MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN

TÀI LIỆU
BỒI DƯỢNG HSG “GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO”
CẤP TỈNH:
Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b.
-Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Không làm tràn máy) rồi tìm
số dư của a’ cho b. Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng.
VD: Tìm số dư của 11
12
cho 2001.
Giải:
11
6
=1771561 khi chia cho 2001 dư là 676.
Vì 11
12
=(11
6
)
2
chia cho 2001 dư là: 676
2
:2001 dư là 748
Vậy dư của phép chia trên là 784.
-Cơ sở lý luận:
Bài tập áp dụng:
Tìm số dư trong phép chia a cho b:
1/ a=7
36
; b=2003. 2/ a=72
18
; b=2009.

3/ a= 13
18
+13
20
; b=6954
4/ a=135
8
+247
5
; b= 3311
Dạng 2: Tìm tích ab( tích một số có 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ số)
Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789
-Ghép a thành các nhóm:
+ Từ phải qua trái, mỗi nhóm có 5 chữ số.
+ Nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số.
{
n.4
n.3 n.2 n.1
a 123456789123456789=
123 123 123
Để tìm số dư a
n
cho b ta làm như nhau:
-Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta có: a=bq+r
(Công thức này không quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai
triển.
Vậy chỉ tìm xem r
n
chia cho b dư là mấy.
Đáp số 892

Đáp số 918
Đáp số 170
Đáp số 2514
-Lấy nhóm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra giấy.
= × =
12 3 123
lapbuoc2 ghiragiay
a 56789 56789 3224990521
-Lấy các số còn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhóm 2 nhân b:
{
+ × =
12 3 12 3 123
ghiragiay
lapbuoc2 n2 laybuoc3
32249 91234 56789 5181119875
KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở bước 1.
-Tiếp tục là như vậy đến hết.
Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789
Bùc 1: 56789
×
56789=32249 90521
Bước 2: 32249+34
×
56789=1963075
Cơ sở lý luận:
Bài tập áp dụng:
1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068
b/ a= 147689245; b= 12567
2/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998
3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667

Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng:
* Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng:
-Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.
-Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên.
Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối cùng của 3
202
.
Ghi ra giấy 90521
Ghi ra giấy 19875 90521
Đáp số : 7010987597531987590521
Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta có a=(34 00000+56789)
Lúc này ab=(34 00000+56789)56789.
p dụng tính chất PP ta được cách làm trên.
KQ: 1963075 90521
-Ta có
1
2
3
4
5
3 3
3 9
3 27
3 81
3 243
=
=
=
=
=

3
202
=3
200
.3
2
=(3
5
)
40
.3
2
(1)
Vì 3
5
có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vò) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của (3
5
)
40
là 3
40
; 3
40
=(3
5
)
8
Và chữ số cuối cùng là 3
8
; 3

8
=3
5
.3
3
nên chữ số cuối cùng của 3
8
là 3
4
.
Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài toán chính là chữ số cuối cùng của
3
2
.3
4
=3
5
.3. Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9.
Ví dụ 3:
Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3
202
+3
203
+3
204
.
Ta có: A=3
202
(1+3+9)=3
202

.13
Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3
202
là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng
của tích 13.9=27.
*Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo nguyên tắc, không có cách giải cụ thể, xong tuỳ
từng bài để vận dụng:
Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của 35
12
.
35
6
=1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 35
6
là 25.
Mà 35
12
=(35
6
)
2
nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25)
2
=625.
Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.
Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3
523
.
Ta có: 3
15

=14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07
Và 3
523
=(3
15
)
34
.5
13
; và 5
13
=1594323.
Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích
Suy ra
Vậy hai chữ số cuối cùng là 27.
Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64
501
+64
502
.
-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64
501
.
Ta có:
64
5
=1073741824. Và 64
501
=(64
5

)
100
.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của
tích: (824)
100
.64.
• Vì 824
3
=559476224; (824)
100
.64={(824)
3
}
33
824.64
Þ
ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)
33
.52736.
(07)
34
.23={(07)
7
}
4
.(07)
6
.23
(07)
7

=823543; 7
6
=117649
(43)
4
.49.23 . hai chữ số cuối cùng chính
là hai chữ số cuối cùng của tích
01.49.23=1127.
Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối
cùng.
-Chữ số cuối là 5 thì 5
n
có chữ số cuối cùng là 5 (n ≥ 1)
-Chữ số cuối là 6 thì 6
n
có chữ số cuối cùng là 6 (n ≥ 1)
• Vì 224
4
=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)
33
.52736 là ba chữ số
cuối cùng của tích (224)
4
}
8
.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)
8
. 164864.
• Vì 896
3

=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976)
8
. 164864. là ba chữ số cuối
cùng của (136)
2
.896
2
.864=18496.802816.864
• Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích
496.816.864=349691904.
• Ba chữ số cuối cùng của 64
501
là 904.
• A=64
501
(1+64)=65.64
501
.
Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760.
Vậy Ba chữ số cuối cùng của A là 760.
Dạng 4: Tính chất chia hết- Tìm tổng các số thoả mãn một vài điều kiện về
chia hết:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 13
18
-1 chia hết cho 6954.
Ta có: 13
18
=(13
6
)

3
Vì 13
6
=4826809 chia cho 6954 có số dư là 733; (733)
3
=393832837 chia cho 6954 dư bằng 1.
Vậy A= 13
8
-1 chia hết cho 6954.
Ví dụ 2: Tính tổng các số từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3.
Giải: Các số trong khoảng từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3 là các số 10002; 10005;
……………; 99999.
Số các số hạng chia hết cho 3 là: (99999-10002):3+1=30 000
Tổng các số chia hết cho ba là: 10005+………+99999= (10005+99999).30000:2
=1650060000.
Ví dụ 3:
Tìm tổng các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2 000
000.
Giải:
Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 là: 20 001;…………;1 999 998.
Số các số hạng chia hết cho 3 là: (1 999 998-20 001):3+1=660 000
Tổng các số chia hết cho 3 là:
20 001+…………+1 999 998=(1 999 998+20 001).660 000:2
=330 000. 2019999 =666 599 670 000
Hỗ trợ:
Tìm số phần tử của tập hợp: (Số cuối-Số đầu): Khoảng cách giữa hai số +1
Tính tổng các số có khoảng cách bằng nhau:
(Số đầu+số cuối). Số các số hạng:2
Các số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2000000. là:
20010;……; 1 999 995.

Số các số chia hết cho 5 là:
(1 999 995– 20 010):15+1=132 000 số.
Tổng các số chia hết cho 15 là: (1 999 995+ 20 010).132 000:2=133 320 330 000
Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 là:
660 000-132 000=528 000 số.
Tổng các số này là: 666 599 670 000-133 320 330 000=533 279 340 000.
Ví dụ 4: Tìm một số có 8 chữ số đồng thời chia hết cho 3 và 4, mà số ấy chỉ gồm các chữ
số 2 và 3, trong đó số chữ số 3 nhiều hơn số chữ số 2.
Giải:
Gọi số cần tìm là:
1 2 3 4 5 6 7 8
A a a a a a a a a=
. Vì A
M
4 nên
7 8
a a
M
4; theo đề bài ta có các chữ số
của số A chỉ là chữ số 3 và 2 nên suy ra
7 8
a a
=32.
Để A chia hết cho 3 cần : a
1
+a
2
+…+a
6
+3+2 chia hết cho 3. Hay a

1
+a
2
+…+a
6
+5 chia hết cho
3. Nhưng do các chữ số của A chỉ là chữ số 3 và 2 và chữ số 3 nhiều hơn chữ số 2 và từ a
1
đến a
6
(Có 6 chữ số) nên suy ra:
@ Trường hợp 1: Có 4 chữ số 3 và 2 chữ số 2 : Tổng các chữ số là: 4.3+2.2+5=21 (thoả mãn
chia hết cho3)
@ Trường hợp 2: Có 5 chữ số 3 và 1 chữ số 2: 5.3+2.1+5=22 ( không thoả mãn chia hết
cho3)
@ Trường hợp 3: Có 6 chữ số 3 và không có chữ số 2: 6.3+5=23 ( không thoả mãn chia hết
cho3)
Vậy số đó có thể là 33 332 232. Đổi vò trí các chữ số 3 và 2 từ hàng trăm đến hàng chục
triệu (Giữ nguyên chữ số hàng chục và đơn vò ta có các số cần tìm)
Một số bài tập:
1/Tìm tổng các số chia hết cho 7 mà không chia hết cho 2
2/ Tìm một số có 6 chữ số sao cho nó chia hết cho 25 và chia hết cho 3 và chỉ gồm các chữ
số 2 và 5. Trong đó số chữ số 2 nhiều hơn số chữ số 5.
Dạng 5: Hàm số và tỉ số lượng giác:
1/Các bài tập cơ bản:
a/ Tìm tỉ số lượng giác của một góc:
Màn hình ở chế độ Deg (Dùng số đo độ) bằng cách bấm phím MODE nhiều lần đến khi
xuất hiện:
Ví dụ 1: Tính Sin 60
o

= 0,866025403
Sin 30
o
20’15’’=0,505092606.
Bấm phím:
Deg Rad Gra
1 2 3
Sin
30
o,,,
20 15
o,,, o,,, =