ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ ĐÁP ÁN

SỞ GD-ĐT ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC
ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2007-2008 (ĐỀ ĐỀ NGHỊ)
MÔN TOÁN LỚP 12 - THỜI GIAN 180 PHÚT
A. ĐỀ RA:
Câu 1: (4,0 điểm )
Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
(1)
Câu 2: ( 4,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
3 2
3 2
3 2
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
y x x
z y y
x z z

− + − =

− + − =


− + − =

Câu 3: ( 4,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn điều kiện:
n n n
x y z+ =
thì
( )
min ,x y n≥
.
Câu 4: (4,0 điểm)
Chứng minh rằng mọi tứ diện luôn tồn tại ít nhất một đỉnh mà ba cạnh xuất phát từ đỉnh
đó có độ dài thích hợp để lập thành một tam giác.
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng nếu tập hợp
( ) ( )
{ }
cos cos /n x n y n N
π π
+ ∈

hữu hạn thì
,x y Q∈
.

1
B. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC
Câu 1: Điều kiện:
3 1x− ≤ ≤
.
3 3 4 1 1
(1)
4 3 3 1 1

x x
m
x x
+ + − +
⇔ =
+ + − +

Nhận thấy rằng:
( ) ( )
2 2
2 2
3 1
3 1 4 1
2 2
x x
x x
   
+ −
+ + − = ⇔ + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Nên tồn tại góc
0;
2
π
ϕ
 
∈
 

 
sao cho:

2
2
3 2sin 2
1
t
x
t
ϕ
+ = =
+
và
2
2
1
1 2cos 2
1
t
x
t
ϕ
−
− = =
+

Với
[ ]
tan ; 0;1

2
t t
ϕ
= ∈
2
2
3 3 4 1 1 7 12 9
5 16 7
4 3 3 1 1
x x t t
m m
t t
x x
+ + − + − + +
= ⇔ =
− + +
+ + − +
Xét hàm số:
[ ]
2
2
7 12 9
( ) ; 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− + +
= ∈
− + +

( )
[ ]
2
2
2
52 8 60
'( ) 0, 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− − −
= < ∀ ∈
− + +
.
Hàm số nghịch biến trên đoạn
[ ]
0;1
và
9 7
(0) ; (1)
7 9
f f= =

Suy ra phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn
[ ]
0;1
khi và chỉ
khi:
7 9

9 7
m≤ ≤
Câu 2:

3 2
3 2
3 2
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
y x x
z y y
x z z

− + − =

− + − =


− + − =

3 2
3 2
3 2
9 27 27
9 27 27
9 27 27
y x x
z y y
x z z


= + −

⇔ = + −


= + −

Xét hàm số đại diện:
2
( ) 9 27 27 '( ) 18 27f t t t f t t= − + ⇒ = −
3 3
'( ) 0 18 27 0 '( ) 0
2 2
f t t t f t t= ⇔ − = ⇔ = ⇒ > ⇔ >
Hàm số đồng biến trên khoảng
3
;
2
 
+∞
 ÷
 
và nghịch biến trên khoảng
3
;
2
 
−∞
 ÷

 
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
3 3 27 27
( )
2 2 4 4
t f f t
 
= ⇒ = ⇒ ≥ ⇒
 ÷
 
2 3
3
27 27 3 3
9 27 27
4 4 2
4
x x y y− + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ >
2

3
3 3
2
4
x⇒ ≥ >
v à
3
3 3
2
4
z ≥ >

. Vậy x, y, z thuộc miền đồng biến, suy ra hệ phương trình
( )
( )
( )
f x y
f y z
f z x
=


=


=

là hệ hoán vị vòng quanh.
Không mất tính tổng quát giả sử
x y≥ ⇒

3 3
( ) ( )f x f y y z y z≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
3 3
( ) ( )f y f z z x z x⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

x y z x x y z⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ = =
.
Thay vào hệ ta có:
3 2
9 27 27 0 3x x x x− + − = ⇒ =
Suy ra: x = y = z = 3

Câu 3: Gỉa sử các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn phương trình
( )
1
n n n
x y z+ =

Không mất tính tổng quát ta giả sử
x y≤
. Vì
( ) ( )
0 1 1 1
1
1 ... ... 1 2
n n n n
n
n n n k n k n n
n n n
z x y y z y z y
z y C y C y C y y ny
− − −
= + > ⇒ > ⇒ ≥ +
⇒ ≥ + = + + + + + ≥ +

So sánh (1) và (2) ta có :
1 1n n n
x ny nx
− −
≥ ≥
vì
( )

x y≤
.
Do đó
( )
min , .x n x y x n≥ ⇒ = ≥
Câu 4: Xét tứ diện ABCD, không mất tính tổng quát giả sử AB là cạnh dài nhất của tứ diện
đang xét.
Bằng phản chứng ta giả sử rằng: Khẳng định của bài toán là sai, nghĩa là không có đỉnh nào
trong tứ diện để cho ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó có độ dài thích hợp để lập thành một tam
giác. Khi đó ta có:
AB AC AD> +
xét đỉnh A
BA BC BD> +
xét đỉnh B
Suy ra:
( )
2 1AB AC AD BC BD> + + +
Ta xét các tam giác ABC và ABD ta có:
( )
2 2
AB AC CB
AB AC AD CB DB
AB AD DB
< +

⇒ < + + +

< +

Mâu thuẫn giữa (1) và (2) ta suy ra ĐPCM.

Câu 5: Đặt
( )
cos
n
a n x
π
=
và
( )
cos
n
b n y
π
=
. Khi đó:

( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
n n n n n n n n
a b a b a b a b+ + − = + = + +
.
Gỉa sử tập hợp
( )
{ }
n n

a b+
hữu hạn, ta suy ra
( )
{ }
n n
a b−
cũng là tập hợp hữu hạn, do đó suy ra
được
{ }
n
a
và
{ }
n
b
cũng là tập hữu hạn
vì
( ) ( )
1
2
n n n n n
a a b a b= + + − 
 
và
( ) ( )
1
2
n n n n n
b a b a b= + − − 
 

.
Do tập
{ }
n
a
hữu hạn nên
( )
2
: 2 2
m n
k
m n a a n x m x k n m x k x Q
n m
π
π π π π π
∃ < = ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = ∈
−
Tương tự
( )
2
: 2 2
m n
k
m n b b n y m y k n m y k y Q
n m
π
π π π π π
∃ < = ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = ∈
−
3