Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016
TẬP 3
Những gì chúng ta biết ngày hơm nay sẽ lỗi thời vào ngày hơm sau.
Nếu chúng ta ngừng học thì chúng ta sẽ ngừng phát triển.
A. TUYỂN TẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Giải bất phương trình
5x
2
5x 10
x 7 2x 6 x 2 x 3 13x 2 6x 32
(THPT ĐỒN THỊ ĐIỂM – KHÁNH HỊA 2016)
Điều kiện : x 2 .
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình :
5x
2
5x 10
x 7 3 2x 6
x 2 2 x 3 2x 2 5x 10 0
5x 2 5x 10
2x 6
x 2
x 2 5 0 *
x 7 3
x 2 2
Với mọi x 2 ta có
và
x 2 2 2 nên
x 7 3 5 3 5 nên
Do đó,
5x 2 5x 10
x 7 3
2x 6
x 2 2
5x 2 5x 10
2x 6
x 2 2
x 7 3
2x 6
x 3
2
5x 2 5x 10
x2 x 2 .
5
x 2 5 x 2 x 2 x 3 x 2 5 0 .
* x 2 0 x 2 .
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S 2;2 .
Câu 2. Giải bất phương trình
7x 7 7x 6 2 49x 2 7x 42 181 14x
(TRƯỜNG ISCHOOL NHA TRANG – KHÁNH HỊA 2016)
Điều kiện : x
6
.
7
u 7x 7
Đặt
u; v 0 , khi đó bất phương trình đã cho trở thành :
v 7x 6
u v 2uv 182 u 2 v 2 u v u v 182 0
2
14 u v 13 .
Page 1
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Tuyển tập PT – BPT – HPT
Vì u; v 0 nên 0 u v 13 .
7x 7 7x 6 13 49x 2 7x 42 84 7x
x 1
6
49x 2 7x 42 0
x
x 1
7
.
84 7x 0
x 12 6
x
6
x 6
7
49x 2 7x 42 7056 1176x 49x 2
Khi đó
6
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S ; 6 .
7
Câu 3. Giải bất phương trình
2
x x 1
2
2x 3 1
x 12x 3
(TRUNG CẤP NGHỀ NINH HỊA – 2016)
x 3
Điều kiện :
2.
x 1
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình :
2
x x 1
2x 3 1
2x 3 1
2x 3 1 2x 3
x x 1
1
2
2x 3 1 2x 3
1 x x 1
2
2x 3 1 2x 3*
x 3 2x 2 x 2x 3 2x 3 2x 3
x 2 x 2 2x 3 2x 3 x 3 0
x 2 0 x 2.
2
Ta có * x 1 1 x 1
2x 3 1
2x 3
2
Xét hàm số f t t 1 t 2 với t 1 .
f ' t 3t 2 2t 0, t 1 .
Suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng 1; .
Page 2
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
Khi đó f x 1 f
ThS. Nguyễn Văn Rin
2x 3 x 1 2x 3
x 2
2
x 2 6.
x 4x 2 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2 6; .
Câu 4. Giải hệ phương trình
2(4x 2 y 2 ) 5x 2 2xy 2y 2 3x 2y
, x ; y
2
y x 6 2 x y 1 5 x 1
(THPT LÊ Q ĐƠN)
x 1 0
x 1 (*)
Điều kiện xác định:
2
y x 6 0
Biến đổi vế trái phương trình thứ nhất
(2x y )2 (2x y )2 (2x y )2 (x y )2
2x y x y 3x 2y 3x 2y
2x y 0
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2x y )(x y ) 0 2x y 0
3x 2y 0
Thay vào (2) ta được phương trình:
2x 1
2
4x 2 x 6 2x 1 5 x 1
5 x 1 2x 1 5 x 1 (3)
Với x 0 , chia hai vế của phương trình (3) cho
x 1 ta được phương trình tương
2
đương
2x 1
5 2x 1 5
x 1
x 1
t 5
t 2
Đặt t
, phương trình được viết t 5 t 5
t 2
x 1
1
x
2x 1
2 2 x 1 2x 1
Giải phương trình:
2
x 1
4 x 1 4x 2 4x 1
2x 1
2
1
1
x
x
7
2
.
x 1
2
2
2
4
28
4x 8x 3 0
x
4
Page 3
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Khi x 1
Tuyển tập PT – BPT – HPT
7
y 2 7 .
2
7
; 2 7 .
Nghiệm của hệ phương trình là: (x ; y ) 1
2
Câu 5. Giải bất phương trình
2x 2 6x 8 2x 2 4x 6 3 x 4 3 x 3 1 0
(THPT TRƯNG VƯƠNG)
Điều kiện : x 1
Bất phương trình đã cho tương đương với :
2 x 1x 4 2 x 1x 3 3 x 4 3 x 3 1 0
2 x 1 x 4 2 x 1 x 3 3 x 4 3 x 3 1 0
2 x 1
x 4
x 3 1
x 4 x 3 3
2 x 1 3
x 4
2 x 1 3
x 3 1
1
x 4 x 3
2 x 1 3 x 4 x 3
11
2 x 1 3 0
x
2
2
2
2 x 1 3 x 4 x 3
3 2 x 1 x 4x 3
x 11
11
x
2
x 5 x 6
2
2
x 11x 30 0
x 6
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 6; .
Câu 6. Giải hệ phương trình
3
2 y 2 3 y 2 x 4 x
y 42y 12 8 x 2 y
x2 2 x2 y
.
(THPT TRẦN HƯNG ĐẠO)
y 2
Điều kiện :
.
2
x y
Page 4
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
Từ phương trình thứ (2) ta có
y 42y 12 x 2 2x 2 y 0
x2 8 y
2 x 2 8 y 2 y 42y 12 2 x 2 2 x 2 y 0
2y 8 y 6
2
2
2
x 2 x y
0
2
2y 8 y 6
y 2 y 2 0 .
2
x 2 x2 y
Thay vào phương trình (1) ta được
2 y 2 3 y 2 x3 4 x y 2 3 y 2 x3 4 x
3
y 2
4
3
3
y 2 x 3 4 x * .
Xét hàm số f t t t 2 4 trên .
Ta có f ' t 1
3t 2
3
2 t 4
0, t .
Do đó, phương trình * f
3
y 2 f x 3 y 2 x .
y 2 0
x 3 4
Suy ra
(thỏa mãn).
3 y 2 x
y 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 3 4; 2 .
Câu 7. Giải bất phương trình
x 2 5x 4 1 x (x 2 2x 4) * .
(THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ)
1 5 x 0
Điều kiện : x x 2x 4 0
x 1 5
2
Khi đó (*) 4 x (x 2 2x 4) x 2 5x 4
4 x x 2 2x 4 x 2 2x 4 3x * *
Trường hợp 1 : x 1 5 , chia hai vế cho x 0 , ta có:
Page 5
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
* * 4
Đặt t
Tuyển tập PT – BPT – HPT
x 2 2x 4
x 2 2x 4
3
x
x
x 2 2x 4
t 0 , ta có bất phương trình :
x
t 2 4t 3 0 1 t 3
x 2 7x 4 0
x 2 2x 4
1 17
7 65
1
3 2
x
x x 4 0
x
2
2
Trường hợp 2 : 1 5 x 0 , x 2 5x 4 0 , (**) ln thỏa.
1 17 7 65
;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là S 1 5; 0
2
2
Câu 8. Giải phương trình
2 1 x
x 4x 5 2
x 1 1
.
x x 1
x 2 x 1
3x
2
(THPT CHUN QUỐC HỌC HUẾ - 2016)
Điều kiện: x 1 .
Phương trình đã cho tương đương với
2 1 x
x 1 1
x 2 2
x x 1
x 2 x 1
x 2 2x 1
2
2 1x
1 x .
1 x
1 2
x 2 x 1
x x 1
2
2
x 2
Đặt y 1 x , z x 2 x 1 y 0; z 0 , phương trình trở thành
y 4
2
2 2y
x
2
y
1
z
z 2
2 . Ta có VT 0 ;
2 2y
2y
y4
2
2 y
2 y
VP y 1 2 y 2 1 y 1 0 .
z
z
z
z
z
2
x 2
x 2 0
Do đó, phương trình (2) tương đương với : y
y 0 .
y 1 0
z
y z
Với x 2 thì y z 3 .
Page 6
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
Vậy x 2 .
Câu 9. Giải hệ phương trình
2
x x y 2 x 1y 1 1
.
x 1
2
2
3x 8x 3 4 x 1 y 1
x 1
Điều kiện:
.
y 1
x3 x2 x
1
y 2
x 1
x 3
x
x 1
x 1
x 1y 1
x 3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
y 1 y 1 3 .
Xét hàm số f t t 3 t trên .
Ta có f ' t 3t 2 1 0, t .
Suy ra hàm số f t đồng biến trên .
x
f
Do đó, 3 f
x 1
y 1
x
x 1
y 1 . Suy ra x 0 .
Thay vào phương trình (2) ta được:
3x 2 8x 3 4x x 1 2x 1 x 2 x 1
2
x 1
2
2 x 1 x 1
x 6x 3 0
x 1
2 x 1 1 3x
3
9x 2 10x 3 0
2
x 3 2 3
5 2 13 .
x
9
x2
1.
Ta có y
x 1
Với x 3 2 3 thì y
Với x
43 3
.
2
5 2 13
: loại do x 0 .
9
Page 7
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Tuyển tập PT – BPT – HPT
4 3 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 3 2 3;
.
2
Câu 10. Giải bất phương trình
x 2 2
6 x 2 2x 4 2 x 2
1
2
(THPT CHUN VĨNH PHÚC – 2016)
Điều kiện: x 2 .
Ta có
6 x 2x 4 2 x 2
2
2 x 2 2x 4
6 x 2 2x 4 2 x 2
0, x 2 .
Bất phương trình đã cho tương đương với :
2
x 2 2 6 x 2 2x 4 2 x 2
2 x 2 2x 12 x 2 6x 2 * .
Nhận xét x 2 khơng là nghiệm của bất phương trình.
Khi đó chia 2 vế của bất phương trình (*) cho
x 2 0 ta được :
2
x
1 .
2 2.
12 6.
x 2
x 2
x
Đặt t
x
x 2
, bất phương trình (1) trở thành :
t 1
2 2t 0
t 2.
2 2t 12 6t
2
2
2
2 t 2 0
4 8t 4t 12 6t
Với t 2 ta có bất phương trình
x 0
x
2 2
x 22 3.
x 4x 8 0
x 2
2
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2 2 3 .
Câu 11. Giải phương trình
x 1
x 2 x 2 3 2x 1
3
2x 1 3
(THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH 2016)
Page 8
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
x 1
Điều kiện:
.
x 13
Phương trình đã cho tương đương với :
x 2 x 1 2 x 1 2
x2 x 6
x 1 2 3
x 1 2
3
2x 1 3
2x 1 3
Vì x 3 khơng là nghiệm của phương trình nên
1 1
x 2
3
x 1 2
2x 1 3
(2x 1)
3
1
2x 1 (x 1) x 1 x 1 2
Xét hàm số f (t ) t 3 t trên .
2
Ta có f ' t 3t 1 0, t .
Do đó phương trình 2 3 2x 1 x 1
1
1
x
x
2
2
3
2
3
2
(2x 1) (x 1)
x x x 0
1
x
x 0
2
x 0
x 1 5
x 1 5
2
2
1 5
Vậy phương trình có nghiệm S
0;
2
Câu 12. Giải hệ phương trình
x 2 x 2 2x 4 y 1 2 y 2 3
2
4 x x 6 5 y 2 xy 2 y x 2 1 2 y x 2
(THPT THUẬN THÀNH 1 – BẮC NINH 2016)
y 2
Điều kiện :
.
(x 2)(y 1) 0
Phương trình (1) của hệ tương đương với x 1 2 (x 1)2 3 y 2 y 2 3
Xét hàm số f t t 2 t 2 3 trên .
Ta có f '(t ) 1
2t
t2 3
t 2 3 2t
t2 3
.
Page 9
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Tuyển tập PT – BPT – HPT
t 0
f '(t ) 0 t 3 2t 2
t 1.
3t 3 0
t 0
2
f '(t ) 0 t 3 2t 2
t 1
3t 3 0
f '(t ) 0 t 1
2
Từ điều kiện ta có
x 2 0 x 1 1
-Nếu
thì 1 f x 1 f y x 1 y
y 1 0
y 1
x 2 0 x 1 1
-Nếu
thì 1 f x 1 f y x 1 y
y 1 0
y 1
Thế y x 1 vào phương trình (2) ta có :
4x 2 x 6 (1 2x ) 5 x 1
x 1 0 x 1
2
4x x 6 1 2x x 1
x 1
4x 2 x 6 1 2x
x 1
(4)
1
x
2 7
x
Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x 1 2x 1
2
2
4x 2 8x 3 0
Thử lại ta có: Phương trình đã cho có 2 nghiệm: x 1; x
2 7
.
2
2 7 7
.
;
Vậy hệ có nghiệm là (x;y) = (-1;-2) và
2
2
Câu 13. Giải hệ phương trình
2
x x 1 y 2 y 1 x 2 xy y 2
4 x 1xy y 1 3x 3 x 4 x 2
1
(THPT CHUN BẮC GIANG – 2016)
x 2 x 1 y 2 y 1
1
2
2
x x 1 y y 1
x
2
2
xy y
2
2
.
Ta có 2 xy x y 2 2 x 2 x 1. y 2 y 1
Page 10
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
xy x y 2 0
2
xy x y 2 4 x 2 x 1 y 2 y 1 3
2
3 xy x y 4 xy x y 4 4 x 2 x y 2 y x 2 x y 2 y 1
2
2
xy x y 4 x 2y 2 xy x y x y
3x 2y 2 6xy x y 3 x y 0
2
3 xy x y 0 xy y x .
2
Thế xy y x vào phương trình 4 x 1xy y 1 3x 3 x 4 x 2 ta được :
4 x 1x 1 3x 3 x 4 x 2
4
Đặt t 3 x 4 x 2 . Vì x 0 khơng là nghiệm của (4) nên x 0 .
2 3x 2
x
0, x 0 .
Suy ra t tx x t
2
4
2
2
Do đó 4 4x 2 3x 4 t 4x 2 4x 4 t x
4 x x 1t
x x 14t
tx x x x
4tx 3x 0
4 x 2 x 1 t 2 tx x 2 t 3 x 3
2
2
2
2
2
4
3
x2
2
x 2 x 1 0 vì 4t 2 4tx 3x 2 2t x 2x 2 0, x 0 .
2
x
1 5
.
2
- Với x
1 5
3 5
1 5
1 5
y
y
thì
(khơng thỏa mãn điều kiện).
2
2
2
2
1 5
3 5
1 5
1 5
y
y
thì
(thỏa mãn điều kiện).
2
2
2
2
1 5 1 5
.
;
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y
2
2
- Với x
Câu 14. Giải phương trình
x 3 3x 2 4x 1 x 2 3
x2 x 1
(THPT CHUN HÙNG VƯƠNG – 2016)
Page 11
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Tuyển tập PT – BPT – HPT
x 3
x 3
Ta thấy x 3 x 2 x 1 0
(vơ nghiệm)
2
x x 1 x 2 6x 9
x 8
7
Do đó phương trình đã cho tương đương với :
x
2
3 x 3 7x 8 x 2 3
x2 x 1
x 2 3 x 3 x 2 x 1 7x 8 0
x 3 x 2 x 1
2
x2 3
x 3 x2 x 1
7x 8 0
x2 3
7x 8
1 0
x 3 x 2 x 1
x 8
7
2
x 3 x 3 x 2 x 1 2
2 x 2 x
x 2 x 1 3 .
Đặt t x 2 x 1 t 0 , phương trình (3) trở thành :
t 1 5
2 .
t2 1 t
t 1 5
2
Giá trị t
Với t
1 5
thỏa mãn điều kiện t 0 .
2
1 5
ta có phương trình
2
1 5
1 5
1 32 5
x2 x
0x
2
2
2
8 1 3 2 5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S ;
.
7
2
x2 x 1
Câu 15. Giải hệ phương trình
x 3y 7x 2y 5y x 3 y
2
2x y 2 x 4 y 2 4 2 5 xy
(THPT CHUN KHTN – 2016)
Page 12
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
y 0
x 3y 0
7x 2y 0
Điều kiện :
.
5y x 0
4
2
x y 4 0
xy 0
- Nếu y 0 thì từ phương trình thứ nhất của hệ ta có x 0 (khơng thỏa mãn phương
trình (2)).
- Nếu y 0 thì chia 2 vế của phương trình thứ nhất cho
y ta được :
x
7x
x
3
2 5 3 1 .
y
y
y
Đặt t
x
, phương trình (1) trở thành t 3 7t 2 5 t 3 2 .
y
Vế trái của (2) là hàm đồng biến theo t, vế phải của (2) là hàm nghịch biến theo t nên
phương trình (2) nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất.
Mà t 1 là một nghiệm của phương trình (2).
Với t 1 ta có
x
1 x y 0.
y
Thế x y vào phương trình thứ 2 của hệ ta được :
x 2 2 x 4 x 2 4 5x .
Chia cả 2 vế cho x 0 rồi đặt t x
2
ta có phương trình
x
t 5
t 5 5 t
t 3.
10t 30
2
2
Với t 3 ta có x 3 x 2 3x 2 0
x
x 1
x 2 .
Với x 1 y 1 (thỏa điều kiện).
Với x 2 y 2 (thỏa điều kiện).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 1;1, 2;2 .
Câu 16. Giải bất phương trình
x 2
2x 3 2 x 1 2x 2 5x 3 1
(THPT CHUN LÀO CAO – 2016)
Điều kiện : x 1 .
Page 13
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Tuyển tập PT – BPT – HPT
a 2 2b 2 1
a 2x 3
2
Đặt
a
1;
b
0
2x 5x 3 ab
b x 1
x 2 a 2 b2
Bất phương trình đã cho trở thành :
a
2
b 2 a 2b ab 1
a b a b a 2b ab 1 0
a b a 2 2b 2 ab ab 1 0
a b 1 ab 1 ab 0
a b 11 ab 0
a b 1 0
1 ab 0
a b 1 0 I .
1 ab 0
a b 1 0
II
1 ab 0
- Nếu a b 1 0 ta có phương trình
2x 3 x 1 1 0
2x 3 x 1 1 2x 3 x 1 2 x 1 1
x 1 2 x 1 x 1
x 1
x 1 2 0
.
x
3
- Nếu 1 ab 0 ta có phương trình 1 2x 2 5x 3 0
x 1 tm
.
2x 5x 2 0
2
x 2 l
- Giải hệ (I) :
x 1
x 3
2
x
3
x
1
1
x 1 2 x 1
I 2
1 VN .
2
1 x
2x 5x 3 1
2x 5x 2 0
2
- Giải hệ (II) :
x 1
1 x 3
2
x
3
x
1
1
1
x 3
x 1 x 1 2 0
II 2
1
x
2
2x 5x 3 1
2x 2 5x 2 0
2
2
Page 14
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1 ; 3 .
2
Câu 17. Giải phương trình
x 4 12x 3 38x 2 12x 67 x 1 7 x 0
(SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC – 2016)
TƯ DUY CASIO : Phương trình có nghiệm kép x 3 .
- Đặt A x 1 . Với x 3 thì A 2
Ta có A 2 x 1 2 A 2 x 3.
1
Thay x 3 vào biểu thức
Do đó A 2
1
x 1 2
1
ta được
x 1 2
x 1 2
1
.
4
1
1
5
x 3 A x 4A x 5 4 x 2 x 5 0 .
4
4
4
- Tương tự đặt B 7 x . Với x 3 thì B 2
Ta có B 2 7 x 2 B 2 x 3 .
1
Thay x 3 vào biểu thức
Do đó B 2
7x 2
1
7 x 2
ta được
1
7 x 2
1
.
4
1
1
11
x 3 B
x
4B x 11 4 7 x 11 x 0 .
4
4
4
Điều kiện : 1 x 7 .
Phương trình đã cho tương đương với :
4x 4 48x 3 152x 2 48x 268 4 x 1 4 7 x 0
4x 4 48x 3 152x 2 48x 252 4 x 1 x 5 4 7 x 11 x 0
x 3
x 1 x 5 4
2
2
x 3 4x 24x 28
2
4
x 3
0
7 x 11 x
2
1
1
x 3 x 7 x 1
0
4 x 1 x 5 4 7 x 11 x
2
A
x 3 vì A 0, x 1; 7 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 .
Page 15
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Tuyển tập PT – BPT – HPT
Câu 18. Giải phương trình
x x 4
2
x 4 x 4 2x x 4 50
(THPT CHUN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU – 2016)
Điều kiện : x 4 .
Phương trình đã cho tương đương với :
x x 4 x 4 2 2x x 4 50
x x 4 x 4 2 2x x 4 50
x x 4 2 x x 4 48 0
2
2
2
2
x x 4 6
4 x 6
x 4 6 x 2
x 5.
x 13x 40 0
x x 4 8 l
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 .
Câu 19. Giải phương trình
7x 2 20x 86 x 31 4x x 2 3x 2
(THPT CHUN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN 2016)
7x 2 20x 86 0
Điều kiện :
.
31 4x x 2 0
Xét trường hợp
x 2
7x 20x 86 x 2 2
x 2 19 .
6x 24x 90 0
2
Thử lại x 2 19 khơng thỏa mãn phương trình.
Do đó, phương trình đã cho tương đương với :
2
2
7x 20x 86 2 x x 31 4x x 4 0
7x 2 20x 86 2 x
2
7x 2 20x 86 2 x
6 x 2 4x 15
7x 20x 86 2 x
2
x 15 4x x 2
31 4x x 2 4
x x 2 4x 15
2
31 4x x 4
0
0
Page 16
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
x 2 4x 15 0 2
6
x
0 3
2
2
7x 20x 86 2 x
31 4x x 4
x 2 19 tm
.
2
x 2 19 l
3 6
Thay
31 4x x 2 24 x 7x 2 20x 86 2x x 2
7x 2 20x 86 3x 2 x 31 4x x 2 (rút ra từ phương trình đã cho) ta được
phương trình hệ quả :
6 31 4x x 2 x 3x 2 x 31 4x x 2 2x x 2
31 4x x 2x 4x 24
31 4x x x 6 31 4x x x
x2 6
2
2
2
2
2
2
7 0
x 2 34
31 4x x 1 x 4x 30 0
.
x 2 34
2
2
Thử lại x 2 34 thỏa mãn phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2 19; 2 34 .
Câu 20. Giải hệ phương trình
2
xy x 2 x x 4 x 0
xy x 2 2 x xy 2 3
(THPT HAI BÀ TRƯNG – HUẾ 2016)
x 0
Điều kiện :
.
xy 2 0
2
xy x 2 x x 4 x
Hệ phương trình đã cho tương đương với
I
xy x 2 2 x xy 2 3 1
Dễ thấy x 0 khơng thỏa mãn phương trình (1) nên
y 2 1 x 1 4
x
I
y 2 x x y 2 3
x
x
Page 17
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
a
Đặt
b
Tuyển tập PT – BPT – HPT
2
2
y 2 1
1
a
y
x
a 0;b 1 x
b2 x 1
x 1
Ta có hệ phương trình
a b 4
2
2
2
b2 1 a 2 1 3
a b 2ab 5 ab a b 2ab 1
a b 4
a
b
4
a b 4
11
ab
2
ab 4
2
11 2ab ab 2ab 15
2
3 ab 46ab 136 0
a 2
.
a, b là 2 nghiệm của phương trình X 2 4X 4 0
b 2
x 3
a 2
Với
thì
.
b 2
y 7
3
a b 4
2
a 1 b2 1
7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 3; .
3
Câu 21. Giải hệ phương trình
4x 3 12x 2 15x y 1 2y 1 7
6 x 2 y x 26 6 3 16x 24y 28
(THPT CHUN PHÚ N 2016)
1
.
2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
Điều kiện : y
8x 3 24x 2 30x 2y 2 2y 1 14
2
2x 2 3 2x 2 14
2
2y 1 3 2y 1 14 1 .
Xét hàm số f t t 2 3 t 14 trên .
Ta có f ' t 3t 2 3 0, t .
Suy ra hàm số f t đồng biến trên .
Page 18
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
x 1
Do đó 1 f 2x 2 f 2y 1 2x 2 2y 1
.
y 2x 2 4x 5
2
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
3 x 2 4x 2 8x 5 x 26 6 3 16x 12 4x 2 8x 5 28
12x 3 48x 2 62x 4 12 3 6x 2 10x 4
6 2x 1x 2 6x 2 10x 4 8 8 12 3 6x 2 10x 4 2 .
2
Với x 1 ta có 6 2x 1x 2 0 ; 6x 2 10x 4 0 .
2
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho 3 số khơng âm 6x 2 10x 4 ; 8; 8 ta có :
6x
2
10x 4 8 8 3 3 6x 2 10x 4 .8.8 12 3 6x 2 10x 4
Suy ra 6 2x 1x 2 6x 2 10x 4 8 8 12 3 6x 2 10x 4 .
2
x 1
2
Dấu “=” xảy ra
2x 1x 2 0 x 2 .
6x 2 10x 4 8
Khi đó 2 x 2 y
5
(thỏa mãn).
2
5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 2; .
2
Câu 22. Giải phương trình
3x 3 2x 2 2 3x 3 x 2 2x 1 2x 2 2x 2
(THPT CHUN ĐHSP HÀ NỘI - 2016)
3x 3 2x 2 2 0
Điều kiện :
3x 3 x 2 2x 1 0
Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có :
1. 3x 3 2x 2 2
1 3x 3 2x 2 2
2
Và 1. 3x 3 x 2 2x 1
1 3x 3 x 2 2x 1
2
Suy ra 2x 2 2x 2 3x 3 2x 2 2 3x 3 x 2 2x 1
3x 2 2x 3
2
Page 19
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Tuyển tập PT – BPT – HPT
x 1 0 x 1 .
2
Thử lại x 1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1 .
Câu 23. Giải hệ phương trình
5
2 x y 2 y 2 x 2y
2
7
2 x 2 x 2 y
4
(THPT CHUN THÁI BÌNH - 2016)
x 2
Điều kiện :
y 2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
4 x 1 y 2 2 x 1 4 y 2 1 0
x 1 4 x 1 y 2 4 y 2 x 1 2 x 1 1
2
x 12 y 2
2
2
x 2
2
x 1 2 y 2 x 2
2 y 2 1
x 1 2 y 2 2 x
2 y 2 2x 3
3
x
7
2
y hoặc
2
4
4 y 2 2x 3
3
x
7
2
y hoặc
.
2
4
x
12
x
1
4
y
4
7
- Với y , phương trình thứ hai của hệ trở thành :
4
x 2
7
7
2 x 2 x 2 x 2 x 2 0
.
x
2
4
4
x 3
4x 2 12x 1
2
- Với
,
thế
vào phương trình thứ hai của hệ ta được
y
4x 2 12x 1
4
y
4
Page 20
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
2 x 2 x 2
ThS. Nguyễn Văn Rin
4x 2 12x 1
7
x 2 2 x 2 x 1 0
4
4
3
7
) y .
2
4
7
7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 2; ; 2; .
4
4
x 2 (vì 2 x 2 x 1 0, x
Câu 24. Giải hệ phương trình
x 3 y 3 8x 8y 3x 2 3y 2
5x 2 5y 10 y 7 2y 6 x 2 x 3 13y 2 6x 32
(THPT CHUN VĨNH PHÚC - 2016)
x 2
Điều kiện :
.
y 7
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
x 1
3
5 x 1 y 1 5 y 1 1
3
Xét hàm số f t t 3 5t trên .
Ta có f ' t 3t 2 5 0, t .
Suy ra hàm số f t đồng biến trên .
Do đó 1 f x 1 f y 1 x 1 y 1 x y .
Thay y x vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
5x 5x 10 x 7 2x 6 x 2 x 13x 6x 32
5x 5x 10 x 7 3 2x 6 x 2 2 x 2x
2
3
2
2
3
2
5x 10
5x 2 5x 10
2x 6
2
x 2
x 2 x 5
x 7 3
x 2 2
5x 2 5x 10
2x 6
x 2
x 2 5 0
x 2 2
x 7 3
x 2
5x 2 5x 10
2x 6
x 2 5 0 2
x 2 2
x 7 3
Với x 2 ta có
Page 21
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
5x 2 5x 10
x 7 3
Do đó
Tuyển tập PT – BPT – HPT
5x 2 5x 10
x 2 x 2 và
5
5x 2 5x 10
x 7 3
2x 6
x 2 2
2x 6
x 2 2
2x 6
x 3.
2
x2 5 x2 x 2 x 3 x2 5 0.
Suy ra phương trình (2) vơ nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 2;2 .
Câu 25. Giải hệ phương trình
7 x 1 1 y x 1 1
x 1 y 2 y x 1 13x 12
(THPT ĐỘI CẤN - 2016)
Điều kiện : x 1 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
7 y
Thế
x 1 y 1 x 1
x 1
y 1
(do y 7 khơng là nghiệm của phương trình)
7 y
y 1
vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
7 y
y 1 2
y 1
y 1 2
y.
13.
1
y .
7 y
7 y
7 y
2
y 2 y 1 y y 17 y 13 y 1 7 y
2
2
2
y 4 y 3 5y 2 33y 36 0
y 1y 3 y 2 5y 36 0
y 1
y 3
8
Với y 1 x .
9
Với y 3 x 0 .
8
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y ;1 ; 0; 3 .
9
Câu 26. Giải hệ phương trình
Page 22
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
ThS. Nguyễn Văn Rin
8x 3 y 2 y y 2 2x
y 2 1 2x 1 8x 3 13 y 2 82x 29
(THPT HÀN THUN – BẮC NINH 2016)
x 1
Điều kiện :
2
y 2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
2x 2x
3
y 2
3
y 2 1
Xét hàm số f t t 3 t trên .
Ta có f ' t 3t 2 1 0, t .
Suy ra hàm số f t đồng biến trên .
Do đó 1 f 2x f
y 2 2x y 2
Thế 2x y 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
2x 1 2x 1 8x 3 52x 2 82x 29
2x 1 2x 1 2x 1 4x 2 24x 29
2x 1
2x 1 4x 2 24x 29 0
2x 1 0
2
2x 1 4x 24x 29 2
- Với 2x 1 0 x
1
y 3.
2
- Đặt t 2x 1 t 0 2x t 2 1 , phương trình (2) trở thành :
2
t t 2 1 12 t 2 1 29 0
t 4 14t 2 t 42 0
t 2t 3 t 2 t 7 0
t
t
t
t
2
3 l
1 29
l
2
1 29
2
Page 23
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.
ThS. Nguyễn Văn Rin
Với t 2 x
Với t
Tuyển tập PT – BPT – HPT
3
y 11 .
2
1 29
13 29
103 13 29
x
y
.
2
4
2
1 3 13 29 103 13 29
.
;
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y ; 3 ; ;11 ;
2 2
4
2
Câu 27. Giải hệ phương trình
2x 3 4x 2 3x 1 2x 3 2 y 3 2y 1
x 2 3 14 x 3 2y 1 2
(THPT HẬU LỘC 2 – THANH HĨA 2016)
3
.
2
Dễ thấy x 0 khơng thỏa mãn phương trình (1) nên chia cả 2 vế của phương trình (1)
Điều kiện : y
cho x 3 ta được :
1 2 x4
3
x2
1
x3
3
1
1
1 1
x
x
2 2 y 3 2y
3 2y
3
3 2y
3
Xét hàm số f t t 3 t trên .
Ta có f ' t 3t 2 1 0, t .
Suy ra hàm số f t đồng biến trên .
1
Do đó 3 f 1 f
x
Thế
3 2y 1
3 2y 1
1
3 2y .
x
1
vào phương trình (2) ta được :
x
x 2 3 15 x 1 (Điều kiện : x 2 )
x 2 3 2 3 15 x 0
1
1
0
x 7
2
x 2 3 4 2 3 15 x 3 15 x
0, x 2
Page 24
Con đường dẫn đến thành công bao giờ cũng đầy chông gai.
Nếu thiếu nhiệt tình và nghò lực thì không thể nào vượt qua.
Tuyển tập PT – BPT – HPT
x 7 y
ThS. Nguyễn Văn Rin
111
.
98
111
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y 7;
98
Câu 28. Giải phương trình
2x 2 2 3 x
12x 20
2
9x 18x 25
0
(THPT LƯƠNG THẾ VINH – HÀ NỘI 2016)
Điều kiện : 1 x 3 .
Phương trình đã cho tương đương với :
6x 10
2x 2 2 3 x
12x 20
2
9x 18x 25
0
6x 10 0 1
9x 2 18x 25 2 2x 2 4 3 x
2
1 x 53 .
Bình phương 2 vế của phương trình (2) ta được phương trình :
9x 2 10x 31 16 6 4x 2x 2
3 .
Đặt t 2 6 4x 2x 2 t 0 , phương trình (3) trở thành :
t 2 8t x 2 6x 7 0 4
Ta có x 3
2
t x 7
4 t x 1
- Với t x 7 ta có phương trình 2 6 4x 2x 2 x 7
Giải phương trình này ta được phương trình vơ nghiệm.
- Với t x 1 ta có phương trình 2 6 4x 2x 2 x 1
x 3 32 l
3
Giải phương trình này ta được
.
3
32
x
3
Page 25
Không phải lúc nào bạn cố gắng cũng thành công
nhưng phải luôn cố gắng để không hối tiếc khi thất bại.