Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƢU THỊ PHƢỢNG

CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA
SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------

LƢU THỊ PHƢỢNG

CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA
SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP

Chuyên ngành

: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số

: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn

HÀ NỘI, 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào.
Tác giả luận văn

Lƣu Thị Phƣợng

i


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, tôi luôn
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện từ gia đình, thầy cô và bạn bè. Xin
được lưu vào trang đầu tiên của luận văn sự tri ân và lời cảm ơn chân thành nhất.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng tới thầy, GS.TSKH
Nguyễn Văn Liễn, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Thầy
đã tận tình hướng dẫn và tạo cho tôi những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và
nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt tôi xin cảm ơn bạn Phạm Công Huy, bạn đã trực tiếp hướng dẫn tôi
phần tính toán của luận văn và kiểm tra lại các kết quả tính toán đó.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Khoa học
Tự nhiên – Đaị học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô phòng sau đại học,…những người đã
trực tiếp giảng dạy, truyền đạt các kiến thức về vật lý và xác nhận các thủ tục hành

chính trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn bố mẹ, chồng và em trai luôn nhắc nhở động viên
và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2015

Tác giả

Lƣu Thị Phƣợng

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. ii

DANH SÁCH HÌNH VẼ ................................................................................. iv
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ...................................................................................... 4
1.1.Cấu trúc vùng năng lượng .................................................................................. 4
1.2.Phương trình Dirac . ......................................... Error! Bookmark not defined.
1.3.Giả spinor và Chirality. .................................... Error! Bookmark not defined.
1.4. Truyền dẫn ballistic. ........................................ Error! Bookmark not defined.
1.4.1.Chui ngầm Klein ........................................ Error! Bookmark not defined.
1.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử ........................... Error! Bookmark not defined.

1.5. Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường............... Error! Bookmark not defined.
1.6. Một số cấu trúc nano graphene........................ Error! Bookmark not defined.
1.7. Ứng dụng Graphene. ....................................... Error! Bookmark not defined.

CHƢƠNG 2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA GRAPHENEHAI LỚPError! Bookm
2.1. Cấu trúc tinh thể .............................................. Error! Bookmark not defined.
2.2.Cấu trúc vùng năng lượng ................................ Error! Bookmark not defined.
2.3. Sự khác biệt giữa graphene đơn lớp và graphene hai lớpError! Bookmark not defined.
CHƢƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG
GRAPHENE HAI LỚP: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬNError! Bookmark not defined.
3.1. Siêu mạng bán dẫn........................................... Error! Bookmark not defined.
3.2. Phương pháp T-ma trận. .................................. Error! Bookmark not defined.
3.3. Siêu mạng Graphene hai lớp ........................... Error! Bookmark not defined.

3.4.Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớpError! Bookmark not defined
3.4.1. Mô hình thế điện dạng Kronig- Penney. ... Error! Bookmark not defined.
3.4.2. Kết quả và thảo luận: ................................ Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN ............................................................... Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 5

iii


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của GrapheneError! Bookmark not defined.

Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic.Error! Bookmark
Hình 1.3. Mô hình chui ngầm Klein .......................... Error! Bookmark not defined.
Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và

đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thông thường có vùng cấm.Error! Bookmark not def
Hình 1.5. Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu diễn
độ dẫn theo công thức (1.4.43) , các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu thực

nghiệm tương ứng của nhóm Miao( 2007) và nhóm Danneau (2008).Error! Bookmark not def
Hình 1.6. Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường (b)
graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T= 4K,
B=14 T. ...................................................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 2.1

: Cấu trúc tinh thể Graphene đơn lớp và Graphene hai lớpError! Bookmark not def

Hình 2.2 : Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đơn lớpError! Bookmark not defined.
Hình 2.3. (a) Cấu trúc vùng năng lượng của graphene hai lớpError! Bookmark not defined.

Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp không đối xứng.Error! Bookma

Hình 2.4.Sự xuất hiện khe vùng khi có điện trường ngoài trong lớp kép graphene.Error! Bookm

Hình 3.1.Mô hình thế điện Kronig- Penney cho graphene hai lớp.Error! Bookmark not define
Hình 3.2. Hệ thức tán sắc với 3 siêu mạng khác nhau cho ta thấy mối liên hệ giữa E
với kx, ky. .................................................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.3.Mô hình siêu mạng điện .............................. Error! Bookmark not defined.

Hình 3.4. Cấu trúc vùng của siêu mạng điện Graphene trong không gian 3D với:Error! Bookm
Hình 3.5. Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trong trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào

là khác nhau:   4 (đường chấm gạch),   8 (đường liền đỏ),   18 (đường gạch xanh)Error! Boo

iv


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn luận văn
Công nghệ bán dẫn hiện đại với transistor truyền thống đã phát triển hết sức
mạnh mẽ trong nửa cuối thế kỷ 20. Bằng chứng cho sự phát triển đó chính là định
luật Moore với sự tăng theo hàm mũ của mật độ transistor trên chip điện tử silicon.
Tuy nhiên, mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các nguyên lý hoạt động
của transistor cổ điển không còn đúng nữa, đó chính là vấn đề mà các nhà vật lý và
công nghệ lo ngại khi tiếp tục giảm kích thước của „bóng bán dẫn‟.
Carbon, nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo của nó được
kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ trong tương lai. Nhiều người tin rằng,
carbon có thể thay thế silic, công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng
công nghệ nano dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới. Các cấu trúc nano của nguyên
tố carbon như quả cầu Fullerenes C60 (Fullerenes carbon ball C60 ), ống nano carbon
(carbon nanotube), dải nano carbon ( carbon nanoribbon ), đã và đang được nghiên
cứu sôi nổi trong lĩnh vực vật lý nano, mấy thập kỷ qua. Mà, Graphene có thể xem
là cơ sở cấu thành các cấu trúc đó.
Graphene có nhiều tính chất đặc biệt so với các vật liệu thông thường.
Thứ nhất, ở năng lượng thấp các electron biểu hiện như những hạt tương đối tính
không khối lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ khoảng 1/300 lần vận tốc ánh sáng.
Hàm sóng của electron có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của spinor có
liên quan đến hướng của xung lượng là nguyên nhân tính chirality.
Thứ hai, khả năng truyền dẫn đặc biệt tốt của Graphene. Độ linh động của electron
trong Graphene ( tiêu chí để xác định một vật liệu dẫn điện tốt) có thể đạt tới
𝟏𝟎𝟓 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔 cao hơn hẳn so với độ linh động của electron trong silicon ( cỡ
𝟏𝟑𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔) hay GaAs( cỡ 𝟖𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔). Ngoài ra, graphene là vật liệu dẫn
cực mỏng, trong suốt, rất bền về mặt cơ học, dẫn nhiệt rất tốt. Do đó, Graphene
được kỳ vọng sẽ thay thế cho các vật liệu bán dẫn thông thường trong nhiều ứng

dụng, từ sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến cảm biến sinh học.

1


Việc nghiên cứu ứng dụng graphene được bắt đầu bằng nghiên cứu tính chất
electron trong các cấu trúc khác nhau của Graphene : carbon nanoribbon, quantum
dot, p-n junction, hay siêu mạng...Thông thường người ta chế tạo siêu mạng bằng
cách điều chỉnh thế gian cầm đối với electron bằng công nghệ tương tự như công
nghệ hút bám nguyên tử trên một bề mặt Graphene. Ngày nay công nghệ hiện đại
hơn được sử dụng đó là kính hiển vi quét đường ngầm STM để quan sát cấu trúc bề
mặt của vật rắn với độ phân giải lên tới cấp độ nguyên tử, người ta có thể đặt vào và
điều chỉnh tạp chất hợp lý để tạo ra những cấu trúc siêu mạng như ý muốn, với độ
chính xác cực cao. Bên cạnh đó, có một phương pháp đơn giản đã từng làm là tạo ra
những điện áp địa phương ( tức là đặt vào những điện áp không đổi với một chu kỳ
tuần hoàn nào đó), do vậy đối với electron thế là tuần hoàn như một siêu mạng.
Ngoài ra, một phương pháp rất độc đáo cũng được sử dụng, đó là ban đầu người ta
tạo một lớp chất nền có hình dạng như một thế siêu mạng muốn tạo thành. Sau đó,
người ta cấy lên trên những bề mặt này những lớp graphene bằng cách này cũng tạo
ra được siêu mạng graphene.
Ngày nay, người ta sử dụng kính hiển vi quét đường ngầm STM để điều chỉnh
tạp chất trong graphene được đặt lên trên một lớp chất tạo nền và có thể đạt được
cấu trúc siêu mạng như mong muốn. Với công nghệ này, người ta có thể tạo được
các siêu mạng graphene có chu kỳ nhỏ hơn 5nm. Mô hình siêu mạng phổ biến hay
được quan tâm nhất là mô hình thế Kronig- Penney ( tức là mô hình thế gồm các bờ
thế vuông góc sắp xếp tuần hoàn theo một phương nào đó). Với mô hình KronigPenny cho siêu mạng điện Bai và Zhang [6] đã khảo sát sự phụ thuộc hệ số truyền
qua vào góc tới và năng lượng tới của hạt, đồng thời đã tính độ dẫn của hệ. Nhóm
của Abedbour cũng đã tính độ dẫn của hệ siêu mạng mất trật tự graphene. Nhóm
của Park đã chỉ ra rằng với mô hình Kronig- Penney vận tốc nhóm có tính dị hướng
cao do tính chirality. Trong khi vận tốc nhóm theo phương tuần hoàn của thế vẫn

không đổi( bằng vận tốc Fermi), thì vận tốc nhóm xét theo phương vuông góc với
nó nhỏ hơn vận tốc Fermi. Với một siêu mạng graphene sử dụng thế có dạng hàm
sin, Brey và Fertig [10] chỉ ra rằng tính chirality dẫn tới điều đặc biệt là sự xuất hiện
những trạng thái năng lượng không trong phương trình Dirac, đây chính là sự xuất
2


hiện thêm của nhiều điểm Dirac nằm đối xứng qua điểm Dirac chính theo phương
xung lượng ngang. Ngoài ra siêu mạng còn có thể tạo thành bằng các bờ thế từ. Siêu
mạng từ graphene có thể được cấu thành bằng cách áp các thanh sắt từ lên bề mặt
tấm graphene theo một phương nhất định tạo thành một thế tuần hoàn.
Trong luận văn này sử dụng phương pháp Transfer (T) matrix quen thuộc,
chúng tôi bước đầu tìm hiểu cấu trúc năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp (
bilayer graphene) với thế tĩnh điện tuần hoàn dạng Kronig- Penney. Vì vậy tôi chọn
tên luận văn: “Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp”.
2. Mục tiêu luận văn
Tìm hiểu các tính chất vật lý của graphenevà bước đầu học cách tính toán cấu trúc
vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn
Luận văn chủ yếu sử dụng lý thuyết bloch kết hợp với phương pháp T-ma trận .
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn
-Đối tượng nghiên cứu : Graphene hai lớp dưới tác dụng của thế tĩnh điện tuần hoàn
dạng Kronig- Penney.
- Phạm vi nghiên cứu : Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan các tính chất điện tử của Graphene đơn lớp
Chương 2: Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp
Chương 3: Trình bày kết quả và thảo luận về cấu trúc vùng năng lượng của siêu
mạng Graphene 2 lớp với thế điện dạng Kronig - Penney.

3


CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
CÁC TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA GRAPHENE ĐƠN LỚP
Để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của graphene được giới thiệu ở phần mở
đầu, đồng thời làm cơ sở cho những tính toán và giải thích các hiện tượng vật lý ở
trong siêu mạng graphene sẽ trình bày ở phần tiếp theo, tôi xin giới thiệu một vài
đặc trưng cơ bản nhất của graphene như cấu trúc vùng năng lượng và các tính chất
điện tử.
1.1. Cấu trúc vùng năng lƣợng
Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene được tính toán bằng phương pháp
gần đúng liên kết mạnh và so sánh kết quả nhận được với phương pháp ab- initio.
Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được viết dưới dạng:
𝛹𝑗 𝑘, 𝑟 =

𝑀
𝑚 =1 𝛹𝑗 ,𝑚

𝑘 𝜙𝑚 (𝑘, 𝑟)(1.1.1)

𝛹𝑗 ,𝑚 là hệ số khai triển. Có M dãy năng lượng khác nhau và năng lượng của trạng
thái điện tử E của dãy thứ j được tính :
𝐸𝑗 𝑘 = 𝛹𝑗 𝐻 𝛹𝑗 / 𝛹𝑗 𝛹𝑗
Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng 𝐸𝑗 với hệ số khai triển 𝛹𝑗 tạo thành :
𝐻𝛹𝑗 = 𝐸𝑗 𝑆𝛹𝑗
Trong đó: 𝛹𝑗 là vecto cột, 𝛹𝑗𝑇 = (𝛹𝑗 1 , 𝛹𝑗 2 , … , 𝛹𝑗𝑀 )

(1.1.2)

Ma trận tích phân chuyển đổi H và ma trận tích phân chéo S là MxM với các nhân
tố được xác định như sau :
𝐻𝑚 𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝐻 𝜙𝑚′ 𝑆𝑚𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝜙𝑚′

(1.1.3)

Dãy năng lượng 𝐸𝑗 được xác định bởi phương trình giá trị riêng suy rộng
(1.1.2) bằng cách giải phương trình :
𝑑𝑒𝑡 𝐻 − 𝐸𝑗 𝑆 = 0

(1.1.4)

Ở đây „det‟ được gọi là định thức của ma trận.
Các yếu tố ma trận sẽ được tính trực tiếp theo định nghĩa :
𝐻𝐴𝐴 =

1
𝑁

𝑁
𝑖=1

𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) 𝐻 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 )

4

(1.1.5)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
1.

Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Đỗ Quốc Hùng, Lê Tuấn (2011), Lý thuyết
bán dẫn hiện đại , Nxb. Đại học Quốc Gia, Hà Nội.

2.

Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), Vật
lý bán dẫn thấp chiều, Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội.

3.

Nguyễn Hải Châu (2008), “Trạng thái giả liên kết trong graphene”, Luận văn
tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học – Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội.

4.

Nguyễn Văn Hùng (2009), Lý thuyết chất rắn, Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội.

5.

Lê Văn Qui (2012), “Dirac Fermion trong siêu mạng từ graphene với thế dạng
Kronig- Penney”, Luận văn thạc sỹ khoa học Vật Lý, Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.

Tài liệu tiếng anh
6.

Bai J., Zhong X., Jiang S., Huang Y. and Duan X. (2010), “Graphene

7.

nanomesh”, Nature Nanotechnology, 5, pp. 190–194.

8.

C. Huy Pham, T. Thuong Nguyen, and V. Lien Nguyen (2014), “Electronic
band structure of magnetic bilayer graphene superlattices”, Journal of applied
physics, 116, 123707.

9.

Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R., Novoselov K. S. and Geim
A. K. (2009), “The electronic properties of graphene”, Rev. Mod. Phys.

10.

81, pp. 109. 6. E. McCann and Mikito Koshino (2013), “The electronic
properties of bilayer graphene”, Rep. Prog. Phys. 76 056503.

11.

E. McCann, D.S.L. Abergel, and V.I. Fal‟ko (2007), “The low energy
electronic band structure of bilayer graphene”, Eur. Phys. J. Special Topics
148, 91-103.

12.

E. McCann and Mikito Koshino (2013), “ The electric properties of bilayer
graphene”, Rep. Prog. Phys. 76 056503.

13.

Datta S. (1995), Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press, Cambridge, UK.

5


14.

Do V. N., Nguyen V. H., Dollfus D. and Bournel A. (2008), “Electronic transport and spin-polarization effects of relativisticlike particles
in mesoscopic graphene structures”, J. Appl. Phys., 104, pp. 063708.

15.

Do V. N. and Dollfus P. (2009), “Effects of charged impurities and lattice defects on transport properties of nanoscale graphene structures”,
J. Appl. Phys., 106, pp. 023719.

16.

Do V. N. and Pham T. H. (2010), “Graphene and its one-dimensional
patterns: from basic properties towards applications”, Adv. Nat. Sci.:
Nanosci. Nanotechnol., 1, pp. 033001.

17.

Evaldsson M., Zozoulenko I. V., Xu H. and Heinzel T. (2008), “Edgedisorder-induced Anderson localization and conduction gap in graphene
nanoribbons”, Physics Review B, 78, pp. 161407.

18.

Han M. Y., Ozyilmaz B., Zhang Y. and Kim P. (2007), “Energy BandGap Engineering

of Graphene

Nanoribbons”, Phys.

Rev. Lett., 98,

pp. 206805.
19.

Iijima S. (1991), “Helical microtubules of graphitic carbon”, Nature,
354, pp. 56.

20.

Katsnelson M. I., Novoselov K. S. and Geim A. K. (2006), “Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene”, Nat. Phys., 2, pp. 620.

21.

Kroto H. W., Heath J. R., O‟Brien S. C., Curl R. F. and Smalley R. E.
(1985), “C60: Buckminsterfullerene”, Nature, 318, pp. 162–163.

22.

Liang X. et al. (2010), “Formation
graphene nanomeshes with

of bandgap

and subbands

in

sub-10 nm ribbon width fabricated

via

nanoimprint lithography”, Nano Lett., 10, pp. 2454.
23.

Liu W., Wang Z. F., Shi Q. W., Yang J. and Liu F. (2009), “Bandgap scaling of graphene nanohole superlattices”, Phys. Rev. B, 80,
pp. 233405.

24.

Mazzamuto F. et al. (2011), “Enhanced thermoelectric properties in
graphene nanoribbons by resonant tunneling of electrons”, Phys. Rev.
B, 83, pp. 235426.

6


25.

Mucciolo E. R., Neto A. H. C. and Lewenkopf C. H. (2009), “Conductance quantization and transport gaps in disordered graphene nanoribbons”, Phys. Rev. B, 79, pp. 075407.

26.

Nguyen V. H., Mazzamuto F., Saint-Martin J., Bournel A. and Dollfus
P. (2011), “Giant effect of negative differential conductance in graphene
nanoribbon p-n hetero-junctions”, Appl. Phys. Lett., 99, pp. 042105.

27.

Nguyen V. H. (2010), Electronic transport and spin polarization effects
in graphene nanostructures, Ph.D thesis, Université Paris Sud.

28.

Nguyen V. H., Mazzamuto F., Saint-Martin J., Bournel A. and Dollfus
P. (2012), “Graphene nanomesh-based devices exhibiting a strong negative differential conductance effect”, Nanotechnology, 23, pp. 065201.

29.

Novoselov K. S. et al. (2005), “Two-dimensional gas of massless Dirac
fermions in graphene”, Nature, 438, pp. 197.

7