Luận văn tính đối ngẫu và song trực giao của khung weyl heisenberg

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦ N NGỌC HẢO

TÍN H ĐỐI N G Ẫ U VÀ SONG T R ự C GIAO
C Ủ A K H U N G W EYL - H EISEN BER G

LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC

Hà Nội, 2016


Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦ N NGỌC HẢO

TÍN H ĐỐI N G Ẫ U VÀ SONG T R ự C GIAO
C Ủ A K H U N G W EYL - H EISEN BER G

C h u y ê n n g à n h : T o á n G iả i T íc h
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a h ọ c:
TS. N G U Y ỄN Q U Ỳ N H N G A

Hà Nội, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới cô giáo TS. Nguyễn
Quỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành
luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
T ác g iả

T rầ n N g ọ c H ả o


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn, tôi đã kế thừ a
những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
T ác g iả

T rần N gọc H ảo


M uc luc

M ở đầu

1

1

K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

4

1.1

Một số không gian h à m .................................................................

4

1.2

Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian H ilb e r t..............

6

1.3

Phép biến đổi Fourier thời gian n g ắ n .........................................

11

1.4

Khung tổng quát trong không gian Hilbert

...........................

11

1.5

Phép biến đổi Z a k ............................................................................

22

2

T ín h đ ố i n g ẫ u v à so n g t r ự c g iao c ủ a k h u n g W e y l - H e is e n ­
b e rg

29

2.1

Khung Weyl - H e ise n b e rg ..............................................................

29

2.2

T ính đối ngẫu và song trực giao của khung Weyl - Heisenberg 46
2.2.1

Định lý Wexler - R a z ........................................................... 46

2.2.2

Mối liên hệ giữa toán tử khung s và m a trậ n GG*

2.2.3

Hàm đối ngẫu cực tiểu

....................................................

54

2.2.4

Một số ví d ụ ........................................................................

60

. 50

K ế t lu ậ n

64

T à i liệ u t h a m k h ả o

65

M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Do phép biến đổi Fourier, m ột công cụ được sử dụng rộng rãi trong
toán học, vật lý và kỹ th u ật, không chứa những thông tin địa phương của
các tín hiệu nên nó không thể sử dụng được trong việc phân tích các tín
hiệu trong m ột miền chung thời gian và tần số. Dennis Gabor, m ột nhà
vật lý và kỹ sư người Hungary, người đã được nhận giải Nobel về vật lý đã
sớm nhận ra nhược điểm này. Năm 1946, ông đưa ra phép biến đổi G abor
nhằm khắc phục các yếu điểm của phép biến đổi Fourier bằng cách dùng
m ột hàm cửa sổ địa phương hóa thời gian g(t — b) để lấy những thông tin
địa phương của phép biến đổi Fourier của tín hiệu, trong đó tham số b
được dùng để dịch chuyển cửa sổ để phủ toàn bộ trục thời gian. Nhờ đó
giải tích G abor đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và
kỹ th u ậ t như nén ảnh, nhận dạng đối tượng, quang học,. . .
Khung được R. J . Duffin và A. c . Schaeffer [6] đưa ra năm 1952. Tuy
nhiên phải đến năm 1986, sau bài báo của I. Daubechies, A. Grossm ann
và Y. Meyer [4] th ì khung mới được các nhà khoa học quan tâm rộng rãi.
Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết m ật mã, nén dữ
liệ u ,... Cũng chính nhờ bài báo [4] m à lần đầu tiên giải tích G abor đã kết
hợp với lý thuyết khung và phát triển theo m ột hướng mới, cung cấp một
công cụ để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về khung nói chung và khung
G abor (hay còn gọi là khung Weyl - Heisenberg) nói riêng, được sự đồng
ý hướng dẫn của TS.Nguyễn Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn “ T ính đối
1


ngâu và song trực giao của khung Weyl - Heisenberg ” làm đề tài luận văn
cao học của mình.

2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về khung Weyl - Heisenberg và các tính chất đối
ngẫu và song trực giao của khung Weyl - Heisenberg.

3. N hiệm vụ nghiên cứu
Nắm vững các kiến thức cơ bản về toán tử tuyến tính bị chặn trên
không gian Hilbert, m ột số không gian hàm, lý thuyết khung tổng quát
trong không gian Hilbert, khung Weyl - Heisenberg, phép biến đổi Zak,
phép biến đổi Fourier thời gian ngắn.
Nghiên cứu tính đối ngẫu và song trực giao của khung Weyl - Heisenberg
bao gồm Định lý Wexler - Raz, mối liên hệ giữa toán tử khung s và ma
trậ n GG*, hàm đối ngẫu cực tiểu.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tính đối ngẫu và song trực giao của khung Weyl
- Heisenberg.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan
đến tính đối ngẫu và song trực giao của khung Weyl - Heisenberg.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận
vấn đề.
Thu th ập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước về vấn đề m à luận văn đề cập tới.

2


6. Đ óng góp mới của luận văn

Luận văn hi vọng là m ột tài liệu tổng quan về tính đối ngẫu và song
trực giao của khung Weyl - Heisenberg.

3


Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại m ột vài khái niệm, kết quả cơ
bản sẽ dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ các
tài liệu [1], [2], [4], [9].

1.1

M ột số không gian hàm

(
ì
L 2(1R) = ^ / : M —» (C I / đo được và / Ị/(:r)Ị2£Z:r < + oo ^
ì

K

)

L 2(wt) là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi

(f,g) =

Ị

ĩ{x) g{x) dx

, / , í? g L 2(m)

R
và chuẩn xác định bởi
1

Đ ị n h lý 1.1.1 ( B ấ t đ ẳ n g th ứ c C a u c h y - S c h w a r z cho tíc h p h â n )

4


Với mọi f , g ẽ L 2( R ) ta có
1
J \ m

9 {x)\dx < í j \ f ( x ) \ 2d x \

R

\R

/

1
í J \ g ( x ) \ 2d x \
\R

.

/

Một phiên bản rời rạc của L 2(lR) là l2ự ) với I là m ột tập chỉ số đếm được
l2Ự) =

I

{Xk}k£i c c Ị ^ 2 \ x k \2 < + ° ° Ị ■

^

kel

'

l2ự ) là không gian H ilbert với tích vô hướng
<{zjfc},{ìte}) = J 2 x k Vkkel

Đ ị n h lý 1.1.2 ( B ấ t d ẳ n g th ứ c C a u c h y - S c h w a r z cho tổ n g ) Với
mọi { x k}k ei,{yk }ke i e l2Ự) ta có
2

£

Xk Vk

kel

< J 2 \ x k\2 J 2 \v k \
k€l
kel

Trường hợp đặc biệt khi I = z 2, ta có

z2( z 2) = I {cm,n}m!neZ C C I
^

y

= ị f e
V

£

\cm,n\2 < + ° ° Ị •

m,nẼ Z

C°°(M) I sup

J

dn

< Too
d x n f i x)
với mọi ra, n là các số nguyên không âm } .
X

xeR

5?' ký hiệu là tập hợp tấ t cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 5?.
Ta có mối liên hệ 5? c L 2(R) c 5?'.
£?oc(r 2 ) = { / : K2 -T c I Ị \ f ( x ) \ 2dx < Too
K

với mọi tập com pact K c M2 } .
5


L°°(M2) = { / : R 2 —>• c I 3 M > 0 sao cho | / ( æ)| < M
với hầu khắp
Cc(M) = { /

:R

—> c

Ị/

X £

M2 } .

liên tục và có giá com pact} .

trong đó giá của hàm / được ký hiệu là supp / , được định nghĩa bởi
su p p ( / ) = { x £ R I f ( x ) í 0}.

1.2

Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian
Hilbert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert
K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 sao
cho
ỊỊTícỊỊ < c ||x ||, với mọi

X

£ H.

(1.1)

Ký hiệu B ( H , K ) là tập tấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào
K . Khi H = K thì B ( H , K ) được ký hiệu đơn giản là B ( H ) .
Chuẩn của T £ B ( H , K ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
m ãn (1.1). Nói m ột cách tương đương,
IlX1II = su p { ||T x || \ X £ H, ||x|| < 1}
= sup { ||T x || I X £ H, ||x|| = 1} .

M ệ n h đ ề 1.2.1 Giả sử H , L, K là các không gian Hilbert. Nếu T £
B ( H , K ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T* £ B ( K , H ) sao cho
(T*x, y ) = ( x : T y ) , { x £ K :y £ H ).
Hơn nữa,
i) (a S + b T Ỵ = ã S * + bT*.
ii) (R S Ỵ = S*R*.

iii) (T * y = T.
6


iv) r = I.
v) Nếu T khả nghịch thì T* cũng khả nghịch và (T -1 )* = (T*) 1, trong
đó S , T G B ( H , K ) , R G B ( K , L ) và a,b e

c.

Toán tử T* ở Mệnh đề 1.2.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
T.
M ệ n h đ ề 1.2.2 Giả sử T G B ( H , K ) và s G B ( K , L). Khi đó
i) ||T z|| < ||T || ||z|| ,V z G H .
n ) \ \ S T \ \ <11511 ||T ||.
¿¿¿;||r|| = ||r*||.
iv)\\TT*\\ = \\T\\2.
Cho T G B ( H ) . T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T , là
u n ita nếu T * T = TT* = I. T được gọi là dương (ký hiệu T > 0) nếu
{T x , x) > 0 với mọi

X G

H . T, K G B ( H ) , T > K nếu T — K > 0.

Chú ý rằng với mỗi T G B ( H ) thì (T * T x , x ) = (T x , T x ) > 0 với mọi
X G

H. Do đó T * T là dương.

M ệ n h đ ề 1.2.3 Giả sử T G B ( H ) . Khi đó
i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu (T x , x ) là thực với mọi

X G

H . Đặc

biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H .
M ệ n h đ ề 1.2.4 Nếu U G B ( H ) là toán tử tự liên hợp thì
||t / ||=

sup \ ( U f J ) \ .
11/11=1

Đ ịn h lý 1.2.5 Cho X là không gian Banach. Nếu U : X
và ||/ — U II < 1 thì u khả nghịch và u~l =

Ỵ2 ( I — u) k. Ngoài ra,
k =1

ll^ll s
7

X bị chặn


Bây giờ chúng ta sẽ đi nghiên cứu hai lớp toán tử tuyến tính bị chặn đặc
biệt trên không gian Hilbert L 2(R). Đó là lớp các toán tử tịnh tiến và

biến điệu TOJ E b với o ,ỉ ) G ẵ . Trước tiên ta quan sát rằng nếu / £ L 2(R)
th ì g ( x ) := f ( x — a) và h(y) := e2lĩibyf ( y ) cũng thuộc L 2(R). Hơn nữa,
M ì = ll/ll = INI- T h ậ t vậy,

MI =
5

Toán tử tịnh tiến Ta với a ẽ l được định nghĩa bởi
T af { x ) := f ( x - a).
Toán tử biến điệu E b với 6 £ M được định nghĩa bởi
E t Ị ( x ) :=
Theo phần trên ta thấy Ta : L 2(R) —»■ L 2(1R) và Ị|Ta/ | | = ỊỊ/II với / G
L 2(R). Tương tự, E b : L 2( R ) —»■L 2(1R) và M ồ/Ị | = ll/ll với / G L 2(R).
B ổ đ ề 1.2.6 Cho a, b G M. Khi đó
1, Ta, E b là các toán tử unita.
2, Với mỗi f £ L 2(R), ánh xạ y H->■Ty f liên tục từ R tới L 2(R).
3, Với mỗi f £ L 2(R), ánh xạ

X

H->• E x f liên tục từ M tới L 2(R).

C h ứ n g m in h .
1, T ừ phần trên ta thấy Ta, E b bảo toàn chuẩn. Ta có thể kiểm tra
8


T ~ l = T_a, E ^ 1 = E-b. Từ đó Ta,Eb là các toán tử unita.
2, Để chứng minh tính liên tục của ánh xạ I/ 4

Tyf, trước tiên ta

giả sử rằng / liên tục và có giá com pact [c, đ\. Cho y0 G R. Với y G
(yo - ị,Vo +

I) hàm
= T y f { x ) - T y J ( x ) = f ( x - ỳ ) - f { x - y0)

có giá trong [—I + c + y0, d + I + y0] . Do / liên tục đều, với £ > 0 cho
trước, ta tìm được ỗ > 0 sao cho If i x — y) — f ( x ) I < £ với mọi X G R và
\y\ < ổ. Khi đó
( 2+d+Vo
K ỉ - T ,J\\ =

J

\ 2
\ f { x - y ) - f { x - y 0)\2 dx

V-2+c+ỉ/o

/

< £ \ / d — c + 1.
Từ đó y H4 Tyf liên tục khi / liên tục và có giá compact. Trong trường
hợp hàm / tùy ý G L 2(M), ta xấp xỉ / bởi các hàm liên tục có giá compact
£
fk . Với £ > 0 cho trước , tồn tại N sao cho ỊỊ/iv — /II < —• Theo phần
O
trên, tồn tại ố > 0 sao cho với \y — yo\ < ỗ th ì IITyfN —Ty /jv|| < —.

O

IlV

- TtJ II < IlV

- Tt h II + ||T„/W - TyJ N II + IITvJ n - T , J II

= Kư

- /w)ll + K ì« - T,J«II + K Á f« - /)ll

— II/ —/wll + l|ĩi/jv —TyJnW + ll/v — /II
£

£

£

--- h —T —= £.
3 3
3
Do đó y I—^ Tyf liên tục với mọi / G L 2(w).
3, Trước tiên ta cũng xét hàm / liên tục và có giá com pact [c, đ\. Với £ > 0
cho trước, tồn tại ô > 0 sao cho với mọi \x — x 0\ < ỏ và t G [c,d] ta có

9


-,2iri(x —x 0)t __

IE ,

11<

Ị } . ,s
/ - £ , . / 11= Ị J \E ,m ( }
=

j

\

E,j(t )\2 dtj

........

.......... V

\e2lĩixt f ( t ) - e27ĩiXot f ( t ) \ 2 dt

Voc
=

/

„

Í Ĩ

..

/ |e2' “ -‘|2 le2” * '-1-)1 - 1|2 | / ( i ) |2 dt

Voo

\
/

= ( f Ịe2^ - ^ - 1Ị2 Ị/(í )|2 díì
vi

/

< Ũ7ĨT ll/ll = ®Do đó ánh x ạ x 4 Ü7X/ liên tục với mọi / liên tục có giá compact.
Với / G L 2(R) b ất kỳ ta lại xấp xỉ / bởi các hàm liên tục có giá compact
và lập luận giống phần 2.

□

T ừ định nghĩa của TOJ E b ta có thể chứng minh được bổ đề sau.
B ổ đ ề 1 .2 .7 Cho a,b G i . Khi đó,
1, TaT b = TbTa = Ta+b.
2, E aE b = E bE a = E a+b.
Bổ đề sau cho ta mối liên hệ hoán tử giữa hai toán tử Ta và E b.
B ổ đ ề 1.2.8

T„Ebf(x) = e - ^ E bT J ( x ) = e2' » ( , -«)/(* _ a).
C h ứ n g m in h . Ta có
T aE bf { x ) = Ta(e2nibxf (x)) = e2**(*-')f ( x - a)

và
10

( 1 .2 )


EbT J ( x ) = Eb(f(x - a)) = e2A f ( x - a).
T ừ đó ta có (1.2).

1.3

□

Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
:= e2niytf ( t - x) = EyTxf(t).

Với x , y , t e K, ta sử dụng ký hiệu

Cho u, V E L 2{R). Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm u đối
với hàm V được định nghĩa bởi
00

Ị u(t) v(t -

S T F UjV( x , y ) = (u , v Xjy) =
—

với

X,

x) e~2ĩĩiyt dt

00

y £ R .

Nếu V có giá com pact [—a , a] thì S T F u v ( x , •) là phép biến đổi Fourier của
m ột khúc của
của

X

u

trên [x — a ,

X

+

a\.

Khi

X

thay đổi, cửa sổ trượt theo trục

đến các vị trí khác nhau.

Đ ịn h lý 1.3.1 Cho Ui,U 2 ,Vị,V 2 e L 2(1R). Khi đó S T F U V. e L 2(K2) với
i = 1, 2 và
00

00

S T F UlĩVl( x , y ) S T F U2íV2( x , y ) d x dy = (uị,U 2 ) (Vị,v2)

/ /

(1.3)

—00 —00

hay nói một cách tương đương,
00

00

/ / («1,^1,*,») (U2,v2,x,y) dx dy = {uu u 2) {v2,V]).
—00 —00

1.4

(1.4)

Khung tổng quát trong không gian H ilbert

Trong nghiên cứu không gian vectơ, m ột trong những khái niệm quan

trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian
11


như m ột tổ hợp tuyến tính của các th àn h phần trong cơ sở. Tuy nhiên
điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các th àn h phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các th àn h phần trực giao
tương ứng với m ột tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm
chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do
người ta muốn tìm m ột công cụ linh hoạt hơn.
Khung là m ột công cụ như vậy. Một khung cho m ột không gian vectơ
được trang bị m ột tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không
gian được viết như là m ột tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,
nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần
thiết.
Cho H là m ột không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng (.,.) tuyến
tính theo th àn h phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo th àn h phần thứ
hai.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1 Dãy

trong H được gọi là dãy Bessel nếu
00

3 B > 0 , ^ K / . / i)|2 < B | | / | | 2 .
i=

v/ s h

,

1

B được gọi là cận Bessel của
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2 Một dãy

trong H được gọi là một khung nếu

tồn tại hai hằng S0 O < A < B < 0 0 sao cho
00

^ l l / l l 2 < E K / , / i ) l 2 < - B | | / | | 2 , V / E H.
i=

1

Các số A, B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung dưới tối ưu là suprem um trên tấ t cả các cận khung dưới và cận
khung trên tối ưu là iníimum trên tấ t cả các cận khung trên. Chú ý rằng
các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung

được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval

nếu A = B = 1 .
12


M ệ n h đ ề 1.4.3 Cho một dãy { f j } m=1 trong không gian Hilbert hữu hạn
chiều V. Khi đó { f j } m=1 là một khung cho span { f j } m=1C h ứ n g m in h . Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các f j đều bằng
m

không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên thỏa m ãn với B =
\\fj\\ ■
Bây giờ lấy

w :=

3=

1

span { f j } m=1 và xem xét ánh xạ liên tục
m
® (/) : = E K / , / j > |a .
3=

M ặt cầu đơn vị trong

w là

1

com pact, vì vậy ta có thể tìm g G

w với

llỡll = 1 sao cho
m
( m
ì
A ~ ỵ , |<9, f i ) ị 2 = i n f { E |

3=

Rõ ràng là

^ 3= 1

1

A > 0. Bây giờ ta

m

m

g K /,/,) i2= E

J

lấy / €

w, f

Ị

\

p

^ 0, ta có

||/II2 >>1 ||/||;

( ¡ / ¡ [ ’¿ 7

□

Mệnh đề được chứng minh.

H ệ q u ả 1.4.4 Một họ các phần tử { f j } m=1 trong V là một khung của V
khi và chỉ khi span { f j } m=l — V .
Hệ quả trên chỉ ra m ột khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử
cần th iết để là cơ sở.
V í d ụ 1.4.5
Lấy H = 1R2, ei = ( 0 ,1)T, &2 =

V3 1
~

2

~

’

2

là m ột khung chặt với cận khung là —.
2

13

\/ã -1
J

e3 —

2 ) ) ( el5 e 2 , 63}


T h ật vậy, với

= (X i

X

b ất kì ta có

,X2)T g h

V3

Y, \(x, ej }\2 = x ị + (^j-Xl + ịx^j

-Xị -

- x 2

3 /0
o\
= 2 (x ì + x a)

2 11x1
V í d ụ 1.4.6
Giả sử {ek}™=l là m ột cơ sở trực chuẩn của H.
i) {ek}^=1 là m ột khung Parseval.
ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy

hai lần ta thu được

{fk}%Li = {ei, ei, e2, e2, ...} khi đó {fk}™=i là khung chặt với cận khung
A =2.
T h ật vậy, ta có
00

00

E K/.A)I2= 2E !</.«*>Ia =
k=1

2 | | / | | 2 , v / 6 H.

k=l

Nếu chỉ ũị được lặp lại ta thu được {fk}kLị — {ei, e2, e2, ...} khi đó
{/fc}fc°=i là khung với cận A = 1, B = 2. T h ật vậy, ta có
00

n

00

l(/>/*)l 2 = K / , ei)l 2 + J2 l(/>e*)l2

k=1

fc=l
00

00

< ^2 K/>efc)l2+
/c=l

Ả;=l

K/>efc)l2

00

= 2 E K /,^)|2
k=1
= 2 ll/ll2 .
M ặt khác,
00

00

IƯ,ei>|a + E K /.e*)la^ E K / .e*)la = ll/llak=1

fc=l

14


Do đó
00

ll/ll 2< E K / . A ) l 2< 2 | | / f , v / Ễ Jí.
k=ĩ
Vì vậy { /í;} ^ ! là m ột khung với cận khung dưới là 1 và m ột cận khung
trên là 2.
, r j . 100
(
1
1
1
1
1
hi) Giả sử { f k } k =1 := ị e u ~ ^ e 2: -ụ=e2, -ỹ=e3, -J=e3, -j=

nghĩa

là { f k } ^ =i là dãy m à mỗi véc tơ —ị=eỵ được lặp lại k lần.
yk
Khi đó với mỗi / E H có
00

00

k=1

k=ĩ

i

1

\

k ( / ’ /re*)
'

V A; '

Vì thế {/fc} là m ột khung chặt của H với cận khung là Ả = 1.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .4 .7 Dãy {fk}kLị được gọi là đầy đủ trong H nếu
W ã n { f k } ĩ =1 = H .
B ổ đ ề 1.4.8 Nếu {fk}kLi là một khung của H thì {

/ j là một dãy đầy

đủ trong H .
C h ứ n g m in h . Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g ^ 0 thuộc H
00

sao cho g ± s p ã ã { f k}™=1. Khi đó (g: fk) = 0, VA;. Khi đó £ Kỡ,/fc)Ị2 = 0.
k=1
M ặt khác, do { f k } là m ột khung nên tồn tại 0 < A < + oo sao cho j4 | | / | | 2 <
00

00

E |( / , fk}\2, V / e H. Cho / = g ta được A\\g\\2 < £ \{g,fk}\2 = 0. Do
k=1
k=1
g ^ 0 nên ^4 = 0. Mâu thuẫn trên chứng tỏ span {fk}^L i = H .
□
Định lý sau cho ta m ột đặc trưng của dãy Bessel thông qua toán tử
tổng hợp T.
Đ ịn h lý 1.4.9 Giả sử { / a: } ^ ! là một dãy trong H . Khi đó { / a: } ^ ! là một
dẫy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
00

T '■{cfc}fc°=i

í 1-5)
k=1

15


là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ ỉ2 (N) vào H và
im i < v 'B .
C h ứ n g m in h . Trước hết, giả thiết

{fk}kLị

là dãy Bessel với cận Bessel B.

Giả sử {ck} Z i £ l 2 (N). Ta phải chỉ ra T {C fc}^ là hoàn toàn xác định,

00

tức là X)

ckfk

là hội tụ. Xét m , n G N , n > m. Khi đó

k= 1
n

^ ; c kfk
k=1

m

n

^ ;

^ ^ Ckfk

Ckfk

k=1

k=m +1

sup ( ' y
C-kỉ kĩ

llsll-1 ' k = m + 1

9 Ị
•

n

< sup X
|cfc (/*,#)!
llsll- fe=m+ l

< Í
' fc= 771~b1

M2)
'

<^ í

SUP

(

IIổI—1 \fc=7n+ l

K/fc>s)i2)
'

\ ck \

'fe=m+1
r n
ì 00
Do {Cfc}“=1 G l2 (N), ta biết rằng ị Xì |cfc| f
là dãy Cauchy trong
U =1
J n=i
T ính toán trên chỉ ra rằng

(

n

s

Xì

U=1

do đó hội tụ. Vậy T

{Cfc } fc=1

c.

ì 00
\

Ckfk
J

là m ột dãy Cauchy trong H và
n=l

là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến

tính. Từ

l|r{c*}“ J =

supJ < T { c fc}“ 1 ,(/>|,
II»II=1

tín h toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T || < y/B . Để chứng
minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định và ||T || < \TẼ.
Gọi T* : H H->• /2(N) là toán tử liên hợp của T. Gọi { e j} ^ =1 là cơ sở
trực chuẩn chính tắc của /2(N), tức là hệ gồm các vectơ 6j bằng 1 ở vị trí
16


thứ j , bằng 0 ở các vị trí còn lại. Từ (1.5) ta suy ra T(eỵ) = fk với mọi
k G N. Khi đó
{ T ' f , e t ) = ( f , T e k) = ( f , f t ),

Vfc e N

Từ dó
( 1 .6)

Ttf = ỉ ( f , h ) } t ỉ

và
00

£ l < / , A>l2 = i r / l l 2 < i n i 2ll/ll2 = ||T ||2| | / | | 2 < B \ \ Ị f ,
k=1

v f e H

□

Do đó, theo định nghĩa {fk}kLi là dãy Bessel với cận B.
00

H ệ q u ả 1.4.10 Nếu {fk}kLi là một dãy trong H và

ckfk hội tụ với
k=1

mọi {ck} Z i € l2 (N) thì { /fc} ^ ! ỉà một dãy Bessel.
00

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.11 Chuỗi Ỵ2 9k trong không gian Banach X được gọi là
k=1
00

hội tụ không điều kiện nếu Ỵ2 9a(k) hội tụ tới cùng một phần tử với mọi
k=1
hoán vị ơ.
00

H ệ q u ả 1.4.12 Nếu {fk}kLị là một dãy Bessel trong H , thì

ckfk hội
k=1

tụ không điều kiện với mọi {Cjt}^°=1 e l2 (N).
Do m ột khung

là m ột dãy Bessel nên toán tử

T-.ử (N)->íf, T i e } “ , = £ > * /,
k=1
bị chặn bởi Định lý 1.4.9. T được gọi là toán tử tổng hợp. Gọi T* : H
l2 (N) là toán tử liên hợp của T. Theo (1.6), T * f = { ( /, fj}}°°=1- T* được
gọi là toán tử phân tích. Hợp th àn h của T và T* được gọi là toán tử khung
S - . H - > H , S Ị = T T ‘f =

ư, h) hk=1

17


Ta lưu ý rằng điều kiện khung
00

¿II/U2 k=1
có thể viết lại thông qua toán tử khung s như sau

¿II/II2 <

hay A I < s < B I .
B ổ đ ề 1.4.13 Giả sử {fk}kLi ỉà một khung với toán tử khung s với các
cận khung A , B . Khi đó ta có các khẳng định sau
i) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương.
ii) { s 1fk}™=1 là khung với các cận B 1, A 1. Nếu A , B là các cận tối
ưu của {/jfc}^! thì các cận B ~ l , A ~ l là tối ưu của {khung của { s -1 fk}™=1 là /S'-1 .
C h ứ n g m in h . (ĩ) s bị chặn như m ột hợp th àn h của hai toán tử bị chặn.
Do Định lý 1.4.9 ta có
||S || = ||TT*|| < ||T ||.||T * || = ||T ||2 < B
Do s* = ( T T * y = TT* = s , toán tử s là tự liên hợp. B ất đẳng thức

¿ ii/ ii2 < E k/./*>i2 <-bii/ ii2
có thể viết thông qua toán tử s là
A\\f\\2 < { S f J ) < B \ \ f \ \ 2 ,

Vf£H

Từ đó A I < s < B I , do đó s dương.
'
B - A
Ngoài ra, 0 < I — B 1/S < --------- 1 và
B
||/ - B -'S II = sup |( ( / - B - l S ) f , ỉ )I <
11/11= 1

< 1
a

Do đó theo Định lý 1.2.5, B ~ l s khả nghịch hay nói cách khác s khả

nghịch.
18


(a) Chú ý rằng với / G H ,
00

00

£ | < / , s -7 * > I2 = £ | <
k=1
fe=l

s

- 7 ,/ * > I 2

< 5 | | 5 - 1/ l | 2
< 5 | | 5 - 1||2| | / | | 2.
Nghĩa là, {S,_1/jk} ^ =1 là m ột dãy Bessel. T ừ đó kéo theo toán tử khung của
{ s _ỉ fk}kLị hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên / G H
bởi

£ < /.s _1A>s-7 * = s -‘£ < s - 7 ,A)A = s -1ss -1Ị = s - 7
fc=l

fc=l

Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của {(S1-1/* ;} ^ ! bằng ồ1-1. Toán tử (S'-1
giao hoán với cả (S' và I. Vì thế ta có thể nhân b ất đẳng thức A I < s < B I

với (S'-1 , điều này cho ta:
B ~ l I < s ~ l < A ~ l I.
Tức là
B - i \ \ f r < ( s Ị-l
- i f , f } < A -- 1í 1\ \ f r ,
Ta có

v f £ H

00

B-1ll/ll2< £ 1(5- 7 ,/>|2< A-'WfW2, Vf €H
k= 1

Vì vậy, { S -1 fk}™=i là m ột cận khung với các cận khung B ~ l , A ~ l .
Để chứng m inh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B là các cận
tối ưu của {5'- 1/fc}^°=1), giả sử A là cận dưới tối ưu của {1
V
th iết rằng cận trên tối ưu của { S -1 fk}™=I là c <
Bằng cách áp dụng
điều ta vừa chứng minh cho khung {thu được { f k } k Li = { { S ~ 1)~1S ~ 1fk}'^=1 có cận dưới là — > A, nhưng
điều này là m âu thuẫn.
Vì vậy, {»S'_ 1/ifc}fcLi °b cận trên tối ưu là
19

Lập luận tương tự cho cận

dưới tối ưu.

□

Khung { S _ỉ fk}™=i được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của fỵ.
K hai triển khung dưới đây là m ột trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là m ột khung của H th ì mọi phần tử
trong H có thể biểu diễn như m ột tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần
tử khung. Do đó ta có thể xem khung như m ột dạng cơ sở suy rộng.
Đ ịn h lý 1.4 .1 4 Giả sử {fk}™=ị là một khung với toán tử khung là s . Khi
đó

00

/ = E ơ . s _ 1A } A , V / e H,
k=1
là chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f G H.
C h ứ n g m in h . Giả sử / ẽ H . Sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Bổ đề 1.4.13 ta có
00

/ = ss-'f

=

00

E (s-1/, ỉi) ỉi
i=1

=

£

< /,

s - 7 i>A,

V/ g

H.

i=1

Do {fk}kLị là m ột dãy Bessel và { ( / , s -1 fk)}™=l € l2 (N), theo Hệ quả
1.4.12, chuỗi hội tụ không điều kiện.

□

Gọi {efclfcLi là cơ sở trực chuẩn chính tắc của Z2(N). Khi đó th àn h phần
th ứ j k của m a trận biểu diễn của T * T là
(T * T e k,ej) = ( T e k, T e j ) = ( f k, f j ) .
Bằng cách đồng nhất T * T với m a trậ n biểu diễn của nó, ta viết T * T =
{(ỉk: /j)}fjfc=r Ma t r ận {(fk:fj)}™k=1 được gọi là m a trận Gram liên kết
với

Theo phần trên, m a trận Gram xác định m ột toán tử bị chặn

trên /2(N) khi { f k}™=i là m ột dãy Bessel, v ề m ặt nguyên lý, ta có thể xem
xét m a trậ n Gram liên kết với bất kỳ dãy

nào trong H nhưng nếu

chúng ta muốn nó xác định m ột toán tử bị chặn trên Z2(N) th ì ta không
thể bỏ qua điều kiện Bessel.

20