Dàn thời gian tần số gabor và đồng nhất thức wexler raz (LV01842)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ĐÌNH HÙNG

DÀN THỜI GIAN - TẦN SỐ GARBOR
VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ĐÌNH HÙNG

DÀN THỜI GIAN - TẦN SỐ GABOR
VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN QUỲNH NGA

Hà Nội, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS. Nguyễn
Quỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành
luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Phạm Đình Hùng


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Phạm Đình Hùng


Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . .

4

1.2

Một số không gian

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Khung tổng quát trong không gian Hilbert . . . . . . . . .

9

1.5

Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Dàn thời gian – tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler –
Raz

27

2.1

Hàm đối ngẫu khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2

Đồng nhất thức Wexler-Raz

2.3

Hàm đối ngẫu Wexler – Raz đồng nhất với hàm đối ngẫu

. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

khung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4

Một chứng minh độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Kết luận
Tài liệu tham khảo

54
55


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Khung được R.J. Duffin và A.C. Schaeffer [5] đưa ra chính thức vào năm
1952. Tuy nhiên, phải đến năm 1986, sau bài báo của I. Daubechies,
A. Grossmann và Y.Meyer [3] thì khung mới được các nhà khoa học quan
tâm rộng rãi. Khung được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu,
xử lý hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết mẫu, lí thuyết mật mã, lí thuyết
lượng tử,. . . Một khung có thể xem như một cơ sở trực chuẩn suy rộng. Nó
cho phép biểu diễn mỗi vectơ trong không gian thành một tổ hợp tuyến
tính vô hạn của các vectơ trong khung, tuy nhiên các hệ số biểu diễn là
không duy nhất. Chính nhờ tính chất đó mà khung có nhiều ứng dụng
quan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó cho chúng ta tính
bền vững: chất lượng của tín hiệu có thể bị ảnh hưởng ít hơn khi có nhiễu
tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ các mẫu có độ chính xác thấp
(xem [1]). D. Gabor, một nhà vật lí và kĩ sư điện người Hungary, cũng là
người đã nhận giải Nobel về vật lý, năm 1946 trong [6] đã đưa ra ý tưởng
khai triển một hàm f thành một chuỗi của các hàm cơ bản, đươc xây dựng
từ một hàm duy nhất trong L2 (R) bằng các phép tịnh tiến và biến điệu.
Cụ thể hơn, ông đề xuất khai triển hàm f thành chuỗi

f=

cm,n gmα,nβ
m,n∈Z

(1)


2

trong đó các hàm cơ bản gmα,nβ được định nghĩa bởi

gmα,nβ (t) = g (t − nβ) e−2πimαt , m, n ∈ Z

(2)

với một hàm cố định g và các tham số dịch chuyển thời gian, tần số

α, β > 0. Các hàm gmα,nβ trong (2) nhận được nhờ dịch chuyển g dọc theo
một dàn Λ = β Z × αZ trong mặt phẳng thời gian – tần số. Các dàn thời
gian – tần số Gabor{gmα,nβ }m,n∈Z được xác định bởi (2) là công cụ tiềm
năng để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc. Với
mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và dàn thời
gian - tần số Gabor nói riêng, được sự đồng ý hướng dẫn của TS. Nguyễn
Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn: “Dàn thời gian - tần số Gabor và Đồng
nhất thức Wexler - Raz” làm đề tài luận văn cao học của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và dàn thời gian –
tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler - Raz.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nắm vững các kiến thức cơ sở bao gồm các tính chất của các toán tử
tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert, lý thuyết khung tổng quát
trong không gian Hilbert. Nghiên cứu dàn thời gian - tần số Gabor và
đồng nhất thức Wexler - Raz.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức
Wexler - Raz. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài


3

nước liên quan đến dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức
Wexler - Raz.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận
vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.

6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn hy vọng sẽ là một tài liệu tổng quan về dàn thời gian - tần số
Gabor và đồng nhất thức Wexler - Raz.


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một vài khái niệm, kết quả cơ bản
sẽ dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ các tài liệu
[1], [3], [5], [8], [10].

1.1

Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert

K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số c > 0 sao
cho

T x ≤ c x , với mọi x ∈ H.

(1.1)

Ký hiệu B(H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào

K . Khi H = K thì B(H, K) được ký hiệu đơn giản là B(H).
Chuẩn của T ∈ B(H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói một cách tương đương,

T = sup { T x : x ∈ H, x ≤ 1}
= sup { T x : x ∈ H, x = 1} .
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử H, L , K là các không gian Hilbert.
Nếu T ∈ B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B (K, H) sao
cho

T ∗ x, y = x, T y , (x ∈ K, y ∈ H)


5

Hơn nữa,
i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ .
ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ .
iii) (T ∗ )∗ = T.
iv) I ∗ = I.
∗

v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và (T −1 ) = (T ∗ )−1 , trong
đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) và a, b ∈ C.
Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T .
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K, L). Khi đó
i) T x ≤ T

x , ∀x ∈ H .

ii) ST ≤ S

T .

iii) T = T ∗ .
iv) T T ∗ = T

2

.

Cho T ∈ B(H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T , là
unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I . T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu

T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H .
Chú ý rằng với mỗi T ∈ B(H) thì T ∗ T x, x = T x, T x ≥ 0 với mọi

x ∈ H . Do đó T ∗ T là dương.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử T ∈ B(H). Khi đó
i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu T x, x là thực với mọi x ∈ H . Đặc
biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H .
Mệnh đề 1.1.4. Nếu U ∈ B (H) là toán tử tự liên hợp thì

U = sup | Uf, f | .
f =1


6

Mệnh đề 1.1.5. Cho X là không gian Banach. Nếu U : X → X bị
chặn và I − U < 1 thì U khả nghịch và U

U −1 ≤

1
1− I−U

∞

−1

=

(I − U )k . Ngoài ra,

k=1

.

Cho T : X → Y.
Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng các ký hiệu sau:
N (T ) = {x ∈ X | T x = 0} và R (T ) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : T x = y}.
Mệnh đề 1.1.6. Cho T ∈ B (H). Khi đó R (T ∗ ) = N (T )⊥ .

1.2

Một số không gian
∞
p

Ta ký hiệu L (R) =

f : R → C | f đo được và

|f (x)|p dx < +∞

−∞

với 1 ≤ p < ∞.
Lp (R), 1 ≤ p < ∞, là các không gian Banach với chuẩn
∞

1

p

/p

|f (x)| dx

f =

.

−∞

Đặc biệt, L2 (R) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được
xác định bởi
∞

f, g =

∞

1

2

/2

|f (x)|

f (x)g (x)dx, f =

.

−∞

−∞

Tương tự ta ký hiệu


2
L [a, b] = f : [a, b] → C | f đo được và


b

a



2
|f (x)| dx < +∞ .


L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định
bởi
1

b

f, g =

b

f (x)g (x)dx, f =
a

a

|f (x)|2 dx

/2

.


7

Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tích phân). Với mọi

f, g ∈ L2 (R) ta có
∞

|f (x)|2 dx

|f (x) g (x)|dx ≤ 
−∞

1 /2 

∞



−∞

1 /2

∞



|g (x)|2 dx

.

−∞

Một phiên bản rời rạc của L2 (R) là l2 (I) với I là một tập chỉ số đếm
được.

l2 (I) =

|xk |2 < +∞

{xk }k∈I ⊂ C |
k∈I

l2 (I) là không gian Hilbert với tích vô hướng {xk } , {yk } =

xk yk .
k∈I

Định lý 1.2.2. (Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tổng). Với mọi

{xk }k∈I , {yk }k∈I ∈ l2 (I) ta có
2
k∈I

1.3

|xk |2

≤

x k yk

k∈I

|yk |2 .
k∈I

Phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier

Cho f ∈ L1 (R), biến đổi Fourierfˆ được định nghĩa bởi
∞

fˆ (ξ) :=

f (x)e−2πixξ dx, ξ ∈ R
−∞

Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của f là Ff . Nếu L1 (R)∩L2 (R)
được trang bị chuẩn L2 (R), biến đổi Fourier là một phép đẳng cự từ

L1 (R) ∩ L2 (R) đến L2 (R). Nếu f ∈ L2 (R) và {fk }∞
k=1 là một dãy của
các hàm trong L1 (R) ∩ L2 (R) và hội tụ đến f trong không gian L2 (R),
∞
thì dãy fˆk
cũng hội tụ trong L2 (R), tới một giới hạn độc lập với lựa
k=1

chọn của {fk }∞
k=1 . Bằng cách định nghĩa

fˆ := lim fˆk
k→∞


8

ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L2 (R) lên

L2 (R). Ta sẽ dùng cùng ký hiệu để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt, ta có
đẳng thức Plancherel

fˆ, gˆ = f, g , ∀f, g ∈ L2 (R) , và fˆ = f .

(1.2)

Định lý 1.3.1. Nếu f, g ∈ L1 (R) và α, β ∈ C, ω, a, b ∈ R thì
i)F (αf + βg) = αF (f ) + βF (g)
ii) F (Ta f ) (ω) = e−2πiaω fˆ (ω)
iii) F (Eb f ) (ω) = fˆ (ω − b)
trong đó Ta f (x) := f (x − a) và Eb f (x) : = e2πibx f (x).
Chuỗi Fourier có liên quan đến các hàm trong bất cứ không gian L2 (I),
trong đó I là một khoảng bị chặn trong R. Nhưng vì mục đích thuận tiện
về sau, chúng tôi xét các hàm trong L2 0, 1b ở đó b > 0. Do các hàm

√
ek (x) =

be2πikbx , k ∈ Z

(1.3)

tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2 0, 1b , mọi hàm f ∈ L2 0, 1b có
khai triển

f=

ck ek

(1.4)

f (x) e−2πikbx dx

(1.5)

k∈Z

trong đó
1
b

√
ck = f, ek =

b
0

Chuỗi (1.4) được gọi là chuỗi Fourier của f và {ck }k∈Z được gọi là các
hệ số Fourier.


9

Bổ đề 1.3.2. Cho f, g ∈ L2 0, 1b với b > 0 và xét các chuỗi Fourier

dk ek

ck ek , g =

f=

k∈Z

k∈Z

trong đó ek cho bởi (1.3). Khi đó

ck dk .

f, g =
k∈Z

1.4

Khung tổng quát trong không gian Hilbert

Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như
một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên điều
kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa
các thành phần và đôi khi chúng ta lại yêu cầu các thành phần trực giao
tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho việc tìm khó khăn
hoặc không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đó là lí do
người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn.
Khung là một công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được
trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian
được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,
nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần
thiết.

Cho H là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng tuyến tính theo
thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai.
Định nghĩa 1.4.1. Dãy {fi }∞
i=1 trong H được gọi là dãy Bessel nếu
∞

| f, fi |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H

∃B > 0,
i=1


10

B được gọi là cận Bessel của {fi }∞
i=1 .
Một dãy Bessel {fi }∞
i=1 được gọi là một khung nếu
∞

∃A > 0 : A f

2

| f, fi |2 , ∀f ∈ H

≤
i=1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau.

Định nghĩa 1.4.2. Một dãy {fi }∞
i=1 trong H là một khung nếu tồn tại hai
hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho
∞

A f

2

| f, fi |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H

≤

(1.6)

i=1

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận
khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận
khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng
các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung {fi }∞
i=1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval
nếu A = B = 1.
Mệnh đề 1.4.3. Cho một dãy {fj }m
j=1 trong không gian Hilbert hữu hạn
m
m
chiều V. Khi đó {fj }m
j=1 là một khung cho span {fj }j=1 ( span {fj }j=1 là

ký hiệu của bao tuyến tính của tập {fj }m
j=1 ).
Chứng minh.
Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không. Như vậy
m

ta thấy, điều kiện khung trên thỏa mãn với B =

fj 2 . Bây giờ lấy

j=1

W :=

span {fj }m
j=1

và xem xét ánh xạ liên tục
m

| f, fj |2 .

Φ : W → R, Φ (f ) :=
j=1

Do mặt cầu đơn vị trong W là compact, ta có thể tìm g ∈ W với g = 1


11

sao cho
m

| g, fj |2 = inf

A :=
j=1




m



j=1



2
| f, fj | : f ∈ W, f = 1 .


Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f ∈ W, f = 0, ta có
m

m
2

| f, fj | =
j=1

j=1

f
, fj
f

2

f

2

≥ A f 2.

Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 1.4.4. Một họ các phần tử {fj }m
j=1 trong V là một khung của V
khi và chỉ khi span {fj }m
j=1 = V .
Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để là cơ sở.
Ví dụ 1.4.5.
Lấy H = R2 , e1 = (0, 1)T , e2 =
một khung chặt H với cận khung

√

3 1
2 ,2
là 32 .

√

T

, e3 =

Thật vậy, với x = (x1 , x2 )T ∈ H bất kì ta có
√
2
3
3
1
| x, ej |2 = x22 +
x1 + x2 +
2
2
j=1

3 2
x1 + x22
2
3
= x 2.
2

=

Ví dụ 1.4.6.
Giả sử {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H .
i){ek }∞
k=1 là một khung Parseval.

3 −1
2 , 2

√

T

, {e1 , e2 , e3 } là

3
1
x1 − x2
2
2

2


12

ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞
k=1 hai lần ta thu được
∞

{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}. Khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung

A = 2.
Thật vậy, ta có
∞

∞
2

| f, ek |2 = 2 f 2 , ∀f ∈ H.

| f, fk | = 2
k=1

k=1

Nếu chỉ e1 được lặp lại thì ta thu được {fk }∞
k=1 = {e1 , e2 , e2 , ...}. Khi đó

{fk }∞
k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có
∞

∞
2

2

| f, ek |2

| f, fk | = | f, e1 | +
k=1

k=1
∞

∞
2

≤

| f, ek |2

| f, ek | +
k=1
∞

k=1

| f, ek |2

=2
k=1

2

=2 f
Mặt khác,
∞

2

∞
2

| f, e1 | +

| f, ek |2 = f 2 .

| f, ek | ≥
k=1

k=1

Do đó
∞

f

2

| f, fk |2 ≤ 2 f 2 , ∀f ∈ H.

≤
k=1

Vì vậy

{fk }∞
k=1

là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận

khung trên là 2.
∞
√1
√1
√1
√1
√1
iii) Giả sử {fk }∞
k=1 := e1 , 2 e2 , 2 e2 , 3 e3 , 3 e3 , 3 e3 , ... , nghĩa là {fk }k=1

là dãy mà mỗi vectơ

√1 ek
k

được lặp lại k lần.

Khi đó với mỗi f ∈ H có
∞

∞
2

| f, fk | =
k=1

k

k=1

1
f, √ ek
k

2

= f 2.


13

Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung là A = 1.
Định nghĩa 1.4.7. Dãy {fk }∞
k=1 được gọi là đầy đủ trong H nếu

span {fk }∞
k=1 = H .
∞
Bổ đề 1.4.8. Nếu {fk }∞
k=1 là một khung của H thì {fk }k=1 là một dãy đầy

đủ trong H.
Chứng minh.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g = 0 thuộc H sao cho

g⊥span {fk }∞
k=1 .
∞

Khi

g, fk

đó

=

0, với

mọi

k.

Khi

đó

| g, fk |2 = 0. Mặt khác, do {fk } là một khung nên tồn tại

k=1

0 < A < +∞ sao cho A f
ta được A g

2

∞

≤

2

∞

≤

| f, fk |2 , với mọi f ∈ H . Cho f = g

k=1

| g, fk |2 = 0. Do g = 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên

k=1

chứng tỏ span {fk }∞
k=1 = H .
Định lý sau cho ta một đặc trưng của dãy Bessel thông qua toán tử tổng
hợp T .
∞
Định lý 1.4.9. Giả sử {fk }∞
k=1 là một dãy trong H . Khi đó {fk }k=1 là

một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
∞

T :

{ck }∞

k=1

→

ck fk

(1.7)

k=1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và
√
T ≤ B.
Chứng minh.
Trước hết, giả thiết {fk }∞
k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B. Giả sử
∞
2
{ck }∞
k=1 ∈ l (N). Ta phải chỉ ra T {ck }k=1 là hoàn toàn xác định, tức là


14
∞

ck fk là hội tụ. Xét m, n ∈ N, n > m. Khi đó
k=1
n

m

n

ck fk −
k=1

ck fk =
k=1

ck fk
k=m+1
n

= sup

ck fk , g

g =1

k=m+1
n

|ck fk , g |

≤ sup
g =1 k=m+1

1
2

n

|ck |2

≤

≤

| fk , g |2

sup
g =1

k=m+1

k=m+1

1
2

n

√

1
2

n

|ck |2

B
k=m+1

Do

{ck }∞
k=1

2

n

∈ l (N), ta biết rằng

∞
2

|ck |
k=1

n

là dãy Cauchy trong C.
n=1

∞

ck fk

Tính toán tương tự như trên chỉ ra rằng
k=1

là một dãy Cauchy
n=1

trong H và do đó hội tụ. Vậy T {ck }∞
k=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T
là tuyến tính. Từ
∞
T {ck }∞
k=1 = sup | T {ck }k=1 , g | ,
g =1

tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và T

≤

√

B . Để chứng
√
minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định và T ≤ B .
Gọi T ∗ : H → l2 (N) là toán tử liên hợp của T . Gọi {ej }∞
j=1 là cơ sở trực
chuẩn chính tắc của l2 (N), tức là hệ gồm các vectơ ej bằng 1 ở vị trí thứ

j , bằng 0 ở các vị trí còn lại. Từ (1.7) ta suy ra T (ek ) = fk với mọi k ∈ N.
Khi đó

T ∗ f, ek = f, T ek = f, fk , ∀k ∈ N.


15

Từ đó

T ∗ f = { f, fk }∞
k=1 ,

(1.8)

và
∞

| f, fk |2 = T ∗ f

2

≤ T∗

2

f

2

= T

2

f

2

≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

k=0

Từ đó {fk }∞
k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B.
∞

gk trong không gian Banach X được gọi là

Định nghĩa 1.4.10. Chuỗi
k=1
∞

gσ(k) hội tụ tới cùng một phần tử với mọi

hội tụ không điều kiện nếu
k=1

hoán vị σ .
Hệ quả 1.4.11. Nếu {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel trong H, thì
2
tụ không điều kiện với mọi {ck }∞
k=1 ∈ l (N).

∞

ck fk hội
k=1

Do một khung {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel nên toán tử
∞
2

T : l (N) → H, T

{ck }∞
k=1

=

ck fk
k=1

bị chặn theo Định lý 1.4.9. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Gọi T ∗ : H → l2 (N) là toán tử liên hợp của T . Theo (1.8) ta có
∗
T ∗ f = { f, fj }∞
j=1 . T được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành của T

và T ∗ được gọi là toán tử khung
∞
∗

S : H → H, Sf = T T f =

f, fk fk .

(1.9)

k=1

Bổ đề 1.4.12. Giả sử {fk }∞
k=1 là một khung với toán tử khung S với các
cận khung A,B. Khi đó ta có các khẳng định sau
i) S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương.
ii) S −1 fk

∞
k=1

là khung với các cận B −1 , A−1 . Nếu A, B là các cận tối ưu

−1
−1
của {fk }∞
là các cận tối ưu của S −1 fk
k=1 thì các cận B , A

tử khung của S −1 fk

∞
k=1

là S −1 .

∞
.
k=1

Toán


16

Chứng minh.
(i) S bị chặn do là hợp thành của hai toán tử bị chặn. Ta có

S = TT∗ ≤ T

2

T∗ = T

≤ B. Do S ∗ = (T T ∗ )∗ = T T ∗ = S ,

toán tử S là tự liên hợp. Bất đẳng thức

A f

2

2

≤

2

| f, fk | ≤ B f

có thể viết thông qua toán tử S là

A f

2

≤ Sf, f ≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

Từ đó AI ≤ S ≤ BI , do đó S dương.
Ngoài ra, 0 ≤ I − B −1 S ≤

B−A
B I

I − B −1 S = sup

và do đó

I − B −1 S f, f

≤

f =1

B−A
< 1.
B

Do đó, theo Mệnh đề 1.1.5 ta có S −1 là khả nghịch hay S khả nghịch.
(ii) Chú ý rằng với f ∈ H ,
∞

∞
2

−1

f, S fk
k=1

S −1 f, fk

=
k=1
−1

2

≤B S f
≤ B S −1
Nghĩa là, S −1 fk

S −1 fk

∞
k=1

∞
k=1

2

2

f 2.

là một dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung của

hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên f ∈ H

bởi
∞

∞
−1

−1

f, S fk S fk = S
k=1

−1

S −1 f, fk fk = S −1 SS −1 f = S −1 f.
k=1

(1.10)
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của S −1 fk

∞
k=1

bằng S −1 . Toán tử S −1

giao hoán với cả S và I . Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức AI ≤ S ≤ BI


17

với S −1 , điều này cho ta

B −1 I ≤ S −1 ≤ A−1 I,
tức là

B −1 f

2

≤ S −1 f, f ≤ A−1 f 2 , ∀f ∈ H.

Do (1.10) ta có
∞

B

−1

f

2

2

f, S −1 fk

≤

≤ A−1 f 2 , ∀f ∈ H.

k=1

Vì vậy, S −1 fk

∞
k=1

là một khung với các cận khung B −1 , A−1 .

Để chứng minh tính tối ưu của các cận ( trong trường hợp A, B là các cận
∞
tối ưu của {fk }∞
k=1 ), giả sử A là cận dưới tối ưu của {fk }k=1 và giả thiết

rằng cận trên tối ưu của S −1 fk

∞
k=1

là C < A1 .

Bằng cách áp dụng điều vừa chứng minh cho khung S −1 fk
tử khung S −1 , ta thu được{fk }∞
k=1 =
1
C

S −1

−1

S −1 fk

∞
k=1

∞
k=1

có toán

có cận dưới là

> A, nhưng điều này là mâu thuẫn.

Vì vậy, S −1 fk

∞
k=1

có cận trên tối ưu là

1
A.

Lập luận tương tự cho cận

dưới tối ưu.
Khung S −1 fk được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fk }.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {fk } là một khung của H thì mọi phần tử
trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần
tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.
Định lý 1.4.13. Giả sử {fk }∞
k=1 là một khung với các toán tử khung là S.
Khi đó

∞

f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H,

f=
k=1

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H .

(1.11)


18

Chứng minh.
Giả sử f ∈ H . Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Bổ đề 1.4.12
ta có
∞

∞

−1

−1

f = SS f =

f, S −1 fi fi , ∀f ∈ H.

S f, fi fi =
i=1

i=1

Do {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel và

f, S −1 fk

∞
k=1

∈ l2 (N), theo Hệ quả

1.4.11, chuỗi hội tụ không điều kiện.

f, S −1 fk

Các hệ số khung

∞
k=1

có chuẩn l2 nhỏ nhất trong số tất cả các

dãy biểu diễn f .
Mệnh đề 1.4.14. Giả sử {fk }∞
k=1 là một khung của H và f ∈ H . Nếu f
∞

có biểu diễn f =
k=1
∞

ck fk với các hệ số {ck }∞
k=1 nào đó thì

∞

∞

2

−1

|ck | =
k=1

f, S fk

2

k=1

ck − f, S −1 fk

+

2

.

(1.12)

k=1

Chứng minh.

Ta có thể viết

ck = ck − f, S −1 fk + f, S −1 fk .
∞

∞

ck fk =

Do
k=1

f, S −1 fk fk nên

k=1
∞

ck − f, S −1 fk fk = 0.

(1.13)

k=1

Gọi T là toán tử tổng hợp tương ứng với dãy {fk }∞
k=1 . Khi đó (1.13) tương
đương với

T
hay ck − f, S −1 fk
của T .

∞
k=1

ck − f, S −1 fk

∞
k=1

=0

∈ N (T ) trong đó N (T ) ký hiệu là hạt nhân


19

Mặt khác

f, S −1 fk

∞
k=1

S −1 f, fk

=

∞
k=1

= T ∗ S −1 f ∈ R (T ∗ ) ,

trong đó R (T ∗ ) ký hiệu là miền giá trị của T ∗ .
∞
vuông
k=1
2
f, S −1 fk .

Do R (T ∗ ) = N (T )⊥ nên ck − f, S −1 fk
Từ đó |ck |2 =

f, S −1 fk

2

+ ck −

góc với

f, S −1 fk

Từ đó ta suy ra (1.12).

1.5

Khung Gabor

Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L2 (R) được dựa trên hai
lớp toán tử trên L2 (R), đó là

Phép tịnh tiến

a ∈ R, Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) .
Phép biến điệu

b ∈ R, Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) .
Bổ đề sau cho ta mối liên hệ hoán tử giữa hai toán tử Ta và Eb .
Bổ đề 1.5.1.

Ta Eb f (x) = e−2πiba Eb Ta f (x) = e2πib(x−a) f (x − a) .
Chứng minh.
Ta có

Ta Eb f (x) = Ta e2πibx f (x) = e2πib(x−a) f (x − a)
và

Eb Ta f (x) = Eb (f (x − a)) = e2πibx f (x − a) .

(1.14)

∞
.
k=1


20

Từ đó ta có (1.14).
Gabor

là

người

e−2πimαx g (x − nβ)
g (x) = e

−x2
2

đầu
m,n∈Z

tiên

xét

dãy

các

hàm

có

dạng

, trong đó αβ = 1 và g là hàm Gauss,

. Khá lâu sau này, David và Heller quan sát rằng hệ Ga-

bor đặc biệt này dẫn đến khai triển không ổn định và không phù hợp cho
hầu hết các ứng dụng về sau. David và Heller đề nghị khắc phục khó khăn
này bằng cách lựa chọn α, β sao cho αβ < 1.
Giải tích Gabor đi theo hướng mới hoàn toàn với bài báo cơ sở [3] của
Daubechies, Grossmann và Meyer từ năm 1986. Đây là lần đầu tiên xuất
hiện ý tưởng kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung.
Định nghĩa 1.5.2. Khung Gabor là một khung trong L2 (R) có dạng

{gmα,nβ }m,n∈Z , trong đó gmα,nβ (x) := e−2πimαx g (x − nβ) với α, β > 0
và g ∈ L2 (R) là hàm cố định.
Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl – Heisenberg. Hàm g
được gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh. Chú ý khi nói về khung Gabor,
ta hàm ý là khung cho toàn bộ L2 (R), nghĩa là, ta sẽ không làm việc với
các khung cho các không gian con.
Hệ Gabor {gmα,nβ }m,n∈Z chỉ bao gồm các tịnh tiến với tham số nβ, n ∈ Z
và biến điệu với tham số mα, m ∈ Z. Điểm {(mα, nβ)}m,n∈Z tạo thành
một dàn trong R2 và vì lý do này {gmα,nβ }m,n∈Z cũng được gọi là dàn thời
gian – tần số Gabor hay dàn Gabor. Dàn Gabor là công cụ tiềm năng để
phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc.
Định lý sau cho ta điều kiện cần để hệ Gabor {gmα,nβ }m,n∈Z là một khung
trong L2 (R).
Định lý 1.5.3. Giả sử g ∈ L2 (R) và cho α, β > 0. Khi đó, nếu {gmα,nβ }m,n∈Z
là một khung thì αβ ≤ 1.
Ta lưu ý là có thể chứng minh kết quả mạnh hơn. Khi αβ > 1, họ