cotx =
cos x sin x
sin x.cos x
sin x.cos x
1
 Amin  sin x.cos xmax  sin x.cos x   Amin  2
2
2x  5
Bài 4: Tìm số giá trị x  Z để T =
>0.
x 8  3 x
5
Giải:ĐK: x   ; 8  x  3
2
2 x  5  0
5


x

x


8

3

x

0


2
T>0  

x   5
2 x  5  0

2
 x  8  3  x  0 

5
 Nếu x   và 8  x  3  x 2; 1;0;1;2
2
5
 Nếu x   và 8  x  3  x 7; 6; 5; 4; 3
2
Có 10 giá trị nguyên của x để T>0
Bài 5: Cho điểm A có hoành độ xA  m thuộc đồ thị hàm số (P) : y  x2 và điểm B có tọa độ (3;0).
Tìm m để độ dài của AB là nhỏ nhất. (Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2014)
Giải:
Vì A(m; yA )  (P) : y  x2 nên yA  m2  A(m; m2 )

2

2

 AB  (xB  xA )2  ( yB  yA )2  (3  m)2  (0  m2 )2 (1)

Ta lại có: (3  m)2  (0  m2 )2  9  6m  m2  m4 
20


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
 (m4  2m2 1)  3(m2  2m 1)  5  (m2 1)2  3(m 1)2  5  5 (2)
m2 1  0 m  1

 m 1
Dấu “=” xảy ra  
m  1
m 1  0

Từ (1) và (2)  ABmin  5  m  1
a2  b2  ab  3  0
Bài 6: Cho 2 số a,b thỏa mãn 
.
a  b  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  a2  ab  b2 (Bài 3 vòng 18 lớp 9 năm 2014)
Giải:
Ta có: a2  b2  ab  3  0  (a  b)2  ab  3  0
 ab  3  (a  b)2  22  4  ab  1 (1)
Ta lại có: a2  b2  (a  b)2  2ab  ab  3  2ab  3  ab  3 1  2 (2)
Từ (1) và (2)  A  a2  ab  b2  (a2  b2 )  ab  2 1  1

a  b  2
Vậy: Amin  1  
 a  b 1
ab  1
Bài 8: Cho 2 số a,b thỏa mãn: x2 ( x2  2 y2  3)  ( y2  2)2  1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức A  x2  y2 (Bài 3 vòng 16 lớp 9 năm 2014)
Giải:
Ta có: x2 ( x2  2 y2  3)  ( y2  2)2  1
 x4  2x2 y 2  3x2  y 4  4 y 2  4  1
 ( x2  y 2 )2  4( x2  y 2 )  3   x2  0
 ( x2  y 2 1)( x2  y 2  3)  0
2
2
2
2
 x  y  1  0
 x  y 1  0
 2
hoặc
 2
2
2
 x  y  3  0
 x  y  3  0
 1  x2  y 2  3  1  A  3
Vậy: Amin  1 và Amax  3
Bài 9:Cho phương trình: x2  mx  m 1  0 (1) có 2 nghiệm x1 , x2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2x1x2  3
P 2
(Bài 3 vòng 15 lớp 9 năm 2015)

x1  x22  2( x1x2  1)
Giải:
PT có nghiệm    0  m2  4m  4  0  (m  2)2  0 (Đúng m  R )
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2  m và x1x2  m 1

2x1x2  3
2x1x2  3
2m  1
(m 1)2


 1 2
1
Do đó: P  2
x1  x22  2( x1x2  1)  x1  x2 2  2 m2  2
m 2

Vậy: Pmax  1  m 1  0  m  1
Dạng VII: Các biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
1) Phương pháp: Vận dụng một hoặc nhiều phương pháp đã học
2) Ví dụ:
21


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Bài 1:Cho 2 số x,y thỏa mãn 5x2  5xy  y2 

4
 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy . (Bài
x2

1 vòng 19 lớp 9 năm 2015)
Giải:
4
Ta có: 5x2  5xy  y2  2  0
x
2
4
2

 2
 xy   4x2  4xy  y2    x2  4  2   4   2x  y    x    4  4
x 
x


2 x  y  0  x  2
x   2



Vậy: Pmin  4   2
hoặc 

 y  2 2

 x  x  0
 y  2 2
(m 1) x  y  m  1(1)
Bài 2: Gọi ( x; y) là một nghiệm của hệ 

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x  (m 1) y  2(2)
S  x  y (Bài 3 vòng 17 lớp 9 năm 2015)
Giải:
Từ (1)  y  (m 1)(x 1) (3)

m2  1
m 1
y 2
2
m
m
2
2
m 1 m 1 m  m  2
 2 
Do đó: S  x  y 
m2
m
m2
Thế (3) vào (2) ta được x 

Gọi S0 là 1 giá trị bất kì của S. Khi đó tồn tại giá trị m để S0 

m2  m  2
m2

 (S0 1)m2  m  2  0 (*)
 S0 1  0  S0  1  m  2

 Nếu S0  1 thì để tồn tại m (*) phải có   0  1 8(S0 1)  0  S0 
Vậy: Smin

7
8

7
m2  m  2 7
 
  m  4
8
m2
8

Bài 3: Biết 2 phương trình x2  ax 12  0 và x2  bx  7  0 có nghiệm chung. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A  2 a  3 b  4 (Bài 2 vòng 19 lớp 9 năm 2014)
Giải:
Giả sử x0 là một nghiệm chung của 2 phương trình đã cho
2
2
 x  ax0  12  0 2 x0  2ax0  24  0(1)

Ta có:  0
 x0  bx0  7  0
3x0  3bx0  21  0(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế: 5x02  (2a  3b) x0  45  0 (*)

Để tồn tại x0 thì (*) phải có   0   2a  3b   900  0  2a  3b  30
2

Do đó: A  2 a  3 b  4  2a  3b  4  2a  3b  4  34
Vậy: Amin  34
22


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Bài 4: Cho x, y là 2 số thực dương bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

x  2 y 1
x2  y 2  7

Giải:
2
2
Ta có:  x  1   y  2  0 x, y 
 x2  2 x  1  y 2  4 y  4  0
 x2  y2  7  2x  4 y  2  2( x  2 y  1)
x  2 y 1
x  2 y 1
1


Do đó: P  2 2
x  y  7 2( x  2 y  1) 2
x  1
1  x 1  0
Vậy: Pmax   

2 y  2  0 y  2

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

xy2  y2 ( y2  x) 1
x2 y 4  2 y 4  x 2  2

Giải:
xy 2  y 2 ( y 2  x)  1
y4 1
1
1
P 2 4
 4
 2

4
2
2
x y  2 y  x  2  y  1 x  2 x  2 2
1
2
Bài 6: Cho 2 số a,b thỏa mãn: 3a2  5ab  3b2  353. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  a2  b2 (Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2012)
Giải:
Ta có: 5(a  b)2  0 a, b 
 5a2  10ab  5b2  0
 Pmax 

 (6a2  10ab  6b2 )  (a2  b2 )  0
 a2  b2  6a2  10ab  6b2  2(3a2  5ab  3b2 )  2.353  706
Vậy: Pmax  706

Bài 7: Cho y 

x2  x
2x  x
(với x  0 ). Tìm giá trị của x để y đạt giá trị nhỏ nhất
1
x  x 1
x

Giải:
y

x
x2  x
2x  x
1

x  x 1
x





 1

x 1 x  x 1
x  x 1

x (2 x  1)
x

2

1 1
1

 x x  x    
2 4
4

1
1
Dấu “=” xảy ra  x   0  x 
2
4
1
1
Vậy: ymin    x 
4
4
Bài 8: Cho x2 y  2xy  4x  y  0 . Tìm giá trị lớn nhất của y.
Giải:
Ta có: x2 y  2xy  4x  y  0  y( x2  2x 1)  4x
23


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
4x

( x 1)2  ( x 1)2
( x 1)2


1

1
( x 1)2
( x 1)2
( x 1)2
Vậy: ymax  1  x 1  0  x  1
Bài 9: Biết
là hai nghiệm của phương trình x2  2mx  m  2  0 (1).
24
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2
x1  x22  6x1x2
Giải: PT có nghiệm  '  0  m2  m  2  0 (Đúng m  R )
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2  2m và x1x2  m  2
24
24
24
24
24
Do đó: P  2

 2


 2
2

2
2
x1  x2  6x1x2  x1  x2   8x1x2 4m  8m 16 4(m 1) 12 12
Vậy: Pmax  2  m 1  0  m  1
Bài10: Cho x, y các số dương thoả mãn x  y  xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x2  y2  2( x  y)  9
thức P 
xy  3
2
Giải: Ta có: x  y  2 xy  2 x  y   x  y   4  x  y   0
y

  x  y  x  y  4  0  x  y  4 (do x, y  0 )

x2  y2  2( x  y)  9 x2  y2  2xy  9  x  y   9


 x  y 3 43  7
P
xy  3
x  y 3
x  y 3
Vậy: Pmin  7  x  y  2
c. Điều kiện thực hiện các giải pháp, biện pháp:
Trong quá trình thực hiện đề tài bản thân tôi thấy rằng để thực hiện tốt công tác giảng dạy học sinh,
trước hết giáo viên cần phải có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải
được các bài toán khó một cách thành thạo. Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích
thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi và động viên kịp
thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng

của mình trong quá trình học tập, ôn luyện. Bên cạnh đó cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời
những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua
những khó khăn bước đầu khi học tập, có niềm tin vào khả năng của mình.
d. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo đề cập tới. Giáo viên
không chỉ nắm được kiến thức mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy
một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất.
Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài toán, trên cơ sở đó tìm ra
các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Thông qua quá trình giảng dạy môn Toán nhiều năm liền, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá
sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu
thức”. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong phần này còn nhiều hạn chế và
thiếu sót.Do vậy cần hướng dẫn giúp các em có kỹ năng vận dụng phương pháp, từ đó phát triển
khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
2

24


Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức
Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc“Tính giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của một biểu thức”, tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh
có kỹ năng thực hành phần này cẩn thận.
e. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
Trên đây tôi đã đưa ra một số giải pháp mà khi giảng dạy “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một
biểu thức” cho học sinh tôi đã nghiên cứu và áp dụng đạt được kết quả khả quan. Hầu hết học sinh
nắm được kiến thức và trở nên yêu thích học phần này hơn.
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
Trong quá trình triển khai thực hiện đề tài “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” tại
trường THCS Phú Xuân đã đạt được những kết quả như sau:

+ Nâng cao chất lượng giảng dạy về mặt kiến thức lẫn kĩ năng.
+ Có tác dụng lớn trong xây dựng hỗ trợ cho việc học tập các kiến thức khác, phát huy tốt năng lực
học tập của các em học sinh. Đồng thời góp phần rèn luyện kỹ năng giải toán cho các em. Từ đó đã
phát huy được tính chủ động sáng tạo của các em trong học tập.
+ Giúp cho các em có kỹ năng nhanh nhẹn, chính xác, và thực sự hứng thú trong học tâp môn Toán,
biết chia sẻ những khó khăn trong học tập. Các em tự tin, mạnh dạn, hoạt bát, có hứng thú với hoạt
động học tập. Yêu thích học Toán hơn.
+ Trong các cuộc thi học sinh giỏi Toán các cấp, có rất nhiều em tự tin để đăng kí tham gia thi các
cấp đạt kết quả cao ( Trong 4 năm liên tục, trường THCS Phú Xuân đều có HS giỏi cấp Huyện, cấp
Tỉnh và cấp Quốc gia).
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trên đây tôi đã trình bày cách nhận dạng và các phương pháp “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
một biểu thức”. Trước khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ dễ đến khó và tìm ra
phương pháp phù hợp để giải. Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng dạng, và tự đặt
thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải.
Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi dạng và tìm ra
hướng tư duy, hướng giải và phát triển bài toán, sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biết phân
dạng và tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề và tôi tin
chắc rằng Toán học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh.
Đây là một vấn đề thiết thực không chỉ với riêng trường THCS Phú Xuân mà đối với các trường
THCS. Với những kinh nghiệm còn hạn chế tôi chỉ đi sâu nghiên cứu một số giải pháp áp dụng
thực tế ở trường. Rất mong nhận được sự quan tâm xây dựng đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp
để giúp tôi hoàn thành tốt hơn nữa vai trò, nhiệm vụ của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
* Kiến nghị: Các SKKN của GV sau khi được Hội đồng khoa học các cấp ghi nhận thì nên phổ biến
rộng rãi trong toàn ngành để thực hiện, phải được áp dụng vào thực tiễn thì sáng kiến đó mới thực
sự có ý nghĩa.
Krông Năng, ngày 16 tháng 03 năm 2016
Người viết

Trương Mỹ Trung
25