Một tiếp cận tối ưu hai cấp cho hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (185.68 KB, 11 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
NGUYỄN THỊ THANH HẢI
MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP
CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG
GIẢ ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
NGUYỄN THỊ THANH HẢI
MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP
CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG
GIẢ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:
60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU
Hà Nội – Năm 2015
Mục lục
Lời cảm ơn
3
Mở đầu
4
1
2
3
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn.
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . .
1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi . . . . . . . . . .
1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Nón lồi . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Tính chất của hàm lồi . . . . . . .
1.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bài toán cân bằng
2.1 Bài toán cân bằng và các khái niệm . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . . . .
2.2.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác
2.2.4 Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . .
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
8
8
9
10
11
12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
13
18
18
19
19
20
21
30
Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp
31
3.1 Hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
MỤC LỤC
3.2
3.3
3.1.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
3.1.2 Phương pháp điểm gần kề . . . .
Thuật toán giải . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . .
3.2.2 Tính hội tụ của thuật toán . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
35
40
40
42
47
Kết luận chung
48
Tài liệu tham khảo
49
2
LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy
GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học đặc biệt
là quý thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa học này.
Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, các anh chị, bạn
bè trong lớp cao học khóa 2013 - 2015 đã luôn động viên, khích lệ tác giả cố gắng
trong suốt khóa học để luôn đạt được kết quả học tập cao nhất.
Em xin chân thành cảm ơn!
3
MỞ ĐẦU
Lớp các bài toán cân bằng đang ngày càng được áp dụng nhiều vào các lĩnh vực
trong cuộc sống như kinh tế, xã hội,... Chính vì vậy mà ngày càng được các nhà khoa
học quan tâm, nghiên cứu. Hơn nữa, bài toán cân bằng còn là sự mở rộng của lớp các
bài toán khác như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất
động, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa,...
Mô hình chung cho bài toán cân bằng là
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C
(EP(C, f ))
trong đó H là không gian Hilbert, C ⊆ H là một tập lồi và f : C ×C → R ∪ {+∞}
là một song hàm.
Bài toán hiệu chỉnh được xây dựng bằng cách thay song hàm ban đầu bằng song
hàm fε := f + εg, trong đó ε, g lần lượt là tham số hiệu chỉnh và song hàm hiệu chỉnh,
thông thường ta chọn g là một song hàm đơn điệu mạnh. Nếu f là một song hàm đơn
điệu thì fε là đơn điệu mạnh, khi đó bài toán hiệu chỉnh luôn có duy nhất nghiệm.
Tuy nhiên, nếu f là một song hàm giả đơn điệu thì bài toán hiệu chỉnh trong trường
hợp tổng quát không còn là đơn điệu mạnh hay đơn điệu, thậm chí không là giả đơn
điệu do đó bài toán hiệu chỉnh nói chung không có nghiệm duy nhất, thậm chí tập
nghiệm là không lồi, khi đó không thể áp dụng trực tiếp các phương pháp để hiệu
chỉnh cho bài toán EP(C, f ) giả đơn điệu như trong trường hợp đơn điệu. Do đó, luận
văn nghiên cứu và trình bày một số phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán cân bằng giả
đơn điệu và thông qua bài toán tối ưu hai cấp để tìm điểm giới hạn của các quỹ đạo
nghiệm hiệu chỉnh.
Dựa trên ý tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, trong [4] các tác giả đã
đưa ra phương pháp hiệu chỉnh với bài toán hiệu chỉnh như sau
Tìm x ∈ C sao cho
fk (x, y) := f (x, y) + εk g(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,
trong đó εk > 0 là tham số hiệu chỉnh, g(x, y) là một song hàm đơn điệu mạnh gọi là
song hàm hiệu chỉnh.
4
MỞ ĐẦU
Năm 1970 Martine đưa ra phương pháp điểm gần kề cho bài toán bất đẳng thức
biến phân đơn điệu và sau này được mở rộng bởi Rockafellar (1976) cho toán tử đơn
điệu cực đaị. Bài toán hiệu chỉnh có dạng
Tìm xk ∈ C sao cho
fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk với mọi y ∈ C,
trong đó ck > 0, δk > 0 lần lượt là các tham số hiệu chỉnh và sai số cho trước.
Sự khác biệt giữa hai phương pháp này là ở phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề tại
mỗi bước lặp bài toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp ở bước trước và tham số
hiệu chỉnh ck → 0 khi k → ∞.
Nội dung của luận văn gồm ba chương
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bài toán cân bằng.
• Chương 3: Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp.
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở như không gian tuyến tính, không gian
Hilbert; các kiến thức về giải tích lồi như tập lồi, nón lồi, hàm lồi; các khái niệm về
sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới.
Chương 2 phát biểu bài toán cân bằng, một số trường hợp có thể đưa về bài toán
cân bằng và sự tồn tại nghiệm của bài toán.
Chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu, thuật
toán tiếp cận dựa trên bài toán tối ưu hai cấp và sự hội tụ của thuật toán.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý của các
thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Hải
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng ta nhắc lại một số kiến thức về không gian tuyến tính, không
gian Hilbert, tập lồi, nón lồi, hàm lồi; các khái niệm về sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh,
hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới. Các kiến thức này được lấy ra từ các tài liệu
[1], [2].
1.1
1.1.1
Không gian Hilbert
Không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tuyến tính thực. Một chuẩn trên X, kí hiệu
là . , là một ánh xạ
. :X →R
thỏa mãn các tính chất sau
1. x ≥ 0,
∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0;
2. αx = |α| x ,
∀x ∈ X,
3. x + y ≤ x + y ,
α ∈ R;
∀x, y ∈ X.
Khi đó (X, . ) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian tuyến tính thực, X được gọi là không gian tiền
Hilbert nếu với mọi x, y ∈ X, xác định một tích vô hướng, kí hiệu là x, y , thỏa mãn
các tính chất
1. x, y = y, x ,
∀x, y ∈ X;
2. x + y, z = x, z + y, z ,
3. αx, y = α x, y ,
4. x, x ≥ 0,
∀x, y, z ∈ X;
∀x, y ∈ X,
∀x ∈ X;
α ∈ R;
x, x = 0 ⇔ x = 0.
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.2
Không gian Hilbert
Bổ đề 1.1.1. Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tính định chuẩn, với
chuẩn được xác định như sau
x =
x, x ,
∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian định chuẩn. Dãy {xn } ⊆ X được gọi là dãy
cơ bản trong X nếu
lim xn − xm = 0.
n,m→∞
Nếu trong X, mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là xn − xm → 0 kéo theo sự tồn tại
xo ∈ X sao cho xn → xo thì X được gọi là không gian đủ.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian tiền Hilbert và đủ được gọi là không gian Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert trên trường
số thực.
Ví dụ 1.1.1.
Lấy H = Rn với tích vô hướng xác định bởi hệ thức
x, y =
∑
xi yi .
i=1→n
Trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Khi đó H là một không gian
Hilbert.
Trên H có hai kiểu hội tụ sau
Định nghĩa 1.1.5. Xét dãy {xn }n≥0 và x thuộc không gian Hilbert thực H . Dãy {xn }
được gọi là hội tụ mạnh đến x, kí hiệu là xn → x nếu
lim
n→+∞
xn − x = 0.
Dãy {xn } được gọi là hội tụ yếu đến x, kí hiệu là xn
lim w, xn = w, x ,
n→+∞
x nếu
∀w ∈ H .
Điểm x được gọi là điểm tụ mạnh (hay yếu) của dãy {xn } nếu từ dãy này có thể trích
ra một dãy con hội tụ mạnh (hay yếu) tới x.
Mệnh đề 1.1.1.
1. Nếu {xn } hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x.
2. Nếu {xn } hội tụ yếu đến x và limn→+∞ xn = x thì {xn } hội tụ mạnh đến x.
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
3. Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh (yếu)
nếu tồn tại là duy nhất.
4. Nếu H là không gian Hilbert hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là
tương đương.
5. Nếu {xn } là dãy bị chặn trong không gian Hilbert H thì ta luôn trích ra được
một dãy con hội tụ yếu.
6. Nếu {xn } là dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều H thì ta luôn
trích ra được một dãy con hội tụ mạnh.
1.2
Tập lồi, nón lồi, hàm lồi
1.2.1
Tập lồi
Định nghĩa 1.2.1. Một tập C ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi đoạn
thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C.
Mệnh đề 1.2.1. Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm
của nó. Tức là, C lồi khi và chỉ khi
k
∀k ∈ N,
∀λ1 , λ2 , ..., λk ≥ 0 :
k
1
∑ λ j = 1, ∀x , ..., x
k
∈C ⇒
j=1
∑ λ j x j ∈ C.
(1.1)
j=1
Chứng minh.
Ta thấy, điều kiện đủ được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện cần
bằng quy nạp.
Với k = 2 công thức (1.1) tương đương với chứng minh C lồi khi và chỉ khi
∀λ1 , λ2 ≥ 0 : λ1 + λ2 = 1, ∀x1 , x2 ∈ C ⇒ λ1 x1 + λ2 x2 ∈ C.
Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi.
Giả sử mệnh đề đúng với (k − 1) điểm. Ta cần chứng minh đúng với k điểm.
Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x1 , ..., xk ∈ C. Tức là
k
x=
k
j
∑ λ jx ,
λ j ≥ 0,
∀ j = 1, 2, ..., k,
j=1
∑ λ j = 1.
j=1
Đặt
k−1
ξ=
∑ λ j.
j=1
8
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, (2009), NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội.
[2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải
tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional
Analysis and Optimization. 35:539-563.
[4] Pham G. Hung, Le D. Muu (2011), The Tikhonov regularization extended
to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis
74:6121 – 6129.
[5] M. Bianchi and S. Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and
equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications. 90:31–43.
[6] G. Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems, Kluwer
Academic, Dordrecht, pp. 289–298.
[7] L. D. Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Optimization 15:347–351.
49
