Hướng khai thác hhp

Trong các năm gần đây, trong đề thi Đại học có thể chia làm 2 nội dung và
phương pháp chính: Đó là đặt ẩn x,y cho một điểm rồi từ quan hệ độ dài,
song song để tìm ra x,y đó (như 2 bài kA,kB 2014) hoặc liên quan đến yếu
tố 2 cạnh vuông góc để từ yếu tố đó giải tìm ra điểm, phương trình (như
2013,2012..). Trong bài viết này anh xin đề cập đến hướng giải thứ 2 đó là
các yếu tố vuông gócvà đưa ra một số bài toán kiểu như vậy nhưng chỉ là
hình học thuần túy như hồi cấp 2 mà không gắn tọa độ vào. Khi người ta ra
đề sẽ gắn tọa độ vào để bắt chúng ta đi tìm pt cạnh, tìm điểm nhưng mấu
chốt là các em vẫn phải tìm ra 2 cạnh nào vuông góc với nhau! vậy làm sao
để biết nhanh 2 cạnh nào vuông góc với nhau để đi chứng minh và áp dụng
nó? Anh có thể nói là nếu các em nhanh dạy dựa vào đề thì các em sẽ nhận
ra ngay, còn đối với các bạn chưa thể nhìn ra dựa vào đề thì hãy vẽ thật đúng
hình, đúng độ dàu tỉ lệ từng cạnh và từ hình đó ta sẽ nhìn ra thôi! Sau đây
anh xin nêu ra một số bài toán kiểu như vậy. các em chưa vội xem bài giảng
vội, thử vẽ hình và tìm ra nó, chứng minh nó. Và điều đó rất có ích cho các
em thi hsg12 hay hhp trong đề thi ĐH hiện nay! và sau đây là một số bài
toán kiểu đó!
ˆ =D
ˆ = 900 ) có CD = 2AB .Gọi H
Bài 1 : Cho hình thang vuông ABCD ( A
là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC.
Chứng minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua
BM.
Bài giải
Hạ BE ⊥ DC , E ∈ DC

1


Theo bài ta có ME là đường trung bình trong VDEC ⇒ ME // DH ⇒
ˆ = 900

ME ⊥ AC ⇒ AME
ˆ = 900 (theo cách dựng)
Mặt khác : ABE
_A

_B

_H

M
_

_D

_C

_E

ˆ = BEA
ˆ ( vì cùng chắn ¼
⇒ ◊ ABME là tứ giác nội tiếp ⇒ AMB
AB ) (1)
ˆ = 900 (giả thiết )
Mặt khác : ADB

ˆ = AMD
ˆ (vì cùng chắn ¼
⇒ ◊ ADEM là tứ giác nội tiếp ⇒ AED
AD )
(2)

ˆ = AMD
ˆ + AMB
ˆ = AED
ˆ + BEA
ˆ = 900
Từ (1) và (2) ⇒ DMB
Hay DM ⊥ BM tại M (điều phải chứng minh)
Nhận xét : Cách trên đã sử dụng phương pháp 1 là dụng định nghĩa để
chứng minh hai đường thẳng vuông góc tức là chứng minh góc tạo thành
bởi hai đường thẳng đó bằng 900 .
Khai thác bài toán : Nếu ta tìm cách tạo đường một đường thẳng song song
với một trong hai đường thẳng cần chứng minh và chứng minh đường thẳng
này vuông góc với đường thẳng còn lại thì ta có cách làm thư hai của bài
toán này. Cách làm thứ 2 được trình bày như sau:
Cách 2: Dựa vào tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song.
Kẻ MI // AB (1) ⇒ MI ⊥ AD (vì AB ⊥ AD) (2)

2


_B

_A
H
_

M
_
_I

_D

_C

Lại có DH ⊥ AC(giả thiết ) ⇒ DI ⊥ AM (3)
Từ (2) và (3) ⇒ I là trực tâm của VADM
⇒ AI ⊥ DM (*)
 MI / / DC (vì cùng / / AB)
⇒ MI là đường
Mặt khác : Trong V DHC có : 
 MH = MC ( gt )
1
trung bình ⇒ MI = CD hay MI = AB (4)
2
Từ (1) và (4) ⇒ ABMI là hình bình hành
⇒ BM // AI (**)
Từ (*) , (**) suy ra BM ⊥ DM (điều phải chứng minh)
Nhận xét : Cách trên đã sử dụng phương pháp thứ 2 để chứng minh
hai đường thẳng vuông góc.Như vậy trong một bài toán ta có thể linh hoạt
vẽ them các đường phụ để thuận lợi áp dụng các cách chứng minh dễ dàng.
Ngoài ra ta còn có thể áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác
vuông để giải quyết bài toán này. Cách làm này như sau :
Cách 3 : Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.
Kẻ BE ⊥ DC tại E
Dễ dàng chứng minh được ABDE là hình chữ nhật
⇒ AB = DE = EC .

3

_A

_B
H
_

M
_

_O
_
E

D
_
Trong V

_C

 ED = EC
⇒
DHC có : 
 MH = MC

EM là đường trung bình ⇒ EM

⊥ HC ⇒ V AME là tam giác vuông tại M

Gọi O là trung điểm của AE ⇒ O cũng là trung điểm của BD ⇒ MO là

đường trung tuyến trong tam giác BDM (1)
Trong Vvuông AEM có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒
MO =

1
AE
2

Mà AE = BD (tính chất đường chéo hình chữ nhật)
Nên MO =

1
BD (2)
2

Từ (1) và (2) suy ra V BDM là tam giác vuông tại M hay BM ⊥ DM tại M
(điều phải chứng minh).
Nhận xét : Với cách trên ta vừa sử dụng tính chất đường trung tuyến
trong tam giác để giải quyết bài toán chứng minh.Cách áp dụng này khá dễ
dàng và có thể áp dụng đưa bài toán cho học sinh lớp 7 giải được.
Qua ba cách làm bài toán trên, ta thấy cùng một bài toán nhưng ta có
thể giải quyết chúng theo nhiều cấp lớp khác nhau phù hợp với trình độ
nhận thức của học sinh.Với cách thứ nhất áp dụng cho học sinh lớp 9, cách
thứ 2 đối với học sinh lớp 8 , còn cách thứ 3 áp dụng đối với học sinh lớp 7.
Như vậy với các cách chứng minh hai đường vuông góc ta đã tạo ra sự lí
thú khi ra đề bài hình học cho học sinh trung học cơ sở : đối với các lớp
càng cao (lớp 8, lớp 9) ta có thể yêu cầu tìm nhiều cách giải có thể.Từ đó
giúp cho học sinh có được tư duy hình học và khả năng khai thác bài toán

4

hiệu quả, đặc biệt tạo cho học sinh thái độ tích cực, hứng thú đối với môn
học.
Bài 2 : Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình
chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh
AO vuông góc với BE.
Bài làm
Gọi K là trung điểm của EC. Ta có :
HK là đường trung bình của V BEC nên HK // EB (1)
Trong V EHC ta cũng có OK là đường trung bình nên OK // HC.(2)

Mà AH ⊥ HC (giả thiết ) (3)
Từ (2) và (3) ta có OK ⊥ AH (*)
Lại có HE ⊥ AC (vì E là hình chiếu của H trên AC) (**)
Từ (*) , (**) suy ra O là trực tâm của V AHK
⇒ AO ⊥ HK (4)
Từ (1) và (4) suy ra AO ⊥ BE (điều phải chứng minh)
Nhận xét : Ta vừa sử dụng phương pháp thứ 2 để giải quyết bài toán
trên. Mấu chốt của bài toán là AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường
cao của VABC. Vì vậy nếu tat hay đổi hình dạng của tam giác nhưng vẫn
đảm bảo AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến thì ta được bài
toán mới với cách giải tương tự như trên.Chẳng hạn ta có các bài toán sau :
Bài 2.1 . : Cho tam giác đều ABC,gọi H là trung điểm của BC và E là hình
chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh
AO vuông góc với BE.

5

_A

_E
B
_

_60

_C

H
_

Cách giải bài toán trên hoàn toàn tương tự như bài 2.
ˆ = 900) . Gọi H là trung điểm
Bài 2.2. Cho tam giác vuông cân ABC ( A
của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn
thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE.

A
_

_E
_O
B
_

C
_

H
_

Cách giải bài toán cũng hoàn toàn tương tự bài toán 2.
Bài toán trên chứng minh dựa vào quan hệ giữa song song và vuông góc
giữa các đường thẳng. Nếu ta không tạo đường song song HK với BE thì
sao? Bài toán sẽ trở thành bài toán như thế nào? Câu trả lời là : Bài toán sẽ
có đề bài như sau :
ˆ = 900. Đường cao HE. Gọi O ,
Bài 2.3.Cho tam giác vuông AHC có H
Klần lượt là trung điểm của EH và EC. Chứng minh AO vuông góc với HK.

6


Bài giải

_A

_E
O
_
_K

H
_

_C

Từ giả thiết có OK là đường trung bình của tam giác EHC ⇒ OK // HC.

Mặt khác : HC ⊥ AH
⇒ OK ⊥ AH
Xét tam giác AHK có HE ⊥ AC, OK ⊥ AH ⇒ O là trực tâm của tam
giác AHK ⇒ AO ⊥ HK.
Nhận xét : Như vậy bài toán 2 là trường hợp đặc biệt của bài toán trên
.Bằng cách cho thêm điểm B đối xứng với điểm C qua H.Ta có được bài
toán 2.
Hoàn toàn vẫn là bài toán 2 nhưng với cách phát biểu khác ta có bài toán
2.4.
Bài 2.4.Cho V ABC cân tại A, đường cao AH. Hạ HI ⊥ AC, M là trung
điểm của HI. Chứng minh BI vuông góc với AM.
Tiếp tục phát triển theo hướng trên tạo đường thẳng song song với AO thì
đường thẳng đó ắt vuông góc với BE.
Ta có bài toán sau :
Bài 2.5.Cho hình chữ nhật ABCD .Gọi H là hình chiếu của B trên AC. I và
N lần lượt là trung điểm của AD và HC. Chứng minh BN vuông góc với IN.
7


Bài giải

_A

_I

_H
M
_
_N

_B

_C

Gọi M là trung điểm của BH
Ta có : AM ⊥ BN (đã chứng minh ở bài toán 2.1) (*)
Ta còn chứng minh AM // IN
Thật vậy :
Do MN là đường trung bình của

V HBC nên MN // BC và MN = 1 BC
2

Mặt khác : ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của AD nên AI // BC
và AI =

1 BC .
2

Do đó AI // MN và AI = MN ⇒ MNIA là bình hành ⇒ AM // IN (**)
Từ (*) và (**) suy ra BN vuông góc với IN.
Bài toán 2.5 còn nhiều cách giải. Nếu ta kết hợp bài toán 2.4 và 2.5 thì ta sẽ
được một bài toán mới khó hơn chút xíu. Bài toán như sau :
Bài toán 2.6. Cho V ABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật
AHCK, HI vuông góc với AC. M , N lần lượt là trung điểm của IC và AK .
Chứng minh MN vuông góc với BI.
Bài làm
Hình vẽ : hình 10
Gọi J là trung điểm của HI
8

Áp dụng bài toán 2.4 ta có BI ⊥ AJ.
Mặt khác theo chứng minh của bài 2.5
AJMN là hình bình hành và AJ //
MN
Vậy MN ⊥ BI (điều phải chứng minh )

◊

_N

_A

_K

I_
_J

_M
_C

_H

_B

Hình 10
Tương tự bài toán 2.5 (dựng hình chữ nhật ABCD rồi tạo AM // IN ) ta sẽ
tạo EF // BN để được bài toán sau :
Bài toán 2.7. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC .

E , F , M lần lượt là trung điểm của AB , DH , BH .Chứng minh AM vuông
góc với EF .
Bài làm :
Gọi N là trung điểm của CH .
Áp dụng chứng minh
AJMN là hình bình hành (bài 2.5) ta chứng minh

◊

◊

được
BEFN cũng là hình bình hành ⇒ EF //NB
Mặt khác BN ⊥ AM (bài toán 2.3)
Vậy ta có AM ⊥ EF (điều phải chứng minh )

9


_A
_D

F
_
_E

_H

N
_

M
_
_B

_C

Lại kết hợp bài toán 2.5 và bài toán 2.7 cho ta một kết quả khác .
Bài toán 2.8. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC .
E , F , M , N lầm lượt là trung điểm của AB , DH , HC , AD . Chứng minh
EF ⊥ MN

10


Bài làm :
_N

_A

_D

_F
_E

H
_

I_

_M

_B

_C

Gọi I là trung điểm của BH
Lần lượt theo bài toán 2.3 ; 2.5 ; 2.7 ta có kết quả sau:
AI ⊥ BM ; AI // MN ; BM // EF
⇒ EF ⊥ MN (điều phải chứng minh )
Bài toán 2.9: Cũng là bài đề thi Đại học kA năm vừa rồi: Anh xin viết lại đề
như thế này: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm AB, N là điểm thuộc
AC sao cho AN=3NC. Biết M(1;2) và N(2;-1). Viết pt cạnh CD!
(Hình vẽ các em tự vẽ nhé)
Bài giải: rõ ràng có nhiều cách giải cho bài toán này! Nhưng điều anh muốn
khai thác trong bài viết này và bài toán này là yếu tố vuông góc. Và ở bài
toán này đó chính là DN vuông NM. Các em có thể chứng minh nó bằng
cách tính các cạnh rồi từ pitago suy ra điều phải chứng minh! Có được DN
vuông MN các em có nhiều hướng để có thể viết được CD. như tìm D rồi
viết DC dựa vào cos(DN,DC). hay tìm D, rồi gọi ẩn tọa độ C để tìm C.
Điều các em thắc mắc là tại sao đoán được MN vuông DN? như anh đã nói
dựa vào đề các em có thể suy đoán hoặc các em vẽ hình thật đúng thật đẹp ra
giấy rồi xem, nhìn được thôi!

11


Hy vọng tài liệu này do anh copy và viết thêm sẽ giúp các em nhiều về các
bài toán hhp các năm gần đây và cả các bài trong đề thi hsg, đề thi thử! Chúc
các em học tốt!

12