Mot so PP co ban giai BT tim nghiem nghuyen

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN “TÌM NGHIỆM NGUYÊN”
Vũ Duy Cảng
Bài toán “Tìm nghiệm nguyên” là một trong những dạng toán bồi dưỡng
học sinh giỏi. Đây là dạng toán khá hay và sẽ tương đối khó với những ai ít tìm
hiểu và làm quen với dạng toán này. Trên cơ sở tìm tòi nhiều cách giải khác
nhau của một bài toán tìm nghiệm nguyên, tôi đã rút ra một số phương pháp cơ
bản để giải bài toán “Tìm nguyện nguyên”, xin trình bày để bạn đọc tham khảo,
trao đổi và chia sẻ.
Các phương pháp sẽ trình bày sau có thể ứng dụng giải các bài toán “Tìm
nghiệm nguyên” khác nhau. Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả chỉ minh họa
vào 1 bài toán duy nhất.
Bài toán: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x + y = xy
Trong tất cả các cách giải sẽ trình bày sau đây, ta đều xem x, y là các số
nguyên, dương để lập luận
Phương pháp 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết.
Vì làm việc trên các số nguyên, dương (hay chỉ là số nguyên), ta nghĩ
ngay đến dấu hiệu chia hết (Kí hiệu a\b, với a, b là số nguyên, a ≠ 0, đọc là: a
chia hết b hay b chia hết cho a).
Ta thấy:
x\x và x\ xy, suy ra x\y (1)
Ta cũng thấy: y\y và y\ xy, suy ra y\ x (2)
Từ (1) và (2) suy ra x = y. Khi đó ta có:
x + x = x2 → 2x = x2 → x = 2
Vậy x = 2 và y = 2 là nghiệm của phương trình.
Phương pháp 2: Dự đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất
Cách 1: Ta nhẩm thấy x = 2, y = 2 là một nghiệm của phương trình đã
cho.
Giả sử x < 2 → x = 1. Khi đó phương trình trở thành:
1 + y = y → 1 = 0. Vô lí. Vậy x không bé hơn 2
Giả sử x > 2. Ta đặt x = 2 + k (k nguyên dương). Thay vào phương trình,

ta có: 2 + k + y = (2 + k)y → 2 + k = y + ky → 1 + (1 + k) = (1 + k)y
→ (1 + k) (y - 1) = 1 → 1 + k = 1 và y - 1 = 1. Nhưng 1 + k = 1 suy ra
k = 0. Trái với điều kiện k nguyên dương. Vậy x cũng không thể lớn hơn
2. Do đó x = 2 là duy nhất, khi đó y = 2.
Cách 2: Chia cả 2 vế của phương trình cho xy, ta được:
1 1
+ = 1.
x y

Nếu x > 2 thì y < 2 và ngược lại.
Nhưng nếu y < 2 thì y = 1. Khi đó phương trình đã cho trở thành:
x + 1 = x → 1 = 0. Vô lí.


Vậy x không thể lớn hơn 2 và cũng không thể bằng 1. Do đó chỉ có thể x
= 2, và khi đó y = 2 là nghiệm duy nhất.
Phương pháp 3: Đánh giá đồng đẳng
Ta thấy nếu thay x bằng y và thay y bằng x thì phương trình vẫn là nó, do
đó x và y có vai trò bình đẳng với nhau. Không mất tính tổng quát, ta hoàn toàn
có thể giả sử x ≥ y.
Cách 1: Vì x ≥ y, ta có:
x + y ≤ 2x → xy ≤ 2x → y ≤ 2 → y = 1 hoặc y = 2. Nhưng y = 1 thay
vào phương trình ta thấy vô lí. Vậy y = 2, khi đó x = 2. ta có x = 2 và y = 2 là
nghiệm của phương trình.
Cách 2: Chia cả 2 vế của phương trình cho xy, ta có:
1 1
+ =1
x y
1

1

2

2

Vì x ≥ y nên x + y ≤ y . Do đó 1 ≤ y , suy ra y = 1 hoặc y = 2, nhưng y =
1 bị loại vì thay vào phương trình cho ta đẳng thức sai. Vậy y = 2, khi đó ta tìm
được x = 2. x = 2 và y = 2 là nghiệm của phương trình.
Chú ý: Với cách giải thứ hai này, ta có thể dễ dàng giải được bài toán
khó sau: Tìm nghiệm nguyên, dương của phương trình: x + y + z = xyz.
Phương pháp 4: Đưa về dạng một tích các thừa số
Từ phương trình x + y = xy, ta có:
xy - x - y = 0 → x(y - 1) - (y - 1) = 1
(x - 1)(y - 1) = 1. Do x, y là nguyên dương nên từ
phương trình này suy ra:
x - 1 = 1 và y - 1 = 1. Vậy x = 2 và y = 2 là nghiệm của phương trình.
Phương pháp 5: Đưa về phương trình 1 ẩn số.
Vì x và y bình đẳng nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≥ y. Khi đó
có thể đặt x = y + k (k là số nguyên không âm). Thay vào phương trình ta được:
y + k + y = (y + k)y
y2 + (k - 2)y - k = 0 (1)
∆ = (k - 2)2 +4k = k2 + 4 > 0. Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm.
Muốn phương trình (1) có nghiệm nguyên (dương) thì k 2 + 4 phải khai phương
được, hay nói cách khác, k2 + 4 phải là số chính phương.
Đặt k2 + 4 = t2 t > k
(t - k)(t + k) = 4. Có 2 khả năng xảy ra: hoặc t - k = 1 và t + k = 4; hoặc
t - k = 2 và t + k = 2. Ở khả năng đầu, tìm được k = 1,5. Trái với điều
kiện k nguyên nên loại. Ở khả năng thứ hai tìm được k = 0 (thỏa mãn)
Vậy x = y. Thay vào phương trình ta tìm được x = y = 2 là nghiệm.

Phương pháp 6: Đưa về dạng tổng các số không âm bằng 0
Cách 1: Ta thử thấy x = 1 hoặc y = 1 đều vô lí, vậy x ≥ 2 và y ≥ 2.
Nhân cả hai vế của phương trình đã cho với 2, ta có:
2x + 2y = 2xy → x(y - 2) + y(x - 2) = 0


Ta thấy các biểu thức: x(y - 2) và y(x - 2) đều không âm, mà tổng của
chúng bằng 0 nên mỗi biểu thức đó phải bằng 0
x(y - 2) = 0 → y = 2; y(x - 2) = 0 → x = 2
Vậy x = 2 và y = 2 là nghiệm của phương trình
Cách 2: Ta thử thấy x = 1 hoặc y = 1 đều vô lí, vậy x ≥ 2 và y ≥ 2. Ta đặt
x = 2 + k; y = 2 + t. Khi đó k và t là số nguyên không âm. Thay vào
phương trình, ta có:
2 + k + 2 + t = (2 + k)(2 + t)
4 + k + t = 4 + 2t + 2k + kt
kt + k + t = 0. Do k và t là những số không âm, tổng này bằng 0 khi và
chỉ khi k = t = 0. Vậy x = 2 và y = 2 là nghiệm của phương trình./.