15 sai lầm thường gặp khi làm đề thi THPT quốc gia môn toán 2016

15/5/2015

15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán

Thạc sĩ Nguyễn Sơn Hà –  giáo viên trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội – cho
biết: Để không bị mất điểm môn Toán kì thi ĐH, học sinh cần chú ý:
1. Biến đổi “tương đương” trong những tình huống chỉ đúng một chiều là chiều “suy ra”
Những biến đổi sau không đúng:
Hai đường thẳng song song “tương đương” với hai hệ số góc bằng nhau.
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC ‘tương đương’ đường thẳng d vuông góc với
đường thẳng AB.
f(x) bằng g(x) ‘tương đương’ với đạo hàm của f(x) bằng đạo hàm của g(x).
u bằng f(x) ‘tương đương’ với du bằng đạo hàm của f(x) nhân với dx.
Hệ hai phương trình f(x,y)=0 và g(x,y)=0 ‘tương đương’ với một phương trình
a.f(x,y)+b.g(x,y)=0 (a, b là hai số thực khác 0).
Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần thực bằng nhau.
Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần ảo bằng nhau….
Giải pháp an toàn: Một số trường hợp thường dùng biến đổi “tương đương” là giải phương
trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình, giải bài toán tìm
điều kiện cần và đủ. Các trường hợp khác, học sinh nên biến đổi “suy ra”.
Tóm lại, khi khẳng định ‘Nếu A thì B’ đúng và khẳng định “Nếu B thì A” sai, học sinh không
được biến đổi “tương đương”.
2. Thiếu điều kiện, thừa kết quả, quên kết luận
Khi bài toán có biểu thức căn bậc hai, biểu thức có ẩn dưới mẫu số, biểu thức tanx, biểu thức
cotx, biểu thức logarit, dạng đại số của số phức, học sinh cần hình thành ‘phản xạ có điều kiện’
và kiểm tra lại điều kiện trước khi viết đáp số.
data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20…

1/5

15/5/2015

15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán

Với những bài toán cần xét nhiều trường hợp, học sinh cần chú ý tổng hợp kết quả và kết luận.
3. Gạch đầu dòng tùy tiện
Nếu học sinh gạch đầu dòng liền trước một biểu thức thì có thể bị hiểu là: nhầm dấu của biểu
thức
Ví dụ: Giải phương trình sinx + cosx = 1. Nếu học sinh gạch đầu dòng là
” – sinx + cosx = 1″
thì sẽ bị hiểu nhầm là ‘biểu thức trừ sinx cộng với cosx bằng 1’.
4. Viết lời giải bài toán như một ‘đoạn văn’ dài, không chia ý rõ ràng và làm sai ở câu
cuối cùng của đoạn mình viết
Học sinh nên chia ý rõ ràng và xuống dòng khi kết thúc các ý, nếu sai ý sau thì vẫn được chấm
điểm ý trước.
Mỗi bài toán thi đại học thường được tính 1 điểm và đáp án thường có 4 ý, mỗi ý 0,25 điểm.
Các học sinh cần chú ý điều này để trình bày các ý rõ ràng.
5. Viết nhầm lẫn các chữ, các kí hiệu
Học sinh chú ý phân biệt các chữ, các kí hiệu sau khi viết bài thi:
Chữ i và số 1, chữ b và số 6, chữ z và số 2, chữ D và chữ P, chữ D và chữ O, chữ P và chữ O,
chữ H và chữ A, chữ g và chữ y, chữ g và chữ q, chữ q và số 9, chữ C và dấu ngoặc đơn ( ,
chữ C và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, dấu ngoặc đơn ( và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con,
chữ u và chữ v, chữ u và chữ n, dùng chung kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con và kí hiệu chỉ
quan hệ phần tử thuộc tập hợp, chữ a và kí hiệu góc anpha.
6. Dùng chung tên điểm tại hai vị trí khác nhau

data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20…

2/5

15/5/2015

15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán

Bài toán phương pháp tọa độ, học sinh thường có thói quen gọi tâm đường tròn là O, gọi tâm
mặt cầu là O. Các em cần chú ý rằng, O là gốc tọa độ. Trong trường hợp dùng chung tên điểm,
các em không nên vội vàng xóa, có thể khắc phục nhanh sự cố bằng cách thêm dấu phẩy vào
điểm đó, ví dụ O’.
7. Tính toán sai, sử dụng kết quả sai để làm tiếp
Học sinh cần chú ý cẩn thận trong từng phép tính, tránh tình trạng tính toán vội vàng rất nhiều
phép tính rồi mới kiểm tra từ đầu và sửa sai từ đầu.
8. Lập phương trình sai, sử dụng máy tính để tìm chính xác nghiệm của phương trình đó
và yên tâm kết luận
Học sinh cần chú ý kiểm tra kĩ phương trình trước khi dùng máy tính để tìm nghiệm, tránh tình
trạng quá tin tưởng máy tính mà quên mất là phương trình sai.
9. Nhập sai số liệu vào máy tính điện tử và yên tâm dùng kết quả của máy tính
Học sinh không nên chủ quan khi dùng máy tính, cần kiểm tra cẩn thận các số liệu khi nhập
vào máy tính.
10. Sử dụng máy tính điện tử để tìm nghiệm dưới dạng gần đúng
Khi đáp số được viết dưới dạng phân số hoặc dạng căn bậc hai, dạng logarit của một số
dương, nếu máy tính cho kết quả là một số thập phân gần đúng thì vẫn không được chấp nhận
với bài toán yêu cầu tìm đúng kết quả. Học sinh cần chú ý thử máy tính trước khi đi thi.
11. Đọc nhầm đề dẫn đến một bài toán dễ hơn, tính toán nhanh hơn, giải được bài toán
mới và yên tâm không kiểm tra lại đề bài
Học sinh cần đọc đề kĩ, xác định đúng yếu tố đã cho, điều phải tìm, điều phải chứng minh.
12. Sử dụng đúng giả thiết và mất thời gian đưa ra kết quả mới không liên quan gì đến
kết luận của bài toán
data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20…

3/5


15/5/2015

15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán

Học sinh phải rất cảnh giác với những tình huống ‘lạc đề’, suy luận đúng nhưng không để làm
gì, không phục vụ cho việc giải bài toán trong đề thi.
13. Mất thời gian làm đúng một bài toán không liên quan đến bài toán trong đề thi
Tình huống có thể xảy ra với học sinh và không có điểm.
Bài toán trong đề thi: Chứng minh biểu thức A lớn hơn biểu thức B. Học sinh mất thời gian
chứng minh được biểu thức A lớn hơn biểu thức C nhưng
không biết biểu thức C lại nhỏ hơn biểu thức B.
14. Sử dụng kết quả không được quy định trong chương trình
Kết quả được sử dụng để giải bài thi phải phù hợp với sách giáo khoa chương trình hiện hành.
Khi học sinh thừa nhận kiến thức không được quy định trong chương trình, học sinh làm đúng,
bài thi vẫn không được tính điểm tối đa.
Nếu các học sinh giỏi sử dụng kết quả ngoài sách giáo khoa thì phải chứng minh lại các kết
quả đó bằng kiến thức trong sách giáo khoa.
Khi chọn đề theo chương trình ban cơ bản, học sinh đã học sách giáo khoa ban nâng cao có
thể không biết những kết quả mình sử dụng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. Học
sinh cần tìm hiểu trước những kiến thức có trong sách giáo khoa ban nâng cao nhưng không
có trong sách giáo khoa ban cơ bản.
15. Nghĩ được cách giải, học sinh có thể vui mừng và chủ quan, không kiểm soát được
mình viết đúng hay viết sai, không cẩn thận trong việc viết kết quả
Học sinh không có cơ hội gặp giám khảo để giải thích suy nghĩ của mình. Khi đi thi, các em
không thể bằng lòng sớm với việc phát hiện ra cách giải. Khi ngồi trong phòng thi, yếu tố tâm lí
có thể làm cho các em không viết được chính xác những điều đã suy nghĩ.
Học sinh cần chú ý

data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20…

4/5


15/5/2015

15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán

– Ba yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến kết quả thi là: kiến thức, kĩ năng và tâm lí.
– Ba nguyên tắc quan trọng khi viết bài thi để có thể đạt điểm cao là:
3 Đ: Đúng – Đủ – Đẹp.
1) Học sinh phải viết đúng kí hiệu, viết đúng công thức, vẽ hình đúng, lập luận đúng, kết quả
đúng.
2) Học sinh phải viết đủ ý.
3) Học sinh phải trình bày đẹp, diễn đạt tốt.

data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20…

5/5


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI LÀM BÀI THI ĐH&CĐ
MÔN TOÁN.
Kỳ thi ĐH&CĐ đang sắp đến gần, ngoài cuốn sách “Những điều cần biết” để
các em có thể chọn cho mình ngành học phù hợp thì còn có thêm “những điều cần biết” khác
đó chính là: Các kiến thức cần chú ý khi làm bài thi. Vì sự giảm tải chương trình, vì cấu trúc
đề thi ĐH&CĐ nên Bộ GD&ĐT sẽ hạn chế bớt một số kiến thức hay một số phương pháp

giải khác so với các năm đề thi riêng trước đây. Song còn rất nhiều tài liệu, nhiều giáo viên
vùng sâu vùng xa còn bị ảnh hưởng bởi các phương pháp này khi trình bày. Điều đáng chú ý
là chưa có một cuốn sách hay một tài liệu nào đáng tin cậy viết về những vấn đề này cho các
em học sinh. Chính vì những lí do đó sau đây đây tôi xin nêu lên một số điểm chú ý khi làm
bài thi môn Toán. Đó chính là các kiến thức các em không được áp dụng trong quá trình làm
bài, hay nếu được áp dụng các em sẽ áp dụng ra sao.
A. PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH:
1. Vấn đề hàm ngược của các hàm lượng giác:
Chúng ta thấy rằng khi giải các phương trình lượng giác, khi tính tích phân xác định
có những số chúng ta không đổi ngược lại thành các góc đặc biệt được nên người ta nghĩ ra
các đặt tên cho các số đó là: arcsin α , arccos α , arctan α , arc cot α . Nhưng ngày nay chúng ta
sẽ không áp dụng cách viết đó nữa mà chúng ta sẽ đặt các góc đó là α hay β rồi biểu thị qua
các hàm lượng giác của chúng.
• Ví dụ 1: Khi giải PT lượng giác đến chỗ s inx =

3
thì ta suy ra ngay
4

 x = α + k 2π
3
 x = π − α + k 2π ; k ∈ ¢ trong đó sin α = .
4


10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 1

TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

2

• Ví dụ 2: Khi tính tích phân ta đổi cận và thấy trong tích phân I = ∫
1

dx
khi đặt
x +7
2

x = 7 tan t ⇒ t = arctan 7 để đổi cận. Nhưng ta sẽ không dùng arctan mà ta sẽ đặt α và β

1
1


 tan α = 7
 tan α = 7
7
sao cho: 
. Khi đó ta có kết quả là: I =
( β − α ) ; với 
2
7
 tan β =
 tan β = 2



7
7
2.

Vấn đề sử dụng định lí đảo của “ ĐL về dấu tam thức bậc 2”:
Ta thấy có nhiều bài toán cần đến kiến thức này, nhất là các bài toán phụ về

khảo sát hàm số như: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên đoạn nào đó. Hay
hàm số đạt cực trị thõa mãn ràng buốc nào đó. Nếu áp dụng ĐL đảo của “ĐL về dấu của tam
thức bậc 2” sẽ rất thuận tiện. Nhưng Bộ GĐ đã không cho dùng. Song lại có những bài không
dùng định lí này thì mình không thể giải quyết được. Vậy chúng ta sẽ làm thế nào? Sau đây
sẽ là một giải pháp.
•

Giải pháp: ( Tịnh tiến và áp dụng tổng và tích các nghiệm)

Nếu một bài toán sau khi chuyển về ngôn ngữ của PT bậc 2 là: Tìm tham số m để phương
trình có 2 nghiệm x1 ≤ x2 thỏa mãn điều kiện: Hoặc x1 ≤ x2 ≤ α hoặc x1 ≤ α ≤ x2 hoặc

α ≤ x1 ≤ x2 thông thường mình nghĩ ngay đến việc áp dụng ∆;af ( α ) ;

S
để giải thì mình lại
2

 y1 = x1 − α
chuyển các điều kiện x1 ≤ x2 ≤ α hoặc x1 ≤ α ≤ x2 hoặc α ≤ x1 ≤ x2 thành 
 y2 = x 2 − α

.

Lúc này bài toán trở về đặt y = (x – α) sau đó biến đổi mình cũng đưa về PT bậc 2 biến y
tham số m thõa mãn điều kiện:
∆ y ≥ 0

 Tương ứng với x1 ≤ x2 ≤ α sẽ là: 0 ≤ y1 ≤ y2 ⇒  S = y1 + y2 ≥ 0
P = y y ≥ 0
1 2

 ∆ y ≥ 0
 Tương ứng với x1 ≤ α ≤ x2 sẽ là: y1 ≤ 0 ≤ y2 ⇒ 
 P = y1 y2 ≥ 0

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 2


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

∆ y ≥ 0

 Tương ứng với α ≤ x1 ≤ x2 sẽ là: y1 ≤ y2 ≤ 0 ⇒  S = y1 + y2 ≤ 0
P = y y ≥ 0
1 2


• Ví dụ: Tìm a để hàm số: y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 3(m + 1) + 1 nghịch biến trên ( −∞;1)
Giải:
Ta có: y ' = 3 x 2 − 6(m + 1) x + 3(m + 1) . Để hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) thì BPT

3 x 2 − 6(m + 1) x + 3(m + 1) < 0 luôn đúng với mọi x ∈ ( −∞;1) . Đến đây tất nhiên các em có
thể sử dụng PP hàm số là cô lập m sang 1 vế và tìm Min, Max của hàm số ở vế kia. Song
chúng ta có thể làm như sau:
Ta thấy nếu PT: 3 x 2 − 6(m + 1) x + 3( m + 1) = 0 ( * ) vô nghiệm sẽ không thõa mãn vì
a =3 > 0 nên (*) phải có 2 nghiệm x1 ≤ x2 thỏa mãn điều kiện: x1 ≤ x2 ≤ 1
2
Đặt y = x – 1 ⇔ 3 ( y + 1) − 6( m + 1) ( y + 1) + 3( m + 1) = 0 ⇔ y 2 + 2 ( m + 2 ) y + 3m + 4 = 0 (**)
∆ y ≥ 0

Khi đó PT ( ** ) có 2 ngiệm thõa mãn y1 ≤ y2 ≤ 0 ⇒  S = y1 + y2 ≤ 0
P = y y ≥ 0
1 2


 Δ ' = ( m + 1) 2 − (m + 1) = m ( m + 1) ≥ 0
 m ≤ −1; m ≥ 0


4
⇔  −2 ( m + 4 ) ≤ 0
⇔ m ≥ −4
⇔ −4 ≤ m ≤ −
3


4
3
m
+
4

≥
0
m ≥ −


3
3.

Vấn đề sử dụng định lí Viet cho phương trình bậc 3:
Ta thấy trong bài toán về tương giao của hàm bậc 3 hay bài toán về cực trị của hàm
bậc 4 sẽ có những bài toán dẫn chúng ta đến việc tính theo tham số m giá trị của biểu thức
chứa x1; x2; x3. Chúng ta sẽ nghĩ ngay đến ĐL Viet cho PT bậc 3, song Bộ GD&ĐT không
cho chúng ta nói là áp dụng ĐL Viet cho PT bậc 3. Vậy chúng ta giải quyết thế nào đây?
•

Giải pháp: Chúng ta vẫn áp dụng ĐL Viet cho PT bậc 3, song chúng ta lại đi chứng

minh lại ĐL này. Như vậy chúng ta sẽ làm bài toán ấy dựa theo phương pháp chứng minh ĐL
Viet cho PT bậc 3. Sau đây sẽ là ví dụ tôi xin trích ngay từ đề thi ĐH năm 2010 vừa qua như
sau:

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 3


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

•

Ví dụ: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m cắt trục hoành tại 3

2
2
2
điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x1 + x2 + x3 < 4 .

Giải:
Sau khi tìm điều kiện để PT x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thì
ta có: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = (x – x1)(x – x2)(x – x3)
 x1 + x2 + x3 = −2

= x + x ( x1 + x2 + x3 ) + x ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) + x1 x2 x3 ⇒  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 1 − m
x x x = m
 1 2 3
3

2

⇒ x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 4 + 2 ( m − 1) < 4 ⇔ m < 1 .
2

Kết hợp với điều kiện của m để PT có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 ta có kết quả cuối cùng
 1
− ≤ m ≤ 1
là:  4
. Bài toán này chúng ta nhẩm được nghiệm trước là x = 1 nên đưa về PT bậc
 m ≠ 0
2 nên nó đơn giản hơn ( Cách này các bạn xem đáp án của Bộ GD nhé).
4.

Vấn đề sử dụng điều kiện nghiệm kép:
Trong nhiều bài toán về tiếp xúc Bộ GD đã không cho chúng ta sử dụng điều kiện
nghiệm kép để giải quyết các bài toán. Vấn đề chuyển hướng giải quyết của vấn đề này đã
được nói khá nhiều cách đây 6, 7 năm rồi và nhiều tài liệu bắt đầu chuyển dần sang hướng
mới rồi. Tôi chỉ xin nhắc lại cho các bạn như sau:
•

Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp
xúc với nhau. Trước đây người ta đi tìm điều kiện của tham số m để PT hoành độ:
f(x) = g(x) có nghiệm kép. Nhưng người ta đã chuyển điều kiện thành:
 f ( x ) = g ( x )
Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm. Khi g(x) là hàm bậc nhất ta có nó là
 f ' ( x ) = g ' ( x )
tiếp tuyến, còn khi cả f(x) và g(x) là các hàm khác thì nó là sự tiếp xúc của các đường cong.
Cùng xem xét ví dụ nhé!

•

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = x3 − 3 x 2 + 2 biết tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng: 5 y − 3 x + 4 = 0
Giải:

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 4


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho có phương trình dạng: (d ) : y = −

5
x +a
3

5
 3
2
 x − 3 x + 2 = − 3 x + a
Điều kiện để (d) và (C) tiếp xúc nhau là: hệ 
có nghiệm
3x 2 − 6 x = − 5

3
5

x
=
→a=

5
3
2
2
Từ 3x − 6 x = − ⇒ 9 x − 18 x + 5 = 0 ⇒ 
3
x = 1 → a =


3

29
27
61
27

5
29
5
61
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: (d1 ) : y = − x +
và (d 2 ) : y = − x +
3
27
3
27

• Ví dụ 2: : Tìm m để đường cong y = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 2m2 + m và
y = 2x3 –10x2 +10x+1 tiếp xúc với nhau.
Giải:
Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có hệ sau:

x 40 - 6x30 +12x 20 - 14x 0 + 2m 2 + m=2x 30 - 10x 20 + 10x 0 + 1(1)
 3
2
2
4x 0 - 18x 0 + 24x 0 -14=6x 0 - 20x 0 + 10(2)
Ta thấy (2) ⇔ 4x 30 + 24x 20 + 44x 0 − 24 = 0 ⇔ x30 − 6x 20 + 11x 0 − 6 = 0

⇔ ( x 0 - 1)( x 0 - 2)( x 0 - 3) = 0

⇔ x 0 = 1 hoặc x 0 = 2 hoặc x 0 = 3

m = 2
- Nếu x 0 = 1. Thay vào (1) và ta có: 2m + m – 7 = 3 ⇔ 2m + m – 10 = 0 ⇔ 
m = − 5

2
2

2

−1 ± 57
- Nếu x 0 = 2. Thay vào (1) và ta có: 2m2 + m – 7 = 0 ⇔ m =
4

- Nếu x 0 = 3. Thay vào (1) ta có: 2m2 + m – 10 = 0 (Quay về trường hợp x 0 = 1)
Vậy các giá trị cần tìm của m là : m = 2 , m = −
5.

5
−1 ± 57
, hoặc m =
4
2

Vấn đề sử dụng phương pháp tính nhanh cực trị hàm phân thức và đa thức:

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 5


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

Chúng ta biết rằng khi tính các trực trị của hàm số tại các điểm đạt cực trị bằng số
nguyên cụ thể thì tính đơn giản. Nhưng khi là số vô tỷ phức tạp, thậm chí có cả tham số hay
viết PT đường thẳng đi qua CĐ và CT thì mình sẽ đi áp dụng “ Bổ đề” sau. Và chúng ta cần
chứng minh lại các bổ đề này khi áp dụng trong bài thi. Việc nhớ cách chứng minh không hề
khó khăn gì đâu các bạn à, nó chỉ áp dụng cách tính đạo hàm thôi, mà đạo hàm ai chẳng biết
tính.
•

Bổ đề 1: ( Với hàm đa thức)

 Hàm bậc 3:
-

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:

(

)

(

) (

2

f ( x ) = 1 x + b f ′ ( x ) + 2 c − b x + d − bc
3
9a
3
3a
9a

) hay

f ( x ) = f ′ ( x ) .q ( x ) + r ( x )

với bậc r ( x ) = 1

(

) (
) (

)

-


2 c − b 2 x + d − bc
y
=
f
x
=
r

x
=
(
)
(
)
1
1
1
 f ′ ( x1 ) = 0

3
3a 1
9a


nên 
Bước 2: Do 
 f ′ ( x 2 ) = 0

b2
bc
2
 y 2 = f ( x 2 ) = r ( x 2 ) = 3 c − 3a x 2 + d − 9a

-

Hệ quả: Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x)

(

)

Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) thì đường thẳng đi qua cực
3(

đại, cực tiểu có phương trình: y = 2 c − b

2

3a

) x + ( d − 9bca )

 Hàm bậc 4:
Giả sử f ′(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là
f ( x 0 ) = ax 04 + bx 03 + cx 02 + dx 0 + e . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính

theo thuật toán:
f ( x) = q ( x) . f ′( x) + r ( x)

•

-

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:

-

Bước 2: Do f ′(x0) = 0 nên f (x0) = r(x0)

-

Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y = f (x) nằm trên y = r(x)

↓
BËc 4

↓
↓
BËc 3 BËc 2

Bổ đề 2: ( Với hàm phân thức)

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 6


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

Nếu hàm số y =

u ' ( x0 )
u ( x)
; v ( x ) ≠ 0 đạt cực trị tại x = x0 và , thì y(x0) =
v ( x)
v ' ( x0 )

Chứng minh: Ta có: y =

y' ( x 0 ) =

u 'v − v 'u
để hàm số đạt cực trị tại x = x0 thì
v2

u ' ( x0 ) v ( x0 ) − v ' ( x0 ) u ( x0 )

⇔ y ( x0 ) =

v ' ( x0 )

u ( x0 )
v ( x0 )

=

u ' ( x0 )
v ' ( x0 )

Áp dụng: Nếu hàm số y =

= 0 ⇔ u ' ( x0 ) v ( x0 ) − v ' ( x0 ) u ( x0 ) = 0

⇒ ĐPCM
u ( x)
đạt cực trị tại x1; x2 thì giá trị cực trị tại đó lần lượt là:
v ( x)



u ' ( x1 )
 y1 = f ( x1 ) =
v ' ( x1 )
u '( x)

và đường thẳng đi qua CĐ và CT có phương trình là: y =

v '( x)
u '( x2 )

 y2 = f ( x2 ) =
v '( x2 )


Vấn đề này các em tự tìm cho mình các ví dụ nhé!
6.

Vấn đề sử dụng quy tắc L’Hopital và tích phân để tính giới hạn:
Về vấn đề này mang tính chất nâng cao một chút vì nó hoàn toàn là các kiến thức của
chương trình ĐH nhưng nó liên quan đến giới hạn – một nội dung nằm trong cấu trúc đề thi
ĐH&CĐ. Xin cảnh báo các bạn học chuyên Toán và các bạn từng đi thi đội tuyến HSG môn
Toán rằng: Trong quá trình ôn thi đội tuyển các bạn đương trang bị thêm 2 phương pháp tính
giới hạn ngoài các PP phổ thông nói ra đó là: Dùng quy tắc L’ Hopital và dùng tích phân. Tôi
xin nêu lại 2 phương pháp này như sau:
•

Quy tắc L’ Hopital:
Khi x → ∞ hay x → 0 thì giới hạn: lim
x →∞

•

u ( x)
u '( x)
u ( x)
u '( x)
= lim
= lim
hoặc lim
x
→∞
x
→
0
x
→
0
v ( x)
v '( x)
v ( x)
v '( x)

Quy tắc tích phân:
Sn
Xét bài toán: Cho S n = u1 + u2 + ... + un . Tính lim
x →∞

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 7

TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

Giải quyết: Giả sử f(x) liên tục trên [a;b] khi đó với mọi phép phân hoạch π của đoạn [a;b] và

(

)

ax ( xi − xi −1 ) ta luôn có:
mọi cách chọn các điểm ξi ∈ [ xi −1 ; xi ] , i = 1; n . Đặt: d = M
1≤i ≤ n
b

n

lim ∑ f ( ξi ) ( xi − xi −1 ) = ∫ f ( x ) dx . Từ đó ta có thể tính giới hạn của một tổng nhờ tích phân
d →0 i =1

a

theo quy trình sau đây:
Bước 1: Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức: S n =

-

Bước 2: Xây dựng hàm f(x) khả tích trong đoạn [a;b]
b

-

Bước 3: Tính tích phân

∫
a

7.

b−a n
∑
n i =1

-

b−a 

f a +i
÷
n 


b

f ( x ) dx ⇒ lim S n = ∫ f ( x ) dx
x →∞

a

Vấn đề sử dụng các Bất Đẳng Thức:

Bất đẳng thức đã trở thành vấn đề nan giải đối với nhiều bạn. Tất nhiên nó luôn có
trong cấu trúc đề thi ĐH&CĐ thậm chí có thể ẩn trong một số bài toán khác. Song chúng ta
cần phải biết rằng kể từ nay chúng ta chỉ được áp dụng BĐT Cauchy (Côsi) trong quá trình
làm bài thi của mình, các bất đẳng thức quen thuộc khác như: Bunhiacôpxki , BĐT Trebưsep,
BĐT Svacxơ, BĐT Becnuli, BĐT Mincopxki, BĐT Jensen… đều không được áp dụng ngay
cả khi chúng ta chứng minh lại các BĐT đó rồi mới vận dụng. Về BĐT chúng ta chỉ được áp
dụng các phương pháp: PP tam thức bậc 2, PP biến đổi tương đương, PP phản chứng, PP hàm
số, PP hình học, PP lượng giác hóa và áp dụng BĐT Côsi cùng với hệ quả của nó mà ta
chứng minh luôn trong bài làm đó là các hệ quả:

8.

•

Các hệ quả của BĐT Côsi:

-

1 1
Hệ quả 1: Cho các số thực dương x; y khi đó: ( x + y )  + ÷ ≥ 4
x y

-

1 1 1
Hệ quả 2: Cho các số thực dương x; y; z khi đó: ( x + y + z )  + + ÷ ≥ 9
x y z
Vấn đề sử dụng BĐT tích phân và BPT lượng giác:
Về vấn đề này Bộ SGK mới đã không hề đề cập đến ngay cả các bài đọc thêm. Song
còn rất nhiều tài liệu còn viết về loại toán này. Chính vì lí do chúng ta không học nên không

thi vào. Song nếu đọc được tài liệu nào có các loại này thì xin các bạn cũng đừng dùng vào

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 8


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

trong quá trình làm bài thi của mình. Tôi xin nhắc lại đôi chút các dạng toán này để các bạn
đề phòng nhé!
•

Bất đẳng thức tích phân:
Định lí: Nếu f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [a, b] thì
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) . Dấu “=” xảy ra ⇔ f ( x ) ≡ g ( x ) , ∀x ∈ [a, b]
•

Bất phương trình lượng giác:
Có nhiều bài tìm điều kiện của ẩn mới sau khi đặt ẩn phụ mình dẫn đến một bất phương trình
lượng giác. Trước đây SGK cũ có dạy cách giải BPT lượng giác. Song ngày nay không còn
nữa. Vậy gặp trường hợp này mình phải làm thế nào?

•

Hướng giải quyết: Chẳng hạn bài toán là: Tìm điều kiện của tham số m để PT nào đó có
nghiệm mà mình đặt t = sinα ta đi đến 1 BPT sinα > a (a ∈ [ −1;1] ). Ví dụ a =
BPT: sin α >

1
.Ta sẽ đi gải
2

1
khi đó các bạn đi dựng đường trong lượng giác trên đó xác định rõ trục sin,
2

cos, tan và cot. Sau đó xác định miền nghiệm:Lúc đó miền nghiệm chính là cung bé đi từ

π
5π
→
6
6
5π
π

+ k 2π 
Vậy α ∈  + k 2π ;
6
6


B. PHẦN HÌNH HỌC:
1. Vấn đề sử dụng PHƯƠNG TRÌNH CHÙM:
Vấn đề này cũng khá hay, trước đây SGK dành
riêng 1 bài nói về phương pháp làm này. Liên quan đến
chùm ta có: Chùm đường thẳng cùng đi qua một điểm
trong hình học giải tích phẳng, chùm mặt phẳng cùng nhận
1 đường thẳng cho trước làm giao tuyến, chùm đường tròn
cùng đi qua 1 điểm… Sau đây tôi xin nói lại chùm mặt
phẳng. cái này hay dùng trong các bài toán hình giải tích
không gian. Nhưng Bộ GD&ĐT hạn chế. Chúng ta sẽ làm
thế nào?

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 9


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

•

 Ax + By + Cz + D = 0

PP chùm mặt phẳng: Cho đường thẳng d có PT: 

 A'x + B ' y + C ' z + D ' = 0

.

Khi đó PT của chùm mặt phẳng chứa đường thẳng d có dạng:

α ( Ax + By + Cz + D ) + β ( A'x + B ' y + C ' z + D ' ) = 0 , trong đó α 2 + β 2 > 0 (α và β không đồng

thời bằng 0).Ta thường dùng công thức trên để viết PT mặt phẳng xác định bởi đường thẳng d
và điểm A (Tham số m trong PT chùm sẽ được tìm bằng cách thế điểm A và PT)
•

Cách giải quyết: Nếu đang cần lập PT của mặt phẳng ta cứ coi như mặt phẳng đó có vectơ
pháp tuyến là: (a;b;c) trong đó (a;b;c) khác (0;0;0). Khi ấy ta luôn chọn được 1 số lớn nhất
trong bộ {a,b,c}. Giả sử a là số lớn nhất ta chia cả 3 số cho a, điều này làm được vì nó là
vectơ chứ không phải điểm. Ta chỉ còn lại vectơ pháp tuyến có dạng (1;m;n) thôi. Đến đây
khai thác các dữ kiện ta sẽ có m và n và lập được PT mặt phẳng cần tìm. Sau đây sẽ là ví dụ
so sánh giữa 2 cách giải này:

•

Ví dụ: Cho điểm A(- 1; 2; 3). Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
 2 x − y − 1 = 0

d: 

 z − 1 = 0

•

và khoảng cách từ A đến (P) bằng 3.

Cách 1: (Dùng chùm)
Do d thuộc mp (P) nên (P) có dạng: α ( 2x - y - 1) + β ( z − 1) = 0 ⇔ 2αx − αy + β z − β = 0 , trong đó
α2 + β2 > 0

Vì d(A,(P)) = 3 nên:
⇔ ( 2α + β ) = 0 ⇔
2

•

−2α − 2α + 3β − β
2

2

4α + α + β

2

(

)

= 3 ⇔ ( 2β − 5α ) = 9 5α 2 + β 2 ⇔ 20α 2 + 20αβ + 5β 2 = 0
2

α
1
= − . Chọn α = 1; β = - 2. Ta có (P): 2x – y – 2z + 1 = 0
β
2

Cách 2: (PP khác)
r

Gọi vtpt của (P) là: n( P ) = ( a; b; c ) ≠ ( 0;0;0 ) ⇒ Giả sử
r
 a c
a = Min { a; b; c} ⇒ n ( P ) ↑↑ 1; ; ÷ = ( 1; m; n )
 b b
r
r
r
1
Do u d ⊥ n( P ) ⇒ 2m + 1 = 0 với u d = ( −1; −2;0 ) ⇒ m = −
2
Do điểm M(1;1;1) thuộc d nên M thuộc (P) lúc này (P) có dạng:
1
2

( x − 1) − ( y − 1) + n ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x − y + 2nz − ( 2n + 1) = 0

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 10


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

Do d(A,(P)) = 3 nên:

4n − 5
2

4n + 5

= 3 ⇔ ( n + 1) = 0 ⇔ n = −1
2

Vậy ta có (P): 2x – y – 2z + 1 = 0.
2. Vấn đề sử dụng TÍCH HỐN TẠP:
Trong hình học giải tích phẳng đôi khi ta gặp bài toán xác định vị trí tương đối của 2
đường thẳng hay thể tích, khoảng cách… mình sử dụng công thức tích hỗn tạp. Có rất nhiều
tài liệu viết cách tính tích hỗn tạp này. Song tôi xin khẳng định rằng: Chương trình của các
bạn chỉ mới làm quen với “ Định thức cấp II” thôi, chưa học đến cấp III nên trong bài thi các
bạn vẫn không được dùng cách tính định thức cấp III. Mà các bạn phải tính dần dần: Tích có

•

-

hướng tìm ra vectơ tích trước, sau đó nhân vô hướng rồi mới có kết quả:
r
 a = ( 1; 2;3)
 r
Ví dụ: Chứng minh rằng 3 vectơ sau đây đồng phẳng: b = ( 1;1;1)
r
c = ( 2;3; 4 )
Nếu áp dụng cách tính định thức cấp 3 các bạn chỉ cần đi chứng minh cho định thức:

1 2 3
1 1 1 = ( 1.1.4 + 1.3.3 + 2.1.2 ) − ( 3.1.2 + 1.2.4 + 1.3.1) = 17 − 17 = 0 => ĐPCM
2 3 4
r r 2 3 3 1 1 2
;

;
Thay vì việc làm đó ta đi tìm tích có hướng của  a ∧ b  = 
÷ = ( −1; 2; −1)
1 1 1 1 1 1
r r r
Khi đó  a ∧ b  .c = - 2 + 6 – 4 = 0 => ĐPCM
 Thay lời kết: Quả thực khi chúng ta tham khảo nhiều tài liệu chúng ta đương nhiên sẽ bị ảnh
hưởng bởi các tài liệu đó. Tài liệu thì lại rất nhiều, mới có, cũ có, mới nhưng viết theo lối cũ
có. Bởi vậy các em cần biết chọn cho mình các tài liệu tham khảo cho phù hợp. Trên đây là
10 điểm chú ý khi làm bài thi môn Toán các em nên biết để không bị mất điểm. Thực ra mà
nói Bộ GD&ĐT nói là không được dùng PP này hay PP kia nhưng vẫn chưa có 1 tài liệu nào
của Bộ GD ban hành về vấn đề này, nói rõ các lí do vì sao không được dùng. Trên đây chỉ là
rút kinh nghiệm bản thân qua các đáp án bài thi môn Toán các Khối A, B, D của đề thi
ĐH&CĐ qua các năm vừa qua, cùng với kinh nghiệm của một số thầy giáo khác. Một số ý
kiến khác… Tôi xin ghi chép, tổng hợp cẩn thận để các bạn yên tâm hơn trong khi đứng vào

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 11


TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

gianh giới “ được và không được”. Sẽ là rất đáng tiếc vì những cái gọi là “ Không biết không
có tội”.
Mong các em đạt được kết quả cao nhất!
 Giáo viên hocmai.vn: Trịnh Hào Quang
 Birthday: 09 – 09 – 1987
 Numberphone: 094 – 2222 – 408
 Email: ( )

 Yahoo: ladieubong_q
 Ola: Quanglyly
 From: Thanh Hoa City

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán

Page 12